MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipass 21507
Description: Associative law for inner product. Equation I2 of [Ponnusamy] p. 363. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.f 𝐾 = (Base‘𝐹)
ipass.s · = ( ·𝑠𝑊)
ipass.p × = (.r𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipass ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 · 𝐵) , 𝐶) = (𝐴 × (𝐵 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipass
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 phllmhm.h . . . . 5 , = (·𝑖𝑊)
3 phllmhm.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 eqid 2731 . . . . 5 (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) = (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))
51, 2, 3, 4phllmhm 21494 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶𝑉) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
653ad2antr3 1189 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
7 simpr1 1193 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝐾)
8 simpr2 1194 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐵𝑉)
9 ipdir.f . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
10 ipass.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
11 ipass.p . . . . 5 × = (.r𝐹)
12 rlmvsca 21057 . . . . 5 (.r𝐹) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐹))
1311, 12eqtri 2759 . . . 4 × = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐹))
141, 9, 3, 10, 13lmhmlin 20878 . . 3 (((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 × ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)))
156, 7, 8, 14syl3anc 1370 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 × ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)))
16 phllmod 21492 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
1716adantr 480 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
183, 1, 10, 9lmodvscl 20720 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉)
1917, 7, 8, 18syl3anc 1370 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉)
20 oveq1 7419 . . . 4 (𝑥 = (𝐴 · 𝐵) → (𝑥 , 𝐶) = ((𝐴 · 𝐵) , 𝐶))
21 ovex 7445 . . . 4 (𝑥 , 𝐶) ∈ V
2220, 4, 21fvmpt3i 7003 . . 3 ((𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) , 𝐶))
2319, 22syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) , 𝐶))
24 oveq1 7419 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 , 𝐶) = (𝐵 , 𝐶))
2524, 4, 21fvmpt3i 7003 . . . 4 (𝐵𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 , 𝐶))
268, 25syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 , 𝐶))
2726oveq2d 7428 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 × ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)) = (𝐴 × (𝐵 , 𝐶)))
2815, 23, 273eqtr3d 2779 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 · 𝐵) , 𝐶) = (𝐴 × (𝐵 , 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  cmpt 5231  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  .rcmulr 17205  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  ·𝑖cip 17209  LModclmod 20702   LMHom clmhm 20862  ringLModcrglmod 21015  PreHilcphl 21486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-lmod 20704  df-lmhm 20865  df-lvec 20946  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-phl 21488
This theorem is referenced by:  ipassr  21508  phlssphl  21521  ocvlss  21534  cphass  25058  ipcau2  25081  tcphcphlem2  25083
  Copyright terms: Public domain W3C validator