MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2eq 21689
Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ip2eq.h , = (·𝑖𝑊)
ip2eq.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ip2eq ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥, ,   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Proof of Theorem ip2eq
StepHypRef Expression
1 oveq2 7439 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵))
21ralrimivw 3148 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵))
3 phllmod 21666 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
4 ip2eq.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 eqid 2735 . . . . . 6 (-g𝑊) = (-g𝑊)
64, 5lmodvsubcl 20922 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
73, 6syl3an1 1162 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
8 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐴(-g𝑊)𝐵) → (𝑥 , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴))
9 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐴(-g𝑊)𝐵) → (𝑥 , 𝐵) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵))
108, 9eqeq12d 2751 . . . . 5 (𝑥 = (𝐴(-g𝑊)𝐵) → ((𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) ↔ ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
1110rspcv 3618 . . . 4 ((𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 → (∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
127, 11syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
13 simp1 1135 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
14 simp2 1136 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴𝑉)
15 simp3 1137 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
16 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
17 ip2eq.h . . . . . . . 8 , = (·𝑖𝑊)
18 eqid 2735 . . . . . . . 8 (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
1916, 17, 4, 5, 18ipsubdi 21679 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉𝐴𝑉𝐵𝑉)) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) = (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
2013, 7, 14, 15, 19syl13anc 1371 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) = (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
2120eqeq1d 2737 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
22 eqid 2735 . . . . . . 7 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
23 eqid 2735 . . . . . . 7 (0g𝑊) = (0g𝑊)
2416, 17, 4, 22, 23ipeq0 21674 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g𝑊)𝐵) = (0g𝑊)))
2513, 7, 24syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g𝑊)𝐵) = (0g𝑊)))
2621, 25bitr3d 281 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g𝑊)𝐵) = (0g𝑊)))
2733ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2816lmodfgrp 20884 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
2927, 28syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
30 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3116, 17, 4, 30ipcl 21669 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉𝐴𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3213, 7, 14, 31syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3316, 17, 4, 30ipcl 21669 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3413, 7, 15, 33syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3530, 22, 18grpsubeq0 19057 . . . . 5 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
3629, 32, 34, 35syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
37 lmodgrp 20882 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
383, 37syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ Grp)
394, 23, 5grpsubeq0 19057 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) = (0g𝑊) ↔ 𝐴 = 𝐵))
4038, 39syl3an1 1162 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) = (0g𝑊) ↔ 𝐴 = 𝐵))
4126, 36, 403bitr3d 309 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
4212, 41sylibd 239 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
432, 42impbid2 226 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301  ·𝑖cip 17303  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  -gcsg 18966  LModclmod 20875  PreHilcphl 21660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-ghm 19244  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-rhm 20489  df-staf 20857  df-srng 20858  df-lmod 20877  df-lmhm 21039  df-lvec 21120  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-phl 21662
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator