MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipassr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipassr 21073
Description: "Associative" law for second argument of inner product (compare ipass 21072). (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipdir.f 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
ipass.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
ipass.p Γ— = (.rβ€˜πΉ)
ipassr.i βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ipassr ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (𝐴 , (𝐢 Β· 𝐡)) = ((𝐴 , 𝐡) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)))

Proof of Theorem ipassr
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 simpr3 1197 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
3 simpr2 1196 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
4 simpr1 1195 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
5 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
6 phllmhm.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
7 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 ipdir.f . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
9 ipass.s . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
10 ipass.p . . . . . 6 Γ— = (.rβ€˜πΉ)
115, 6, 7, 8, 9, 10ipass 21072 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐢 Β· 𝐡) , 𝐴) = (𝐢 Γ— (𝐡 , 𝐴)))
121, 2, 3, 4, 11syl13anc 1373 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝐢 Β· 𝐡) , 𝐴) = (𝐢 Γ— (𝐡 , 𝐴)))
1312fveq2d 6850 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ( βˆ— β€˜((𝐢 Β· 𝐡) , 𝐴)) = ( βˆ— β€˜(𝐢 Γ— (𝐡 , 𝐴))))
14 phllmod 21057 . . . . . 6 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
1514adantr 482 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
167, 5, 9, 8lmodvscl 20383 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
1715, 2, 3, 16syl3anc 1372 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
18 ipassr.i . . . . 5 βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
195, 6, 7, 18ipcj 21061 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( βˆ— β€˜((𝐢 Β· 𝐡) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐢 Β· 𝐡)))
201, 17, 4, 19syl3anc 1372 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ( βˆ— β€˜((𝐢 Β· 𝐡) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐢 Β· 𝐡)))
215phlsrng 21058 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
2221adantr 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
235, 6, 7, 8ipcl 21060 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾)
241, 3, 4, 23syl3anc 1372 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2518, 8, 10srngmul 20360 . . . 4 ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾) β†’ ( βˆ— β€˜(𝐢 Γ— (𝐡 , 𝐴))) = (( βˆ— β€˜(𝐡 , 𝐴)) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)))
2622, 2, 24, 25syl3anc 1372 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ( βˆ— β€˜(𝐢 Γ— (𝐡 , 𝐴))) = (( βˆ— β€˜(𝐡 , 𝐴)) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)))
2713, 20, 263eqtr3d 2781 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (𝐴 , (𝐢 Β· 𝐡)) = (( βˆ— β€˜(𝐡 , 𝐴)) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)))
285, 6, 7, 18ipcj 21061 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( βˆ— β€˜(𝐡 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐡))
291, 3, 4, 28syl3anc 1372 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ( βˆ— β€˜(𝐡 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐡))
3029oveq1d 7376 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (( βˆ— β€˜(𝐡 , 𝐴)) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)) = ((𝐴 , 𝐡) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)))
3127, 30eqtrd 2773 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (𝐴 , (𝐢 Β· 𝐡)) = ((𝐴 , 𝐡) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  *π‘Ÿcstv 17143  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  Β·π‘–cip 17146  *-Ringcsr 20346  LModclmod 20365  PreHilcphl 21051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-ghm 19014  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-rnghom 20156  df-staf 20347  df-srng 20348  df-lmod 20367  df-lmhm 20527  df-lvec 20608  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-phl 21053
This theorem is referenced by:  ipassr2  21074  cphassr  24599  tcphcphlem2  24623
  Copyright terms: Public domain W3C validator