Theorem ip0r 21592

Description: Inner product with a zero second argument. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ip0l.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
ip0l.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ip0r	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 0 ) = 𝑍)

Proof of Theorem ip0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phlsrng.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		phllmhm.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
3		phllmhm.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		ip0l.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
5		ip0l.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	ip0l 21591	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)
7	6	fveq2d 6838	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍))
8		phllmod 21585	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
10	3, 5	lmod0vcl 20842	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝑉)
12		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
13	1, 2, 3, 12	ipcj 21589	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 0 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
14	13	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 0 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
15	14	an32s 652	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 0 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
16	11, 15	mpdan 687	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘( 0 , 𝐴)) = (𝐴 , 0 ))
17	1	phlsrng 21586	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ *-Ring)
19	12, 4	srng0 20787	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ *-Ring → ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
21	7, 16, 20	3eqtr3d 2779	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 0 ) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  *_𝑟cstv 17179  Scalarcsca 17180  ·_𝑖cip 17182  0_gc0g 17359  *-Ringcsr 20771  LModclmod 20811  PreHilcphl 21579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-grp 18866  df-ghm 19142  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-rhm 20408  df-staf 20772  df-srng 20773  df-lmod 20813  df-lmhm 20974  df-lvec 21055  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-phl 21581

This theorem is referenced by:  cphip0r  25159  ipcau2  25190