Theorem ipsubdir 21694

Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipsubdir.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
ipsubdir.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipsubdir	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
2		phllmod 21682	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
3	2	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
4		lmodgrp 20934	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ Grp)
6		simpr1 1208	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		simpr2 1209	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
8		phllmhm.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		ipsubdir.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑊)
10	8, 9	grpsubcl 19062	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑉)
11	5, 6, 7, 10	syl3anc 1390	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑉)
12		simpr3 1210	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
13		phlsrng.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14		phllmhm.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
15		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
16		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
17	13, 14, 8, 15, 16	ipdir 21691	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((𝐴 − 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵) , 𝐶) = (((𝐴 − 𝐵) , 𝐶)(+g‘𝐹)(𝐵 , 𝐶)))
18	1, 11, 7, 12, 17	syl13anc 1391	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((𝐴 − 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵) , 𝐶) = (((𝐴 − 𝐵) , 𝐶)(+g‘𝐹)(𝐵 , 𝐶)))
19	8, 15, 9	grpnpcan 19074	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 − 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵) = 𝐴)
20	5, 6, 7, 19	syl3anc 1390	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵) = 𝐴)
21	20	oveq1d 7411	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((𝐴 − 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵) , 𝐶) = (𝐴 , 𝐶))
22	18, 21	eqtr3d 2799	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((𝐴 − 𝐵) , 𝐶)(+g‘𝐹)(𝐵 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐶))
23	13	lmodfgrp 20936	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
24	3, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐹 ∈ Grp)
25		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
26	13, 14, 8, 25	ipcl 21685	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
27	1, 6, 12, 26	syl3anc 1390	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
28	13, 14, 8, 25	ipcl 21685	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
29	1, 7, 12, 28	syl3anc 1390	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
30	13, 14, 8, 25	ipcl 21685	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝐴 − 𝐵) , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
31	1, 11, 12, 30	syl3anc 1390	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
32		ipsubdir.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)
33	25, 16, 32	grpsubadd 19070	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ ((𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝐴 − 𝐵) , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))) → (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) , 𝐶) ↔ (((𝐴 − 𝐵) , 𝐶)(+g‘𝐹)(𝐵 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐶)))
34	24, 27, 29, 31, 33	syl13anc 1391	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) , 𝐶) ↔ (((𝐴 − 𝐵) , 𝐶)(+g‘𝐹)(𝐵 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐶)))
35	22, 34	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) , 𝐶))
36	35	eqcomd 2768	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286  Scalarcsca 17289  ·_𝑖cip 17291  Grpcgrp 18975  -_gcsg 18977  LModclmod 20927  PreHilcphl 21676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-ghm 19254  df-ring 20285  df-lmod 20929  df-lmhm 21089  df-lvec 21170  df-sra 21240  df-rgmod 21241  df-phl 21678

This theorem is referenced by:  ip2subdi  21696  cphsubdir  25270