MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipsubdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipsubdi 21129
Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipsubdir.m = (-g𝑊)
ipsubdir.s 𝑆 = (-g𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipsubdi ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵)𝑆(𝐴 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipsubdi
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
2 simpr1 1194 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝑉)
3 phllmod 21116 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
43adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
5 lmodgrp 20427 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ Grp)
7 simpr2 1195 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐵𝑉)
8 simpr3 1196 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐶𝑉)
9 phllmhm.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
10 ipsubdir.m . . . . . . 7 = (-g𝑊)
119, 10grpsubcl 18877 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵 𝐶) ∈ 𝑉)
126, 7, 8, 11syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵 𝐶) ∈ 𝑉)
13 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14 phllmhm.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
15 eqid 2731 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
16 eqid 2731 . . . . . 6 (+g𝐹) = (+g𝐹)
1713, 14, 9, 15, 16ipdi 21126 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉 ∧ (𝐵 𝐶) ∈ 𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , ((𝐵 𝐶)(+g𝑊)𝐶)) = ((𝐴 , (𝐵 𝐶))(+g𝐹)(𝐴 , 𝐶)))
181, 2, 12, 8, 17syl13anc 1372 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , ((𝐵 𝐶)(+g𝑊)𝐶)) = ((𝐴 , (𝐵 𝐶))(+g𝐹)(𝐴 , 𝐶)))
199, 15, 10grpnpcan 18889 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑉𝐶𝑉) → ((𝐵 𝐶)(+g𝑊)𝐶) = 𝐵)
206, 7, 8, 19syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐵 𝐶)(+g𝑊)𝐶) = 𝐵)
2120oveq2d 7409 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , ((𝐵 𝐶)(+g𝑊)𝐶)) = (𝐴 , 𝐵))
2218, 21eqtr3d 2773 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 , (𝐵 𝐶))(+g𝐹)(𝐴 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐵))
2313lmodfgrp 20429 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
244, 23syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐹 ∈ Grp)
25 eqid 2731 . . . . . 6 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2613, 14, 9, 25ipcl 21119 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹))
271, 2, 7, 26syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹))
2813, 14, 9, 25ipcl 21119 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
291, 2, 8, 28syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
3013, 14, 9, 25ipcl 21119 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉 ∧ (𝐵 𝐶) ∈ 𝑉) → (𝐴 , (𝐵 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))
311, 2, 12, 30syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))
32 ipsubdir.s . . . . 5 𝑆 = (-g𝐹)
3325, 16, 32grpsubadd 18885 . . . 4 ((𝐹 ∈ Grp ∧ ((𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐴 , (𝐵 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))) → (((𝐴 , 𝐵)𝑆(𝐴 , 𝐶)) = (𝐴 , (𝐵 𝐶)) ↔ ((𝐴 , (𝐵 𝐶))(+g𝐹)(𝐴 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐵)))
3424, 27, 29, 31, 33syl13anc 1372 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((𝐴 , 𝐵)𝑆(𝐴 , 𝐶)) = (𝐴 , (𝐵 𝐶)) ↔ ((𝐴 , (𝐵 𝐶))(+g𝐹)(𝐴 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐵)))
3522, 34mpbird 256 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 , 𝐵)𝑆(𝐴 , 𝐶)) = (𝐴 , (𝐵 𝐶)))
3635eqcomd 2737 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵)𝑆(𝐴 , 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6532  (class class class)co 7393  Basecbs 17126  +gcplusg 17179  Scalarcsca 17182  ·𝑖cip 17184  Grpcgrp 18794  -gcsg 18796  LModclmod 20420  PreHilcphl 21110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-0g 17369  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-mhm 18647  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-ghm 19056  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-oppr 20102  df-rnghom 20201  df-staf 20402  df-srng 20403  df-lmod 20422  df-lmhm 20582  df-lvec 20663  df-sra 20734  df-rgmod 20735  df-phl 21112
This theorem is referenced by:  ip2subdi  21130  ip2eq  21139  cphsubdi  24655
  Copyright terms: Public domain W3C validator