MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphcphlem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tcphcphlem1 24751
Description: Lemma for tcphcph 24753: the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
tcphcph.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
tcphcph.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
tcphcph.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
tcphcph.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
tcphcph.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
tcphcph.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
tcphcph.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
tcphcph.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
tcphcphlem1.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
tcphcphlem1.4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
tcphcphlem1 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
Distinct variable groups:   π‘₯, βˆ’   π‘₯, ,   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑉   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Š   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hint:   𝐾(π‘₯)
Proof of Theorem tcphcphlem1
StepHypRef Expression
1 tcphcph.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 phllmod 21182 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 lmodgrp 20477 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
41, 2, 33syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
5 tcphcphlem1.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
6 tcphcphlem1.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
7 tcphcph.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 tcphcph.m . . . . . . 7 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
97, 8grpsubcl 18902 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ 𝑉)
104, 5, 6, 9syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ 𝑉)
11 tcphval.n . . . . . 6 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
12 tcphcph.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
13 tcphcph.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
14 tcphcph.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
1511, 7, 12, 1, 13, 14tcphcphlem3 24749 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ∈ ℝ)
1610, 15mpdan 685 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ∈ ℝ)
1711, 7, 12, 1, 13, 14tcphcphlem3 24749 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
185, 17mpdan 685 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
1911, 7, 12, 1, 13, 14tcphcphlem3 24749 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ ℝ)
206, 19mpdan 685 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ ℝ)
2118, 20readdcld 11242 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ ℝ)
2211, 7, 12, 1, 13phclm 24748 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
23 tcphcph.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
2412, 23clmsscn 24594 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
2522, 24syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
2612, 14, 7, 23ipcl 21185 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , π‘Œ) ∈ 𝐾)
271, 5, 6, 26syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋 , π‘Œ) ∈ 𝐾)
2825, 27sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 , π‘Œ) ∈ β„‚)
2912, 14, 7, 23ipcl 21185 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ , 𝑋) ∈ 𝐾)
301, 6, 5, 29syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , 𝑋) ∈ 𝐾)
3125, 30sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , 𝑋) ∈ β„‚)
3228, 31addcld 11232 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)) ∈ β„‚)
3332abscld 15382 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) ∈ ℝ)
3421, 33readdcld 11242 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))) ∈ ℝ)
3518recnd 11241 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ β„‚)
36 2re 12285 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
37 oveq12 7417 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ = 𝑋 ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝑋 , 𝑋))
3837anidms 567 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝑋 , 𝑋))
3938breq2d 5160 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (0 ≀ (π‘₯ , π‘₯) ↔ 0 ≀ (𝑋 , 𝑋)))
40 tcphcph.4 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
4140ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
4239, 41, 5rspcdva 3613 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑋 , 𝑋))
4318, 42resqrtcld 15363 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℝ)
44 oveq12 7417 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ = π‘Œ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (π‘Œ , π‘Œ))
4544anidms 567 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (π‘Œ , π‘Œ))
4645breq2d 5160 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (0 ≀ (π‘₯ , π‘₯) ↔ 0 ≀ (π‘Œ , π‘Œ)))
4746, 41, 6rspcdva 3613 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘Œ , π‘Œ))
4820, 47resqrtcld 15363 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)) ∈ ℝ)
4943, 48remulcld 11243 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ∈ ℝ)
50 remulcl 11194 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))) ∈ ℝ)
5136, 49, 50sylancr 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))) ∈ ℝ)
5251recnd 11241 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))) ∈ β„‚)
5320recnd 11241 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ β„‚)
5435, 52, 53add32d 11440 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + (π‘Œ , π‘Œ)) = (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))))
5521, 51readdcld 11242 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) ∈ ℝ)
5654, 55eqeltrd 2833 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ ℝ)
57 oveq12 7417 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∧ π‘₯ = (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))
