MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipsubdir Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipsubdir 21574
Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipsubdir.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
ipsubdir.s 𝑆 = (-gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ipsubdir ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢) = ((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐢)))
Proof of Theorem ipsubdir
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 phllmod 21562 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
32adantr 480 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lmodgrp 20750 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
53, 4syl 17 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ Grp)
6 simpr1 1192 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
7 simpr2 1193 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
8 phllmhm.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 ipsubdir.m . . . . . . 7 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
108, 9grpsubcl 18976 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉)
115, 6, 7, 10syl3anc 1369 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉)
12 simpr3 1194 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
13 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
14 phllmhm.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
15 eqid 2728 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
16 eqid 2728 . . . . . 6 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
1713, 14, 8, 15, 16ipdir 21571 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐢) = (((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢)(+gβ€˜πΉ)(𝐡 , 𝐢)))
181, 11, 7, 12, 17syl13anc 1370 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐢) = (((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢)(+gβ€˜πΉ)(𝐡 , 𝐢)))
198, 15, 9grpnpcan 18988 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)𝐡) = 𝐴)
205, 6, 7, 19syl3anc 1369 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)𝐡) = 𝐴)
2120oveq1d 7435 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐢) = (𝐴 , 𝐢))
2218, 21eqtr3d 2770 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢)(+gβ€˜πΉ)(𝐡 , 𝐢)) = (𝐴 , 𝐢))
2313lmodfgrp 20752 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Grp)
243, 23syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐹 ∈ Grp)
25 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
2613, 14, 8, 25ipcl 21565 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
271, 6, 12, 26syl3anc 1369 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
2813, 14, 8, 25ipcl 21565 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
291, 7, 12, 28syl3anc 1369 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
3013, 14, 8, 25ipcl 21565 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
311, 11, 12, 30syl3anc 1369 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
32 ipsubdir.s . . . . 5 𝑆 = (-gβ€˜πΉ)
3325, 16, 32grpsubadd 18984 . . . 4 ((𝐹 ∈ Grp ∧ ((𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ (((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐢)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢) ↔ (((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢)(+gβ€˜πΉ)(𝐡 , 𝐢)) = (𝐴 , 𝐢)))
3424, 27, 29, 31, 33syl13anc 1370 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐢)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢) ↔ (((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢)(+gβ€˜πΉ)(𝐡 , 𝐢)) = (𝐴 , 𝐢)))
3522, 34mpbird 257 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐢)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢))
3635eqcomd 2734 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢) = ((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  Scalarcsca 17236  Β·π‘–cip 17238  Grpcgrp 18890  -gcsg 18892  LModclmod 20743  PreHilcphl 21556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-ghm 19168  df-ring 20175  df-lmod 20745  df-lmhm 20907  df-lvec 20988  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-phl 21558
This theorem is referenced by:  ip2subdi  21576  cphsubdir  25149
  Copyright terms: Public domain W3C validator