Theorem ipass 20762

Description: Associative law for inner product. Equation I2 of [Ponnusamy] p. 363. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.f	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
ipass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
ipass.p	⊢ × = (.r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipass	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝐵) , 𝐶) = (𝐴 × (𝐵 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipass

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phlsrng.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		phllmhm.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
3		phllmhm.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	phllmhm 20749	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
6	5	3ad2antr3 1188	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
7		simpr1 1192	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
8		simpr2 1193	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
9		ipdir.f	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		ipass.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		ipass.p	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝐹)
12		rlmvsca 20385	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐹) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐹))
13	11, 12	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐹))
14	1, 9, 3, 10, 13	lmhmlin 20212	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 × ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)))
15	6, 7, 8, 14	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 × ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)))
16		phllmod 20747	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
18	3, 1, 10, 9	lmodvscl 20055	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉)
19	17, 7, 8, 18	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉)
20		oveq1 7262	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 · 𝐵) → (𝑥 , 𝐶) = ((𝐴 · 𝐵) , 𝐶))
21		ovex 7288	. . . 4 ⊢ (𝑥 , 𝐶) ∈ V
22	20, 4, 21	fvmpt3i 6862	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) , 𝐶))
23	19, 22	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) , 𝐶))
24		oveq1 7262	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 , 𝐶) = (𝐵 , 𝐶))
25	24, 4, 21	fvmpt3i 6862	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 , 𝐶))
26	8, 25	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 , 𝐶))
27	26	oveq2d 7271	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 × ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)) = (𝐴 × (𝐵 , 𝐶)))
28	15, 23, 27	3eqtr3d 2786	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝐵) , 𝐶) = (𝐴 × (𝐵 , 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  ·_𝑖cip 16893  LModclmod 20038   LMHom clmhm 20196  ringLModcrglmod 20346  PreHilcphl 20741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-lmod 20040  df-lmhm 20199  df-lvec 20280  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-phl 20743

This theorem is referenced by:  ipassr  20763  phlssphl  20776  ocvlss  20789  cphass  24280  ipcau2  24303  tcphcphlem2  24305