MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphcphlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcphcphlem1 24599
Description: Lemma for tcphcph 24601: the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
tcphcph.h , = (·𝑖𝑊)
tcphcph.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
tcphcph.4 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
tcphcph.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
tcphcph.m = (-g𝑊)
tcphcphlem1.3 (𝜑𝑋𝑉)
tcphcphlem1.4 (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
tcphcphlem1 (𝜑 → (√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥, ,   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem tcphcphlem1
StepHypRef Expression
1 tcphcph.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
2 phllmod 21034 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
3 lmodgrp 20329 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
41, 2, 33syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
5 tcphcphlem1.3 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
6 tcphcphlem1.4 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
7 tcphcph.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 tcphcph.m . . . . . . 7 = (-g𝑊)
97, 8grpsubcl 18827 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
104, 5, 6, 9syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
11 tcphval.n . . . . . 6 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
12 tcphcph.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
13 tcphcph.2 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
14 tcphcph.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
1511, 7, 12, 1, 13, 14tcphcphlem3 24597 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) ∈ ℝ)
1610, 15mpdan 685 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) ∈ ℝ)
1711, 7, 12, 1, 13, 14tcphcphlem3 24597 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
185, 17mpdan 685 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
1911, 7, 12, 1, 13, 14tcphcphlem3 24597 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌𝑉) → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
206, 19mpdan 685 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
2118, 20readdcld 11184 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) ∈ ℝ)
2211, 7, 12, 1, 13phclm 24596 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
23 tcphcph.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝐹)
2412, 23clmsscn 24442 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
2522, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
2612, 14, 7, 23ipcl 21037 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾)
271, 5, 6, 26syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾)
2825, 27sseldd 3945 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
2912, 14, 7, 23ipcl 21037 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑌𝑉𝑋𝑉) → (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾)
301, 6, 5, 29syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾)
3125, 30sseldd 3945 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 , 𝑋) ∈ ℂ)
3228, 31addcld 11174 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)) ∈ ℂ)
3332abscld 15321 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) ∈ ℝ)
3421, 33readdcld 11184 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))) ∈ ℝ)
3518recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℂ)
36 2re 12227 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
37 oveq12 7366 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
3837anidms 567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
3938breq2d 5117 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝑋 , 𝑋)))
40 tcphcph.4 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
4140ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
4239, 41, 5rspcdva 3582 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 , 𝑋))
4318, 42resqrtcld 15302 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℝ)
44 oveq12 7366 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
4544anidms 567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
4645breq2d 5117 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌 → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝑌 , 𝑌)))
4746, 41, 6rspcdva 3582 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 , 𝑌))
4820, 47resqrtcld 15302 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (√‘(𝑌 , 𝑌)) ∈ ℝ)
4943, 48remulcld 11185 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ∈ ℝ)
50 remulcl 11136 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ∈ ℝ) → (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))) ∈ ℝ)
5136, 49, 50sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))) ∈ ℝ)
5251recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))) ∈ ℂ)
5320recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℂ)
5435, 52, 53add32d 11382 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + (𝑌 , 𝑌)) = (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))))
5521, 51readdcld 11184 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) ∈ ℝ)
5654, 55eqeltrd 2838 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + (𝑌 , 𝑌)) ∈ ℝ)
57 oveq12 7366 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑋 𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑋 𝑌)) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))
5857anidms 567 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))
5958breq2d 5117 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))))
6059, 41, 10rspcdva 3582 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))
6116, 60absidd 15307 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))) = ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))
6212clmadd 24437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ ℂMod → + = (+g𝐹))
6322, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → + = (+g𝐹))
6463oveqd 7374 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑋 , 𝑋)(+g𝐹)(𝑌 , 𝑌)))
6563oveqd 7374 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)) = ((𝑋 , 𝑌)(+g𝐹)(𝑌 , 𝑋)))
6664, 65oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))(-g𝐹)((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋)(+g𝐹)(𝑌 , 𝑌))(-g𝐹)((𝑋 , 𝑌)(+g𝐹)(𝑌 , 𝑋))))
6712, 14, 7, 23ipcl 21037 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋𝑉𝑋𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
681, 5, 5, 67syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
6912, 14, 7, 23ipcl 21037 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑌𝑉𝑌𝑉) → (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾)
701, 6, 6, 69syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾)
7112, 23clmacl 24447 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾 ∧ (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾) → ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾)
7222, 68, 70, 71syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾)
7312, 23clmacl 24447 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾 ∧ (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾) → ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾)
7422, 27, 30, 73syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾)
7512, 23clmsub 24443 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾) → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) − ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))(-g𝐹)((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))))
7622, 72, 74, 75syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) − ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))(-g𝐹)((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))))
77 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (-g𝐹) = (-g𝐹)
78 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (+g𝐹) = (+g𝐹)
7912, 14, 7, 8, 77, 78, 1, 5, 6, 5, 6ip2subdi 21048 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) = (((𝑋 , 𝑋)(+g𝐹)(𝑌 , 𝑌))(-g𝐹)((𝑋 , 𝑌)(+g𝐹)(𝑌 , 𝑋))))
8066, 76, 793eqtr4rd 2787 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) = (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) − ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))))
8180fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))) = (abs‘(((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) − ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))))
8261, 81eqtr3d 2778 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) = (abs‘(((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) − ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))))
