Theorem ip2eq 22014

Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip2eq.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
ip2eq.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ip2eq	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥, ,   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Proof of Theorem ip2eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7459	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵))
2	1	ralrimivw 3162	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵))
3		phllmod 21991	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
4		ip2eq.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
6	4, 5	lmodvsubcl 21233	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
7	3, 6	syl3an1 1181	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
8		oveq1 7458	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) → (𝑥 , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴))
9		oveq1 7458	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) → (𝑥 , 𝐵) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵))
10	8, 9	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) → ((𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) ↔ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
11	10	rspcv 3576	. . . 4 ⊢ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
12	7, 11	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
13		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
14		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
15		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
16		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
17		ip2eq.h	. . . . . . . 8 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
18		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
19	16, 17, 4, 5, 18	ipsubdi 22004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
20	13, 7, 14, 15, 19	syl13anc 1400	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
21	20	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
22		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
23		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
24	16, 17, 4, 22, 23	ipeq0 21999	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊)))
25	13, 7, 24	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊)))
26	21, 25	bitr3d 284	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊)))
27	3	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
28	16	lmodfgrp 21195	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
29	27, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
30		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
31	16, 17, 4, 30	ipcl 21994	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
32	13, 7, 14, 31	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
33	16, 17, 4, 30	ipcl 21994	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34	13, 7, 15, 33	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
35	30, 22, 18	grpsubeq0 19286	. . . . 5 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
36	29, 32, 34, 35	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
37		lmodgrp 21193	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
38	3, 37	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ Grp)
39	4, 23, 5	grpsubeq0 19286	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊) ↔ 𝐴 = 𝐵))
40	38, 39	syl3an1 1181	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊) ↔ 𝐴 = 𝐵))
41	26, 36, 40	3bitr3d 312	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
42	12, 41	sylibd 242	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
43	2, 42	impbid2 229	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  Scalarcsca 17475  ·_𝑖cip 17477  0_gc0g 17660  Grpcgrp 19194  -_gcsg 19196  LModclmod 21186  PreHilcphl 21985

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-ghm 19478  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-rhm 20753  df-staf 21147  df-srng 21148  df-lmod 21188  df-lmhm 21348  df-lvec 21429  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-phl 21987

This theorem is used by: (None)