Theorem ip0l 20841

Description: Inner product with a zero first argument. Part of proof of Theorem 6.44 of [Ponnusamy] p. 361. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ip0l.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
ip0l.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ip0l	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem ip0l

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllmod 20835	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodgrp 20130	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
3		phllmhm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		ip0l.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5	3, 4	grpidcl 18607	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑉)
6	1, 2, 5	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 0 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝑉)
8		oveq1 7282	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 , 𝐴) = ( 0 , 𝐴))
9		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))
10		ovex 7308	. . . 4 ⊢ ( 0 , 𝐴) ∈ V
11	8, 9, 10	fvmpt 6875	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))‘ 0 ) = ( 0 , 𝐴))
12	7, 11	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))‘ 0 ) = ( 0 , 𝐴))
13		phlsrng.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14		phllmhm.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
15	13, 14, 3, 9	phllmhm 20837	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
16		lmghm 20293	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)))
17		ip0l.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
18		rlm0 20467	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘(ringLMod‘𝐹))
19	17, 18	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘(ringLMod‘𝐹))
20	4, 19	ghmid 18840	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))‘ 0 ) = 𝑍)
21	15, 16, 20	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))‘ 0 ) = 𝑍)
22	12, 21	eqtr3d 2780	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965  ·_𝑖cip 16967  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577   GrpHom cghm 18831  LModclmod 20123   LMHom clmhm 20281  ringLModcrglmod 20431  PreHilcphl 20829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-ghm 18832  df-lmod 20125  df-lmhm 20284  df-lvec 20365  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-phl 20831

This theorem is referenced by:  ip0r  20842  ipeq0  20843  ocvlss  20877  cphip0l  24366