MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2eq 21645
Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ip2eq.h , = (·𝑖𝑊)
ip2eq.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ip2eq ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥, ,   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Proof of Theorem ip2eq
StepHypRef Expression
1 oveq2 7424 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵))
21ralrimivw 3140 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵))
3 phllmod 21622 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
4 ip2eq.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 eqid 2726 . . . . . 6 (-g𝑊) = (-g𝑊)
64, 5lmodvsubcl 20879 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
73, 6syl3an1 1160 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
8 oveq1 7423 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐴(-g𝑊)𝐵) → (𝑥 , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴))
9 oveq1 7423 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐴(-g𝑊)𝐵) → (𝑥 , 𝐵) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵))
108, 9eqeq12d 2742 . . . . 5 (𝑥 = (𝐴(-g𝑊)𝐵) → ((𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) ↔ ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
1110rspcv 3603 . . . 4 ((𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 → (∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
127, 11syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
13 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
14 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴𝑉)
15 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
16 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
17 ip2eq.h . . . . . . . 8 , = (·𝑖𝑊)
18 eqid 2726 . . . . . . . 8 (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
1916, 17, 4, 5, 18ipsubdi 21635 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉𝐴𝑉𝐵𝑉)) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) = (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
2013, 7, 14, 15, 19syl13anc 1369 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) = (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
2120eqeq1d 2728 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
22 eqid 2726 . . . . . . 7 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
23 eqid 2726 . . . . . . 7 (0g𝑊) = (0g𝑊)
2416, 17, 4, 22, 23ipeq0 21630 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g𝑊)𝐵) = (0g𝑊)))
2513, 7, 24syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g𝑊)𝐵) = (0g𝑊)))
2621, 25bitr3d 280 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g𝑊)𝐵) = (0g𝑊)))
2733ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2816lmodfgrp 20841 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
2927, 28syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
30 eqid 2726 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3116, 17, 4, 30ipcl 21625 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉𝐴𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3213, 7, 14, 31syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3316, 17, 4, 30ipcl 21625 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3413, 7, 15, 33syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3530, 22, 18grpsubeq0 19016 . . . . 5 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
3629, 32, 34, 35syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
37 lmodgrp 20839 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
383, 37syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ Grp)
394, 23, 5grpsubeq0 19016 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) = (0g𝑊) ↔ 𝐴 = 𝐵))
4038, 39syl3an1 1160 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) = (0g𝑊) ↔ 𝐴 = 𝐵))
4126, 36, 403bitr3d 308 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
4212, 41sylibd 238 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
432, 42impbid2 225 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  cfv 6546  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  Scalarcsca 17264  ·𝑖cip 17266  0gc0g 17449  Grpcgrp 18923  -gcsg 18925  LModclmod 20832  PreHilcphl 21616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-0g 17451  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-mhm 18768  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-ghm 19203  df-mgp 20114  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20312  df-rhm 20450  df-staf 20814  df-srng 20815  df-lmod 20834  df-lmhm 20996  df-lvec 21077  df-sra 21147  df-rgmod 21148  df-phl 21618
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator