MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipassr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipassr 21198
Description: "Associative" law for second argument of inner product (compare ipass 21197). (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipdir.f 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
ipass.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
ipass.p Γ— = (.rβ€˜πΉ)
ipassr.i βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ipassr ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (𝐴 , (𝐢 Β· 𝐡)) = ((𝐴 , 𝐡) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)))
Proof of Theorem ipassr
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 simpr3 1196 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
3 simpr2 1195 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
4 simpr1 1194 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
5 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
6 phllmhm.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
7 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 ipdir.f . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
9 ipass.s . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
10 ipass.p . . . . . 6 Γ— = (.rβ€˜πΉ)
115, 6, 7, 8, 9, 10ipass 21197 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐢 Β· 𝐡) , 𝐴) = (𝐢 Γ— (𝐡 , 𝐴)))
121, 2, 3, 4, 11syl13anc 1372 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝐢 Β· 𝐡) , 𝐴) = (𝐢 Γ— (𝐡 , 𝐴)))
1312fveq2d 6895 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ( βˆ— β€˜((𝐢 Β· 𝐡) , 𝐴)) = ( βˆ— β€˜(𝐢 Γ— (𝐡 , 𝐴))))
14 phllmod 21182 . . . . . 6 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
1514adantr 481 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
167, 5, 9, 8lmodvscl 20488 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
1715, 2, 3, 16syl3anc 1371 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
18 ipassr.i . . . . 5 βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
195, 6, 7, 18ipcj 21186 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( βˆ— β€˜((𝐢 Β· 𝐡) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐢 Β· 𝐡)))
201, 17, 4, 19syl3anc 1371 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ( βˆ— β€˜((𝐢 Β· 𝐡) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐢 Β· 𝐡)))
215phlsrng 21183 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
2221adantr 481 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
235, 6, 7, 8ipcl 21185 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾)
241, 3, 4, 23syl3anc 1371 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2518, 8, 10srngmul 20465 . . . 4 ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾) β†’ ( βˆ— β€˜(𝐢 Γ— (𝐡 , 𝐴))) = (( βˆ— β€˜(𝐡 , 𝐴)) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)))
2622, 2, 24, 25syl3anc 1371 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ( βˆ— β€˜(𝐢 Γ— (𝐡 , 𝐴))) = (( βˆ— β€˜(𝐡 , 𝐴)) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)))
2713, 20, 263eqtr3d 2780 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (𝐴 , (𝐢 Β· 𝐡)) = (( βˆ— β€˜(𝐡 , 𝐴)) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)))
285, 6, 7, 18ipcj 21186 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( βˆ— β€˜(𝐡 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐡))
291, 3, 4, 28syl3anc 1371 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ( βˆ— β€˜(𝐡 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐡))
3029oveq1d 7423 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (( βˆ— β€˜(𝐡 , 𝐴)) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)) = ((𝐴 , 𝐡) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)))
3127, 30eqtrd 2772 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (𝐴 , (𝐢 Β· 𝐡)) = ((𝐴 , 𝐡) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  *π‘Ÿcstv 17198  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  Β·π‘–cip 17201  *-Ringcsr 20451  LModclmod 20470  PreHilcphl 21176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-ghm 19089  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-rnghom 20250  df-staf 20452  df-srng 20453  df-lmod 20472  df-lmhm 20632  df-lvec 20713  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-phl 21178
This theorem is referenced by:  ipassr2  21199  cphassr  24728  tcphcphlem2  24752
  Copyright terms: Public domain W3C validator