Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl 484 |
. . . . 5
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β π β PreHil) |
2 | | phllmod 21057 |
. . . . . . . 8
β’ (π β PreHil β π β LMod) |
3 | 2 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β π β LMod) |
4 | | lmodgrp 20372 |
. . . . . . 7
β’ (π β LMod β π β Grp) |
5 | 3, 4 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β π β Grp) |
6 | | simpr1 1195 |
. . . . . 6
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β π΄ β π) |
7 | | simpr2 1196 |
. . . . . 6
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β π΅ β π) |
8 | | phllmhm.v |
. . . . . . 7
β’ π = (Baseβπ) |
9 | | ipsubdir.m |
. . . . . . 7
β’ β =
(-gβπ) |
10 | 8, 9 | grpsubcl 18835 |
. . . . . 6
β’ ((π β Grp β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (π΄ β π΅) β π) |
11 | 5, 6, 7, 10 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β (π΄ β π΅) β π) |
12 | | simpr3 1197 |
. . . . 5
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β πΆ β π) |
13 | | phlsrng.f |
. . . . . 6
β’ πΉ = (Scalarβπ) |
14 | | phllmhm.h |
. . . . . 6
β’ , =
(Β·πβπ) |
15 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(+gβπ) = (+gβπ) |
16 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(+gβπΉ) = (+gβπΉ) |
17 | 13, 14, 8, 15, 16 | ipdir 21066 |
. . . . 5
β’ ((π β PreHil β§ ((π΄ β π΅) β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β (((π΄ β π΅)(+gβπ)π΅) , πΆ) = (((π΄ β π΅) , πΆ)(+gβπΉ)(π΅ , πΆ))) |
18 | 1, 11, 7, 12, 17 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β (((π΄ β π΅)(+gβπ)π΅) , πΆ) = (((π΄ β π΅) , πΆ)(+gβπΉ)(π΅ , πΆ))) |
19 | 8, 15, 9 | grpnpcan 18847 |
. . . . . 6
β’ ((π β Grp β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β ((π΄ β π΅)(+gβπ)π΅) = π΄) |
20 | 5, 6, 7, 19 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β ((π΄ β π΅)(+gβπ)π΅) = π΄) |
21 | 20 | oveq1d 7376 |
. . . 4
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β (((π΄ β π΅)(+gβπ)π΅) , πΆ) = (π΄ , πΆ)) |
22 | 18, 21 | eqtr3d 2775 |
. . 3
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β (((π΄ β π΅) , πΆ)(+gβπΉ)(π΅ , πΆ)) = (π΄ , πΆ)) |
23 | 13 | lmodfgrp 20374 |
. . . . 5
β’ (π β LMod β πΉ β Grp) |
24 | 3, 23 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β πΉ β Grp) |
25 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΉ) =
(BaseβπΉ) |
26 | 13, 14, 8, 25 | ipcl 21060 |
. . . . 5
β’ ((π β PreHil β§ π΄ β π β§ πΆ β π) β (π΄ , πΆ) β (BaseβπΉ)) |
27 | 1, 6, 12, 26 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β (π΄ , πΆ) β (BaseβπΉ)) |
28 | 13, 14, 8, 25 | ipcl 21060 |
. . . . 5
β’ ((π β PreHil β§ π΅ β π β§ πΆ β π) β (π΅ , πΆ) β (BaseβπΉ)) |
29 | 1, 7, 12, 28 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β (π΅ , πΆ) β (BaseβπΉ)) |
30 | 13, 14, 8, 25 | ipcl 21060 |
. . . . 5
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π΅) β π β§ πΆ β π) β ((π΄ β π΅) , πΆ) β (BaseβπΉ)) |
31 | 1, 11, 12, 30 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β ((π΄ β π΅) , πΆ) β (BaseβπΉ)) |
32 | | ipsubdir.s |
. . . . 5
β’ π = (-gβπΉ) |
33 | 25, 16, 32 | grpsubadd 18843 |
. . . 4
β’ ((πΉ β Grp β§ ((π΄ , πΆ) β (BaseβπΉ) β§ (π΅ , πΆ) β (BaseβπΉ) β§ ((π΄ β π΅) , πΆ) β (BaseβπΉ))) β (((π΄ , πΆ)π(π΅ , πΆ)) = ((π΄ β π΅) , πΆ) β (((π΄ β π΅) , πΆ)(+gβπΉ)(π΅ , πΆ)) = (π΄ , πΆ))) |
34 | 24, 27, 29, 31, 33 | syl13anc 1373 |
. . 3
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β (((π΄ , πΆ)π(π΅ , πΆ)) = ((π΄ β π΅) , πΆ) β (((π΄ β π΅) , πΆ)(+gβπΉ)(π΅ , πΆ)) = (π΄ , πΆ))) |
35 | 22, 34 | mpbird 257 |
. 2
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β ((π΄ , πΆ)π(π΅ , πΆ)) = ((π΄ β π΅) , πΆ)) |
36 | 35 | eqcomd 2739 |
1
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ πΆ β π)) β ((π΄ β π΅) , πΆ) = ((π΄ , πΆ)π(π΅ , πΆ))) |