Theorem pjdm2 21760

Description: A subspace is in the domain of the projection function iff the subspace admits a projection decomposition of the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjdm2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
pjdm2.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pjdm2.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
pjdm2.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
pjdm2.k	⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pjdm2	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉)))

Proof of Theorem pjdm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjdm2.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		pjdm2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
3		pjdm2.o	. . 3 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
4		eqid 2762	. . 3 ⊢ (proj1‘𝑊) = (proj1‘𝑊)
5		pjdm2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	pjdm 21756	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉))
7		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
8		pjdm2.s	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
9		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
10		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
11		phllmod 21679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
12	11	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑊 ∈ LMod)
13	2	lsssssubg 21022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
15		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇 ∈ 𝐿)
16	14, 15	sseldd 3937	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
17	1, 2	lssss 21000	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → 𝑇 ⊆ 𝑉)
18	1, 3, 2	ocvlss 21721	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑇) ∈ 𝐿)
19	17, 18	sylan2 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → ( ⊥ ‘𝑇) ∈ 𝐿)
20	14, 19	sseldd 3937	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → ( ⊥ ‘𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊))
21	3, 2, 9	ocvin 21723	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇 ∩ ( ⊥ ‘𝑇)) = {(0g‘𝑊)})
22		lmodabl 20973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
23	12, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑊 ∈ Abel)
24	10, 23, 16, 20	ablcntzd 19897	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑇)))
25	7, 8, 9, 10, 16, 20, 21, 24, 4	pj1f 19737	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):(𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇))⟶𝑇)
26	17	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
27	25, 26	fssd 6709	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):(𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇))⟶𝑉)
28		fdm 6701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):(𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇))⟶𝑉 → dom (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)) = (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)))
29	28	eqcomd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):(𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇))⟶𝑉 → (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = dom (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)))
30		fdm 6701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉 → dom (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉)
31	30	eqeq2d 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉 → ((𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = dom (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)) ↔ (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉))
32	29, 31	syl5ibcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):(𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇))⟶𝑉 → ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉 → (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉))
33		feq2 6670	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉 → ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):(𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇))⟶𝑉 ↔ (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉))
34	33	biimpcd 251	. . . . 5 ⊢ ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):(𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇))⟶𝑉 → ((𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉 → (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉))
35	32, 34	impbid 214	. . . 4 ⊢ ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):(𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇))⟶𝑉 → ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉 ↔ (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉))
36	27, 35	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → ((𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉 ↔ (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉))
37	36	pm5.32da 587	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇(proj1‘𝑊)( ⊥ ‘𝑇)):𝑉⟶𝑉) ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉)))
38	6, 37	bitrid 285	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝑇 ⊕ ( ⊥ ‘𝑇)) = 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  dom cdm 5647  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286  0_gc0g 17468  SubGrpcsubg 19162  Cntzccntz 19355  LSSumclsm 19674  proj₁cpj1 19675  Abelcabl 19821  LModclmod 20924  LSubSpclss 20995  PreHilcphl 21673  ocvcocv 21709  projcpj 21749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-ghm 19254  df-cntz 19357  df-lsm 19676  df-pj1 19677  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20228  df-ring 20281  df-lmod 20926  df-lss 20996  df-lmhm 21086  df-lvec 21167  df-sra 21237  df-rgmod 21238  df-phl 21675  df-ocv 21712  df-pj 21752

This theorem is referenced by:  pjff  21761  pjf2  21763  pjfo  21764  pjcss  21765  ocvpj  21766  ishil2  21768  pjth2  25499