MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip0r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip0r 21174
Description: Inner product with a zero second argument. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ip0l.z 𝑍 = (0g𝐹)
ip0l.o 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
ip0r ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 , 0 ) = 𝑍)

Proof of Theorem ip0r
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 phllmhm.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
3 phllmhm.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 ip0l.z . . . 4 𝑍 = (0g𝐹)
5 ip0l.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
61, 2, 3, 4, 5ip0l 21173 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)
76fveq2d 6892 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = ((*𝑟𝐹)‘𝑍))
8 phllmod 21167 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
98adantr 482 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
103, 5lmod0vcl 20489 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 0𝑉)
119, 10syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → 0𝑉)
12 eqid 2733 . . . . . 6 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
131, 2, 3, 12ipcj 21171 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 0𝑉𝐴𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
14133expa 1119 . . . 4 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 0𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
1514an32s 651 . . 3 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) ∧ 0𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
1611, 15mpdan 686 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
171phlsrng 21168 . . . 4 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
1817adantr 482 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ *-Ring)
1912, 4srng0 20456 . . 3 (𝐹 ∈ *-Ring → ((*𝑟𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
2018, 19syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
217, 16, 203eqtr3d 2781 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 , 0 ) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  *𝑟cstv 17195  Scalarcsca 17196  ·𝑖cip 17198  0gc0g 17381  *-Ringcsr 20440  LModclmod 20459  PreHilcphl 21161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-ghm 19084  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-oppr 20139  df-rnghom 20240  df-staf 20441  df-srng 20442  df-lmod 20461  df-lmhm 20621  df-lvec 20702  df-sra 20773  df-rgmod 20774  df-phl 21163
This theorem is referenced by:  cphip0r  24702  ipcau2  24733
  Copyright terms: Public domain W3C validator