MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjdm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjdm2 21133
Description: A subspace is in the domain of the projection function iff the subspace admits a projection decomposition of the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjdm2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
pjdm2.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
pjdm2.o βŠ₯ = (ocvβ€˜π‘Š)
pjdm2.s βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
pjdm2.k 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
pjdm2 (π‘Š ∈ PreHil β†’ (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉)))

Proof of Theorem pjdm2
StepHypRef Expression
1 pjdm2.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 pjdm2.l . . 3 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3 pjdm2.o . . 3 βŠ₯ = (ocvβ€˜π‘Š)
4 eqid 2733 . . 3 (proj1β€˜π‘Š) = (proj1β€˜π‘Š)
5 pjdm2.k . . 3 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
61, 2, 3, 4, 5pjdm 21129 . 2 (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰))
7 eqid 2733 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
8 pjdm2.s . . . . . 6 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
9 eqid 2733 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
10 eqid 2733 . . . . . 6 (Cntzβ€˜π‘Š) = (Cntzβ€˜π‘Š)
11 phllmod 21050 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
1211adantr 482 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ π‘Š ∈ LMod)
132lsssssubg 20434 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐿 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝐿 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
15 simpr 486 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇 ∈ 𝐿)
1614, 15sseldd 3946 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
171, 2lssss 20412 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ 𝐿 β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
181, 3, 2ocvlss 21092 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‡) ∈ 𝐿)
1917, 18sylan2 594 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‡) ∈ 𝐿)
2014, 19sseldd 3946 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
213, 2, 9ocvin 21094 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (𝑇 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = {(0gβ€˜π‘Š)})
22 lmodabl 20384 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
2312, 22syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ π‘Š ∈ Abel)
2410, 23, 16, 20ablcntzd 19640 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇 βŠ† ((Cntzβ€˜π‘Š)β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‡)))
257, 8, 9, 10, 16, 20, 21, 24, 4pj1f 19484 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):(𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‡)
2617adantl 483 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
2725, 26fssd 6687 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):(𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‰)
28 fdm 6678 . . . . . . 7 ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):(𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‰ β†’ dom (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)))
2928eqcomd 2739 . . . . . 6 ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):(𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‰ β†’ (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = dom (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)))
30 fdm 6678 . . . . . . 7 ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰ β†’ dom (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉)
3130eqeq2d 2744 . . . . . 6 ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰ β†’ ((𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = dom (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)) ↔ (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉))
3229, 31syl5ibcom 244 . . . . 5 ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):(𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‰ β†’ ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰ β†’ (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉))
33 feq2 6651 . . . . . 6 ((𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉 β†’ ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):(𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‰ ↔ (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰))
3433biimpcd 249 . . . . 5 ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):(𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‰ β†’ ((𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉 β†’ (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰))
3532, 34impbid 211 . . . 4 ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):(𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‰ β†’ ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰ ↔ (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉))
3627, 35syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰ ↔ (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉))
3736pm5.32da 580 . 2 (π‘Š ∈ PreHil β†’ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰) ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉)))
386, 37bitrid 283 1 (π‘Š ∈ PreHil β†’ (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911  dom cdm 5634  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  0gc0g 17326  SubGrpcsubg 18927  Cntzccntz 19100  LSSumclsm 19421  proj1cpj1 19422  Abelcabl 19568  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407  PreHilcphl 21044  ocvcocv 21080  projcpj 21122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-lsm 19423  df-pj1 19424  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lmhm 20498  df-lvec 20579  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-phl 21046  df-ocv 21083  df-pj 21125
This theorem is referenced by:  pjff  21134  pjf2  21136  pjfo  21137  pjcss  21138  ocvpj  21139  ishil2  21141  pjth2  24820
  Copyright terms: Public domain W3C validator