Theorem ipsubdi 21623

Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipsubdir.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
ipsubdir.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipsubdi	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵)𝑆(𝐴 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipsubdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
2		simpr1 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		phllmod 21610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
5		lmodgrp 20862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ Grp)
7		simpr2 1197	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
8		simpr3 1198	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
9		phllmhm.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10		ipsubdir.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑊)
11	9, 10	grpsubcl 18996	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 − 𝐶) ∈ 𝑉)
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 − 𝐶) ∈ 𝑉)
13		phlsrng.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14		phllmhm.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
15		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
16		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
17	13, 14, 9, 15, 16	ipdi 21620	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , ((𝐵 − 𝐶)(+g‘𝑊)𝐶)) = ((𝐴 , (𝐵 − 𝐶))(+g‘𝐹)(𝐴 , 𝐶)))
18	1, 2, 12, 8, 17	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , ((𝐵 − 𝐶)(+g‘𝑊)𝐶)) = ((𝐴 , (𝐵 − 𝐶))(+g‘𝐹)(𝐴 , 𝐶)))
19	9, 15, 10	grpnpcan 19008	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝐵 − 𝐶)(+g‘𝑊)𝐶) = 𝐵)
20	6, 7, 8, 19	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐵 − 𝐶)(+g‘𝑊)𝐶) = 𝐵)
21	20	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , ((𝐵 − 𝐶)(+g‘𝑊)𝐶)) = (𝐴 , 𝐵))
22	18, 21	eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 , (𝐵 − 𝐶))(+g‘𝐹)(𝐴 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐵))
23	13	lmodfgrp 20864	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
24	4, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐹 ∈ Grp)
25		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
26	13, 14, 9, 25	ipcl 21613	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹))
27	1, 2, 7, 26	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹))
28	13, 14, 9, 25	ipcl 21613	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
29	1, 2, 8, 28	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
30	13, 14, 9, 25	ipcl 21613	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ 𝑉) → (𝐴 , (𝐵 − 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))
31	1, 2, 12, 30	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 − 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))
32		ipsubdir.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)
33	25, 16, 32	grpsubadd 19004	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ ((𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐴 , (𝐵 − 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))) → (((𝐴 , 𝐵)𝑆(𝐴 , 𝐶)) = (𝐴 , (𝐵 − 𝐶)) ↔ ((𝐴 , (𝐵 − 𝐶))(+g‘𝐹)(𝐴 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐵)))
34	24, 27, 29, 31, 33	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((𝐴 , 𝐵)𝑆(𝐴 , 𝐶)) = (𝐴 , (𝐵 − 𝐶)) ↔ ((𝐴 , (𝐵 − 𝐶))(+g‘𝐹)(𝐴 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐵)))
35	22, 34	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 , 𝐵)𝑆(𝐴 , 𝐶)) = (𝐴 , (𝐵 − 𝐶)))
36	35	eqcomd 2742	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵)𝑆(𝐴 , 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Scalarcsca 17223  ·_𝑖cip 17225  Grpcgrp 18909  -_gcsg 18911  LModclmod 20855  PreHilcphl 21604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-ghm 19188  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-rhm 20452  df-staf 20816  df-srng 20817  df-lmod 20857  df-lmhm 21017  df-lvec 21098  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-phl 21606

This theorem is referenced by:  ip2subdi  21624  ip2eq  21633  cphsubdi  25176