MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipdi 21676
Description: Distributive law for inner product (left-distributivity). (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.g + = (+g𝑊)
ipdir.p = (+g𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipdi ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵) (𝐴 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipdi
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
2 simpr2 1194 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐵𝑉)
3 simpr3 1195 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐶𝑉)
4 simpr1 1193 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝑉)
5 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6 phllmhm.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
7 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 ipdir.g . . . . . 6 + = (+g𝑊)
9 ipdir.p . . . . . 6 = (+g𝐹)
105, 6, 7, 8, 9ipdir 21675 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉𝐴𝑉)) → ((𝐵 + 𝐶) , 𝐴) = ((𝐵 , 𝐴) (𝐶 , 𝐴)))
111, 2, 3, 4, 10syl13anc 1371 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐵 + 𝐶) , 𝐴) = ((𝐵 , 𝐴) (𝐶 , 𝐴)))
1211fveq2d 6911 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((*𝑟𝐹)‘((𝐵 + 𝐶) , 𝐴)) = ((*𝑟𝐹)‘((𝐵 , 𝐴) (𝐶 , 𝐴))))
135phlsrng 21667 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
1413adantr 480 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐹 ∈ *-Ring)
15 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
165, 6, 7, 15ipcl 21669 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐴𝑉) → (𝐵 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹))
171, 2, 4, 16syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹))
185, 6, 7, 15ipcl 21669 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶𝑉𝐴𝑉) → (𝐶 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹))
191, 3, 4, 18syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐶 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹))
20 eqid 2735 . . . . 5 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
2120, 15, 9srngadd 20869 . . . 4 ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ (𝐵 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐶 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹)) → ((*𝑟𝐹)‘((𝐵 , 𝐴) (𝐶 , 𝐴))) = (((*𝑟𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) ((*𝑟𝐹)‘(𝐶 , 𝐴))))
2214, 17, 19, 21syl3anc 1370 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((*𝑟𝐹)‘((𝐵 , 𝐴) (𝐶 , 𝐴))) = (((*𝑟𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) ((*𝑟𝐹)‘(𝐶 , 𝐴))))
2312, 22eqtrd 2775 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((*𝑟𝐹)‘((𝐵 + 𝐶) , 𝐴)) = (((*𝑟𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) ((*𝑟𝐹)‘(𝐶 , 𝐴))))
24 phllmod 21666 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2524adantr 480 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
267, 8lmodvacl 20890 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑉)
2725, 2, 3, 26syl3anc 1370 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑉)
285, 6, 7, 20ipcj 21670 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑉𝐴𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘((𝐵 + 𝐶) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐵 + 𝐶)))
291, 27, 4, 28syl3anc 1370 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((*𝑟𝐹)‘((𝐵 + 𝐶) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐵 + 𝐶)))
305, 6, 7, 20ipcj 21670 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐴𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐵))
311, 2, 4, 30syl3anc 1370 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((*𝑟𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐵))
325, 6, 7, 20ipcj 21670 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶𝑉𝐴𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘(𝐶 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐶))
331, 3, 4, 32syl3anc 1370 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((*𝑟𝐹)‘(𝐶 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐶))
3431, 33oveq12d 7449 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((*𝑟𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) ((*𝑟𝐹)‘(𝐶 , 𝐴))) = ((𝐴 , 𝐵) (𝐴 , 𝐶)))
3523, 29, 343eqtr3d 2783 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵) (𝐴 , 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  *𝑟cstv 17300  Scalarcsca 17301  ·𝑖cip 17303  *-Ringcsr 20856  LModclmod 20875  PreHilcphl 21660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-ghm 19244  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-rhm 20489  df-staf 20857  df-srng 20858  df-lmod 20877  df-lmhm 21039  df-lvec 21120  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-phl 21662
This theorem is referenced by:  ip2di  21677  ipsubdi  21679  cphdi  25254
  Copyright terms: Public domain W3C validator