Theorem ip2eq 21646

Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip2eq.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
ip2eq.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ip2eq	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥, ,   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Proof of Theorem ip2eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7369	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵))
2	1	ralrimivw 3134	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵))
3		phllmod 21623	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
4		ip2eq.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
6	4, 5	lmodvsubcl 20896	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
7	3, 6	syl3an1 1164	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
8		oveq1 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) → (𝑥 , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴))
9		oveq1 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) → (𝑥 , 𝐵) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵))
10	8, 9	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) → ((𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) ↔ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
11	10	rspcv 3561	. . . 4 ⊢ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
12	7, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
13		simp1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
14		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
15		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
16		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
17		ip2eq.h	. . . . . . . 8 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
18		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
19	16, 17, 4, 5, 18	ipsubdi 21636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
20	13, 7, 14, 15, 19	syl13anc 1375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
21	20	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
22		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
23		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
24	16, 17, 4, 22, 23	ipeq0 21631	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊)))
25	13, 7, 24	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊)))
26	21, 25	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊)))
27	3	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
28	16	lmodfgrp 20858	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
30		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
31	16, 17, 4, 30	ipcl 21626	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
32	13, 7, 14, 31	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
33	16, 17, 4, 30	ipcl 21626	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34	13, 7, 15, 33	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
35	30, 22, 18	grpsubeq0 18996	. . . . 5 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
36	29, 32, 34, 35	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵)))
37		lmodgrp 20856	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
38	3, 37	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ Grp)
39	4, 23, 5	grpsubeq0 18996	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊) ↔ 𝐴 = 𝐵))
40	38, 39	syl3an1 1164	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (0g‘𝑊) ↔ 𝐴 = 𝐵))
41	26, 36, 40	3bitr3d 309	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
42	12, 41	sylibd 239	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
43	2, 42	impbid2 226	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  Scalarcsca 17217  ·_𝑖cip 17219  0_gc0g 17396  Grpcgrp 18903  -_gcsg 18905  LModclmod 20849  PreHilcphl 21617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-ghm 19182  df-mgp 20116  df-ur 20157  df-ring 20210  df-oppr 20311  df-rhm 20446  df-staf 20810  df-srng 20811  df-lmod 20851  df-lmhm 21012  df-lvec 21093  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-phl 21619

This theorem is referenced by: (None)