MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip0l Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip0l 21632
Description: Inner product with a zero first argument. Part of proof of Theorem 6.44 of [Ponnusamy] p. 361. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ip0l.z 𝑍 = (0g𝐹)
ip0l.o 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
ip0l ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem ip0l
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phllmod 21626 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2 lmodgrp 20843 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
3 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 ip0l.o . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
53, 4grpidcl 18960 . . . . 5 (𝑊 ∈ Grp → 0𝑉)
61, 2, 53syl 18 . . . 4 (𝑊 ∈ PreHil → 0𝑉)
76adantr 479 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → 0𝑉)
8 oveq1 7431 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑥 , 𝐴) = ( 0 , 𝐴))
9 eqid 2726 . . . 4 (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) = (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))
10 ovex 7457 . . . 4 ( 0 , 𝐴) ∈ V
118, 9, 10fvmpt 7009 . . 3 ( 0𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))‘ 0 ) = ( 0 , 𝐴))
127, 11syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))‘ 0 ) = ( 0 , 𝐴))
13 phlsrng.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14 phllmhm.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
1513, 14, 3, 9phllmhm 21628 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
16 lmghm 21009 . . 3 ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)))
17 ip0l.z . . . . 5 𝑍 = (0g𝐹)
18 rlm0 21181 . . . . 5 (0g𝐹) = (0g‘(ringLMod‘𝐹))
1917, 18eqtri 2754 . . . 4 𝑍 = (0g‘(ringLMod‘𝐹))
204, 19ghmid 19216 . . 3 ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))‘ 0 ) = 𝑍)
2115, 16, 203syl 18 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))‘ 0 ) = 𝑍)
2212, 21eqtr3d 2768 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  cmpt 5236  cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  Scalarcsca 17269  ·𝑖cip 17271  0gc0g 17454  Grpcgrp 18928   GrpHom cghm 19206  LModclmod 20836   LMHom clmhm 20997  ringLModcrglmod 21150  PreHilcphl 21620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-plusg 17279  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-ghm 19207  df-lmod 20838  df-lmhm 21000  df-lvec 21081  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-phl 21622
This theorem is referenced by:  ip0r  21633  ipeq0  21634  ocvlss  21668  cphip0l  25221
  Copyright terms: Public domain W3C validator