MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjdm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjdm2 21595
Description: A subspace is in the domain of the projection function iff the subspace admits a projection decomposition of the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjdm2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
pjdm2.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
pjdm2.o βŠ₯ = (ocvβ€˜π‘Š)
pjdm2.s βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
pjdm2.k 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
pjdm2 (π‘Š ∈ PreHil β†’ (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉)))

Proof of Theorem pjdm2
StepHypRef Expression
1 pjdm2.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 pjdm2.l . . 3 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3 pjdm2.o . . 3 βŠ₯ = (ocvβ€˜π‘Š)
4 eqid 2724 . . 3 (proj1β€˜π‘Š) = (proj1β€˜π‘Š)
5 pjdm2.k . . 3 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
61, 2, 3, 4, 5pjdm 21591 . 2 (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰))
7 eqid 2724 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
8 pjdm2.s . . . . . 6 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
9 eqid 2724 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
10 eqid 2724 . . . . . 6 (Cntzβ€˜π‘Š) = (Cntzβ€˜π‘Š)
11 phllmod 21512 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
1211adantr 480 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ π‘Š ∈ LMod)
132lsssssubg 20801 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐿 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝐿 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
15 simpr 484 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇 ∈ 𝐿)
1614, 15sseldd 3976 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
171, 2lssss 20779 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ 𝐿 β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
181, 3, 2ocvlss 21554 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‡) ∈ 𝐿)
1917, 18sylan2 592 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‡) ∈ 𝐿)
2014, 19sseldd 3976 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
213, 2, 9ocvin 21556 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (𝑇 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = {(0gβ€˜π‘Š)})
22 lmodabl 20751 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
2312, 22syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ π‘Š ∈ Abel)
2410, 23, 16, 20ablcntzd 19773 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇 βŠ† ((Cntzβ€˜π‘Š)β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‡)))
257, 8, 9, 10, 16, 20, 21, 24, 4pj1f 19613 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):(𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‡)
2617adantl 481 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
2725, 26fssd 6726 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):(𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‰)
28 fdm 6717 . . . . . . 7 ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):(𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‰ β†’ dom (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)))
2928eqcomd 2730 . . . . . 6 ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):(𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‰ β†’ (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = dom (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)))
30 fdm 6717 . . . . . . 7 ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰ β†’ dom (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉)
3130eqeq2d 2735 . . . . . 6 ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰ β†’ ((𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = dom (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)) ↔ (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉))
3229, 31syl5ibcom 244 . . . . 5 ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):(𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‰ β†’ ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰ β†’ (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉))
33 feq2 6690 . . . . . 6 ((𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉 β†’ ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):(𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‰ ↔ (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰))
3433biimpcd 248 . . . . 5 ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):(𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‰ β†’ ((𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉 β†’ (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰))
3532, 34impbid 211 . . . 4 ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):(𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‰ β†’ ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰ ↔ (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉))
3627, 35syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰ ↔ (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉))
3736pm5.32da 578 . 2 (π‘Š ∈ PreHil β†’ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰) ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉)))
386, 37bitrid 283 1 (π‘Š ∈ PreHil β†’ (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941  dom cdm 5667  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  0gc0g 17390  SubGrpcsubg 19043  Cntzccntz 19227  LSSumclsm 19550  proj1cpj1 19551  Abelcabl 19697  LModclmod 20702  LSubSpclss 20774  PreHilcphl 21506  ocvcocv 21542  projcpj 21584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-lsm 19552  df-pj1 19553  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lmhm 20866  df-lvec 20947  df-sra 21017  df-rgmod 21018  df-phl 21508  df-ocv 21545  df-pj 21587
This theorem is referenced by:  pjff  21596  pjf2  21598  pjfo  21599  pjcss  21600  ocvpj  21601  ishil2  21603  pjth2  25312
  Copyright terms: Public domain W3C validator