MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjdm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjdm2 20771
Description: A subspace is in the domain of the projection function iff the subspace admits a projection decomposition of the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjdm2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
pjdm2.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pjdm2.o = (ocv‘𝑊)
pjdm2.s = (LSSum‘𝑊)
pjdm2.k 𝐾 = (proj‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
pjdm2 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇𝐿 ∧ (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉)))

Proof of Theorem pjdm2
StepHypRef Expression
1 pjdm2.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 pjdm2.l . . 3 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
3 pjdm2.o . . 3 = (ocv‘𝑊)
4 eqid 2824 . . 3 (proj1𝑊) = (proj1𝑊)
5 pjdm2.k . . 3 𝐾 = (proj‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5pjdm 20767 . 2 (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇𝐿 ∧ (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉))
7 eqid 2824 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
8 pjdm2.s . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
9 eqid 2824 . . . . . 6 (0g𝑊) = (0g𝑊)
10 eqid 2824 . . . . . 6 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
11 phllmod 20690 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
1211adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝑊 ∈ LMod)
132lsssssubg 19652 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
15 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇𝐿)
1614, 15sseldd 3971 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
171, 2lssss 19630 . . . . . . . 8 (𝑇𝐿𝑇𝑉)
181, 3, 2ocvlss 20732 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝑉) → ( 𝑇) ∈ 𝐿)
1917, 18sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → ( 𝑇) ∈ 𝐿)
2014, 19sseldd 3971 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → ( 𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊))
213, 2, 9ocvin 20734 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇 ∩ ( 𝑇)) = {(0g𝑊)})
22 lmodabl 19603 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
2312, 22syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝑊 ∈ Abel)
2410, 23, 16, 20ablcntzd 18899 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘( 𝑇)))
257, 8, 9, 10, 16, 20, 21, 24, 4pj1f 18745 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑇)
2617adantl 482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇𝑉)
2725, 26fssd 6524 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉)
28 fdm 6518 . . . . . . 7 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉 → dom (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)) = (𝑇 ( 𝑇)))
2928eqcomd 2830 . . . . . 6 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉 → (𝑇 ( 𝑇)) = dom (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)))
30 fdm 6518 . . . . . . 7 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉 → dom (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)) = 𝑉)
3130eqeq2d 2835 . . . . . 6 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉 → ((𝑇 ( 𝑇)) = dom (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)) ↔ (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉))
3229, 31syl5ibcom 246 . . . . 5 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉 → ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉 → (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉))
33 feq2 6492 . . . . . 6 ((𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉 → ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉 ↔ (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉))
3433biimpcd 250 . . . . 5 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉 → ((𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉 → (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉))
3532, 34impbid 213 . . . 4 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉 → ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉 ↔ (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉))
3627, 35syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉 ↔ (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉))
3736pm5.32da 579 . 2 (𝑊 ∈ PreHil → ((𝑇𝐿 ∧ (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉) ↔ (𝑇𝐿 ∧ (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉)))
386, 37syl5bb 284 1 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇𝐿 ∧ (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2106  wss 3939  dom cdm 5553  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  0gc0g 16705  SubGrpcsubg 18205  Cntzccntz 18377  LSSumclsm 18681  proj1cpj1 18682  Abelcabl 18829  LModclmod 19556  LSubSpclss 19625  PreHilcphl 20684  ocvcocv 20720  projcpj 20760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-sbg 18040  df-subg 18208  df-ghm 18288  df-cntz 18379  df-lsm 18683  df-pj1 18684  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-lmod 19558  df-lss 19626  df-lmhm 19716  df-lvec 19797  df-sra 19866  df-rgmod 19867  df-phl 20686  df-ocv 20723  df-pj 20763
This theorem is referenced by:  pjff  20772  pjf2  20774  pjfo  20775  pjcss  20776  ocvpj  20777  ishil2  20779  pjth2  23958
  Copyright terms: Public domain W3C validator