Theorem ip0r 21669

Description: Inner product with a zero second argument. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ip0l.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
ip0l.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ip0r	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 0 ) = 𝑍)

Proof of Theorem ip0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phlsrng.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		phllmhm.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
3		phllmhm.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		ip0l.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
5		ip0l.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	ip0l 21668	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)
7	6	fveq2d 6867	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍))
8		phllmod 21662	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
9	8	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
10	3, 5	lmod0vcl 20938	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝑉)
12		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
13	1, 2, 3, 12	ipcj 21666	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 0 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
14	13	3expa 1130	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 0 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
15	14	an32s 662	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 0 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
16	11, 15	mpdan 697	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
17	1	phlsrng 21663	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
18	17	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ *-Ring)
19	12, 4	srng0 20883	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ *-Ring → ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
21	7, 16, 20	3eqtr3d 2804	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 0 ) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  *_𝑟cstv 17271  Scalarcsca 17272  ·_𝑖cip 17274  0_gc0g 17451  *-Ringcsr 20867  LModclmod 20907  PreHilcphl 21656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mhm 18800  df-grp 18961  df-ghm 19237  df-mgp 20170  df-ur 20211  df-ring 20264  df-oppr 20365  df-rhm 20500  df-staf 20868  df-srng 20869  df-lmod 20909  df-lmhm 21069  df-lvec 21150  df-sra 21220  df-rgmod 21221  df-phl 21658

This theorem is referenced by:  cphip0r  25245  ipcau2  25276