Theorem ipdi 21638

Description: Distributive law for inner product (left-distributivity). (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.g	⊢ + = (+g‘𝑊)
ipdir.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipdi	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵) ⨣ (𝐴 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
2		simpr2 1192	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		simpr3 1193	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
4		simpr1 1191	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		phlsrng.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		phllmhm.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
7		phllmhm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		ipdir.g	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
9		ipdir.p	. . . . . 6 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)
10	5, 6, 7, 8, 9	ipdir 21637	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉)) → ((𝐵 + 𝐶) , 𝐴) = ((𝐵 , 𝐴) ⨣ (𝐶 , 𝐴)))
11	1, 2, 3, 4, 10	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐵 + 𝐶) , 𝐴) = ((𝐵 , 𝐴) ⨣ (𝐶 , 𝐴)))
12	11	fveq2d 6907	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 + 𝐶) , 𝐴)) = ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 , 𝐴) ⨣ (𝐶 , 𝐴))))
13	5	phlsrng 21629	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
14	13	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐹 ∈ *-Ring)
15		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
16	5, 6, 7, 15	ipcl 21631	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹))
17	1, 2, 4, 16	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹))
18	5, 6, 7, 15	ipcl 21631	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐶 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹))
19	1, 3, 4, 18	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐶 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹))
20		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
21	20, 15, 9	srngadd 20832	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ (𝐵 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐶 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹)) → ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 , 𝐴) ⨣ (𝐶 , 𝐴))) = (((*𝑟‘𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) ⨣ ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐶 , 𝐴))))
22	14, 17, 19, 21	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 , 𝐴) ⨣ (𝐶 , 𝐴))) = (((*𝑟‘𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) ⨣ ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐶 , 𝐴))))
23	12, 22	eqtrd 2766	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 + 𝐶) , 𝐴)) = (((*𝑟‘𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) ⨣ ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐶 , 𝐴))))
24		phllmod 21628	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
25	24	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
26	7, 8	lmodvacl 20853	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑉)
27	25, 2, 3, 26	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑉)
28	5, 6, 7, 20	ipcj 21632	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 + 𝐶) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐵 + 𝐶)))
29	1, 27, 4, 28	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 + 𝐶) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐵 + 𝐶)))
30	5, 6, 7, 20	ipcj 21632	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐵))
31	1, 2, 4, 30	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐵))
32	5, 6, 7, 20	ipcj 21632	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐶 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐶))
33	1, 3, 4, 32	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐶 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐶))
34	31, 33	oveq12d 7444	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((*𝑟‘𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) ⨣ ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐶 , 𝐴))) = ((𝐴 , 𝐵) ⨣ (𝐴 , 𝐶)))
35	23, 29, 34	3eqtr3d 2774	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵) ⨣ (𝐴 , 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6556  (class class class)co 7426  Basecbs 17215  +_gcplusg 17268  *_𝑟cstv 17270  Scalarcsca 17271  ·_𝑖cip 17273  *-Ringcsr 20819  LModclmod 20838  PreHilcphl 21622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-tpos 8243  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-er 8736  df-map 8859  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-plusg 17281  df-mulr 17282  df-sca 17284  df-vsca 17285  df-ip 17286  df-0g 17458  df-mgm 18635  df-sgrp 18714  df-mnd 18730  df-mhm 18775  df-grp 18933  df-ghm 19209  df-mgp 20120  df-ur 20167  df-ring 20220  df-oppr 20318  df-rhm 20456  df-staf 20820  df-srng 20821  df-lmod 20840  df-lmhm 21002  df-lvec 21083  df-sra 21153  df-rgmod 21154  df-phl 21624

This theorem is referenced by:  ip2di  21639  ipsubdi  21641  cphdi  25228