Theorem ip0r 21572

Description: Inner product with a zero second argument. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ip0l.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
ip0l.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ip0r	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 0 ) = 𝑍)

Proof of Theorem ip0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phlsrng.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		phllmhm.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
3		phllmhm.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		ip0l.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
5		ip0l.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	ip0l 21571	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)
7	6	fveq2d 6826	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍))
8		phllmod 21565	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
10	3, 5	lmod0vcl 20822	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝑉)
12		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
13	1, 2, 3, 12	ipcj 21569	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 0 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
14	13	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 0 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
15	14	an32s 652	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 0 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
16	11, 15	mpdan 687	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
17	1	phlsrng 21566	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ *-Ring)
19	12, 4	srng0 20767	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ *-Ring → ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
21	7, 16, 20	3eqtr3d 2774	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 0 ) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117  *_𝑟cstv 17160  Scalarcsca 17161  ·_𝑖cip 17163  0_gc0g 17340  *-Ringcsr 20751  LModclmod 20791  PreHilcphl 21559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mhm 18688  df-grp 18846  df-ghm 19123  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-rhm 20388  df-staf 20752  df-srng 20753  df-lmod 20793  df-lmhm 20954  df-lvec 21035  df-sra 21105  df-rgmod 21106  df-phl 21561

This theorem is referenced by:  cphip0r  25128  ipcau2  25159