Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl 484 |
. . . . 5
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β π β PreHil) |
2 | | simpr2 1196 |
. . . . 5
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β π΅ β π) |
3 | | simpr3 1197 |
. . . . 5
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β πΆ β π) |
4 | | simpr1 1195 |
. . . . 5
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β π΄ β π) |
5 | | phlsrng.f |
. . . . . 6
β’ πΉ = (Scalarβπ) |
6 | | phllmhm.h |
. . . . . 6
β’ , =
(Β·πβπ) |
7 | | phllmhm.v |
. . . . . 6
β’ π = (Baseβπ) |
8 | | ipdir.g |
. . . . . 6
β’ + =
(+gβπ) |
9 | | ipdir.p |
. . . . . 6
⒠⨣ =
(+gβπΉ) |
10 | 5, 6, 7, 8, 9 | ipdir 21059 |
. . . . 5
β’ ((π β PreHil β§ (π΅ β π β§ πΆ β π β§ π΄ β π)) β ((π΅ + πΆ) , π΄) = ((π΅ , π΄) ⨣ (πΆ , π΄))) |
11 | 1, 2, 3, 4, 10 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β ((π΅ + πΆ) , π΄) = ((π΅ , π΄) ⨣ (πΆ , π΄))) |
12 | 11 | fveq2d 6847 |
. . 3
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β
((*πβπΉ)β((π΅ + πΆ) , π΄)) = ((*πβπΉ)β((π΅ , π΄) ⨣ (πΆ , π΄)))) |
13 | 5 | phlsrng 21051 |
. . . . 5
β’ (π β PreHil β πΉ β *-Ring) |
14 | 13 | adantr 482 |
. . . 4
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β πΉ β *-Ring) |
15 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΉ) =
(BaseβπΉ) |
16 | 5, 6, 7, 15 | ipcl 21053 |
. . . . 5
β’ ((π β PreHil β§ π΅ β π β§ π΄ β π) β (π΅ , π΄) β (BaseβπΉ)) |
17 | 1, 2, 4, 16 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β (π΅ , π΄) β (BaseβπΉ)) |
18 | 5, 6, 7, 15 | ipcl 21053 |
. . . . 5
β’ ((π β PreHil β§ πΆ β π β§ π΄ β π) β (πΆ , π΄) β (BaseβπΉ)) |
19 | 1, 3, 4, 18 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β (πΆ , π΄) β (BaseβπΉ)) |
20 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’
(*πβπΉ) = (*πβπΉ) |
21 | 20, 15, 9 | srngadd 20330 |
. . . 4
β’ ((πΉ β *-Ring β§ (π΅ , π΄) β (BaseβπΉ) β§ (πΆ , π΄) β (BaseβπΉ)) β
((*πβπΉ)β((π΅ , π΄) ⨣ (πΆ , π΄))) = (((*πβπΉ)β(π΅ , π΄)) ⨣
((*πβπΉ)β(πΆ , π΄)))) |
22 | 14, 17, 19, 21 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β
((*πβπΉ)β((π΅ , π΄) ⨣ (πΆ , π΄))) = (((*πβπΉ)β(π΅ , π΄)) ⨣
((*πβπΉ)β(πΆ , π΄)))) |
23 | 12, 22 | eqtrd 2773 |
. 2
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β
((*πβπΉ)β((π΅ + πΆ) , π΄)) = (((*πβπΉ)β(π΅ , π΄)) ⨣
((*πβπΉ)β(πΆ , π΄)))) |
24 | | phllmod 21050 |
. . . . 5
β’ (π β PreHil β π β LMod) |
25 | 24 | adantr 482 |
. . . 4
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β π β LMod) |
26 | 7, 8 | lmodvacl 20351 |
. . . 4
β’ ((π β LMod β§ π΅ β π β§ πΆ β π) β (π΅ + πΆ) β π) |
27 | 25, 2, 3, 26 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β (π΅ + πΆ) β π) |
28 | 5, 6, 7, 20 | ipcj 21054 |
. . 3
β’ ((π β PreHil β§ (π΅ + πΆ) β π β§ π΄ β π) β ((*πβπΉ)β((π΅ + πΆ) , π΄)) = (π΄ , (π΅ + πΆ))) |
29 | 1, 27, 4, 28 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β
((*πβπΉ)β((π΅ + πΆ) , π΄)) = (π΄ , (π΅ + πΆ))) |
30 | 5, 6, 7, 20 | ipcj 21054 |
. . . 4
β’ ((π β PreHil β§ π΅ β π β§ π΄ β π) β ((*πβπΉ)β(π΅ , π΄)) = (π΄ , π΅)) |
31 | 1, 2, 4, 30 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β
((*πβπΉ)β(π΅ , π΄)) = (π΄ , π΅)) |
32 | 5, 6, 7, 20 | ipcj 21054 |
. . . 4
β’ ((π β PreHil β§ πΆ β π β§ π΄ β π) β ((*πβπΉ)β(πΆ , π΄)) = (π΄ , πΆ)) |
33 | 1, 3, 4, 32 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β
((*πβπΉ)β(πΆ , π΄)) = (π΄ , πΆ)) |
34 | 31, 33 | oveq12d 7376 |
. 2
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β
(((*πβπΉ)β(π΅ , π΄)) ⨣
((*πβπΉ)β(πΆ , π΄))) = ((π΄ , π΅) ⨣ (π΄ , πΆ))) |
35 | 23, 29, 34 | 3eqtr3d 2781 |
1
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β (π΄ , (π΅ + πΆ)) = ((π΄ , π΅) ⨣ (π΄ , πΆ))) |