MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphcphlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcphcphlem1 25283
Description: Lemma for tcphcph 25285: the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
tcphcph.h , = (·𝑖𝑊)
tcphcph.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
tcphcph.4 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
tcphcph.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
tcphcph.m = (-g𝑊)
tcphcphlem1.3 (𝜑𝑋𝑉)
tcphcphlem1.4 (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
tcphcphlem1 (𝜑 → (√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥, ,   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem tcphcphlem1
StepHypRef Expression
1 tcphcph.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
2 phllmod 21666 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
3 lmodgrp 20882 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
41, 2, 33syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
5 tcphcphlem1.3 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
6 tcphcphlem1.4 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
7 tcphcph.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 tcphcph.m . . . . . . 7 = (-g𝑊)
97, 8grpsubcl 19051 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
104, 5, 6, 9syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
11 tcphval.n . . . . . 6 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
12 tcphcph.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
13 tcphcph.2 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
14 tcphcph.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
1511, 7, 12, 1, 13, 14tcphcphlem3 25281 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) ∈ ℝ)
1610, 15mpdan 687 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) ∈ ℝ)
1711, 7, 12, 1, 13, 14tcphcphlem3 25281 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
185, 17mpdan 687 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
1911, 7, 12, 1, 13, 14tcphcphlem3 25281 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌𝑉) → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
206, 19mpdan 687 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
2118, 20readdcld 11288 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) ∈ ℝ)
2211, 7, 12, 1, 13phclm 25280 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
23 tcphcph.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝐹)
2412, 23clmsscn 25126 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
2522, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
2612, 14, 7, 23ipcl 21669 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾)
271, 5, 6, 26syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾)
2825, 27sseldd 3996 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
2912, 14, 7, 23ipcl 21669 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑌𝑉𝑋𝑉) → (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾)
301, 6, 5, 29syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾)
3125, 30sseldd 3996 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 , 𝑋) ∈ ℂ)
3228, 31addcld 11278 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)) ∈ ℂ)
3332abscld 15472 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) ∈ ℝ)
3421, 33readdcld 11288 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))) ∈ ℝ)
3518recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℂ)
36 2re 12338 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
37 oveq12 7440 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
3837anidms 566 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
3938breq2d 5160 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝑋 , 𝑋)))
40 tcphcph.4 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
4140ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
4239, 41, 5rspcdva 3623 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 , 𝑋))
4318, 42resqrtcld 15453 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℝ)
44 oveq12 7440 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
4544anidms 566 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
4645breq2d 5160 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌 → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝑌 , 𝑌)))
4746, 41, 6rspcdva 3623 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 , 𝑌))
4820, 47resqrtcld 15453 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (√‘(𝑌 , 𝑌)) ∈ ℝ)
4943, 48remulcld 11289 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ∈ ℝ)
50 remulcl 11238 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ∈ ℝ) → (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))) ∈ ℝ)
5136, 49, 50sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))) ∈ ℝ)
5251recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))) ∈ ℂ)
5320recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℂ)
5435, 52, 53add32d 11487 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + (𝑌 , 𝑌)) = (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))))
5521, 51readdcld 11288 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) ∈ ℝ)
5654, 55eqeltrd 2839 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + (𝑌 , 𝑌)) ∈ ℝ)
57 oveq12 7440 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑋 𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑋 𝑌)) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))
5857anidms 566 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))
5958breq2d 5160 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))))
6059, 41, 10rspcdva 3623 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))
6116, 60absidd 15458 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))) = ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))
6212clmadd 25121 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ ℂMod → + = (+g𝐹))
6322, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → + = (+g𝐹))
6463oveqd 7448 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑋 , 𝑋)(+g𝐹)(𝑌 , 𝑌)))
6563oveqd 7448 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)) = ((𝑋 , 𝑌)(+g𝐹)(𝑌 , 𝑋)))
6664, 65oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))(-g𝐹)((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋)(+g𝐹)(𝑌 , 𝑌))(-g𝐹)((𝑋 , 𝑌)(+g𝐹)(𝑌 , 𝑋))))
6712, 14, 7, 23ipcl 21669 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋𝑉𝑋𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
681, 5, 5, 67syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
6912, 14, 7, 23ipcl 21669 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑌𝑉𝑌𝑉) → (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾)
701, 6, 6, 69syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾)
7112, 23clmacl 25131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾 ∧ (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾) → ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾)
7222, 68, 70, 71syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾)
7312, 23clmacl 25131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾 ∧ (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾) → ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾)
7422, 27, 30, 73syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾)
7512, 23clmsub 25127 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾) → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) − ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))(-g𝐹)((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))))
7622, 72, 74, 75syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) − ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))(-g𝐹)((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))))
77 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (-g𝐹) = (-g𝐹)
78 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (+g𝐹) = (+g𝐹)
7912, 14, 7, 8, 77, 78, 1, 5, 6, 5, 6ip2subdi 21680 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) = (((𝑋 , 𝑋)(+g𝐹)(𝑌 , 𝑌))(-g𝐹)((𝑋 , 𝑌)(+g𝐹)(𝑌 , 𝑋))))
8066, 76, 793eqtr4rd 2786 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) = (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) − ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))))
8180fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))) = (abs‘(((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) − ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))))
8261, 81eqtr3d 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) = (abs‘(((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) − ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))))
