Theorem ipsubdir 21948

Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipsubdir.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
ipsubdir.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipsubdir	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
2		phllmod 21936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
3	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
4		lmodgrp 21142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
5	3, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ Grp)
6		simpr1 1213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		simpr2 1214	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
8		phllmhm.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		ipsubdir.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑊)
10	8, 9	grpsubcl 19230	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑉)
11	5, 6, 7, 10	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑉)
12		simpr3 1215	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
13		phlsrng.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14		phllmhm.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
15		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
16		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
17	13, 14, 8, 15, 16	ipdir 21945	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((𝐴 − 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵) , 𝐶) = (((𝐴 − 𝐵) , 𝐶)(+g‘𝐹)(𝐵 , 𝐶)))
18	1, 11, 7, 12, 17	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((𝐴 − 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵) , 𝐶) = (((𝐴 − 𝐵) , 𝐶)(+g‘𝐹)(𝐵 , 𝐶)))
19	8, 15, 9	grpnpcan 19242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 − 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵) = 𝐴)
20	5, 6, 7, 19	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵) = 𝐴)
21	20	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((𝐴 − 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵) , 𝐶) = (𝐴 , 𝐶))
22	18, 21	eqtr3d 2798	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((𝐴 − 𝐵) , 𝐶)(+g‘𝐹)(𝐵 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐶))
23	13	lmodfgrp 21144	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
24	3, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐹 ∈ Grp)
25		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
26	13, 14, 8, 25	ipcl 21939	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
27	1, 6, 12, 26	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
28	13, 14, 8, 25	ipcl 21939	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
29	1, 7, 12, 28	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
30	13, 14, 8, 25	ipcl 21939	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝐴 − 𝐵) , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
31	1, 11, 12, 30	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
32		ipsubdir.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)
33	25, 16, 32	grpsubadd 19238	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ ((𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝐴 − 𝐵) , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))) → (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) , 𝐶) ↔ (((𝐴 − 𝐵) , 𝐶)(+g‘𝐹)(𝐵 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐶)))
34	24, 27, 29, 31, 33	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) , 𝐶) ↔ (((𝐴 − 𝐵) , 𝐶)(+g‘𝐹)(𝐵 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐶)))
35	22, 34	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) , 𝐶))
36	35	eqcomd 2767	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  Scalarcsca 17431  ·_𝑖cip 17433  Grpcgrp 19144  -_gcsg 19146  LModclmod 21135  PreHilcphl 21930

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-ghm 19428  df-ring 20461  df-lmod 21137  df-lmhm 21297  df-lvec 21378  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-phl 21932

This theorem is used by:  ip2subdi  21950  cphsubdir  25529