MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipsubdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipsubdi 21070
Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipsubdir.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
ipsubdir.s 𝑆 = (-gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ipsubdi ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢)) = ((𝐴 , 𝐡)𝑆(𝐴 , 𝐢)))

Proof of Theorem ipsubdi
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 simpr1 1195 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
3 phllmod 21057 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
43adantr 482 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 lmodgrp 20372 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ Grp)
7 simpr2 1196 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
8 simpr3 1197 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
9 phllmhm.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
10 ipsubdir.m . . . . . . 7 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
119, 10grpsubcl 18835 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) ∈ 𝑉)
126, 7, 8, 11syl3anc 1372 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) ∈ 𝑉)
13 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
14 phllmhm.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
15 eqid 2733 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
16 eqid 2733 . . . . . 6 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
1713, 14, 9, 15, 16ipdi 21067 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐢) ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , ((𝐡 βˆ’ 𝐢)(+gβ€˜π‘Š)𝐢)) = ((𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢))(+gβ€˜πΉ)(𝐴 , 𝐢)))
181, 2, 12, 8, 17syl13anc 1373 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , ((𝐡 βˆ’ 𝐢)(+gβ€˜π‘Š)𝐢)) = ((𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢))(+gβ€˜πΉ)(𝐴 , 𝐢)))
199, 15, 10grpnpcan 18847 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐢)(+gβ€˜π‘Š)𝐢) = 𝐡)
206, 7, 8, 19syl3anc 1372 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐢)(+gβ€˜π‘Š)𝐢) = 𝐡)
2120oveq2d 7377 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , ((𝐡 βˆ’ 𝐢)(+gβ€˜π‘Š)𝐢)) = (𝐴 , 𝐡))
2218, 21eqtr3d 2775 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢))(+gβ€˜πΉ)(𝐴 , 𝐢)) = (𝐴 , 𝐡))
2313lmodfgrp 20374 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Grp)
244, 23syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐹 ∈ Grp)
25 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
2613, 14, 9, 25ipcl 21060 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
271, 2, 7, 26syl3anc 1372 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
2813, 14, 9, 25ipcl 21060 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
291, 2, 8, 28syl3anc 1372 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
3013, 14, 9, 25ipcl 21060 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐢) ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
311, 2, 12, 30syl3anc 1372 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
32 ipsubdir.s . . . . 5 𝑆 = (-gβ€˜πΉ)
3325, 16, 32grpsubadd 18843 . . . 4 ((𝐹 ∈ Grp ∧ ((𝐴 , 𝐡) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ (((𝐴 , 𝐡)𝑆(𝐴 , 𝐢)) = (𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ↔ ((𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢))(+gβ€˜πΉ)(𝐴 , 𝐢)) = (𝐴 , 𝐡)))
3424, 27, 29, 31, 33syl13anc 1373 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐴 , 𝐡)𝑆(𝐴 , 𝐢)) = (𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ↔ ((𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢))(+gβ€˜πΉ)(𝐴 , 𝐢)) = (𝐴 , 𝐡)))
3522, 34mpbird 257 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 , 𝐡)𝑆(𝐴 , 𝐢)) = (𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢)))
3635eqcomd 2739 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , (𝐡 βˆ’ 𝐢)) = ((𝐴 , 𝐡)𝑆(𝐴 , 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  Scalarcsca 17144  Β·π‘–cip 17146  Grpcgrp 18756  -gcsg 18758  LModclmod 20365  PreHilcphl 21051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-ghm 19014  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-rnghom 20156  df-staf 20347  df-srng 20348  df-lmod 20367  df-lmhm 20527  df-lvec 20608  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-phl 21053
This theorem is referenced by:  ip2subdi  21071  ip2eq  21080  cphsubdi  24596
  Copyright terms: Public domain W3C validator