8325, 72sseldd 3996 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) ∈ ℂ)
8483, 32abs2dif2d 15494 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) − ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))) ≤ ((abs‘((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))))
8582, 84eqbrtrd 5170 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) ≤ ((abs‘((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))))
8618, 20, 42, 47addge0d 11837 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)))
8721, 86absidd 15458 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))) = ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)))
8887oveq1d 7446 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))) = (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))))
8985, 88breqtrd 5174 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) ≤ (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))))
9028abscld 15472 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ∈ ℝ)
91 remulcl 11238 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ∈ ℝ) → (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) ∈ ℝ)
9236, 90, 91sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) ∈ ℝ)
9328, 31abstrid 15492 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) ≤ ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) + (abs‘(𝑌 , 𝑋))))
9490recnd 11287 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ∈ ℂ)
95942timesd 12507 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) = ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) + (abs‘(𝑋 , 𝑌))))
9628abscjd 15486 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(∗‘(𝑋 , 𝑌))) = (abs‘(𝑋 , 𝑌)))
9712clmcj 25123 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ ℂMod → ∗ = (*𝑟𝐹))
9822, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∗ = (*𝑟𝐹))
9998fveq1d 6909 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∗‘(𝑋 , 𝑌)) = ((*𝑟𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)))
100 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
10112, 14, 7, 100ipcj 21670 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
1021, 5, 6, 101syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((*𝑟𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
10399, 102eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∗‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
104103fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(∗‘(𝑋 , 𝑌))) = (abs‘(𝑌 , 𝑋)))
10596, 104eqtr3d 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) = (abs‘(𝑌 , 𝑋)))
106105oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) + (abs‘(𝑋 , 𝑌))) = ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) + (abs‘(𝑌 , 𝑋))))
10795, 106eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) = ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) + (abs‘(𝑌 , 𝑋))))
10893, 107breqtrrd 5176 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) ≤ (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))))
109 tcphcph.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
110 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
111 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))
11211, 7, 12, 1, 13, 14, 109, 40, 23, 110, 111, 5, 6ipcau2 25282 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ (((norm‘𝐺)‘𝑋) · ((norm‘𝐺)‘𝑌)))
11311, 110, 7, 14tcphnmval 25277 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → ((norm‘𝐺)‘𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
1144, 5, 113syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((norm‘𝐺)‘𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
11511, 110, 7, 14tcphnmval 25277 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑉) → ((norm‘𝐺)‘𝑌) = (√‘(𝑌 , 𝑌)))
1164, 6, 115syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((norm‘𝐺)‘𝑌) = (√‘(𝑌 , 𝑌)))
117114, 116oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((norm‘𝐺)‘𝑋) · ((norm‘𝐺)‘𝑌)) = ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
118112, 117breqtrd 5174 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
11936a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
120 2pos 12367 . . . . . . . . . 10 0 < 2
121120a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 2)
122 lemul2 12118 . . . . . . . . 9 (((abs‘(𝑋 , 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ↔ (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) ≤ (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))))
12390, 49, 119, 121, 122syl112anc 1373 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ↔ (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) ≤ (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))))
124118, 123mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) ≤ (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))))
12533, 92, 51, 108, 124letrd 11416 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) ≤ (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))))
12633, 51, 21, 125leadd2dd 11876 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))) ≤ (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))))
127126, 54breqtrrd 5176 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))) ≤ (((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + (𝑌 , 𝑌)))
12816, 34, 56, 89, 127letrd 11416 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) ≤ (((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + (𝑌 , 𝑌)))
12916recnd 11287 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) ∈ ℂ)
130129sqsqrtd 15475 . . 3 (𝜑 → ((√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))↑2) = ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))
13135sqrtcld 15473 . . . . 5 (𝜑 → (√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℂ)
13248recnd 11287 . . . . 5 (𝜑 → (√‘(𝑌 , 𝑌)) ∈ ℂ)
133 binom2 14253 . . . . 5 (((√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝑌 , 𝑌)) ∈ ℂ) → (((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2) = ((((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2)))
134131, 132, 133syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2) = ((((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2)))
13535sqsqrtd 15475 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) = (𝑋 , 𝑋))
136135oveq1d 7446 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) = ((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))))
13753sqsqrtd 15475 . . . . 5 (𝜑 → ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2) = (𝑌 , 𝑌))
138136, 137oveq12d 7449 . . . 4 (𝜑 → ((((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2)) = (((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + (𝑌 , 𝑌)))
139134, 138eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2) = (((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + (𝑌 , 𝑌)))
140128, 130, 1393brtr4d 5180 . 2 (𝜑 → ((√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))↑2) ≤ (((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2))
14116, 60resqrtcld 15453 . . 3 (𝜑 → (√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))) ∈ ℝ)
14243, 48readdcld 11288 . . 3 (𝜑 → ((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌))) ∈ ℝ)
14316, 60sqrtge0d 15456 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))))
14418, 42sqrtge0d 15456 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (√‘(𝑋 , 𝑋)))
14520, 47sqrtge0d 15456 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (√‘(𝑌 , 𝑌)))
14643, 48, 144, 145addge0d 11837 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌))))
147141, 142, 143, 146le2sqd 14293 . 2 (𝜑 → ((√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌))) ↔ ((√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))↑2) ≤ (((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2)))
148140, 147mpbird 257 1 (𝜑 → (√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  cexp 14099  ccj 15132  csqrt 15269  abscabs 15270  Basecbs 17245  s cress 17274  +gcplusg 17298  *𝑟cstv 17300  Scalarcsca 17301  ·𝑖cip 17303  Grpcgrp 18964  -gcsg 18966  LModclmod 20875  fldccnfld 21382  PreHilcphl 21660  normcnm 24605  ℂModcclm 25109  toℂPreHilctcph 25215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-staf 20857  df-srng 20858  df-lmod 20877  df-lmhm 21039  df-lvec 21120  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-cnfld 21383  df-phl 21662  df-nm 24611  df-tng 24613  df-clm 25110  df-tcph 25217
This theorem is referenced by:  tcphcph  25285
  Copyright terms: Public domain W3C validator