MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipsubdi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipsubdi 21415
Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipsubdir.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
ipsubdir.s 𝑆 = (-gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ipsubdi ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢)) = ((𝐴 , 𝐡)𝑆(𝐴 , 𝐢)))
Proof of Theorem ipsubdi
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 simpr1 1192 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
3 phllmod 21402 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
43adantr 479 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 lmodgrp 20621 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ Grp)
7 simpr2 1193 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
8 simpr3 1194 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
9 phllmhm.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
10 ipsubdir.m . . . . . . 7 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
119, 10grpsubcl 18939 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) ∈ 𝑉)
126, 7, 8, 11syl3anc 1369 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) ∈ 𝑉)
13 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
14 phllmhm.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
15 eqid 2730 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
16 eqid 2730 . . . . . 6 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
1713, 14, 9, 15, 16ipdi 21412 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐢) ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , ((𝐡 βˆ’ 𝐢)(+gβ€˜π‘Š)𝐢)) = ((𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢))(+gβ€˜πΉ)(𝐴 , 𝐢)))
181, 2, 12, 8, 17syl13anc 1370 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , ((𝐡 βˆ’ 𝐢)(+gβ€˜π‘Š)𝐢)) = ((𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢))(+gβ€˜πΉ)(𝐴 , 𝐢)))
199, 15, 10grpnpcan 18951 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐢)(+gβ€˜π‘Š)𝐢) = 𝐡)
206, 7, 8, 19syl3anc 1369 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐢)(+gβ€˜π‘Š)𝐢) = 𝐡)
2120oveq2d 7427 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , ((𝐡 βˆ’ 𝐢)(+gβ€˜π‘Š)𝐢)) = (𝐴 , 𝐡))
2218, 21eqtr3d 2772 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢))(+gβ€˜πΉ)(𝐴 , 𝐢)) = (𝐴 , 𝐡))
2313lmodfgrp 20623 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Grp)
244, 23syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐹 ∈ Grp)
25 eqid 2730 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
2613, 14, 9, 25ipcl 21405 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
271, 2, 7, 26syl3anc 1369 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
2813, 14, 9, 25ipcl 21405 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
291, 2, 8, 28syl3anc 1369 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
3013, 14, 9, 25ipcl 21405 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐢) ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
311, 2, 12, 30syl3anc 1369 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
32 ipsubdir.s . . . . 5 𝑆 = (-gβ€˜πΉ)
3325, 16, 32grpsubadd 18947 . . . 4 ((𝐹 ∈ Grp ∧ ((𝐴 , 𝐡) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ (((𝐴 , 𝐡)𝑆(𝐴 , 𝐢)) = (𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ↔ ((𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢))(+gβ€˜πΉ)(𝐴 , 𝐢)) = (𝐴 , 𝐡)))
3424, 27, 29, 31, 33syl13anc 1370 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐴 , 𝐡)𝑆(𝐴 , 𝐢)) = (𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ↔ ((𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢))(+gβ€˜πΉ)(𝐴 , 𝐢)) = (𝐴 , 𝐡)))
3522, 34mpbird 256 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 , 𝐡)𝑆(𝐴 , 𝐢)) = (𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢)))
3635eqcomd 2736 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢)) = ((𝐴 , 𝐡)𝑆(𝐴 , 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  Scalarcsca 17204  Β·π‘–cip 17206  Grpcgrp 18855  -gcsg 18857  LModclmod 20614  PreHilcphl 21396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-ghm 19128  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-rhm 20363  df-staf 20596  df-srng 20597  df-lmod 20616  df-lmhm 20777  df-lvec 20858  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-phl 21398
This theorem is referenced by:  ip2subdi  21416  ip2eq  21425  cphsubdi  24957
  Copyright terms: Public domain W3C validator