MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2eq 21427
Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ip2eq.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
ip2eq.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ip2eq ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 = 𝐡 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ , 𝐴) = (π‘₯ , 𝐡)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯, ,   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Š

Proof of Theorem ip2eq
StepHypRef Expression
1 oveq2 7421 . . 3 (𝐴 = 𝐡 β†’ (π‘₯ , 𝐴) = (π‘₯ , 𝐡))
21ralrimivw 3148 . 2 (𝐴 = 𝐡 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ , 𝐴) = (π‘₯ , 𝐡))
3 phllmod 21404 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 ip2eq.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 eqid 2730 . . . . . 6 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
64, 5lmodvsubcl 20663 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) ∈ 𝑉)
73, 6syl3an1 1161 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) ∈ 𝑉)
8 oveq1 7420 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) β†’ (π‘₯ , 𝐴) = ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴))
9 oveq1 7420 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) β†’ (π‘₯ , 𝐡) = ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐡))
108, 9eqeq12d 2746 . . . . 5 (π‘₯ = (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) β†’ ((π‘₯ , 𝐴) = (π‘₯ , 𝐡) ↔ ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴) = ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐡)))
1110rspcv 3609 . . . 4 ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ , 𝐴) = (π‘₯ , 𝐡) β†’ ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴) = ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐡)))
127, 11syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ , 𝐴) = (π‘₯ , 𝐡) β†’ ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴) = ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐡)))
13 simp1 1134 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
14 simp2 1135 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
15 simp3 1136 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
16 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
17 ip2eq.h . . . . . . . 8 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
18 eqid 2730 . . . . . . . 8 (-gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (-gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
1916, 17, 4, 5, 18ipsubdi 21417 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡)) = (((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴)(-gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐡)))
2013, 7, 14, 15, 19syl13anc 1370 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡)) = (((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴)(-gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐡)))
2120eqeq1d 2732 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ (((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴)(-gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐡)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
22 eqid 2730 . . . . . . 7 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
23 eqid 2730 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
2416, 17, 4, 22, 23ipeq0 21412 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) ∈ 𝑉) β†’ (((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) = (0gβ€˜π‘Š)))
2513, 7, 24syl2anc 582 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) = (0gβ€˜π‘Š)))
2621, 25bitr3d 280 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴)(-gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐡)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) = (0gβ€˜π‘Š)))
2733ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2816lmodfgrp 20625 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp)
2927, 28syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp)
30 eqid 2730 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
3116, 17, 4, 30ipcl 21407 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3213, 7, 14, 31syl3anc 1369 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3316, 17, 4, 30ipcl 21407 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐡) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3413, 7, 15, 33syl3anc 1369 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐡) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3530, 22, 18grpsubeq0 18947 . . . . 5 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp ∧ ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐡) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴)(-gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐡)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴) = ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐡)))
3629, 32, 34, 35syl3anc 1369 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴)(-gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐡)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴) = ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐡)))
37 lmodgrp 20623 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
383, 37syl 17 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ Grp)
394, 23, 5grpsubeq0 18947 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) = (0gβ€˜π‘Š) ↔ 𝐴 = 𝐡))
4038, 39syl3an1 1161 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) = (0gβ€˜π‘Š) ↔ 𝐴 = 𝐡))
4126, 36, 403bitr3d 308 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴) = ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐡) ↔ 𝐴 = 𝐡))
4212, 41sylibd 238 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ , 𝐴) = (π‘₯ , 𝐡) β†’ 𝐴 = 𝐡))
432, 42impbid2 225 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 = 𝐡 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ , 𝐴) = (π‘₯ , 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  Basecbs 17150  Scalarcsca 17206  Β·π‘–cip 17208  0gc0g 17391  Grpcgrp 18857  -gcsg 18859  LModclmod 20616  PreHilcphl 21398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-0g 17393  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18707  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-ghm 19130  df-mgp 20031  df-ur 20078  df-ring 20131  df-oppr 20227  df-rhm 20365  df-staf 20598  df-srng 20599  df-lmod 20618  df-lmhm 20779  df-lvec 20860  df-sra 20932  df-rgmod 20933  df-phl 21400
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator