Theorem ip2eq 21867

Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip2eq.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
ip2eq.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ip2eq	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥, ,   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Proof of Theorem ip2eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7422	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵))
2	1	ralrimivw 3158	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵))
3		phllmod 21844	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
4		ip2eq.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
6	4, 5	lmodvsubcl 21092	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
7	3, 6	syl3an1 1181	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
8		oveq1 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) → (𝑥 , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴))
9		oveq1 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) → (𝑥 , 𝐵) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵))
10	8, 9	eqeq12d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) → ((𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) ↔ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
11	10	rspcv 3572	. . . 4 ⊢ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
12	7, 11	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
13		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
14		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
15		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
16		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
17		ip2eq.h	. . . . . . . 8 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
18		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
19	16, 17, 4, 5, 18	ipsubdi 21857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
20	13, 7, 14, 15, 19	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
21	20	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
22		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
23		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
24	16, 17, 4, 22, 23	ipeq0 21852	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊)))
25	13, 7, 24	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊)))
26	21, 25	bitr3d 284	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊)))
27	3	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
28	16	lmodfgrp 21054	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
29	27, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
30		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
31	16, 17, 4, 30	ipcl 21847	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
32	13, 7, 14, 31	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
33	16, 17, 4, 30	ipcl 21847	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34	13, 7, 15, 33	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
35	30, 22, 18	grpsubeq0 19150	. . . . 5 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
36	29, 32, 34, 35	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
37		lmodgrp 21052	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
38	3, 37	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ Grp)
39	4, 23, 5	grpsubeq0 19150	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊) ↔ 𝐴 = 𝐵))
40	38, 39	syl3an1 1181	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊) ↔ 𝐴 = 𝐵))
41	26, 36, 40	3bitr3d 312	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
42	12, 41	sylibd 242	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
43	2, 42	impbid2 229	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  Scalarcsca 17346  ·_𝑖cip 17348  0_gc0g 17525  Grpcgrp 19058  -_gcsg 19060  LModclmod 21045  PreHilcphl 21838

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-0g 17527  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-mhm 18892  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-ghm 19342  df-mgp 20275  df-ur 20322  df-ring 20375  df-oppr 20479  df-rhm 20614  df-staf 21006  df-srng 21007  df-lmod 21047  df-lmhm 21207  df-lvec 21288  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-phl 21840

This theorem is used by: (None)