MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphcphlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcphcphlem1 25118
Description: Lemma for tcphcph 25120: the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
tcphcph.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
tcphcph.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
tcphcph.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
tcphcph.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
tcphcph.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
tcphcph.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
tcphcph.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
tcphcph.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
tcphcphlem1.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
tcphcphlem1.4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
tcphcphlem1 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
Distinct variable groups:   π‘₯, βˆ’   π‘₯, ,   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑉   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Š   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hint:   𝐾(π‘₯)

Proof of Theorem tcphcphlem1
StepHypRef Expression
1 tcphcph.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 phllmod 21523 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 lmodgrp 20713 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
41, 2, 33syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
5 tcphcphlem1.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
6 tcphcphlem1.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
7 tcphcph.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 tcphcph.m . . . . . . 7 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
97, 8grpsubcl 18948 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ 𝑉)
104, 5, 6, 9syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ 𝑉)
11 tcphval.n . . . . . 6 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
12 tcphcph.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
13 tcphcph.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
14 tcphcph.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
1511, 7, 12, 1, 13, 14tcphcphlem3 25116 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ∈ ℝ)
1610, 15mpdan 684 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ∈ ℝ)
1711, 7, 12, 1, 13, 14tcphcphlem3 25116 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
185, 17mpdan 684 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
1911, 7, 12, 1, 13, 14tcphcphlem3 25116 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ ℝ)
206, 19mpdan 684 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ ℝ)
2118, 20readdcld 11247 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ ℝ)
2211, 7, 12, 1, 13phclm 25115 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
23 tcphcph.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
2412, 23clmsscn 24961 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
2522, 24syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
2612, 14, 7, 23ipcl 21526 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , π‘Œ) ∈ 𝐾)
271, 5, 6, 26syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋 , π‘Œ) ∈ 𝐾)
2825, 27sseldd 3978 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 , π‘Œ) ∈ β„‚)
2912, 14, 7, 23ipcl 21526 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ , 𝑋) ∈ 𝐾)
301, 6, 5, 29syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , 𝑋) ∈ 𝐾)
3125, 30sseldd 3978 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , 𝑋) ∈ β„‚)
3228, 31addcld 11237 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)) ∈ β„‚)
3332abscld 15389 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) ∈ ℝ)
3421, 33readdcld 11247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))) ∈ ℝ)
3518recnd 11246 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ β„‚)
36 2re 12290 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
37 oveq12 7414 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ = 𝑋 ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝑋 , 𝑋))
3837anidms 566 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝑋 , 𝑋))
3938breq2d 5153 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (0 ≀ (π‘₯ , π‘₯) ↔ 0 ≀ (𝑋 , 𝑋)))
40 tcphcph.4 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
4140ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
4239, 41, 5rspcdva 3607 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑋 , 𝑋))
4318, 42resqrtcld 15370 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℝ)
44 oveq12 7414 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ = π‘Œ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (π‘Œ , π‘Œ))
4544anidms 566 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (π‘Œ , π‘Œ))
4645breq2d 5153 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (0 ≀ (π‘₯ , π‘₯) ↔ 0 ≀ (π‘Œ , π‘Œ)))
4746, 41, 6rspcdva 3607 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘Œ , π‘Œ))
4820, 47resqrtcld 15370 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)) ∈ ℝ)
4943, 48remulcld 11248 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ∈ ℝ)
50 remulcl 11197 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))) ∈ ℝ)
5136, 49, 50sylancr 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))) ∈ ℝ)
5251recnd 11246 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))) ∈ β„‚)
5320recnd 11246 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ β„‚)
5435, 52, 53add32d 11445 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + (π‘Œ , π‘Œ)) = (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))))
5521, 51readdcld 11247 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) ∈ ℝ)
5654, 55eqeltrd 2827 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ ℝ)
