Theorem ip2eq 21803

Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip2eq.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
ip2eq.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ip2eq	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥, ,   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Proof of Theorem ip2eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7418	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵))
2	1	ralrimivw 3161	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵))
3		phllmod 21780	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
4		ip2eq.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
6	4, 5	lmodvsubcl 21028	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
7	3, 6	syl3an1 1181	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
8		oveq1 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) → (𝑥 , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴))
9		oveq1 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) → (𝑥 , 𝐵) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵))
10	8, 9	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) → ((𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) ↔ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
11	10	rspcv 3577	. . . 4 ⊢ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
12	7, 11	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
13		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
14		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
15		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
16		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
17		ip2eq.h	. . . . . . . 8 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
18		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
19	16, 17, 4, 5, 18	ipsubdi 21793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
20	13, 7, 14, 15, 19	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
21	20	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
22		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
23		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
24	16, 17, 4, 22, 23	ipeq0 21788	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊)))
25	13, 7, 24	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊)))
26	21, 25	bitr3d 284	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊)))
27	3	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
28	16	lmodfgrp 20990	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
29	27, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
30		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
31	16, 17, 4, 30	ipcl 21783	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
32	13, 7, 14, 31	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
33	16, 17, 4, 30	ipcl 21783	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34	13, 7, 15, 33	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
35	30, 22, 18	grpsubeq0 19087	. . . . 5 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
36	29, 32, 34, 35	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
37		lmodgrp 20988	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
38	3, 37	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ Grp)
39	4, 23, 5	grpsubeq0 19087	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊) ↔ 𝐴 = 𝐵))
40	38, 39	syl3an1 1181	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊) ↔ 𝐴 = 𝐵))
41	26, 36, 40	3bitr3d 312	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
42	12, 41	sylibd 242	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
43	2, 42	impbid2 229	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  Scalarcsca 17308  ·_𝑖cip 17310  0_gc0g 17487  Grpcgrp 18995  -_gcsg 18997  LModclmod 20981  PreHilcphl 21774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-ghm 19279  df-mgp 20212  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-rhm 20550  df-staf 20942  df-srng 20943  df-lmod 20983  df-lmhm 21143  df-lvec 21224  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-phl 21776

This theorem is referenced by: (None)