Theorem ipsubdir 21617

Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipsubdir.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
ipsubdir.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipsubdir	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
2		phllmod 21605	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
3	2	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
4		lmodgrp 20857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ Grp)
6		simpr1 1201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		simpr2 1202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
8		phllmhm.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		ipsubdir.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑊)
10	8, 9	grpsubcl 18987	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑉)
11	5, 6, 7, 10	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑉)
12		simpr3 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
13		phlsrng.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14		phllmhm.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
15		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
16		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
17	13, 14, 8, 15, 16	ipdir 21614	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((𝐴 − 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵) , 𝐶) = (((𝐴 − 𝐵) , 𝐶)(+g‘𝐹)(𝐵 , 𝐶)))
18	1, 11, 7, 12, 17	syl13anc 1380	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((𝐴 − 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵) , 𝐶) = (((𝐴 − 𝐵) , 𝐶)(+g‘𝐹)(𝐵 , 𝐶)))
19	8, 15, 9	grpnpcan 18999	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 − 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵) = 𝐴)
20	5, 6, 7, 19	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵) = 𝐴)
21	20	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((𝐴 − 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵) , 𝐶) = (𝐴 , 𝐶))
22	18, 21	eqtr3d 2776	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((𝐴 − 𝐵) , 𝐶)(+g‘𝐹)(𝐵 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐶))
23	13	lmodfgrp 20859	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
24	3, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐹 ∈ Grp)
25		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
26	13, 14, 8, 25	ipcl 21608	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
27	1, 6, 12, 26	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
28	13, 14, 8, 25	ipcl 21608	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
29	1, 7, 12, 28	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
30	13, 14, 8, 25	ipcl 21608	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝐴 − 𝐵) , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
31	1, 11, 12, 30	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
32		ipsubdir.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)
33	25, 16, 32	grpsubadd 18995	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ ((𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝐴 − 𝐵) , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))) → (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) , 𝐶) ↔ (((𝐴 − 𝐵) , 𝐶)(+g‘𝐹)(𝐵 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐶)))
34	24, 27, 29, 31, 33	syl13anc 1380	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) , 𝐶) ↔ (((𝐴 − 𝐵) , 𝐶)(+g‘𝐹)(𝐵 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐶)))
35	22, 34	mpbird 258	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) , 𝐶))
36	35	eqcomd 2745	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Scalarcsca 17214  ·_𝑖cip 17216  Grpcgrp 18900  -_gcsg 18902  LModclmod 20850  PreHilcphl 21599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-ghm 19179  df-ring 20207  df-lmod 20852  df-lmhm 21012  df-lvec 21093  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-phl 21601

This theorem is referenced by:  ip2subdi  21619  cphsubdir  25193