MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipassr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipassr 21509
Description: "Associative" law for second argument of inner product (compare ipass 21508). (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipdir.f 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
ipass.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
ipass.p Γ— = (.rβ€˜πΉ)
ipassr.i βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ipassr ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (𝐴 , (𝐢 Β· 𝐡)) = ((𝐴 , 𝐡) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)))
Proof of Theorem ipassr
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 simpr3 1193 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
3 simpr2 1192 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
4 simpr1 1191 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
5 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
6 phllmhm.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
7 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 ipdir.f . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
9 ipass.s . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
10 ipass.p . . . . . 6 Γ— = (.rβ€˜πΉ)
115, 6, 7, 8, 9, 10ipass 21508 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐢 Β· 𝐡) , 𝐴) = (𝐢 Γ— (𝐡 , 𝐴)))
121, 2, 3, 4, 11syl13anc 1369 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝐢 Β· 𝐡) , 𝐴) = (𝐢 Γ— (𝐡 , 𝐴)))
1312fveq2d 6886 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ( βˆ— β€˜((𝐢 Β· 𝐡) , 𝐴)) = ( βˆ— β€˜(𝐢 Γ— (𝐡 , 𝐴))))
14 phllmod 21493 . . . . . 6 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
1514adantr 480 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
167, 5, 9, 8lmodvscl 20716 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
1715, 2, 3, 16syl3anc 1368 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
18 ipassr.i . . . . 5 βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
195, 6, 7, 18ipcj 21497 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( βˆ— β€˜((𝐢 Β· 𝐡) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐢 Β· 𝐡)))
201, 17, 4, 19syl3anc 1368 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ( βˆ— β€˜((𝐢 Β· 𝐡) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐢 Β· 𝐡)))
215phlsrng 21494 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
2221adantr 480 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
235, 6, 7, 8ipcl 21496 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾)
241, 3, 4, 23syl3anc 1368 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2518, 8, 10srngmul 20693 . . . 4 ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾) β†’ ( βˆ— β€˜(𝐢 Γ— (𝐡 , 𝐴))) = (( βˆ— β€˜(𝐡 , 𝐴)) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)))
2622, 2, 24, 25syl3anc 1368 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ( βˆ— β€˜(𝐢 Γ— (𝐡 , 𝐴))) = (( βˆ— β€˜(𝐡 , 𝐴)) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)))
2713, 20, 263eqtr3d 2772 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (𝐴 , (𝐢 Β· 𝐡)) = (( βˆ— β€˜(𝐡 , 𝐴)) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)))
285, 6, 7, 18ipcj 21497 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( βˆ— β€˜(𝐡 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐡))
291, 3, 4, 28syl3anc 1368 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ( βˆ— β€˜(𝐡 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐡))
3029oveq1d 7417 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (( βˆ— β€˜(𝐡 , 𝐴)) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)) = ((𝐴 , 𝐡) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)))
3127, 30eqtrd 2764 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (𝐴 , (𝐢 Β· 𝐡)) = ((𝐴 , 𝐡) Γ— ( βˆ— β€˜πΆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17145  .rcmulr 17199  *π‘Ÿcstv 17200  Scalarcsca 17201   ·𝑠 cvsca 17202  Β·π‘–cip 17203  *-Ringcsr 20679  LModclmod 20698  PreHilcphl 21487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-0g 17388  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-ghm 19131  df-mgp 20032  df-ur 20079  df-ring 20132  df-oppr 20228  df-rhm 20366  df-staf 20680  df-srng 20681  df-lmod 20700  df-lmhm 20862  df-lvec 20943  df-sra 21013  df-rgmod 21014  df-phl 21489
This theorem is referenced by:  ipassr2  21510  cphassr  25064  tcphcphlem2  25088
  Copyright terms: Public domain W3C validator