MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipass 21072
Description: Associative law for inner product. Equation I2 of [Ponnusamy] p. 363. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipdir.f 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
ipass.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
ipass.p Γ— = (.rβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ipass ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡) , 𝐢) = (𝐴 Γ— (𝐡 , 𝐢)))

Proof of Theorem ipass
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 phllmhm.h . . . . 5 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
3 phllmhm.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 eqid 2733 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢)) = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))
51, 2, 3, 4phllmhm 21059 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)))
653ad2antr3 1191 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)))
7 simpr1 1195 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
8 simpr2 1196 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
9 ipdir.f . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
10 ipass.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
11 ipass.p . . . . 5 Γ— = (.rβ€˜πΉ)
12 rlmvsca 20716 . . . . 5 (.rβ€˜πΉ) = ( ·𝑠 β€˜(ringLModβ€˜πΉ))
1311, 12eqtri 2761 . . . 4 Γ— = ( ·𝑠 β€˜(ringLModβ€˜πΉ))
141, 9, 3, 10, 13lmhmlin 20540 . . 3 (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = (𝐴 Γ— ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅)))
156, 7, 8, 14syl3anc 1372 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = (𝐴 Γ— ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅)))
16 phllmod 21057 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
1716adantr 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
183, 1, 10, 9lmodvscl 20383 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
1917, 7, 8, 18syl3anc 1372 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
20 oveq1 7368 . . . 4 (π‘₯ = (𝐴 Β· 𝐡) β†’ (π‘₯ , 𝐢) = ((𝐴 Β· 𝐡) , 𝐢))
21 ovex 7394 . . . 4 (π‘₯ , 𝐢) ∈ V
2220, 4, 21fvmpt3i 6957 . . 3 ((𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = ((𝐴 Β· 𝐡) , 𝐢))
2319, 22syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = ((𝐴 Β· 𝐡) , 𝐢))
24 oveq1 7368 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (π‘₯ , 𝐢) = (𝐡 , 𝐢))
2524, 4, 21fvmpt3i 6957 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅) = (𝐡 , 𝐢))
268, 25syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅) = (𝐡 , 𝐢))
2726oveq2d 7377 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 Γ— ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅)) = (𝐴 Γ— (𝐡 , 𝐢)))
2815, 23, 273eqtr3d 2781 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡) , 𝐢) = (𝐴 Γ— (𝐡 , 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5192  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  Β·π‘–cip 17146  LModclmod 20365   LMHom clmhm 20524  ringLModcrglmod 20675  PreHilcphl 21051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-lmod 20367  df-lmhm 20527  df-lvec 20608  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-phl 21053
This theorem is referenced by:  ipassr  21073  phlssphl  21086  ocvlss  21099  cphass  24598  ipcau2  24621  tcphcphlem2  24623
  Copyright terms: Public domain W3C validator