MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjdm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjdm2 21644
Description: A subspace is in the domain of the projection function iff the subspace admits a projection decomposition of the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjdm2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
pjdm2.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
pjdm2.o βŠ₯ = (ocvβ€˜π‘Š)
pjdm2.s βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
pjdm2.k 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
pjdm2 (π‘Š ∈ PreHil β†’ (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉)))

Proof of Theorem pjdm2
StepHypRef Expression
1 pjdm2.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 pjdm2.l . . 3 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3 pjdm2.o . . 3 βŠ₯ = (ocvβ€˜π‘Š)
4 eqid 2728 . . 3 (proj1β€˜π‘Š) = (proj1β€˜π‘Š)
5 pjdm2.k . . 3 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
61, 2, 3, 4, 5pjdm 21640 . 2 (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰))
7 eqid 2728 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
8 pjdm2.s . . . . . 6 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
9 eqid 2728 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
10 eqid 2728 . . . . . 6 (Cntzβ€˜π‘Š) = (Cntzβ€˜π‘Š)
11 phllmod 21561 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
1211adantr 480 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ π‘Š ∈ LMod)
132lsssssubg 20841 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐿 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝐿 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
15 simpr 484 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇 ∈ 𝐿)
1614, 15sseldd 3981 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
171, 2lssss 20819 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ 𝐿 β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
181, 3, 2ocvlss 21603 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‡) ∈ 𝐿)
1917, 18sylan2 592 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‡) ∈ 𝐿)
2014, 19sseldd 3981 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
213, 2, 9ocvin 21605 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (𝑇 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = {(0gβ€˜π‘Š)})
22 lmodabl 20791 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
2312, 22syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ π‘Š ∈ Abel)
2410, 23, 16, 20ablcntzd 19811 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇 βŠ† ((Cntzβ€˜π‘Š)β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‡)))
257, 8, 9, 10, 16, 20, 21, 24, 4pj1f 19651 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):(𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‡)
2617adantl 481 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
2725, 26fssd 6740 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):(𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‰)
28 fdm 6731 . . . . . . 7 ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):(𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‰ β†’ dom (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)))
2928eqcomd 2734 . . . . . 6 ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):(𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‰ β†’ (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = dom (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)))
30 fdm 6731 . . . . . . 7 ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰ β†’ dom (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉)
3130eqeq2d 2739 . . . . . 6 ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰ β†’ ((𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = dom (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)) ↔ (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉))
3229, 31syl5ibcom 244 . . . . 5 ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):(𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‰ β†’ ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰ β†’ (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉))
33 feq2 6704 . . . . . 6 ((𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉 β†’ ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):(𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‰ ↔ (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰))
3433biimpcd 248 . . . . 5 ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):(𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‰ β†’ ((𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉 β†’ (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰))
3532, 34impbid 211 . . . 4 ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):(𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‰ β†’ ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰ ↔ (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉))
3627, 35syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰ ↔ (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉))
3736pm5.32da 578 . 2 (π‘Š ∈ PreHil β†’ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇(proj1β€˜π‘Š)( βŠ₯ β€˜π‘‡)):π‘‰βŸΆπ‘‰) ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉)))
386, 37bitrid 283 1 (π‘Š ∈ PreHil β†’ (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3947  dom cdm 5678  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  0gc0g 17420  SubGrpcsubg 19074  Cntzccntz 19265  LSSumclsm 19588  proj1cpj1 19589  Abelcabl 19735  LModclmod 20742  LSubSpclss 20814  PreHilcphl 21555  ocvcocv 21591  projcpj 21633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-lsm 19590  df-pj1 19591  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lmhm 20906  df-lvec 20987  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-phl 21557  df-ocv 21594  df-pj 21636
This theorem is referenced by:  pjff  21645  pjf2  21647  pjfo  21648  pjcss  21649  ocvpj  21650  ishil2  21652  pjth2  25367
  Copyright terms: Public domain W3C validator