Theorem ip0l 20785

Description: Inner product with a zero first argument. Part of proof of Theorem 6.44 of [Ponnusamy] p. 361. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ip0l.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
ip0l.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ip0l	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem ip0l

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllmod 20779	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodgrp 20074	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
3		phllmhm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		ip0l.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5	3, 4	grpidcl 18551	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑉)
6	1, 2, 5	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 0 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝑉)
8		oveq1 7267	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 , 𝐴) = ( 0 , 𝐴))
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))
10		ovex 7293	. . . 4 ⊢ ( 0 , 𝐴) ∈ V
11	8, 9, 10	fvmpt 6862	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))‘ 0 ) = ( 0 , 𝐴))
12	7, 11	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))‘ 0 ) = ( 0 , 𝐴))
13		phlsrng.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14		phllmhm.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
15	13, 14, 3, 9	phllmhm 20781	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
16		lmghm 20237	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)))
17		ip0l.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
18		rlm0 20411	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘(ringLMod‘𝐹))
19	17, 18	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘(ringLMod‘𝐹))
20	4, 19	ghmid 18784	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))‘ 0 ) = 𝑍)
21	15, 16, 20	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))‘ 0 ) = 𝑍)
22	12, 21	eqtr3d 2779	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5158  ‘cfv 6423  (class class class)co 7260  Basecbs 16856  Scalarcsca 16909  ·_𝑖cip 16911  0_gc0g 17094  Grpcgrp 18521   GrpHom cghm 18775  LModclmod 20067   LMHom clmhm 20225  ringLModcrglmod 20375  PreHilcphl 20773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-cnex 10874  ax-resscn 10875  ax-1cn 10876  ax-icn 10877  ax-addcl 10878  ax-addrcl 10879  ax-mulcl 10880  ax-mulrcl 10881  ax-mulcom 10882  ax-addass 10883  ax-mulass 10884  ax-distr 10885  ax-i2m1 10886  ax-1ne0 10887  ax-1rid 10888  ax-rnegex 10889  ax-rrecex 10890  ax-cnre 10891  ax-pre-lttri 10892  ax-pre-lttrn 10893  ax-pre-ltadd 10894  ax-pre-mulgt0 10895

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6259  df-on 6260  df-lim 6261  df-suc 6262  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-riota 7217  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-om 7693  df-2nd 7810  df-frecs 8073  df-wrecs 8104  df-recs 8178  df-rdg 8217  df-er 8461  df-en 8697  df-dom 8698  df-sdom 8699  df-pnf 10958  df-mnf 10959  df-xr 10960  df-ltxr 10961  df-le 10962  df-sub 11153  df-neg 11154  df-nn 11920  df-2 11982  df-3 11983  df-4 11984  df-5 11985  df-6 11986  df-7 11987  df-8 11988  df-sets 16809  df-slot 16827  df-ndx 16839  df-base 16857  df-plusg 16919  df-sca 16922  df-vsca 16923  df-ip 16924  df-0g 17096  df-mgm 18270  df-sgrp 18319  df-mnd 18330  df-grp 18524  df-ghm 18776  df-lmod 20069  df-lmhm 20228  df-lvec 20309  df-sra 20378  df-rgmod 20379  df-phl 20775

This theorem is referenced by:  ip0r  20786  ipeq0  20787  ocvlss  20821  cphip0l  24309