57 oveq12 7414 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∧ π‘₯ = (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))
5857anidms 566 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑋 βˆ’ π‘Œ) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))
5958breq2d 5153 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑋 βˆ’ π‘Œ) β†’ (0 ≀ (π‘₯ , π‘₯) ↔ 0 ≀ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))))
6059, 41, 10rspcdva 3607 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))
6116, 60absidd 15375 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))) = ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))
6212clmadd 24956 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ + = (+gβ€˜πΉ))
6322, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜πΉ))
6463oveqd 7422 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) = ((𝑋 , 𝑋)(+gβ€˜πΉ)(π‘Œ , π‘Œ)))
6563oveqd 7422 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)) = ((𝑋 , π‘Œ)(+gβ€˜πΉ)(π‘Œ , 𝑋)))
6664, 65oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))(-gβ€˜πΉ)((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋)(+gβ€˜πΉ)(π‘Œ , π‘Œ))(-gβ€˜πΉ)((𝑋 , π‘Œ)(+gβ€˜πΉ)(π‘Œ , 𝑋))))
6712, 14, 7, 23ipcl 21526 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
681, 5, 5, 67syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
6912, 14, 7, 23ipcl 21526 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ 𝐾)
701, 6, 6, 69syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ 𝐾)
7112, 23clmacl 24966 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾 ∧ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ 𝐾) β†’ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ 𝐾)
7222, 68, 70, 71syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ 𝐾)
7312, 23clmacl 24966 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝑋 , π‘Œ) ∈ 𝐾 ∧ (π‘Œ , 𝑋) ∈ 𝐾) β†’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)) ∈ 𝐾)
7422, 27, 30, 73syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)) ∈ 𝐾)
7512, 23clmsub 24962 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)) ∈ 𝐾) β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))(-gβ€˜πΉ)((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))))
7622, 72, 74, 75syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))(-gβ€˜πΉ)((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))))
77 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (-gβ€˜πΉ) = (-gβ€˜πΉ)
78 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
7912, 14, 7, 8, 77, 78, 1, 5, 6, 5, 6ip2subdi 21537 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = (((𝑋 , 𝑋)(+gβ€˜πΉ)(π‘Œ , π‘Œ))(-gβ€˜πΉ)((𝑋 , π‘Œ)(+gβ€˜πΉ)(π‘Œ , 𝑋))))
8066, 76, 793eqtr4rd 2777 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))))
8180fveq2d 6889 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))) = (absβ€˜(((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))))
8261, 81eqtr3d 2768 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = (absβ€˜(((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))))
8325, 72sseldd 3978 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ β„‚)
8483, 32abs2dif2d 15411 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))) ≀ ((absβ€˜((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))))
8582, 84eqbrtrd 5163 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ≀ ((absβ€˜((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))))
8618, 20, 42, 47addge0d 11794 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)))
8721, 86absidd 15375 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))) = ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)))
8887oveq1d 7420 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))) = (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))))
8985, 88breqtrd 5167 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ≀ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))))
9028abscld 15389 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ∈ ℝ)
91 remulcl 11197 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) ∈ ℝ)
9236, 90, 91sylancr 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) ∈ ℝ)
9328, 31abstrid 15409 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) ≀ ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) + (absβ€˜(π‘Œ , 𝑋))))
9490recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ∈ β„‚)
95942timesd 12459 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) = ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) + (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))))
9628abscjd 15403 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(βˆ—β€˜(𝑋 , π‘Œ))) = (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)))
9712clmcj 24958 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
9822, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
9998fveq1d 6887 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜(𝑋 , π‘Œ)) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝑋 , π‘Œ)))
100 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
10112, 14, 7, 100ipcj 21527 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝑋 , π‘Œ)) = (π‘Œ , 𝑋))
1021, 5, 6, 101syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝑋 , π‘Œ)) = (π‘Œ , 𝑋))
10399, 102eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜(𝑋 , π‘Œ)) = (π‘Œ , 𝑋))
104103fveq2d 6889 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(βˆ—β€˜(𝑋 , π‘Œ))) = (absβ€˜(π‘Œ , 𝑋)))
10596, 104eqtr3d 2768 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) = (absβ€˜(π‘Œ , 𝑋)))
106105oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) + (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) = ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) + (absβ€˜(π‘Œ , 𝑋))))
10795, 106eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) = ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) + (absβ€˜(π‘Œ , 𝑋))))
