Theorem ipdi 21525

Description: Distributive law for inner product (left-distributivity). (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.g	⊢ + = (+g‘𝑊)
ipdir.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipdi	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵) ⨣ (𝐴 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
2		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
4		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		phlsrng.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		phllmhm.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
7		phllmhm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		ipdir.g	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
9		ipdir.p	. . . . . 6 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)
10	5, 6, 7, 8, 9	ipdir 21524	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉)) → ((𝐵 + 𝐶) , 𝐴) = ((𝐵 , 𝐴) ⨣ (𝐶 , 𝐴)))
11	1, 2, 3, 4, 10	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐵 + 𝐶) , 𝐴) = ((𝐵 , 𝐴) ⨣ (𝐶 , 𝐴)))
12	11	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 + 𝐶) , 𝐴)) = ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 , 𝐴) ⨣ (𝐶 , 𝐴))))
13	5	phlsrng 21516	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐹 ∈ *-Ring)
15		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
16	5, 6, 7, 15	ipcl 21518	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹))
17	1, 2, 4, 16	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹))
18	5, 6, 7, 15	ipcl 21518	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐶 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹))
19	1, 3, 4, 18	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐶 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹))
20		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
21	20, 15, 9	srngadd 20736	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ (𝐵 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐶 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹)) → ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 , 𝐴) ⨣ (𝐶 , 𝐴))) = (((*𝑟‘𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) ⨣ ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐶 , 𝐴))))
22	14, 17, 19, 21	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 , 𝐴) ⨣ (𝐶 , 𝐴))) = (((*𝑟‘𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) ⨣ ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐶 , 𝐴))))
23	12, 22	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 + 𝐶) , 𝐴)) = (((*𝑟‘𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) ⨣ ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐶 , 𝐴))))
24		phllmod 21515	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
26	7, 8	lmodvacl 20757	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑉)
27	25, 2, 3, 26	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑉)
28	5, 6, 7, 20	ipcj 21519	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 + 𝐶) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐵 + 𝐶)))
29	1, 27, 4, 28	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 + 𝐶) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐵 + 𝐶)))
30	5, 6, 7, 20	ipcj 21519	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐵))
31	1, 2, 4, 30	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐵))
32	5, 6, 7, 20	ipcj 21519	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐶 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐶))
33	1, 3, 4, 32	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐶 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐶))
34	31, 33	oveq12d 7387	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((*𝑟‘𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) ⨣ ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐶 , 𝐴))) = ((𝐴 , 𝐵) ⨣ (𝐴 , 𝐶)))
35	23, 29, 34	3eqtr3d 2772	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵) ⨣ (𝐴 , 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  *_𝑟cstv 17198  Scalarcsca 17199  ·_𝑖cip 17201  *-Ringcsr 20723  LModclmod 20742  PreHilcphl 21509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-grp 18844  df-ghm 19121  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-rhm 20357  df-staf 20724  df-srng 20725  df-lmod 20744  df-lmhm 20905  df-lvec 20986  df-sra 21056  df-rgmod 21057  df-phl 21511

This theorem is referenced by:  ip2di  21526  ipsubdi  21528  cphdi  25082