MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip0r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip0r 20498
Description: Inner product with a zero second argument. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ip0l.z 𝑍 = (0g𝐹)
ip0l.o 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
ip0r ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 , 0 ) = 𝑍)

Proof of Theorem ip0r
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 phllmhm.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
3 phllmhm.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 ip0l.z . . . 4 𝑍 = (0g𝐹)
5 ip0l.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
61, 2, 3, 4, 5ip0l 20497 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)
76fveq2d 6500 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = ((*𝑟𝐹)‘𝑍))
8 phllmod 20491 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
98adantr 473 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
103, 5lmod0vcl 19397 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 0𝑉)
119, 10syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → 0𝑉)
12 eqid 2771 . . . . . 6 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
131, 2, 3, 12ipcj 20495 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 0𝑉𝐴𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
14133expa 1099 . . . 4 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 0𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
1514an32s 640 . . 3 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) ∧ 0𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
1611, 15mpdan 675 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
171phlsrng 20492 . . . 4 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
1817adantr 473 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ *-Ring)
1912, 4srng0 19365 . . 3 (𝐹 ∈ *-Ring → ((*𝑟𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
2018, 19syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
217, 16, 203eqtr3d 2815 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 , 0 ) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  cfv 6185  (class class class)co 6974  Basecbs 16337  *𝑟cstv 16421  Scalarcsca 16422  ·𝑖cip 16424  0gc0g 16567  *-Ringcsr 19349  LModclmod 19368  PreHilcphl 20485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-tpos 7693  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-ip 16437  df-0g 16569  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-mhm 17815  df-grp 17906  df-ghm 18139  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-oppr 19108  df-rnghom 19202  df-staf 19350  df-srng 19351  df-lmod 19370  df-lmhm 19528  df-lvec 19609  df-sra 19678  df-rgmod 19679  df-phl 20487
This theorem is referenced by:  cphip0r  23525  ipcau2  23555
  Copyright terms: Public domain W3C validator