MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipassr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipassr 21572
Description: "Associative" law for second argument of inner product (compare ipass 21571). (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipdir.f 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
ipass.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
ipass.p Γ— = (.rβ€˜πΉ)
ipassr.i βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ipassr ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (𝐴 , (𝐢 Β· 𝐡)) = ((𝐴 , 𝐡) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)))
Proof of Theorem ipassr
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 simpr3 1194 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
3 simpr2 1193 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
4 simpr1 1192 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
5 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
6 phllmhm.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
7 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 ipdir.f . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
9 ipass.s . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
10 ipass.p . . . . . 6 Γ— = (.rβ€˜πΉ)
115, 6, 7, 8, 9, 10ipass 21571 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐢 Β· 𝐡) , 𝐴) = (𝐢 Γ— (𝐡 , 𝐴)))
121, 2, 3, 4, 11syl13anc 1370 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝐢 Β· 𝐡) , 𝐴) = (𝐢 Γ— (𝐡 , 𝐴)))
1312fveq2d 6896 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ( βˆ— β€˜((𝐢 Β· 𝐡) , 𝐴)) = ( βˆ— β€˜(𝐢 Γ— (𝐡 , 𝐴))))
14 phllmod 21556 . . . . . 6 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
1514adantr 480 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
167, 5, 9, 8lmodvscl 20755 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
1715, 2, 3, 16syl3anc 1369 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
18 ipassr.i . . . . 5 βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
195, 6, 7, 18ipcj 21560 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( βˆ— β€˜((𝐢 Β· 𝐡) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐢 Β· 𝐡)))
201, 17, 4, 19syl3anc 1369 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ( βˆ— β€˜((𝐢 Β· 𝐡) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐢 Β· 𝐡)))
215phlsrng 21557 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
2221adantr 480 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
235, 6, 7, 8ipcl 21559 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾)
241, 3, 4, 23syl3anc 1369 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2518, 8, 10srngmul 20732 . . . 4 ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾) β†’ ( βˆ— β€˜(𝐢 Γ— (𝐡 , 𝐴))) = (( βˆ— β€˜(𝐡 , 𝐴)) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)))
2622, 2, 24, 25syl3anc 1369 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ( βˆ— β€˜(𝐢 Γ— (𝐡 , 𝐴))) = (( βˆ— β€˜(𝐡 , 𝐴)) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)))
2713, 20, 263eqtr3d 2776 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (𝐴 , (𝐢 Β· 𝐡)) = (( βˆ— β€˜(𝐡 , 𝐴)) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)))
285, 6, 7, 18ipcj 21560 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( βˆ— β€˜(𝐡 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐡))
291, 3, 4, 28syl3anc 1369 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ( βˆ— β€˜(𝐡 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐡))
3029oveq1d 7430 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (( βˆ— β€˜(𝐡 , 𝐴)) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)) = ((𝐴 , 𝐡) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)))
3127, 30eqtrd 2768 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (𝐴 , (𝐢 Β· 𝐡)) = ((𝐴 , 𝐡) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7415  Basecbs 17174  .rcmulr 17228  *π‘Ÿcstv 17229  Scalarcsca 17230   ·𝑠 cvsca 17231  Β·π‘–cip 17232  *-Ringcsr 20718  LModclmod 20737  PreHilcphl 21550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-2nd 7989  df-tpos 8226  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-map 8841  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-ghm 19162  df-mgp 20069  df-ur 20116  df-ring 20169  df-oppr 20267  df-rhm 20405  df-staf 20719  df-srng 20720  df-lmod 20739  df-lmhm 20901  df-lvec 20982  df-sra 21052  df-rgmod 21053  df-phl 21552
This theorem is referenced by:  ipassr2  21573  cphassr  25134  tcphcphlem2  25158
  Copyright terms: Public domain W3C validator