Theorem ocv1 21595

Description: The orthocomplement of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvz.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvz.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
ocvz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocv1	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘𝑉) = { 0 })

Proof of Theorem ocv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocvz.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		ocvz.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
3	1, 2	ocvss 21586	. . 3 ⊢ ( ⊥ ‘𝑉) ⊆ 𝑉
4		sseqin2 4189	. . 3 ⊢ (( ⊥ ‘𝑉) ⊆ 𝑉 ↔ (𝑉 ∩ ( ⊥ ‘𝑉)) = ( ⊥ ‘𝑉))
5	3, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ (𝑉 ∩ ( ⊥ ‘𝑉)) = ( ⊥ ‘𝑉)
6		phllmod 21546	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
7		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8	1, 7	lss1 20851	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ (LSubSp‘𝑊))
9	6, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑉 ∈ (LSubSp‘𝑊))
10		ocvz.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
11	2, 7, 10	ocvin 21590	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑉 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑉 ∩ ( ⊥ ‘𝑉)) = { 0 })
12	9, 11	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑉 ∩ ( ⊥ ‘𝑉)) = { 0 })
13	5, 12	eqtr3id 2779	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘𝑉) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  {csn 4592  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  0_gc0g 17409  LModclmod 20773  LSubSpclss 20844  PreHilcphl 21540  ocvcocv 21576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-ghm 19152  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lmhm 20936  df-lvec 21017  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-phl 21542  df-ocv 21579

This theorem is referenced by:  css0  21605  obslbs  21646