MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipassr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipassr 21595
Description: "Associative" law for second argument of inner product (compare ipass 21594). (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.f 𝐾 = (Base‘𝐹)
ipass.s · = ( ·𝑠𝑊)
ipass.p × = (.r𝐹)
ipassr.i = (*𝑟𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipassr ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → (𝐴 , (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐵) × ( 𝐶)))

Proof of Theorem ipassr
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → 𝑊 ∈ PreHil)
2 simpr3 1193 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → 𝐶𝐾)
3 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → 𝐵𝑉)
4 simpr1 1191 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → 𝐴𝑉)
5 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6 phllmhm.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
7 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 ipdir.f . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
9 ipass.s . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
10 ipass.p . . . . . 6 × = (.r𝐹)
115, 6, 7, 8, 9, 10ipass 21594 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐶𝐾𝐵𝑉𝐴𝑉)) → ((𝐶 · 𝐵) , 𝐴) = (𝐶 × (𝐵 , 𝐴)))
121, 2, 3, 4, 11syl13anc 1369 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → ((𝐶 · 𝐵) , 𝐴) = (𝐶 × (𝐵 , 𝐴)))
1312fveq2d 6900 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → ( ‘((𝐶 · 𝐵) , 𝐴)) = ( ‘(𝐶 × (𝐵 , 𝐴))))
14 phllmod 21579 . . . . . 6 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
1514adantr 479 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → 𝑊 ∈ LMod)
167, 5, 9, 8lmodvscl 20773 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶𝐾𝐵𝑉) → (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑉)
1715, 2, 3, 16syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑉)
18 ipassr.i . . . . 5 = (*𝑟𝐹)
195, 6, 7, 18ipcj 21583 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑉𝐴𝑉) → ( ‘((𝐶 · 𝐵) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐶 · 𝐵)))
201, 17, 4, 19syl3anc 1368 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → ( ‘((𝐶 · 𝐵) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐶 · 𝐵)))
215phlsrng 21580 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
2221adantr 479 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → 𝐹 ∈ *-Ring)
235, 6, 7, 8ipcl 21582 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐴𝑉) → (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾)
241, 3, 4, 23syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2518, 8, 10srngmul 20750 . . . 4 ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ 𝐶𝐾 ∧ (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾) → ( ‘(𝐶 × (𝐵 , 𝐴))) = (( ‘(𝐵 , 𝐴)) × ( 𝐶)))
2622, 2, 24, 25syl3anc 1368 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → ( ‘(𝐶 × (𝐵 , 𝐴))) = (( ‘(𝐵 , 𝐴)) × ( 𝐶)))
2713, 20, 263eqtr3d 2773 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → (𝐴 , (𝐶 · 𝐵)) = (( ‘(𝐵 , 𝐴)) × ( 𝐶)))
285, 6, 7, 18ipcj 21583 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐴𝑉) → ( ‘(𝐵 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐵))
291, 3, 4, 28syl3anc 1368 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → ( ‘(𝐵 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐵))
3029oveq1d 7434 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → (( ‘(𝐵 , 𝐴)) × ( 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵) × ( 𝐶)))
3127, 30eqtrd 2765 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → (𝐴 , (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐵) × ( 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  .rcmulr 17237  *𝑟cstv 17238  Scalarcsca 17239   ·𝑠 cvsca 17240  ·𝑖cip 17241  *-Ringcsr 20736  LModclmod 20755  PreHilcphl 21573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-ghm 19176  df-mgp 20087  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20285  df-rhm 20423  df-staf 20737  df-srng 20738  df-lmod 20757  df-lmhm 20919  df-lvec 21000  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-phl 21575
This theorem is referenced by:  ipassr2  21596  cphassr  25184  tcphcphlem2  25208
  Copyright terms: Public domain W3C validator