MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipsubdir Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipsubdir 21524
Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipsubdir.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
ipsubdir.s 𝑆 = (-gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ipsubdir ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢) = ((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐢)))
Proof of Theorem ipsubdir
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 phllmod 21512 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
32adantr 480 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lmodgrp 20709 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
53, 4syl 17 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ Grp)
6 simpr1 1191 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
7 simpr2 1192 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
8 phllmhm.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 ipsubdir.m . . . . . . 7 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
108, 9grpsubcl 18944 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉)
115, 6, 7, 10syl3anc 1368 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉)
12 simpr3 1193 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
13 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
14 phllmhm.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
15 eqid 2724 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
16 eqid 2724 . . . . . 6 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
1713, 14, 8, 15, 16ipdir 21521 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐢) = (((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢)(+gβ€˜πΉ)(𝐡 , 𝐢)))
181, 11, 7, 12, 17syl13anc 1369 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐢) = (((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢)(+gβ€˜πΉ)(𝐡 , 𝐢)))
198, 15, 9grpnpcan 18956 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)𝐡) = 𝐴)
205, 6, 7, 19syl3anc 1368 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)𝐡) = 𝐴)
2120oveq1d 7417 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐢) = (𝐴 , 𝐢))
2218, 21eqtr3d 2766 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢)(+gβ€˜πΉ)(𝐡 , 𝐢)) = (𝐴 , 𝐢))
2313lmodfgrp 20711 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Grp)
243, 23syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐹 ∈ Grp)
25 eqid 2724 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
2613, 14, 8, 25ipcl 21515 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
271, 6, 12, 26syl3anc 1368 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
2813, 14, 8, 25ipcl 21515 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
291, 7, 12, 28syl3anc 1368 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
3013, 14, 8, 25ipcl 21515 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
311, 11, 12, 30syl3anc 1368 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
32 ipsubdir.s . . . . 5 𝑆 = (-gβ€˜πΉ)
3325, 16, 32grpsubadd 18952 . . . 4 ((𝐹 ∈ Grp ∧ ((𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ (((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐢)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢) ↔ (((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢)(+gβ€˜πΉ)(𝐡 , 𝐢)) = (𝐴 , 𝐢)))
3424, 27, 29, 31, 33syl13anc 1369 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐢)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢) ↔ (((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢)(+gβ€˜πΉ)(𝐡 , 𝐢)) = (𝐴 , 𝐢)))
3522, 34mpbird 257 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐢)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢))
3635eqcomd 2730 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢) = ((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  Scalarcsca 17205  Β·π‘–cip 17207  Grpcgrp 18859  -gcsg 18861  LModclmod 20702  PreHilcphl 21506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-ghm 19135  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-lmhm 20866  df-lvec 20947  df-sra 21017  df-rgmod 21018  df-phl 21508
This theorem is referenced by:  ip2subdi  21526  cphsubdir  25080
  Copyright terms: Public domain W3C validator