Theorem ip0l 20344

Description: Inner product with a zero first argument. Part of proof of Theorem 6.44 of [Ponnusamy] p. 361. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ip0l.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
ip0l.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ip0l	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem ip0l

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllmod 20338	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodgrp 19227	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
3		phllmhm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		ip0l.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5	3, 4	grpidcl 17805	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑉)
6	1, 2, 5	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 0 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝑉)
8		oveq1 6913	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 , 𝐴) = ( 0 , 𝐴))
9		eqid 2826	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))
10		ovex 6938	. . . 4 ⊢ ( 0 , 𝐴) ∈ V
11	8, 9, 10	fvmpt 6530	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))‘ 0 ) = ( 0 , 𝐴))
12	7, 11	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))‘ 0 ) = ( 0 , 𝐴))
13		phlsrng.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14		phllmhm.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
15	13, 14, 3, 9	phllmhm 20340	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
16		lmghm 19391	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)))
17		ip0l.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
18		rlm0 19559	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘(ringLMod‘𝐹))
19	17, 18	eqtri 2850	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘(ringLMod‘𝐹))
20	4, 19	ghmid 18018	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))‘ 0 ) = 𝑍)
21	15, 16, 20	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))‘ 0 ) = 𝑍)
22	12, 21	eqtr3d 2864	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ↦ cmpt 4953  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  Basecbs 16223  Scalarcsca 16309  ·_𝑖cip 16311  0_gc0g 16454  Grpcgrp 17777   GrpHom cghm 18009  LModclmod 19220   LMHom clmhm 19379  ringLModcrglmod 19531  PreHilcphl 20332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-plusg 16319  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-0g 16456  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-grp 17780  df-ghm 18010  df-lmod 19222  df-lmhm 19382  df-lvec 19463  df-sra 19534  df-rgmod 19535  df-phl 20334

This theorem is referenced by:  ip0r  20345  ipeq0  20346  ocvlss  20380  cphip0l  23372