MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipsubdir Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipsubdir 21194
Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipsubdir.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
ipsubdir.s 𝑆 = (-gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ipsubdir ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢) = ((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐢)))
Proof of Theorem ipsubdir
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 phllmod 21182 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
32adantr 481 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lmodgrp 20477 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
53, 4syl 17 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ Grp)
6 simpr1 1194 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
7 simpr2 1195 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
8 phllmhm.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 ipsubdir.m . . . . . . 7 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
108, 9grpsubcl 18902 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉)
115, 6, 7, 10syl3anc 1371 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉)
12 simpr3 1196 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
13 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
14 phllmhm.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
15 eqid 2732 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
16 eqid 2732 . . . . . 6 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
1713, 14, 8, 15, 16ipdir 21191 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐢) = (((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢)(+gβ€˜πΉ)(𝐡 , 𝐢)))
181, 11, 7, 12, 17syl13anc 1372 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐢) = (((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢)(+gβ€˜πΉ)(𝐡 , 𝐢)))
198, 15, 9grpnpcan 18914 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)𝐡) = 𝐴)
205, 6, 7, 19syl3anc 1371 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)𝐡) = 𝐴)
2120oveq1d 7423 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)𝐡) , 𝐢) = (𝐴 , 𝐢))
2218, 21eqtr3d 2774 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢)(+gβ€˜πΉ)(𝐡 , 𝐢)) = (𝐴 , 𝐢))
2313lmodfgrp 20479 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Grp)
243, 23syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐹 ∈ Grp)
25 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
2613, 14, 8, 25ipcl 21185 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
271, 6, 12, 26syl3anc 1371 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
2813, 14, 8, 25ipcl 21185 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
291, 7, 12, 28syl3anc 1371 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
3013, 14, 8, 25ipcl 21185 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
311, 11, 12, 30syl3anc 1371 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
32 ipsubdir.s . . . . 5 𝑆 = (-gβ€˜πΉ)
3325, 16, 32grpsubadd 18910 . . . 4 ((𝐹 ∈ Grp ∧ ((𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ (((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐢)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢) ↔ (((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢)(+gβ€˜πΉ)(𝐡 , 𝐢)) = (𝐴 , 𝐢)))
3424, 27, 29, 31, 33syl13anc 1372 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐢)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢) ↔ (((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢)(+gβ€˜πΉ)(𝐡 , 𝐢)) = (𝐴 , 𝐢)))
3522, 34mpbird 256 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐢)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢))
3635eqcomd 2738 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , 𝐢) = ((𝐴 , 𝐢)𝑆(𝐡 , 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  Scalarcsca 17199  Β·π‘–cip 17201  Grpcgrp 18818  -gcsg 18820  LModclmod 20470  PreHilcphl 21176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-ghm 19089  df-ring 20057  df-lmod 20472  df-lmhm 20632  df-lvec 20713  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-phl 21178
This theorem is referenced by:  ip2subdi  21196  cphsubdir  24724
  Copyright terms: Public domain W3C validator