Theorem pjth 25425

Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector 𝐴 can be decomposed uniquely into a member 𝑥 of a closed subspace 𝐻 and a member 𝑦 of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (existence part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjth.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
pjth.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
pjth.o	⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑊)
pjth.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
pjth.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pjth	⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) = 𝑉)

Proof of Theorem pjth

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlphl 25351	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2	1	3ad2ant1 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑊 ∈ PreHil)
3		phllmod 21606	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑊 ∈ LMod)
5		simp2 1143	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐿)
6		pjth.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		pjth.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
8	6, 7	lssss 20927	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
9	8	3ad2ant2 1140	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
10		pjth.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑊)
11	6, 10, 7	ocvlss 21648	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑂‘𝑈) ∈ 𝐿)
12	2, 9, 11	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑂‘𝑈) ∈ 𝐿)
13		pjth.s	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
14	7, 13	lsmcl 21074	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ (𝑂‘𝑈) ∈ 𝐿) → (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) ∈ 𝐿)
15	4, 5, 12, 14	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) ∈ 𝐿)
16	6, 7	lssss 20927	. . 3 ⊢ ((𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) ∈ 𝐿 → (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) ⊆ 𝑉)
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) ⊆ 𝑉)
18		eqid 2739	. . 3 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
19		eqid 2739	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
20		eqid 2739	. . 3 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
21		eqid 2739	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
22		simpl1 1198	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂHil)
23		simpl2 1199	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐿)
24		simpr 485	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
25		pjth.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
26		simpl3 1200	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))
27	6, 18, 19, 20, 21, 7, 22, 23, 24, 25, 13, 10, 26	pjthlem2 25424	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)))
28	17, 27	eqelssd 3936	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  Basecbs 17171  +_gcplusg 17212  ·_𝑖cip 17217  TopOpenctopn 17376  -_gcsg 18903  LSSumclsm 19601  LModclmod 20851  LSubSpclss 20922  PreHilcphl 21600  ocvcocv 21636  Clsdccld 23000  normcnm 24560  ℂHilchl 25320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109  ax-mulf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7621  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-supp 8102  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-q 12891  df-rp 12935  df-xneg 13055  df-xadd 13056  df-xmul 13057  df-ioo 13294  df-ico 13296  df-icc 13297  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-seq 13956  df-exp 14016  df-hash 14285  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-starv 17227  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-ip 17230  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ds 17234  df-unif 17235  df-hom 17236  df-cco 17237  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17458  df-qtop 17463  df-imas 17464  df-xps 17466  df-mre 17540  df-mrc 17541  df-acs 17543  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-mulg 19036  df-subg 19091  df-ghm 19180  df-cntz 19284  df-lsm 19603  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20114  df-rng 20126  df-ur 20155  df-ring 20208  df-cring 20209  df-oppr 20309  df-dvdsr 20329  df-unit 20330  df-invr 20360  df-dvr 20373  df-rhm 20444  df-subrng 20519  df-subrg 20543  df-drng 20704  df-staf 20812  df-srng 20813  df-lmod 20853  df-lss 20923  df-lmhm 21013  df-lvec 21094  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-fbas 21345  df-fg 21346  df-cnfld 21349  df-phl 21602  df-ocv 21639  df-top 22878  df-topon 22895  df-topsp 22917  df-bases 22930  df-cld 23003  df-ntr 23004  df-cls 23005  df-nei 23082  df-cn 23211  df-cnp 23212  df-haus 23299  df-cmp 23371  df-tx 23546  df-hmeo 23739  df-fil 23830  df-flim 23923  df-fcls 23925  df-xms 24304  df-ms 24305  df-tms 24306  df-nm 24566  df-ngp 24567  df-nlm 24570  df-cncf 24864  df-clm 25049  df-cph 25154  df-cfil 25241  df-cmet 25243  df-cms 25321  df-bn 25322  df-hl 25323

This theorem is referenced by:  pjth2  25426