Theorem ip2eq 21206

Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip2eq.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
ip2eq.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ip2eq	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥, ,   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Proof of Theorem ip2eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7417	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵))
2	1	ralrimivw 3151	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵))
3		phllmod 21183	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
4		ip2eq.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
6	4, 5	lmodvsubcl 20517	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
7	3, 6	syl3an1 1164	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
8		oveq1 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) → (𝑥 , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴))
9		oveq1 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) → (𝑥 , 𝐵) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵))
10	8, 9	eqeq12d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) → ((𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) ↔ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
11	10	rspcv 3609	. . . 4 ⊢ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
12	7, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
13		simp1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
14		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
15		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
16		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
17		ip2eq.h	. . . . . . . 8 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
18		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
19	16, 17, 4, 5, 18	ipsubdi 21196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
20	13, 7, 14, 15, 19	syl13anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
21	20	eqeq1d 2735	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
22		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
23		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
24	16, 17, 4, 22, 23	ipeq0 21191	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊)))
25	13, 7, 24	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊)))
26	21, 25	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊)))
27	3	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
28	16	lmodfgrp 20480	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
30		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
31	16, 17, 4, 30	ipcl 21186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
32	13, 7, 14, 31	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
33	16, 17, 4, 30	ipcl 21186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34	13, 7, 15, 33	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
35	30, 22, 18	grpsubeq0 18909	. . . . 5 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
36	29, 32, 34, 35	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
37		lmodgrp 20478	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
38	3, 37	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ Grp)
39	4, 23, 5	grpsubeq0 18909	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊) ↔ 𝐴 = 𝐵))
40	38, 39	syl3an1 1164	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊) ↔ 𝐴 = 𝐵))
41	26, 36, 40	3bitr3d 309	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
42	12, 41	sylibd 238	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
43	2, 42	impbid2 225	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200  ·_𝑖cip 17202  0_gc0g 17385  Grpcgrp 18819  -_gcsg 18821  LModclmod 20471  PreHilcphl 21177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-ghm 19090  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-rnghom 20251  df-staf 20453  df-srng 20454  df-lmod 20473  df-lmhm 20633  df-lvec 20714  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-phl 21179

This theorem is referenced by: (None)