MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipdi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipdi 21565
Description: Distributive law for inner product (left-distributivity). (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipdir.g + = (+gβ€˜π‘Š)
ipdir.p ⨣ = (+gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ipdi ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , (𝐡 + 𝐢)) = ((𝐴 , 𝐡) ⨣ (𝐴 , 𝐢)))
Proof of Theorem ipdi
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 simpr2 1193 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
3 simpr3 1194 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
4 simpr1 1192 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
5 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
6 phllmhm.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
7 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 ipdir.g . . . . . 6 + = (+gβ€˜π‘Š)
9 ipdir.p . . . . . 6 ⨣ = (+gβ€˜πΉ)
105, 6, 7, 8, 9ipdir 21564 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐡 + 𝐢) , 𝐴) = ((𝐡 , 𝐴) ⨣ (𝐢 , 𝐴)))
111, 2, 3, 4, 10syl13anc 1370 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐡 + 𝐢) , 𝐴) = ((𝐡 , 𝐴) ⨣ (𝐢 , 𝐴)))
1211fveq2d 6895 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜((𝐡 + 𝐢) , 𝐴)) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜((𝐡 , 𝐴) ⨣ (𝐢 , 𝐴))))
135phlsrng 21556 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
1413adantr 480 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
15 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
165, 6, 7, 15ipcl 21558 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
171, 2, 4, 16syl3anc 1369 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
185, 6, 7, 15ipcl 21558 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐢 , 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
191, 3, 4, 18syl3anc 1369 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐢 , 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
20 eqid 2728 . . . . 5 (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
2120, 15, 9srngadd 20730 . . . 4 ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ (𝐡 , 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (𝐢 , 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜((𝐡 , 𝐴) ⨣ (𝐢 , 𝐴))) = (((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐡 , 𝐴)) ⨣ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐢 , 𝐴))))
2214, 17, 19, 21syl3anc 1369 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜((𝐡 , 𝐴) ⨣ (𝐢 , 𝐴))) = (((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐡 , 𝐴)) ⨣ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐢 , 𝐴))))
2312, 22eqtrd 2768 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜((𝐡 + 𝐢) , 𝐴)) = (((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐡 , 𝐴)) ⨣ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐢 , 𝐴))))
24 phllmod 21555 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
2524adantr 480 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
267, 8lmodvacl 20751 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 + 𝐢) ∈ 𝑉)
2725, 2, 3, 26syl3anc 1369 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐡 + 𝐢) ∈ 𝑉)
285, 6, 7, 20ipcj 21559 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐡 + 𝐢) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜((𝐡 + 𝐢) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐡 + 𝐢)))
291, 27, 4, 28syl3anc 1369 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜((𝐡 + 𝐢) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐡 + 𝐢)))
305, 6, 7, 20ipcj 21559 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐡 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐡))
311, 2, 4, 30syl3anc 1369 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐡 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐡))
325, 6, 7, 20ipcj 21559 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐢 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐢))
331, 3, 4, 32syl3anc 1369 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐢 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐢))
3431, 33oveq12d 7432 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐡 , 𝐴)) ⨣ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐢 , 𝐴))) = ((𝐴 , 𝐡) ⨣ (𝐴 , 𝐢)))
3523, 29, 343eqtr3d 2776 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , (𝐡 + 𝐢)) = ((𝐴 , 𝐡) ⨣ (𝐴 , 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  +gcplusg 17226  *π‘Ÿcstv 17228  Scalarcsca 17229  Β·π‘–cip 17231  *-Ringcsr 20717  LModclmod 20736  PreHilcphl 21549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-mhm 18733  df-grp 18886  df-ghm 19161  df-mgp 20068  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20266  df-rhm 20404  df-staf 20718  df-srng 20719  df-lmod 20738  df-lmhm 20900  df-lvec 20981  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-phl 21551
This theorem is referenced by:  ip2di  21566  ipsubdi  21568  cphdi  25127
  Copyright terms: Public domain W3C validator