10893, 107breqtrrd 5169 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) ≀ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))))
109 tcphcph.3 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
110 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (normβ€˜πΊ) = (normβ€˜πΊ)
111 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ , 𝑋) / (π‘Œ , π‘Œ)) = ((π‘Œ , 𝑋) / (π‘Œ , π‘Œ))
11211, 7, 12, 1, 13, 14, 109, 40, 23, 110, 111, 5, 6ipcau2 25117 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ≀ (((normβ€˜πΊ)β€˜π‘‹) Β· ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)))
11311, 110, 7, 14tcphnmval 25112 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)))
1144, 5, 113syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)))
11511, 110, 7, 14tcphnmval 25112 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) = (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))
1164, 6, 115syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) = (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))
117114, 116oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((normβ€˜πΊ)β€˜π‘‹) Β· ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)) = ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
118112, 117breqtrd 5167 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
11936a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
120 2pos 12319 . . . . . . . . . 10 0 < 2
121120a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
122 lemul2 12071 . . . . . . . . 9 (((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ∈ ℝ ∧ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ↔ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) ≀ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))))
12390, 49, 119, 121, 122syl112anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ↔ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) ≀ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))))
124118, 123mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) ≀ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))))
12533, 92, 51, 108, 124letrd 11375 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) ≀ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))))
12633, 51, 21, 125leadd2dd 11833 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))) ≀ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))))
127126, 54breqtrrd 5169 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))) ≀ (((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + (π‘Œ , π‘Œ)))
12816, 34, 56, 89, 127letrd 11375 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ≀ (((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + (π‘Œ , π‘Œ)))
12916recnd 11246 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ∈ β„‚)
130129sqsqrtd 15392 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))↑2) = ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))
13135sqrtcld 15390 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) ∈ β„‚)
13248recnd 11246 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)) ∈ β„‚)
133 binom2 14186 . . . . 5 (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)) ∈ β„‚) β†’ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))↑2) = ((((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + ((βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))↑2)))
134131, 132, 133syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))↑2) = ((((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + ((βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))↑2)))
13535sqsqrtd 15392 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋))↑2) = (𝑋 , 𝑋))
136135oveq1d 7420 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) = ((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))))
13753sqsqrtd 15392 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))↑2) = (π‘Œ , π‘Œ))
138136, 137oveq12d 7423 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + ((βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))↑2)) = (((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + (π‘Œ , π‘Œ)))
139134, 138eqtrd 2766 . . 3 (πœ‘ β†’ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))↑2) = (((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + (π‘Œ , π‘Œ)))
140128, 130, 1393brtr4d 5173 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))↑2) ≀ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))↑2))
14116, 60resqrtcld 15370 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))) ∈ ℝ)
14243, 48readdcld 11247 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ∈ ℝ)
14316, 60sqrtge0d 15373 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))))
14418, 42sqrtge0d 15373 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)))
14520, 47sqrtge0d 15373 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))
14643, 48, 144, 145addge0d 11794 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
147141, 142, 143, 146le2sqd 14225 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ↔ ((βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))↑2) ≀ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))↑2)))
148140, 147mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  β†‘cexp 14032  βˆ—ccj 15049  βˆšcsqrt 15186  abscabs 15187  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  +gcplusg 17206  *π‘Ÿcstv 17208  Scalarcsca 17209  Β·π‘–cip 17211  Grpcgrp 18863  -gcsg 18865  LModclmod 20706  β„‚fldccnfld 21240  PreHilcphl 21517  normcnm 24440  β„‚Modcclm 24944  toβ„‚PreHilctcph 25050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-staf 20688  df-srng 20689  df-lmod 20708  df-lmhm 20870  df-lvec 20951  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-cnfld 21241  df-phl 21519  df-nm 24446  df-tng 24448  df-clm 24945  df-tcph 25052
This theorem is referenced by:  tcphcph  25120
  Copyright terms: Public domain W3C validator