MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjdm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjdm2 20520
Description: A subspace is in the domain of the projection function iff the subspace admits a projection decomposition of the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjdm2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
pjdm2.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pjdm2.o = (ocv‘𝑊)
pjdm2.s = (LSSum‘𝑊)
pjdm2.k 𝐾 = (proj‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
pjdm2 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇𝐿 ∧ (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉)))

Proof of Theorem pjdm2
StepHypRef Expression
1 pjdm2.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 pjdm2.l . . 3 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
3 pjdm2.o . . 3 = (ocv‘𝑊)
4 eqid 2738 . . 3 (proj1𝑊) = (proj1𝑊)
5 pjdm2.k . . 3 𝐾 = (proj‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5pjdm 20516 . 2 (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇𝐿 ∧ (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉))
7 eqid 2738 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
8 pjdm2.s . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
9 eqid 2738 . . . . . 6 (0g𝑊) = (0g𝑊)
10 eqid 2738 . . . . . 6 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
11 phllmod 20439 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
1211adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝑊 ∈ LMod)
132lsssssubg 19842 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
15 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇𝐿)
1614, 15sseldd 3876 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
171, 2lssss 19820 . . . . . . . 8 (𝑇𝐿𝑇𝑉)
181, 3, 2ocvlss 20481 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝑉) → ( 𝑇) ∈ 𝐿)
1917, 18sylan2 596 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → ( 𝑇) ∈ 𝐿)
2014, 19sseldd 3876 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → ( 𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊))
213, 2, 9ocvin 20483 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇 ∩ ( 𝑇)) = {(0g𝑊)})
22 lmodabl 19793 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
2312, 22syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝑊 ∈ Abel)
2410, 23, 16, 20ablcntzd 19089 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘( 𝑇)))
257, 8, 9, 10, 16, 20, 21, 24, 4pj1f 18934 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑇)
2617adantl 485 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇𝑉)
2725, 26fssd 6516 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉)
28 fdm 6507 . . . . . . 7 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉 → dom (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)) = (𝑇 ( 𝑇)))
2928eqcomd 2744 . . . . . 6 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉 → (𝑇 ( 𝑇)) = dom (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)))
30 fdm 6507 . . . . . . 7 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉 → dom (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)) = 𝑉)
3130eqeq2d 2749 . . . . . 6 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉 → ((𝑇 ( 𝑇)) = dom (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)) ↔ (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉))
3229, 31syl5ibcom 248 . . . . 5 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉 → ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉 → (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉))
33 feq2 6480 . . . . . 6 ((𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉 → ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉 ↔ (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉))
3433biimpcd 252 . . . . 5 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉 → ((𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉 → (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉))
3532, 34impbid 215 . . . 4 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉 → ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉 ↔ (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉))
3627, 35syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉 ↔ (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉))
3736pm5.32da 582 . 2 (𝑊 ∈ PreHil → ((𝑇𝐿 ∧ (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉) ↔ (𝑇𝐿 ∧ (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉)))
386, 37syl5bb 286 1 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇𝐿 ∧ (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wss 3841  dom cdm 5519  wf 6329  cfv 6333  (class class class)co 7164  Basecbs 16579  +gcplusg 16661  0gc0g 16809  SubGrpcsubg 18384  Cntzccntz 18556  LSSumclsm 18870  proj1cpj1 18871  Abelcabl 19018  LModclmod 19746  LSubSpclss 19815  PreHilcphl 20433  ocvcocv 20469  projcpj 20509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-0g 16811  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-subg 18387  df-ghm 18467  df-cntz 18558  df-lsm 18872  df-pj1 18873  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-lmod 19748  df-lss 19816  df-lmhm 19906  df-lvec 19987  df-sra 20056  df-rgmod 20057  df-phl 20435  df-ocv 20472  df-pj 20512
This theorem is referenced by:  pjff  20521  pjf2  20523  pjfo  20524  pjcss  20525  ocvpj  20526  ishil2  20528  pjth2  24185
  Copyright terms: Public domain W3C validator