MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipass 21506
Description: Associative law for inner product. Equation I2 of [Ponnusamy] p. 363. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipdir.f 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
ipass.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
ipass.p Γ— = (.rβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ipass ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡) , 𝐢) = (𝐴 Γ— (𝐡 , 𝐢)))

Proof of Theorem ipass
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 phllmhm.h . . . . 5 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
3 phllmhm.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 eqid 2724 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢)) = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))
51, 2, 3, 4phllmhm 21493 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)))
653ad2antr3 1187 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)))
7 simpr1 1191 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
8 simpr2 1192 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
9 ipdir.f . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
10 ipass.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
11 ipass.p . . . . 5 Γ— = (.rβ€˜πΉ)
12 rlmvsca 21046 . . . . 5 (.rβ€˜πΉ) = ( ·𝑠 β€˜(ringLModβ€˜πΉ))
1311, 12eqtri 2752 . . . 4 Γ— = ( ·𝑠 β€˜(ringLModβ€˜πΉ))
141, 9, 3, 10, 13lmhmlin 20873 . . 3 (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = (𝐴 Γ— ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅)))
156, 7, 8, 14syl3anc 1368 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = (𝐴 Γ— ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅)))
16 phllmod 21491 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
1716adantr 480 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
183, 1, 10, 9lmodvscl 20714 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
1917, 7, 8, 18syl3anc 1368 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
20 oveq1 7408 . . . 4 (π‘₯ = (𝐴 Β· 𝐡) β†’ (π‘₯ , 𝐢) = ((𝐴 Β· 𝐡) , 𝐢))
21 ovex 7434 . . . 4 (π‘₯ , 𝐢) ∈ V
2220, 4, 21fvmpt3i 6993 . . 3 ((𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = ((𝐴 Β· 𝐡) , 𝐢))
2319, 22syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = ((𝐴 Β· 𝐡) , 𝐢))
24 oveq1 7408 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (π‘₯ , 𝐢) = (𝐡 , 𝐢))
2524, 4, 21fvmpt3i 6993 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅) = (𝐡 , 𝐢))
268, 25syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅) = (𝐡 , 𝐢))
2726oveq2d 7417 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 Γ— ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅)) = (𝐴 Γ— (𝐡 , 𝐢)))
2815, 23, 273eqtr3d 2772 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡) , 𝐢) = (𝐴 Γ— (𝐡 , 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5221  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  Β·π‘–cip 17201  LModclmod 20696   LMHom clmhm 20857  ringLModcrglmod 21010  PreHilcphl 21485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-lmod 20698  df-lmhm 20860  df-lvec 20941  df-sra 21011  df-rgmod 21012  df-phl 21487
This theorem is referenced by:  ipassr  21507  phlssphl  21520  ocvlss  21533  cphass  25061  ipcau2  25084  tcphcphlem2  25086
  Copyright terms: Public domain W3C validator