Theorem pjth 25787

Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector 𝐴 can be decomposed uniquely into a member 𝑥 of a closed subspace 𝐻 and a member 𝑦 of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (existence part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjth.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
pjth.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
pjth.o	⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑊)
pjth.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
pjth.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pjth	⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) = 𝑉)

Proof of Theorem pjth

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlphl 25713	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2	1	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑊 ∈ PreHil)
3		phllmod 21963	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑊 ∈ LMod)
5		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐿)
6		pjth.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		pjth.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
8	6, 7	lssss 21238	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
9	8	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
10		pjth.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑊)
11	6, 10, 7	ocvlss 22005	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑂‘𝑈) ∈ 𝐿)
12	2, 9, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑂‘𝑈) ∈ 𝐿)
13		pjth.s	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
14	7, 13	lsmcl 21385	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ (𝑂‘𝑈) ∈ 𝐿) → (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) ∈ 𝐿)
15	4, 5, 12, 14	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) ∈ 𝐿)
16	6, 7	lssss 21238	. . 3 ⊢ ((𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) ∈ 𝐿 → (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) ⊆ 𝑉)
17	15, 16	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) ⊆ 𝑉)
18		eqid 2763	. . 3 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
19		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
20		eqid 2763	. . 3 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
21		eqid 2763	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
22		simpl1 1210	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂHil)
23		simpl2 1211	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐿)
24		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
25		pjth.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
26		simpl3 1212	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))
27	6, 18, 19, 20, 21, 7, 22, 23, 24, 25, 13, 10, 26	pjthlem2 25786	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)))
28	17, 27	eqelssd 3934	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) = 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454  ·_𝑖cip 17459  TopOpenctopn 17618  -_gcsg 19172  LSSumclsm 19875  LModclmod 21162  LSubSpclss 21233  PreHilcphl 21957  ocvcocv 21993  Clsdccld 23361  normcnm 24922  ℂHilchl 25682

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303  ax-mulf 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-rest 17619  df-topn 17620  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-topgen 17640  df-pt 17641  df-prds 17644  df-xrs 17700  df-qtop 17705  df-imas 17706  df-xps 17708  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-cntz 19558  df-lsm 19877  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-oppr 20594  df-dvdsr 20614  df-unit 20615  df-invr 20645  df-dvr 20658  df-rhm 20729  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-drng 21009  df-staf 21123  df-srng 21124  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lmhm 21324  df-lvec 21405  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-fbas 21702  df-fg 21703  df-cnfld 21706  df-phl 21959  df-ocv 21996  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-cld 23364  df-ntr 23365  df-cls 23366  df-nei 23443  df-cn 23572  df-cnp 23573  df-haus 23660  df-cmp 23732  df-tx 23908  df-hmeo 24101  df-fil 24192  df-flim 24285  df-fcls 24287  df-xms 24666  df-ms 24667  df-tms 24668  df-nm 24928  df-ngp 24929  df-nlm 24932  df-cncf 25226  df-clm 25411  df-cph 25516  df-cfil 25603  df-cmet 25605  df-cms 25683  df-bn 25684  df-hl 25685

This theorem is used by:  pjth2  25788