5857anidms 567 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑋 βˆ’ π‘Œ) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))
5958breq2d 5160 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑋 βˆ’ π‘Œ) β†’ (0 ≀ (π‘₯ , π‘₯) ↔ 0 ≀ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))))
6059, 41, 10rspcdva 3613 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))
6116, 60absidd 15368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))) = ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))
6212clmadd 24589 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ + = (+gβ€˜πΉ))
6322, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜πΉ))
6463oveqd 7425 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) = ((𝑋 , 𝑋)(+gβ€˜πΉ)(π‘Œ , π‘Œ)))
6563oveqd 7425 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)) = ((𝑋 , π‘Œ)(+gβ€˜πΉ)(π‘Œ , 𝑋)))
6664, 65oveq12d 7426 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))(-gβ€˜πΉ)((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋)(+gβ€˜πΉ)(π‘Œ , π‘Œ))(-gβ€˜πΉ)((𝑋 , π‘Œ)(+gβ€˜πΉ)(π‘Œ , 𝑋))))
6712, 14, 7, 23ipcl 21185 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
681, 5, 5, 67syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
6912, 14, 7, 23ipcl 21185 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ 𝐾)
701, 6, 6, 69syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ 𝐾)
7112, 23clmacl 24599 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾 ∧ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ 𝐾) β†’ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ 𝐾)
7222, 68, 70, 71syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ 𝐾)
7312, 23clmacl 24599 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝑋 , π‘Œ) ∈ 𝐾 ∧ (π‘Œ , 𝑋) ∈ 𝐾) β†’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)) ∈ 𝐾)
7422, 27, 30, 73syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)) ∈ 𝐾)
7512, 23clmsub 24595 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)) ∈ 𝐾) β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))(-gβ€˜πΉ)((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))))
7622, 72, 74, 75syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))(-gβ€˜πΉ)((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))))
77 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (-gβ€˜πΉ) = (-gβ€˜πΉ)
78 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
7912, 14, 7, 8, 77, 78, 1, 5, 6, 5, 6ip2subdi 21196 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = (((𝑋 , 𝑋)(+gβ€˜πΉ)(π‘Œ , π‘Œ))(-gβ€˜πΉ)((𝑋 , π‘Œ)(+gβ€˜πΉ)(π‘Œ , 𝑋))))
8066, 76, 793eqtr4rd 2783 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))))
8180fveq2d 6895 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))) = (absβ€˜(((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))))
8261, 81eqtr3d 2774 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = (absβ€˜(((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))))
8325, 72sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ β„‚)
8483, 32abs2dif2d 15404 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))) ≀ ((absβ€˜((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))))
8582, 84eqbrtrd 5170 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ≀ ((absβ€˜((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))))
8618, 20, 42, 47addge0d 11789 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)))
8721, 86absidd 15368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))) = ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)))
8887oveq1d 7423 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))) = (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))))
8985, 88breqtrd 5174 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ≀ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))))
9028abscld 15382 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ∈ ℝ)
91 remulcl 11194 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) ∈ ℝ)
9236, 90, 91sylancr 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) ∈ ℝ)
9328, 31abstrid 15402 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) ≀ ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) + (absβ€˜(π‘Œ , 𝑋))))
9490recnd 11241 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ∈ β„‚)
95942timesd 12454 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) = ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) + (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))))
9628abscjd 15396 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(βˆ—β€˜(𝑋 , π‘Œ))) = (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)))
9712clmcj 24591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
9822, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
9998fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜(𝑋 , π‘Œ)) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝑋 , π‘Œ)))
100 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
10112, 14, 7, 100ipcj 21186 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝑋 , π‘Œ)) = (π‘Œ , 𝑋))
1021, 5, 6, 101syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝑋 , π‘Œ)) = (π‘Œ , 𝑋))
10399, 102eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜(𝑋 , π‘Œ)) = (π‘Œ , 𝑋))
104103fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(βˆ—β€˜(𝑋 , π‘Œ))) = (absβ€˜(π‘Œ , 𝑋)))
10596, 104eqtr3d 2774 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) = (absβ€˜(π‘Œ , 𝑋)))
106105oveq2d 7424 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) + (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) = ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) + (absβ€˜(π‘Œ , 𝑋))))
10795, 106eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) = ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) + (absβ€˜(π‘Œ , 𝑋))))
