MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipsubdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipsubdi 20469
Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipsubdir.m = (-g𝑊)
ipsubdir.s 𝑆 = (-g𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipsubdi ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵)𝑆(𝐴 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipsubdi
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
2 simpr1 1187 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝑉)
3 phllmod 20456 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
43adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
5 lmodgrp 19331 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ Grp)
7 simpr2 1188 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐵𝑉)
8 simpr3 1189 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐶𝑉)
9 phllmhm.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
10 ipsubdir.m . . . . . . 7 = (-g𝑊)
119, 10grpsubcl 17936 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵 𝐶) ∈ 𝑉)
126, 7, 8, 11syl3anc 1364 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵 𝐶) ∈ 𝑉)
13 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14 phllmhm.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
15 eqid 2795 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
16 eqid 2795 . . . . . 6 (+g𝐹) = (+g𝐹)
1713, 14, 9, 15, 16ipdi 20466 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉 ∧ (𝐵 𝐶) ∈ 𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , ((𝐵 𝐶)(+g𝑊)𝐶)) = ((𝐴 , (𝐵 𝐶))(+g𝐹)(𝐴 , 𝐶)))
181, 2, 12, 8, 17syl13anc 1365 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , ((𝐵 𝐶)(+g𝑊)𝐶)) = ((𝐴 , (𝐵 𝐶))(+g𝐹)(𝐴 , 𝐶)))
199, 15, 10grpnpcan 17948 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑉𝐶𝑉) → ((𝐵 𝐶)(+g𝑊)𝐶) = 𝐵)
206, 7, 8, 19syl3anc 1364 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐵 𝐶)(+g𝑊)𝐶) = 𝐵)
2120oveq2d 7032 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , ((𝐵 𝐶)(+g𝑊)𝐶)) = (𝐴 , 𝐵))
2218, 21eqtr3d 2833 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 , (𝐵 𝐶))(+g𝐹)(𝐴 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐵))
2313lmodfgrp 19333 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
244, 23syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐹 ∈ Grp)
25 eqid 2795 . . . . . 6 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2613, 14, 9, 25ipcl 20459 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹))
271, 2, 7, 26syl3anc 1364 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹))
2813, 14, 9, 25ipcl 20459 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
291, 2, 8, 28syl3anc 1364 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
3013, 14, 9, 25ipcl 20459 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉 ∧ (𝐵 𝐶) ∈ 𝑉) → (𝐴 , (𝐵 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))
311, 2, 12, 30syl3anc 1364 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))
32 ipsubdir.s . . . . 5 𝑆 = (-g𝐹)
3325, 16, 32grpsubadd 17944 . . . 4 ((𝐹 ∈ Grp ∧ ((𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐴 , (𝐵 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))) → (((𝐴 , 𝐵)𝑆(𝐴 , 𝐶)) = (𝐴 , (𝐵 𝐶)) ↔ ((𝐴 , (𝐵 𝐶))(+g𝐹)(𝐴 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐵)))
3424, 27, 29, 31, 33syl13anc 1365 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((𝐴 , 𝐵)𝑆(𝐴 , 𝐶)) = (𝐴 , (𝐵 𝐶)) ↔ ((𝐴 , (𝐵 𝐶))(+g𝐹)(𝐴 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐵)))
3522, 34mpbird 258 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 , 𝐵)𝑆(𝐴 , 𝐶)) = (𝐴 , (𝐵 𝐶)))
3635eqcomd 2801 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵)𝑆(𝐴 , 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  +gcplusg 16394  Scalarcsca 16397  ·𝑖cip 16399  Grpcgrp 17861  -gcsg 17863  LModclmod 19324  PreHilcphl 20450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-tpos 7743  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-0g 16544  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-mhm 17774  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-ghm 18097  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-oppr 19063  df-rnghom 19157  df-staf 19306  df-srng 19307  df-lmod 19326  df-lmhm 19484  df-lvec 19565  df-sra 19634  df-rgmod 19635  df-phl 20452
This theorem is referenced by:  ip2subdi  20470  ip2eq  20479  cphsubdi  23496
  Copyright terms: Public domain W3C validator