Theorem ip0l 21850

Description: Inner product with a zero first argument. Part of proof of Theorem 6.44 of [Ponnusamy] p. 361. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ip0l.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
ip0l.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ip0l	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem ip0l

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllmod 21844	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodgrp 21052	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
3		phllmhm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		ip0l.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5	3, 4	grpidcl 19090	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑉)
6	1, 2, 5	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 0 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝑉)
8		oveq1 7421	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 , 𝐴) = ( 0 , 𝐴))
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))
10		ovex 7447	. . . 4 ⊢ ( 0 , 𝐴) ∈ V
11	8, 9, 10	fvmpt 6987	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))‘ 0 ) = ( 0 , 𝐴))
12	7, 11	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))‘ 0 ) = ( 0 , 𝐴))
13		phlsrng.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14		phllmhm.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
15	13, 14, 3, 9	phllmhm 21846	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
16		lmghm 21216	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)))
17		ip0l.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
18		rlm0 21380	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘(ringLMod‘𝐹))
19	17, 18	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘(ringLMod‘𝐹))
20	4, 19	ghmid 19350	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))‘ 0 ) = 𝑍)
21	15, 16, 20	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))‘ 0 ) = 𝑍)
22	12, 21	eqtr3d 2797	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  Scalarcsca 17346  ·_𝑖cip 17348  0_gc0g 17525  Grpcgrp 19058   GrpHom cghm 19341  LModclmod 21045   LMHom clmhm 21204  ringLModcrglmod 21357  PreHilcphl 21838

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-plusg 17356  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-0g 17527  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-grp 19061  df-ghm 19342  df-lmod 21047  df-lmhm 21207  df-lvec 21288  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-phl 21840

This theorem is used by:  ip0r  21851  ipeq0  21852  ocvlss  21886  cphip0l  25431