10893, 107breqtrrd 5176 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) ≀ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))))
109 tcphcph.3 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
110 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (normβ€˜πΊ) = (normβ€˜πΊ)
111 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ , 𝑋) / (π‘Œ , π‘Œ)) = ((π‘Œ , 𝑋) / (π‘Œ , π‘Œ))
11211, 7, 12, 1, 13, 14, 109, 40, 23, 110, 111, 5, 6ipcau2 24750 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ≀ (((normβ€˜πΊ)β€˜π‘‹) Β· ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)))
11311, 110, 7, 14tcphnmval 24745 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)))
1144, 5, 113syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)))
11511, 110, 7, 14tcphnmval 24745 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) = (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))
1164, 6, 115syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) = (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))
117114, 116oveq12d 7426 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((normβ€˜πΊ)β€˜π‘‹) Β· ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)) = ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
118112, 117breqtrd 5174 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
11936a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
120 2pos 12314 . . . . . . . . . 10 0 < 2
121120a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
122 lemul2 12066 . . . . . . . . 9 (((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ∈ ℝ ∧ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ↔ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) ≀ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))))
12390, 49, 119, 121, 122syl112anc 1374 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ↔ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) ≀ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))))
124118, 123mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) ≀ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))))
12533, 92, 51, 108, 124letrd 11370 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) ≀ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))))
12633, 51, 21, 125leadd2dd 11828 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))) ≀ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))))
127126, 54breqtrrd 5176 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))) ≀ (((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + (π‘Œ , π‘Œ)))
12816, 34, 56, 89, 127letrd 11370 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ≀ (((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + (π‘Œ , π‘Œ)))
12916recnd 11241 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ∈ β„‚)
130129sqsqrtd 15385 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))↑2) = ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))
13135sqrtcld 15383 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) ∈ β„‚)
13248recnd 11241 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)) ∈ β„‚)
133 binom2 14180 . . . . 5 (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)) ∈ β„‚) β†’ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))↑2) = ((((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + ((βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))↑2)))
134131, 132, 133syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))↑2) = ((((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + ((βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))↑2)))
13535sqsqrtd 15385 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋))↑2) = (𝑋 , 𝑋))
136135oveq1d 7423 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) = ((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))))
13753sqsqrtd 15385 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))↑2) = (π‘Œ , π‘Œ))
138136, 137oveq12d 7426 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + ((βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))↑2)) = (((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + (π‘Œ , π‘Œ)))
139134, 138eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))↑2) = (((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + (π‘Œ , π‘Œ)))
140128, 130, 1393brtr4d 5180 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))↑2) ≀ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))↑2))
14116, 60resqrtcld 15363 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))) ∈ ℝ)
14243, 48readdcld 11242 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ∈ ℝ)
14316, 60sqrtge0d 15366 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))))
14418, 42sqrtge0d 15366 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)))
14520, 47sqrtge0d 15366 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))
14643, 48, 144, 145addge0d 11789 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
147141, 142, 143, 146le2sqd 14219 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ↔ ((βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))↑2) ≀ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))↑2)))
148140, 147mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112   Β· cmul 11114   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  2c2 12266  β†‘cexp 14026  βˆ—ccj 15042  βˆšcsqrt 15179  abscabs 15180  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  +gcplusg 17196  *π‘Ÿcstv 17198  Scalarcsca 17199  Β·π‘–cip 17201  Grpcgrp 18818  -gcsg 18820  LModclmod 20470  β„‚fldccnfld 20943  PreHilcphl 21176  normcnm 24084  β„‚Modcclm 24577  toβ„‚PreHilctcph 24683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-staf 20452  df-srng 20453  df-lmod 20472  df-lmhm 20632  df-lvec 20713  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-cnfld 20944  df-phl 21178  df-nm 24090  df-tng 24092  df-clm 24578  df-tcph 24685
This theorem is referenced by:  tcphcph  24753
  Copyright terms: Public domain W3C validator