Theorem ipass 21605

Description: Associative law for inner product. Equation I2 of [Ponnusamy] p. 363. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.f	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
ipass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
ipass.p	⊢ × = (.r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipass	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝐵) , 𝐶) = (𝐴 × (𝐵 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipass

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phlsrng.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		phllmhm.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
3		phllmhm.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	phllmhm 21592	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
6	5	3ad2antr3 1191	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
7		simpr1 1195	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
8		simpr2 1196	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
9		ipdir.f	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		ipass.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		ipass.p	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝐹)
12		rlmvsca 21158	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐹) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐹))
13	11, 12	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐹))
14	1, 9, 3, 10, 13	lmhmlin 20993	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 × ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)))
15	6, 7, 8, 14	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 × ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)))
16		phllmod 21590	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
18	3, 1, 10, 9	lmodvscl 20835	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉)
19	17, 7, 8, 18	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉)
20		oveq1 7412	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 · 𝐵) → (𝑥 , 𝐶) = ((𝐴 · 𝐵) , 𝐶))
21		ovex 7438	. . . 4 ⊢ (𝑥 , 𝐶) ∈ V
22	20, 4, 21	fvmpt3i 6991	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) , 𝐶))
23	19, 22	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) , 𝐶))
24		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 , 𝐶) = (𝐵 , 𝐶))
25	24, 4, 21	fvmpt3i 6991	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 , 𝐶))
26	8, 25	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 , 𝐶))
27	26	oveq2d 7421	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 × ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)) = (𝐴 × (𝐵 , 𝐶)))
28	15, 23, 27	3eqtr3d 2778	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝐵) , 𝐶) = (𝐴 × (𝐵 , 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  ._rcmulr 17272  Scalarcsca 17274   ·_𝑠 cvsca 17275  ·_𝑖cip 17276  LModclmod 20817   LMHom clmhm 20977  ringLModcrglmod 21130  PreHilcphl 21584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-lmod 20819  df-lmhm 20980  df-lvec 21061  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-phl 21586

This theorem is referenced by:  ipassr  21606  phlssphl  21619  ocvlss  21632  cphass  25163  ipcau2  25186  tcphcphlem2  25188