MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip0r Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ip0r 21189
Description: Inner product with a zero second argument. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ip0l.z 𝑍 = (0gβ€˜πΉ)
ip0l.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ip0r ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 0 ) = 𝑍)
Proof of Theorem ip0r
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 phllmhm.h . . . 4 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
3 phllmhm.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 ip0l.z . . . 4 𝑍 = (0gβ€˜πΉ)
5 ip0l.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
61, 2, 3, 4, 5ip0l 21188 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( 0 , 𝐴) = 𝑍)
76fveq2d 6895 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜( 0 , 𝐴)) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘))
8 phllmod 21182 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
98adantr 481 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
103, 5lmod0vcl 20500 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ 0 ∈ 𝑉)
119, 10syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 0 ∈ 𝑉)
12 eqid 2732 . . . . . 6 (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
131, 2, 3, 12ipcj 21186 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 0 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
14133expa 1118 . . . 4 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 0 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
1514an32s 650 . . 3 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 0 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
1611, 15mpdan 685 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
171phlsrng 21183 . . . 4 (π‘Š ∈ PreHil β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
1817adantr 481 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
1912, 4srng0 20467 . . 3 (𝐹 ∈ *-Ring β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘) = 𝑍)
2018, 19syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘) = 𝑍)
217, 16, 203eqtr3d 2780 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 0 ) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  *π‘Ÿcstv 17198  Scalarcsca 17199  Β·π‘–cip 17201  0gc0g 17384  *-Ringcsr 20451  LModclmod 20470  PreHilcphl 21176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-ghm 19089  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-rnghom 20250  df-staf 20452  df-srng 20453  df-lmod 20472  df-lmhm 20632  df-lvec 20713  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-phl 21178
This theorem is referenced by:  cphip0r  24719  ipcau2  24750
  Copyright terms: Public domain W3C validator