MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipdi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipdi 21184
Description: Distributive law for inner product (left-distributivity). (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipdir.g + = (+gβ€˜π‘Š)
ipdir.p ⨣ = (+gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ipdi ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , (𝐡 + 𝐢)) = ((𝐴 , 𝐡) ⨣ (𝐴 , 𝐢)))
Proof of Theorem ipdi
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 simpr2 1195 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
3 simpr3 1196 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
4 simpr1 1194 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
5 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
6 phllmhm.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
7 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 ipdir.g . . . . . 6 + = (+gβ€˜π‘Š)
9 ipdir.p . . . . . 6 ⨣ = (+gβ€˜πΉ)
105, 6, 7, 8, 9ipdir 21183 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐡 + 𝐢) , 𝐴) = ((𝐡 , 𝐴) ⨣ (𝐢 , 𝐴)))
111, 2, 3, 4, 10syl13anc 1372 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐡 + 𝐢) , 𝐴) = ((𝐡 , 𝐴) ⨣ (𝐢 , 𝐴)))
1211fveq2d 6892 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜((𝐡 + 𝐢) , 𝐴)) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜((𝐡 , 𝐴) ⨣ (𝐢 , 𝐴))))
135phlsrng 21175 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
1413adantr 481 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
15 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
165, 6, 7, 15ipcl 21177 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
171, 2, 4, 16syl3anc 1371 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
185, 6, 7, 15ipcl 21177 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐢 , 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
191, 3, 4, 18syl3anc 1371 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐢 , 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
20 eqid 2732 . . . . 5 (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
2120, 15, 9srngadd 20457 . . . 4 ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ (𝐡 , 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (𝐢 , 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜((𝐡 , 𝐴) ⨣ (𝐢 , 𝐴))) = (((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐡 , 𝐴)) ⨣ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐢 , 𝐴))))
2214, 17, 19, 21syl3anc 1371 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜((𝐡 , 𝐴) ⨣ (𝐢 , 𝐴))) = (((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐡 , 𝐴)) ⨣ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐢 , 𝐴))))
2312, 22eqtrd 2772 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜((𝐡 + 𝐢) , 𝐴)) = (((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐡 , 𝐴)) ⨣ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐢 , 𝐴))))
24 phllmod 21174 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
2524adantr 481 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
267, 8lmodvacl 20478 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 + 𝐢) ∈ 𝑉)
2725, 2, 3, 26syl3anc 1371 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐡 + 𝐢) ∈ 𝑉)
285, 6, 7, 20ipcj 21178 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐡 + 𝐢) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜((𝐡 + 𝐢) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐡 + 𝐢)))
291, 27, 4, 28syl3anc 1371 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜((𝐡 + 𝐢) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐡 + 𝐢)))
305, 6, 7, 20ipcj 21178 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐡 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐡))
311, 2, 4, 30syl3anc 1371 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐡 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐡))
325, 6, 7, 20ipcj 21178 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐢 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐢))
331, 3, 4, 32syl3anc 1371 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐢 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐢))
3431, 33oveq12d 7423 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐡 , 𝐴)) ⨣ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐢 , 𝐴))) = ((𝐴 , 𝐡) ⨣ (𝐴 , 𝐢)))
3523, 29, 343eqtr3d 2780 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , (𝐡 + 𝐢)) = ((𝐴 , 𝐡) ⨣ (𝐴 , 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  *π‘Ÿcstv 17195  Scalarcsca 17196  Β·π‘–cip 17198  *-Ringcsr 20444  LModclmod 20463  PreHilcphl 21168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-ghm 19084  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-rnghom 20243  df-staf 20445  df-srng 20446  df-lmod 20465  df-lmhm 20625  df-lvec 20706  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-phl 21170
This theorem is referenced by:  ip2di  21185  ipsubdi  21187  cphdi  24714
  Copyright terms: Public domain W3C validator