8325, 72sseldd 3945 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) ∈ ℂ)
8483, 32abs2dif2d 15343 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) − ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))) ≤ ((abs‘((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))))
8582, 84eqbrtrd 5127 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) ≤ ((abs‘((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))))
8618, 20, 42, 47addge0d 11731 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)))
8721, 86absidd 15307 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))) = ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)))
8887oveq1d 7372 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))) = (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))))
8985, 88breqtrd 5131 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) ≤ (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))))
9028abscld 15321 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ∈ ℝ)
91 remulcl 11136 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ∈ ℝ) → (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) ∈ ℝ)
9236, 90, 91sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) ∈ ℝ)
9328, 31abstrid 15341 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) ≤ ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) + (abs‘(𝑌 , 𝑋))))
9490recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ∈ ℂ)
95942timesd 12396 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) = ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) + (abs‘(𝑋 , 𝑌))))
9628abscjd 15335 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(∗‘(𝑋 , 𝑌))) = (abs‘(𝑋 , 𝑌)))
9712clmcj 24439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ ℂMod → ∗ = (*𝑟𝐹))
9822, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∗ = (*𝑟𝐹))
9998fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∗‘(𝑋 , 𝑌)) = ((*𝑟𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)))
100 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
10112, 14, 7, 100ipcj 21038 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
1021, 5, 6, 101syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((*𝑟𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
10399, 102eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∗‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
104103fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(∗‘(𝑋 , 𝑌))) = (abs‘(𝑌 , 𝑋)))
10596, 104eqtr3d 2778 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) = (abs‘(𝑌 , 𝑋)))
106105oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) + (abs‘(𝑋 , 𝑌))) = ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) + (abs‘(𝑌 , 𝑋))))
10795, 106eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) = ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) + (abs‘(𝑌 , 𝑋))))
10893, 107breqtrrd 5133 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) ≤ (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))))
109 tcphcph.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
110 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
111 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))
11211, 7, 12, 1, 13, 14, 109, 40, 23, 110, 111, 5, 6ipcau2 24598 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ (((norm‘𝐺)‘𝑋) · ((norm‘𝐺)‘𝑌)))
11311, 110, 7, 14tcphnmval 24593 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → ((norm‘𝐺)‘𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
1144, 5, 113syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((norm‘𝐺)‘𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
11511, 110, 7, 14tcphnmval 24593 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑉) → ((norm‘𝐺)‘𝑌) = (√‘(𝑌 , 𝑌)))
1164, 6, 115syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((norm‘𝐺)‘𝑌) = (√‘(𝑌 , 𝑌)))
117114, 116oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((norm‘𝐺)‘𝑋) · ((norm‘𝐺)‘𝑌)) = ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
118112, 117breqtrd 5131 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
11936a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
120 2pos 12256 . . . . . . . . . 10 0 < 2
121120a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 2)
122 lemul2 12008 . . . . . . . . 9 (((abs‘(𝑋 , 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ↔ (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) ≤ (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))))
12390, 49, 119, 121, 122syl112anc 1374 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ↔ (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) ≤ (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))))
124118, 123mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) ≤ (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))))
12533, 92, 51, 108, 124letrd 11312 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) ≤ (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))))
12633, 51, 21, 125leadd2dd 11770 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))) ≤ (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))))
127126, 54breqtrrd 5133 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))) ≤ (((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + (𝑌 , 𝑌)))
12816, 34, 56, 89, 127letrd 11312 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) ≤ (((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + (𝑌 , 𝑌)))
12916recnd 11183 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) ∈ ℂ)
130129sqsqrtd 15324 . . 3 (𝜑 → ((√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))↑2) = ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))
13135sqrtcld 15322 . . . . 5 (𝜑 → (√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℂ)
13248recnd 11183 . . . . 5 (𝜑 → (√‘(𝑌 , 𝑌)) ∈ ℂ)
133 binom2 14121 . . . . 5 (((√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝑌 , 𝑌)) ∈ ℂ) → (((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2) = ((((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2)))
134131, 132, 133syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2) = ((((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2)))
13535sqsqrtd 15324 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) = (𝑋 , 𝑋))
136135oveq1d 7372 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) = ((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))))
13753sqsqrtd 15324 . . . . 5 (𝜑 → ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2) = (𝑌 , 𝑌))
138136, 137oveq12d 7375 . . . 4 (𝜑 → ((((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2)) = (((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + (𝑌 , 𝑌)))
139134, 138eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2) = (((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + (𝑌 , 𝑌)))
140128, 130, 1393brtr4d 5137 . 2 (𝜑 → ((√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))↑2) ≤ (((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2))
14116, 60resqrtcld 15302 . . 3 (𝜑 → (√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))) ∈ ℝ)
14243, 48readdcld 11184 . . 3 (𝜑 → ((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌))) ∈ ℝ)
14316, 60sqrtge0d 15305 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))))
14418, 42sqrtge0d 15305 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (√‘(𝑋 , 𝑋)))
14520, 47sqrtge0d 15305 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (√‘(𝑌 , 𝑌)))
14643, 48, 144, 145addge0d 11731 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌))))
147141, 142, 143, 146le2sqd 14160 . 2 (𝜑 → ((√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌))) ↔ ((√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))↑2) ≤ (((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2)))
148140, 147mpbird 256 1 (𝜑 → (√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3910   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  cexp 13967  ccj 14981  csqrt 15118  abscabs 15119  Basecbs 17083  s cress 17112  +gcplusg 17133  *𝑟cstv 17135  Scalarcsca 17136  ·𝑖cip 17138  Grpcgrp 18748  -gcsg 18750  LModclmod 20322  fldccnfld 20796  PreHilcphl 21028  normcnm 23932  ℂModcclm 24425  toℂPreHilctcph 24531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-staf 20304  df-srng 20305  df-lmod 20324  df-lmhm 20483  df-lvec 20564  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-cnfld 20797  df-phl 21030  df-nm 23938  df-tng 23940  df-clm 24426  df-tcph 24533
This theorem is referenced by:  tcphcph  24601
  Copyright terms: Public domain W3C validator