Theorem pjdm2 20400

Description: A subspace is in the domain of the projection function iff the subspace admits a projection decomposition of the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjdm2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
pjdm2.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pjdm2.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
pjdm2.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
pjdm2.k	⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pjdm2	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉)))

Proof of Theorem pjdm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjdm2.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		pjdm2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
3		pjdm2.o	. . 3 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
4		eqid 2798	. . 3 ⊢ (proj1‘𝑊) = (proj1‘𝑊)
5		pjdm2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	pjdm 20396	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉))
7		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
8		pjdm2.s	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
9		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
10		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
11		phllmod 20319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
12	11	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑊 ∈ LMod)
13	2	lsssssubg 19723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
15		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇 ∈ 𝐿)
16	14, 15	sseldd 3916	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
17	1, 2	lssss 19701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → 𝑇 ⊆ 𝑉)
18	1, 3, 2	ocvlss 20361	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑇) ∈ 𝐿)
19	17, 18	sylan2 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → ( ⊥ ‘𝑇) ∈ 𝐿)
20	14, 19	sseldd 3916	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → ( ⊥ ‘𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊))
21	3, 2, 9	ocvin 20363	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇 ∩ ( ⊥ ‘𝑇)) = {(0g‘𝑊)})
22		lmodabl 19674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
23	12, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑊 ∈ Abel)
24	10, 23, 16, 20	ablcntzd 18970	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑇)))
25	7, 8, 9, 10, 16, 20, 21, 24, 4	pj1f 18815	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):(𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇))⟶𝑇)
26	17	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
27	25, 26	fssd 6502	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):(𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇))⟶𝑉)
28		fdm 6495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):(𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇))⟶𝑉 → dom (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)) = (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)))
29	28	eqcomd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):(𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇))⟶𝑉 → (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = dom (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)))
30		fdm 6495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉 → dom (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉)
31	30	eqeq2d 2809	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉 → ((𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = dom (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)) ↔ (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉))
32	29, 31	syl5ibcom 248	. . . . 5 ⊢ ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):(𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇))⟶𝑉 → ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉 → (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉))
33		feq2 6469	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉 → ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):(𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇))⟶𝑉 ↔ (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉))
34	33	biimpcd 252	. . . . 5 ⊢ ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):(𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇))⟶𝑉 → ((𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉 → (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉))
35	32, 34	impbid 215	. . . 4 ⊢ ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):(𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇))⟶𝑉 → ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉 ↔ (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉))
36	27, 35	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉 ↔ (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉))
37	36	pm5.32da 582	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉) ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉)))
38	6, 37	syl5bb 286	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  dom cdm 5519  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  0_gc0g 16705  SubGrpcsubg 18265  Cntzccntz 18437  LSSumclsm 18751  proj₁cpj1 18752  Abelcabl 18899  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  PreHilcphl 20313  ocvcocv 20349  projcpj 20389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-lsm 18753  df-pj1 18754  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lmhm 19787  df-lvec 19868  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-phl 20315  df-ocv 20352  df-pj 20392

This theorem is referenced by:  pjff  20401  pjf2  20403  pjfo  20404  pjcss  20405  ocvpj  20406  ishil2  20408  pjth2  24044