MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipass 21570
Description: Associative law for inner product. Equation I2 of [Ponnusamy] p. 363. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipdir.f 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
ipass.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
ipass.p Γ— = (.rβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ipass ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡) , 𝐢) = (𝐴 Γ— (𝐡 , 𝐢)))

Proof of Theorem ipass
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 phllmhm.h . . . . 5 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
3 phllmhm.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 eqid 2727 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢)) = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))
51, 2, 3, 4phllmhm 21557 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)))
653ad2antr3 1188 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)))
7 simpr1 1192 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
8 simpr2 1193 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
9 ipdir.f . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
10 ipass.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
11 ipass.p . . . . 5 Γ— = (.rβ€˜πΉ)
12 rlmvsca 21086 . . . . 5 (.rβ€˜πΉ) = ( ·𝑠 β€˜(ringLModβ€˜πΉ))
1311, 12eqtri 2755 . . . 4 Γ— = ( ·𝑠 β€˜(ringLModβ€˜πΉ))
141, 9, 3, 10, 13lmhmlin 20913 . . 3 (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = (𝐴 Γ— ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅)))
156, 7, 8, 14syl3anc 1369 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = (𝐴 Γ— ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅)))
16 phllmod 21555 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
1716adantr 480 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
183, 1, 10, 9lmodvscl 20754 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
1917, 7, 8, 18syl3anc 1369 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
20 oveq1 7421 . . . 4 (π‘₯ = (𝐴 Β· 𝐡) β†’ (π‘₯ , 𝐢) = ((𝐴 Β· 𝐡) , 𝐢))
21 ovex 7447 . . . 4 (π‘₯ , 𝐢) ∈ V
2220, 4, 21fvmpt3i 7004 . . 3 ((𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = ((𝐴 Β· 𝐡) , 𝐢))
2319, 22syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = ((𝐴 Β· 𝐡) , 𝐢))
24 oveq1 7421 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (π‘₯ , 𝐢) = (𝐡 , 𝐢))
2524, 4, 21fvmpt3i 7004 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅) = (𝐡 , 𝐢))
268, 25syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅) = (𝐡 , 𝐢))
2726oveq2d 7430 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 Γ— ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅)) = (𝐴 Γ— (𝐡 , 𝐢)))
2815, 23, 273eqtr3d 2775 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡) , 𝐢) = (𝐴 Γ— (𝐡 , 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  .rcmulr 17227  Scalarcsca 17229   ·𝑠 cvsca 17230  Β·π‘–cip 17231  LModclmod 20736   LMHom clmhm 20897  ringLModcrglmod 21050  PreHilcphl 21549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-lmod 20738  df-lmhm 20900  df-lvec 20981  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-phl 21551
This theorem is referenced by:  ipassr  21571  phlssphl  21584  ocvlss  21597  cphass  25132  ipcau2  25155  tcphcphlem2  25157
  Copyright terms: Public domain W3C validator