Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip0r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip0r 20345
 Description: Inner product with a zero second argument. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ip0l.z 𝑍 = (0g𝐹)
ip0l.o 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
ip0r ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 , 0 ) = 𝑍)

Proof of Theorem ip0r
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 phllmhm.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
3 phllmhm.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 ip0l.z . . . 4 𝑍 = (0g𝐹)
5 ip0l.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
61, 2, 3, 4, 5ip0l 20344 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)
76fveq2d 6656 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = ((*𝑟𝐹)‘𝑍))
8 phllmod 20338 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
98adantr 484 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
103, 5lmod0vcl 19674 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 0𝑉)
119, 10syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → 0𝑉)
12 eqid 2798 . . . . . 6 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
131, 2, 3, 12ipcj 20342 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 0𝑉𝐴𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
14133expa 1115 . . . 4 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 0𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
1514an32s 651 . . 3 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) ∧ 0𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
1611, 15mpdan 686 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
171phlsrng 20339 . . . 4 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
1817adantr 484 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ *-Ring)
1912, 4srng0 19642 . . 3 (𝐹 ∈ *-Ring → ((*𝑟𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
2018, 19syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
217, 16, 203eqtr3d 2841 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 , 0 ) = 𝑍)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6329  (class class class)co 7142  Basecbs 16492  *𝑟cstv 16576  Scalarcsca 16577  ·𝑖cip 16579  0gc0g 16722  *-Ringcsr 19626  LModclmod 19645  PreHilcphl 20332 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-cnex 10597  ax-resscn 10598  ax-1cn 10599  ax-icn 10600  ax-addcl 10601  ax-addrcl 10602  ax-mulcl 10603  ax-mulrcl 10604  ax-mulcom 10605  ax-addass 10606  ax-mulass 10607  ax-distr 10608  ax-i2m1 10609  ax-1ne0 10610  ax-1rid 10611  ax-rnegex 10612  ax-rrecex 10613  ax-cnre 10614  ax-pre-lttri 10615  ax-pre-lttrn 10616  ax-pre-ltadd 10617  ax-pre-mulgt0 10618 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7571  df-tpos 7890  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10681  df-mnf 10682  df-xr 10683  df-ltxr 10684  df-le 10685  df-sub 10876  df-neg 10877  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-ndx 16495  df-slot 16496  df-base 16498  df-sets 16499  df-plusg 16587  df-mulr 16588  df-sca 16590  df-vsca 16591  df-ip 16592  df-0g 16724  df-mgm 17861  df-sgrp 17910  df-mnd 17921  df-mhm 17965  df-grp 18115  df-ghm 18366  df-mgp 19251  df-ur 19263  df-ring 19310  df-oppr 19387  df-rnghom 19481  df-staf 19627  df-srng 19628  df-lmod 19647  df-lmhm 19805  df-lvec 19886  df-sra 19955  df-rgmod 19956  df-phl 20334 This theorem is referenced by:  cphip0r  23846  ipcau2  23876
 Copyright terms: Public domain W3C validator