MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjth 25487
Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector 𝐴 can be decomposed uniquely into a member 𝑥 of a closed subspace 𝐻 and a member 𝑦 of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (existence part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pjth.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
pjth.s = (LSSum‘𝑊)
pjth.o 𝑂 = (ocv‘𝑊)
pjth.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
pjth.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
pjth ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 (𝑂𝑈)) = 𝑉)

Proof of Theorem pjth
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlphl 25413 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ PreHil)
213ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑊 ∈ PreHil)
3 phllmod 21666 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑊 ∈ LMod)
5 simp2 1136 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈𝐿)
6 pjth.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
7 pjth.l . . . . . . 7 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
86, 7lssss 20952 . . . . . 6 (𝑈𝐿𝑈𝑉)
983ad2ant2 1133 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈𝑉)
10 pjth.o . . . . . 6 𝑂 = (ocv‘𝑊)
116, 10, 7ocvlss 21708 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈𝑉) → (𝑂𝑈) ∈ 𝐿)
122, 9, 11syl2anc 584 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑂𝑈) ∈ 𝐿)
13 pjth.s . . . . 5 = (LSSum‘𝑊)
147, 13lsmcl 21100 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿 ∧ (𝑂𝑈) ∈ 𝐿) → (𝑈 (𝑂𝑈)) ∈ 𝐿)
154, 5, 12, 14syl3anc 1370 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 (𝑂𝑈)) ∈ 𝐿)
166, 7lssss 20952 . . 3 ((𝑈 (𝑂𝑈)) ∈ 𝐿 → (𝑈 (𝑂𝑈)) ⊆ 𝑉)
1715, 16syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 (𝑂𝑈)) ⊆ 𝑉)
18 eqid 2735 . . 3 (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
19 eqid 2735 . . 3 (+g𝑊) = (+g𝑊)
20 eqid 2735 . . 3 (-g𝑊) = (-g𝑊)
21 eqid 2735 . . 3 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
22 simpl1 1190 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑊 ∈ ℂHil)
23 simpl2 1191 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑈𝐿)
24 simpr 484 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥𝑉)
25 pjth.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
26 simpl3 1192 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))
276, 18, 19, 20, 21, 7, 22, 23, 24, 25, 13, 10, 26pjthlem2 25486 . 2 (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥 ∈ (𝑈 (𝑂𝑈)))
2817, 27eqelssd 4017 1 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 (𝑂𝑈)) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  ·𝑖cip 17303  TopOpenctopn 17468  -gcsg 18966  LSSumclsm 19667  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  PreHilcphl 21660  ocvcocv 21696  Clsdccld 23040  normcnm 24605  ℂHilchl 25382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-staf 20857  df-srng 20858  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lmhm 21039  df-lvec 21120  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-phl 21662  df-ocv 21699  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-flim 23963  df-fcls 23965  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-nm 24611  df-ngp 24612  df-nlm 24615  df-cncf 24918  df-clm 25110  df-cph 25216  df-cfil 25303  df-cmet 25305  df-cms 25383  df-bn 25384  df-hl 25385
This theorem is referenced by:  pjth2  25488
  Copyright terms: Public domain W3C validator