MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjdm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjdm2 21117
Description: A subspace is in the domain of the projection function iff the subspace admits a projection decomposition of the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjdm2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
pjdm2.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pjdm2.o = (ocv‘𝑊)
pjdm2.s = (LSSum‘𝑊)
pjdm2.k 𝐾 = (proj‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
pjdm2 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇𝐿 ∧ (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉)))

Proof of Theorem pjdm2
StepHypRef Expression
1 pjdm2.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 pjdm2.l . . 3 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
3 pjdm2.o . . 3 = (ocv‘𝑊)
4 eqid 2736 . . 3 (proj1𝑊) = (proj1𝑊)
5 pjdm2.k . . 3 𝐾 = (proj‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5pjdm 21113 . 2 (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇𝐿 ∧ (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉))
7 eqid 2736 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
8 pjdm2.s . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
9 eqid 2736 . . . . . 6 (0g𝑊) = (0g𝑊)
10 eqid 2736 . . . . . 6 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
11 phllmod 21034 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
1211adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝑊 ∈ LMod)
132lsssssubg 20419 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
15 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇𝐿)
1614, 15sseldd 3945 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
171, 2lssss 20397 . . . . . . . 8 (𝑇𝐿𝑇𝑉)
181, 3, 2ocvlss 21076 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝑉) → ( 𝑇) ∈ 𝐿)
1917, 18sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → ( 𝑇) ∈ 𝐿)
2014, 19sseldd 3945 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → ( 𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊))
213, 2, 9ocvin 21078 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇 ∩ ( 𝑇)) = {(0g𝑊)})
22 lmodabl 20369 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
2312, 22syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝑊 ∈ Abel)
2410, 23, 16, 20ablcntzd 19635 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘( 𝑇)))
257, 8, 9, 10, 16, 20, 21, 24, 4pj1f 19479 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑇)
2617adantl 482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇𝑉)
2725, 26fssd 6686 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉)
28 fdm 6677 . . . . . . 7 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉 → dom (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)) = (𝑇 ( 𝑇)))
2928eqcomd 2742 . . . . . 6 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉 → (𝑇 ( 𝑇)) = dom (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)))
30 fdm 6677 . . . . . . 7 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉 → dom (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)) = 𝑉)
3130eqeq2d 2747 . . . . . 6 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉 → ((𝑇 ( 𝑇)) = dom (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)) ↔ (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉))
3229, 31syl5ibcom 244 . . . . 5 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉 → ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉 → (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉))
33 feq2 6650 . . . . . 6 ((𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉 → ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉 ↔ (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉))
3433biimpcd 248 . . . . 5 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉 → ((𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉 → (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉))
3532, 34impbid 211 . . . 4 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉 → ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉 ↔ (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉))
3627, 35syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉 ↔ (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉))
3736pm5.32da 579 . 2 (𝑊 ∈ PreHil → ((𝑇𝐿 ∧ (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉) ↔ (𝑇𝐿 ∧ (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉)))
386, 37bitrid 282 1 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇𝐿 ∧ (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3910  dom cdm 5633  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  0gc0g 17321  SubGrpcsubg 18922  Cntzccntz 19095  LSSumclsm 19416  proj1cpj1 19417  Abelcabl 19563  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  PreHilcphl 21028  ocvcocv 21064  projcpj 21106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-lsm 19418  df-pj1 19419  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lmhm 20483  df-lvec 20564  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-phl 21030  df-ocv 21067  df-pj 21109
This theorem is referenced by:  pjff  21118  pjf2  21120  pjfo  21121  pjcss  21122  ocvpj  21123  ishil2  21125  pjth2  24804
  Copyright terms: Public domain W3C validator