MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipdi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipdi 21503
Description: Distributive law for inner product (left-distributivity). (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipdir.g + = (+gβ€˜π‘Š)
ipdir.p ⨣ = (+gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ipdi ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , (𝐡 + 𝐢)) = ((𝐴 , 𝐡) ⨣ (𝐴 , 𝐢)))
Proof of Theorem ipdi
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 simpr2 1192 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
3 simpr3 1193 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
4 simpr1 1191 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
5 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
6 phllmhm.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
7 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 ipdir.g . . . . . 6 + = (+gβ€˜π‘Š)
9 ipdir.p . . . . . 6 ⨣ = (+gβ€˜πΉ)
105, 6, 7, 8, 9ipdir 21502 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐡 + 𝐢) , 𝐴) = ((𝐡 , 𝐴) ⨣ (𝐢 , 𝐴)))
111, 2, 3, 4, 10syl13anc 1369 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐡 + 𝐢) , 𝐴) = ((𝐡 , 𝐴) ⨣ (𝐢 , 𝐴)))
1211fveq2d 6886 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜((𝐡 + 𝐢) , 𝐴)) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜((𝐡 , 𝐴) ⨣ (𝐢 , 𝐴))))
135phlsrng 21494 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
1413adantr 480 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
15 eqid 2724 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
165, 6, 7, 15ipcl 21496 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
171, 2, 4, 16syl3anc 1368 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
185, 6, 7, 15ipcl 21496 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐢 , 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
191, 3, 4, 18syl3anc 1368 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐢 , 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
20 eqid 2724 . . . . 5 (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
2120, 15, 9srngadd 20692 . . . 4 ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ (𝐡 , 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (𝐢 , 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜((𝐡 , 𝐴) ⨣ (𝐢 , 𝐴))) = (((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐡 , 𝐴)) ⨣ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐢 , 𝐴))))
2214, 17, 19, 21syl3anc 1368 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜((𝐡 , 𝐴) ⨣ (𝐢 , 𝐴))) = (((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐡 , 𝐴)) ⨣ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐢 , 𝐴))))
2312, 22eqtrd 2764 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜((𝐡 + 𝐢) , 𝐴)) = (((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐡 , 𝐴)) ⨣ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐢 , 𝐴))))
24 phllmod 21493 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
2524adantr 480 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
267, 8lmodvacl 20713 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 + 𝐢) ∈ 𝑉)
2725, 2, 3, 26syl3anc 1368 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐡 + 𝐢) ∈ 𝑉)
285, 6, 7, 20ipcj 21497 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐡 + 𝐢) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜((𝐡 + 𝐢) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐡 + 𝐢)))
291, 27, 4, 28syl3anc 1368 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜((𝐡 + 𝐢) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐡 + 𝐢)))
305, 6, 7, 20ipcj 21497 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐡 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐡))
311, 2, 4, 30syl3anc 1368 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐡 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐡))
325, 6, 7, 20ipcj 21497 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐢 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐢))
331, 3, 4, 32syl3anc 1368 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐢 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐢))
3431, 33oveq12d 7420 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐡 , 𝐴)) ⨣ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐢 , 𝐴))) = ((𝐴 , 𝐡) ⨣ (𝐴 , 𝐢)))
3523, 29, 343eqtr3d 2772 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , (𝐡 + 𝐢)) = ((𝐴 , 𝐡) ⨣ (𝐴 , 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17145  +gcplusg 17198  *π‘Ÿcstv 17200  Scalarcsca 17201  Β·π‘–cip 17203  *-Ringcsr 20679  LModclmod 20698  PreHilcphl 21487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-0g 17388  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-ghm 19131  df-mgp 20032  df-ur 20079  df-ring 20132  df-oppr 20228  df-rhm 20366  df-staf 20680  df-srng 20681  df-lmod 20700  df-lmhm 20862  df-lvec 20943  df-sra 21013  df-rgmod 21014  df-phl 21489
This theorem is referenced by:  ip2di  21504  ipsubdi  21506  cphdi  25058
  Copyright terms: Public domain W3C validator