MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipass 21197
Description: Associative law for inner product. Equation I2 of [Ponnusamy] p. 363. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipdir.f 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
ipass.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
ipass.p Γ— = (.rβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ipass ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡) , 𝐢) = (𝐴 Γ— (𝐡 , 𝐢)))

Proof of Theorem ipass
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 phllmhm.h . . . . 5 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
3 phllmhm.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 eqid 2732 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢)) = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))
51, 2, 3, 4phllmhm 21184 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)))
653ad2antr3 1190 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)))
7 simpr1 1194 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
8 simpr2 1195 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
9 ipdir.f . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
10 ipass.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
11 ipass.p . . . . 5 Γ— = (.rβ€˜πΉ)
12 rlmvsca 20823 . . . . 5 (.rβ€˜πΉ) = ( ·𝑠 β€˜(ringLModβ€˜πΉ))
1311, 12eqtri 2760 . . . 4 Γ— = ( ·𝑠 β€˜(ringLModβ€˜πΉ))
141, 9, 3, 10, 13lmhmlin 20645 . . 3 (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = (𝐴 Γ— ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅)))
156, 7, 8, 14syl3anc 1371 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = (𝐴 Γ— ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅)))
16 phllmod 21182 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
1716adantr 481 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
183, 1, 10, 9lmodvscl 20488 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
1917, 7, 8, 18syl3anc 1371 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
20 oveq1 7415 . . . 4 (π‘₯ = (𝐴 Β· 𝐡) β†’ (π‘₯ , 𝐢) = ((𝐴 Β· 𝐡) , 𝐢))
21 ovex 7441 . . . 4 (π‘₯ , 𝐢) ∈ V
2220, 4, 21fvmpt3i 7003 . . 3 ((𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = ((𝐴 Β· 𝐡) , 𝐢))
2319, 22syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = ((𝐴 Β· 𝐡) , 𝐢))
24 oveq1 7415 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (π‘₯ , 𝐢) = (𝐡 , 𝐢))
2524, 4, 21fvmpt3i 7003 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅) = (𝐡 , 𝐢))
268, 25syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅) = (𝐡 , 𝐢))
2726oveq2d 7424 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 Γ— ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅)) = (𝐴 Γ— (𝐡 , 𝐢)))
2815, 23, 273eqtr3d 2780 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡) , 𝐢) = (𝐴 Γ— (𝐡 , 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  Β·π‘–cip 17201  LModclmod 20470   LMHom clmhm 20629  ringLModcrglmod 20781  PreHilcphl 21176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-lmod 20472  df-lmhm 20632  df-lvec 20713  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-phl 21178
This theorem is referenced by:  ipassr  21198  phlssphl  21211  ocvlss  21224  cphass  24727  ipcau2  24750  tcphcphlem2  24752
  Copyright terms: Public domain W3C validator