Theorem pjdm2 21911

Description: A subspace is in the domain of the projection function iff the subspace admits a projection decomposition of the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjdm2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
pjdm2.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pjdm2.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
pjdm2.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
pjdm2.k	⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pjdm2	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉)))

Proof of Theorem pjdm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjdm2.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		pjdm2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
3		pjdm2.o	. . 3 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
4		eqid 2765	. . 3 ⊢ (proj1‘𝑊) = (proj1‘𝑊)
5		pjdm2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	pjdm 21907	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉))
7		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
8		pjdm2.s	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
9		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
10		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
11		phllmod 21830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
12	11	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑊 ∈ LMod)
13	2	lsssssubg 21129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
14	12, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
15		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇 ∈ 𝐿)
16	14, 15	sseldd 3939	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
17	1, 2	lssss 21107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → 𝑇 ⊆ 𝑉)
18	1, 3, 2	ocvlss 21872	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑇) ∈ 𝐿)
19	17, 18	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → ( ⊥ ‘𝑇) ∈ 𝐿)
20	14, 19	sseldd 3939	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → ( ⊥ ‘𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊))
21	3, 2, 9	ocvin 21874	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇 ∩ ( ⊥ ‘𝑇)) = {(0g‘𝑊)})
22		lmodabl 21080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
23	12, 22	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑊 ∈ Abel)
24	10, 23, 16, 20	ablcntzd 19971	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑇)))
25	7, 8, 9, 10, 16, 20, 21, 24, 4	pj1f 19811	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):(𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇))⟶𝑇)
26	17	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
27	25, 26	fssd 6727	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):(𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇))⟶𝑉)
28		fdm 6719	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):(𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇))⟶𝑉 → dom (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)) = (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)))
29	28	eqcomd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):(𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇))⟶𝑉 → (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = dom (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)))
30		fdm 6719	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉 → dom (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉)
31	30	eqeq2d 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉 → ((𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = dom (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)) ↔ (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉))
32	29, 31	syl5ibcom 248	. . . . 5 ⊢ ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):(𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇))⟶𝑉 → ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉 → (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉))
33		feq2 6688	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉 → ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):(𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇))⟶𝑉 ↔ (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉))
34	33	biimpcd 252	. . . . 5 ⊢ ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):(𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇))⟶𝑉 → ((𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉 → (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉))
35	32, 34	impbid 215	. . . 4 ⊢ ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):(𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇))⟶𝑉 → ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉 ↔ (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉))
36	27, 35	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉 ↔ (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉))
37	36	pm5.32da 590	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉) ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉)))
38	6, 37	bitrid 286	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  dom cdm 5663  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17291  +_gcplusg 17332  0_gc0g 17514  SubGrpcsubg 19230  Cntzccntz 19429  LSSumclsm 19748  proj₁cpj1 19749  Abelcabl 19895  LModclmod 21031  LSubSpclss 21102  PreHilcphl 21824  ocvcocv 21860  projcpj 21900

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-subg 19233  df-ghm 19328  df-cntz 19431  df-lsm 19750  df-pj1 19751  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-lmhm 21193  df-lvec 21274  df-sra 21344  df-rgmod 21345  df-phl 21826  df-ocv 21863  df-pj 21903

This theorem is used by:  pjff  21912  pjf2  21914  pjfo  21915  pjcss  21916  ocvpj  21917  ishil2  21919  pjth2  25650