Theorem ipdi 21842

Description: Distributive law for inner product (left-distributivity). (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.g	⊢ + = (+g‘𝑊)
ipdir.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipdi	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵) ⨣ (𝐴 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
2		simpr2 1214	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		simpr3 1215	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
4		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		phlsrng.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		phllmhm.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
7		phllmhm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		ipdir.g	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
9		ipdir.p	. . . . . 6 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)
10	5, 6, 7, 8, 9	ipdir 21841	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉)) → ((𝐵 + 𝐶) , 𝐴) = ((𝐵 , 𝐴) ⨣ (𝐶 , 𝐴)))
11	1, 2, 3, 4, 10	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐵 + 𝐶) , 𝐴) = ((𝐵 , 𝐴) ⨣ (𝐶 , 𝐴)))
12	11	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 + 𝐶) , 𝐴)) = ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 , 𝐴) ⨣ (𝐶 , 𝐴))))
13	5	phlsrng 21833	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐹 ∈ *-Ring)
15		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
16	5, 6, 7, 15	ipcl 21835	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹))
17	1, 2, 4, 16	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹))
18	5, 6, 7, 15	ipcl 21835	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐶 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹))
19	1, 3, 4, 18	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐶 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹))
20		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
21	20, 15, 9	srngadd 21006	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ (𝐵 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐶 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹)) → ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 , 𝐴) ⨣ (𝐶 , 𝐴))) = (((*𝑟‘𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) ⨣ ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐶 , 𝐴))))
22	14, 17, 19, 21	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 , 𝐴) ⨣ (𝐶 , 𝐴))) = (((*𝑟‘𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) ⨣ ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐶 , 𝐴))))
23	12, 22	eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 + 𝐶) , 𝐴)) = (((*𝑟‘𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) ⨣ ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐶 , 𝐴))))
24		phllmod 21832	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
25	24	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
26	7, 8	lmodvacl 21048	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑉)
27	25, 2, 3, 26	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑉)
28	5, 6, 7, 20	ipcj 21836	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 + 𝐶) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐵 + 𝐶)))
29	1, 27, 4, 28	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 + 𝐶) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐵 + 𝐶)))
30	5, 6, 7, 20	ipcj 21836	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐵))
31	1, 2, 4, 30	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐵))
32	5, 6, 7, 20	ipcj 21836	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐶 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐶))
33	1, 3, 4, 32	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐶 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐶))
34	31, 33	oveq12d 7437	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((*𝑟‘𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) ⨣ ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐶 , 𝐴))) = ((𝐴 , 𝐵) ⨣ (𝐴 , 𝐶)))
35	23, 29, 34	3eqtr3d 2808	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵) ⨣ (𝐴 , 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  +_gcplusg 17334  *_𝑟cstv 17336  Scalarcsca 17337  ·_𝑖cip 17339  *-Ringcsr 20993  LModclmod 21033  PreHilcphl 21826

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-0g 17518  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-mhm 18880  df-grp 19049  df-ghm 19330  df-mgp 20263  df-ur 20310  df-ring 20363  df-oppr 20467  df-rhm 20602  df-staf 20994  df-srng 20995  df-lmod 21035  df-lmhm 21195  df-lvec 21276  df-sra 21346  df-rgmod 21347  df-phl 21828

This theorem is used by:  ip2di  21843  ipsubdi  21845  cphdi  25418