MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjth Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pjth 24963
Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector 𝐴 can be decomposed uniquely into a member π‘₯ of a closed subspace 𝐻 and a member 𝑦 of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (existence part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pjth.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
pjth.s βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
pjth.o 𝑂 = (ocvβ€˜π‘Š)
pjth.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
pjth.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
pjth ((π‘Š ∈ β„‚Hil ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘‚β€˜π‘ˆ)) = 𝑉)
Proof of Theorem pjth
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlphl 24889 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ π‘Š ∈ PreHil)
213ad2ant1 1133 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Hil ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
3 phllmod 21189 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Hil ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 simp2 1137 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Hil ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐿)
6 pjth.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
7 pjth.l . . . . . . 7 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
86, 7lssss 20552 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
983ad2ant2 1134 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Hil ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
10 pjth.o . . . . . 6 𝑂 = (ocvβ€˜π‘Š)
116, 10, 7ocvlss 21231 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘‚β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐿)
122, 9, 11syl2anc 584 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Hil ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (π‘‚β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐿)
13 pjth.s . . . . 5 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
147, 13lsmcl 20699 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ (π‘‚β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐿) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘‚β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐿)
154, 5, 12, 14syl3anc 1371 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Hil ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘‚β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐿)
166, 7lssss 20552 . . 3 ((π‘ˆ βŠ• (π‘‚β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐿 β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘‚β€˜π‘ˆ)) βŠ† 𝑉)
1715, 16syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Hil ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘‚β€˜π‘ˆ)) βŠ† 𝑉)
18 eqid 2732 . . 3 (normβ€˜π‘Š) = (normβ€˜π‘Š)
19 eqid 2732 . . 3 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
20 eqid 2732 . . 3 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
21 eqid 2732 . . 3 (Β·π‘–β€˜π‘Š) = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
22 simpl1 1191 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚Hil ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ β„‚Hil)
23 simpl2 1192 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚Hil ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐿)
24 simpr 485 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚Hil ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
25 pjth.j . . 3 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
26 simpl3 1193 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚Hil ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ (Clsdβ€˜π½))
276, 18, 19, 20, 21, 7, 22, 23, 24, 25, 13, 10, 26pjthlem2 24962 . 2 (((π‘Š ∈ β„‚Hil ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βŠ• (π‘‚β€˜π‘ˆ)))
2817, 27eqelssd 4003 1 ((π‘Š ∈ β„‚Hil ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘‚β€˜π‘ˆ)) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  Β·π‘–cip 17204  TopOpenctopn 17369  -gcsg 18823  LSSumclsm 19504  LModclmod 20475  LSubSpclss 20547  PreHilcphl 21183  ocvcocv 21219  Clsdccld 22527  normcnm 24092  β„‚Hilchl 24858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-cntz 19183  df-lsm 19506  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-rnghom 20255  df-subrg 20321  df-drng 20363  df-staf 20457  df-srng 20458  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-lmhm 20638  df-lvec 20719  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-phl 21185  df-ocv 21222  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-flim 23450  df-fcls 23452  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-nm 24098  df-ngp 24099  df-nlm 24102  df-cncf 24401  df-clm 24586  df-cph 24692  df-cfil 24779  df-cmet 24781  df-cms 24859  df-bn 24860  df-hl 24861
This theorem is referenced by:  pjth2  24964
  Copyright terms: Public domain W3C validator