MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjdm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjdm2 20272
Description: A subspace is in the domain of the projection function iff the subspace admits a projection decomposition of the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjdm2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
pjdm2.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pjdm2.o = (ocv‘𝑊)
pjdm2.s = (LSSum‘𝑊)
pjdm2.k 𝐾 = (proj‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
pjdm2 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇𝐿 ∧ (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉)))

Proof of Theorem pjdm2
StepHypRef Expression
1 pjdm2.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 pjdm2.l . . 3 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
3 pjdm2.o . . 3 = (ocv‘𝑊)
4 eqid 2771 . . 3 (proj1𝑊) = (proj1𝑊)
5 pjdm2.k . . 3 𝐾 = (proj‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5pjdm 20268 . 2 (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇𝐿 ∧ (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉))
7 eqid 2771 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
8 pjdm2.s . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
9 eqid 2771 . . . . . 6 (0g𝑊) = (0g𝑊)
10 eqid 2771 . . . . . 6 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
11 phllmod 20192 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
1211adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝑊 ∈ LMod)
132lsssssubg 19171 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
15 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇𝐿)
1614, 15sseldd 3753 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
171, 2lssss 19147 . . . . . . . 8 (𝑇𝐿𝑇𝑉)
181, 3, 2ocvlss 20233 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝑉) → ( 𝑇) ∈ 𝐿)
1917, 18sylan2 580 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → ( 𝑇) ∈ 𝐿)
2014, 19sseldd 3753 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → ( 𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊))
213, 2, 9ocvin 20235 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇 ∩ ( 𝑇)) = {(0g𝑊)})
22 lmodabl 19120 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
2312, 22syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝑊 ∈ Abel)
2410, 23, 16, 20ablcntzd 18467 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘( 𝑇)))
257, 8, 9, 10, 16, 20, 21, 24, 4pj1f 18317 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑇)
2617adantl 467 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇𝑉)
2725, 26fssd 6197 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉)
28 fdm 6191 . . . . . . 7 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉 → dom (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)) = (𝑇 ( 𝑇)))
2928eqcomd 2777 . . . . . 6 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉 → (𝑇 ( 𝑇)) = dom (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)))
30 fdm 6191 . . . . . . 7 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉 → dom (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)) = 𝑉)
3130eqeq2d 2781 . . . . . 6 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉 → ((𝑇 ( 𝑇)) = dom (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)) ↔ (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉))
3229, 31syl5ibcom 235 . . . . 5 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉 → ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉 → (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉))
33 feq2 6167 . . . . . 6 ((𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉 → ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉 ↔ (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉))
3433biimpcd 239 . . . . 5 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉 → ((𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉 → (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉))
3532, 34impbid 202 . . . 4 ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):(𝑇 ( 𝑇))⟶𝑉 → ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉 ↔ (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉))
3627, 35syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝐿) → ((𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉 ↔ (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉))
3736pm5.32da 568 . 2 (𝑊 ∈ PreHil → ((𝑇𝐿 ∧ (𝑇(proj1𝑊)( 𝑇)):𝑉𝑉) ↔ (𝑇𝐿 ∧ (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉)))
386, 37syl5bb 272 1 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇𝐿 ∧ (𝑇 ( 𝑇)) = 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  dom cdm 5249  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308  SubGrpcsubg 17796  Cntzccntz 17955  LSSumclsm 18256  proj1cpj1 18257  Abelcabl 18401  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142  PreHilcphl 20186  ocvcocv 20221  projcpj 20261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-lsm 18258  df-pj1 18259  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lmhm 19235  df-lvec 19316  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-phl 20188  df-ocv 20224  df-pj 20264
This theorem is referenced by:  pjff  20273  pjf2  20275  pjfo  20276  pjcss  20277  ocvpj  20278  ishil2  20280  pjth2  23430
  Copyright terms: Public domain W3C validator