Theorem ip0r 21923

Description: Inner product with a zero second argument. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ip0l.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
ip0l.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ip0r	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 0 ) = 𝑍)

Proof of Theorem ip0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phlsrng.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		phllmhm.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
3		phllmhm.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		ip0l.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
5		ip0l.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	ip0l 21922	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)
7	6	fveq2d 6881	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍))
8		phllmod 21916	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
10	3, 5	lmod0vcl 21146	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝑉)
12		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
13	1, 2, 3, 12	ipcj 21920	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 0 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
14	13	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 0 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
15	14	an32s 665	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 0 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
16	11, 15	mpdan 700	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
17	1	phlsrng 21917	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
18	17	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ *-Ring)
19	12, 4	srng0 21091	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ *-Ring → ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
20	18, 19	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
21	7, 16, 20	3eqtr3d 2804	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 0 ) = 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  *_𝑟cstv 17410  Scalarcsca 17411  ·_𝑖cip 17413  0_gc0g 17590  *-Ringcsr 21075  LModclmod 21115  PreHilcphl 21910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-grp 19127  df-ghm 19408  df-mgp 20341  df-ur 20388  df-ring 20441  df-oppr 20547  df-rhm 20682  df-staf 21076  df-srng 21077  df-lmod 21117  df-lmhm 21277  df-lvec 21358  df-sra 21428  df-rgmod 21429  df-phl 21912

This theorem is used by:  cphip0r  25504  ipcau2  25535