Theorem ip0r 21604

Description: Inner product with a zero second argument. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ip0l.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
ip0l.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ip0r	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 0 ) = 𝑍)

Proof of Theorem ip0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phlsrng.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		phllmhm.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
3		phllmhm.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		ip0l.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
5		ip0l.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	ip0l 21603	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)
7	6	fveq2d 6846	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍))
8		phllmod 21597	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
10	3, 5	lmod0vcl 20854	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝑉)
12		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
13	1, 2, 3, 12	ipcj 21601	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 0 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
14	13	3expa 1119	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 0 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
15	14	an32s 653	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 0 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
16	11, 15	mpdan 688	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
17	1	phlsrng 21598	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ *-Ring)
19	12, 4	srng0 20799	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ *-Ring → ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
21	7, 16, 20	3eqtr3d 2780	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 0 ) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  *_𝑟cstv 17191  Scalarcsca 17192  ·_𝑖cip 17194  0_gc0g 17371  *-Ringcsr 20783  LModclmod 20823  PreHilcphl 21591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-grp 18878  df-ghm 19154  df-mgp 20088  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20285  df-rhm 20420  df-staf 20784  df-srng 20785  df-lmod 20825  df-lmhm 20986  df-lvec 21067  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-phl 21593

This theorem is referenced by:  cphip0r  25171  ipcau2  25202