MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphcphlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcphcphlem1 23765
Description: Lemma for tcphcph 23767: the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
tcphcph.h , = (·𝑖𝑊)
tcphcph.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
tcphcph.4 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
tcphcph.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
tcphcph.m = (-g𝑊)
tcphcphlem1.3 (𝜑𝑋𝑉)
tcphcphlem1.4 (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
tcphcphlem1 (𝜑 → (√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥, ,   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem tcphcphlem1
StepHypRef Expression
1 tcphcph.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
2 phllmod 20702 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
3 lmodgrp 19570 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
41, 2, 33syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
5 tcphcphlem1.3 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
6 tcphcphlem1.4 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
7 tcphcph.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 tcphcph.m . . . . . . 7 = (-g𝑊)
97, 8grpsubcl 18117 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
104, 5, 6, 9syl3anc 1363 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
11 tcphval.n . . . . . 6 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
12 tcphcph.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
13 tcphcph.2 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
14 tcphcph.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
1511, 7, 12, 1, 13, 14tcphcphlem3 23763 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) ∈ ℝ)
1610, 15mpdan 683 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) ∈ ℝ)
1711, 7, 12, 1, 13, 14tcphcphlem3 23763 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
185, 17mpdan 683 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
1911, 7, 12, 1, 13, 14tcphcphlem3 23763 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌𝑉) → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
206, 19mpdan 683 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
2118, 20readdcld 10658 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) ∈ ℝ)
2211, 7, 12, 1, 13phclm 23762 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
23 tcphcph.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝐹)
2412, 23clmsscn 23610 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
2522, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
2612, 14, 7, 23ipcl 20705 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾)
271, 5, 6, 26syl3anc 1363 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾)
2825, 27sseldd 3965 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
2912, 14, 7, 23ipcl 20705 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑌𝑉𝑋𝑉) → (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾)
301, 6, 5, 29syl3anc 1363 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾)
3125, 30sseldd 3965 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 , 𝑋) ∈ ℂ)
3228, 31addcld 10648 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)) ∈ ℂ)
3332abscld 14784 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) ∈ ℝ)
3421, 33readdcld 10658 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))) ∈ ℝ)
3518recnd 10657 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℂ)
36 2re 11699 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
37 oveq12 7154 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
3837anidms 567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
3938breq2d 5069 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝑋 , 𝑋)))
40 tcphcph.4 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
4140ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
4239, 41, 5rspcdva 3622 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 , 𝑋))
4318, 42resqrtcld 14765 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℝ)
44 oveq12 7154 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
4544anidms 567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
4645breq2d 5069 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌 → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝑌 , 𝑌)))
4746, 41, 6rspcdva 3622 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 , 𝑌))
4820, 47resqrtcld 14765 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (√‘(𝑌 , 𝑌)) ∈ ℝ)
4943, 48remulcld 10659 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ∈ ℝ)
50 remulcl 10610 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ∈ ℝ) → (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))) ∈ ℝ)
5136, 49, 50sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))) ∈ ℝ)
5251recnd 10657 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))) ∈ ℂ)
5320recnd 10657 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℂ)
5435, 52, 53add32d 10855 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + (𝑌 , 𝑌)) = (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))))
5521, 51readdcld 10658 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) ∈ ℝ)
5654, 55eqeltrd 2910 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + (𝑌 , 𝑌)) ∈ ℝ)
57 oveq12 7154 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑋 𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑋 𝑌)) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))
5857anidms 567 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))
5958breq2d 5069 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))))
6059, 41, 10rspcdva 3622 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))
6116, 60absidd 14770 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))) = ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))
6212clmadd 23605 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ ℂMod → + = (+g𝐹))
6322, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → + = (+g𝐹))
6463oveqd 7162 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑋 , 𝑋)(+g𝐹)(𝑌 , 𝑌)))
6563oveqd 7162 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)) = ((𝑋 , 𝑌)(+g𝐹)(𝑌 , 𝑋)))
6664, 65oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))(-g𝐹)((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋)(+g𝐹)(𝑌 , 𝑌))(-g𝐹)((𝑋 , 𝑌)(+g𝐹)(𝑌 , 𝑋))))
6712, 14, 7, 23ipcl 20705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋𝑉𝑋𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
681, 5, 5, 67syl3anc 1363 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
6912, 14, 7, 23ipcl 20705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑌𝑉𝑌𝑉) → (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾)
701, 6, 6, 69syl3anc 1363 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾)
7112, 23clmacl 23615 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾 ∧ (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾) → ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾)
7222, 68, 70, 71syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾)
7312, 23clmacl 23615 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾 ∧ (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾) → ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾)
7422, 27, 30, 73syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾)
7512, 23clmsub 23611 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾) → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) − ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))(-g𝐹)((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))))
7622, 72, 74, 75syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) − ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))(-g𝐹)((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))))
77 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (-g𝐹) = (-g𝐹)
78 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (+g𝐹) = (+g𝐹)
7912, 14, 7, 8, 77, 78, 1, 5, 6, 5, 6ip2subdi 20716 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) = (((𝑋 , 𝑋)(+g𝐹)(𝑌 , 𝑌))(-g𝐹)((𝑋 , 𝑌)(+g𝐹)(𝑌 , 𝑋))))
8066, 76, 793eqtr4rd 2864 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) = (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) − ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))))
8180fveq2d 6667 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))) = (abs‘(((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) − ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))))
8261, 81eqtr3d 2855 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) = (abs‘(((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) − ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))))
8325, 72sseldd 3965 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) ∈ ℂ)
8483, 32abs2dif2d 14806 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) − ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))) ≤ ((abs‘((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))))
8582, 84eqbrtrd 5079 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) ≤ ((abs‘((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))))
8618, 20, 42, 47addge0d 11204 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)))
8721, 86absidd 14770 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))) = ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)))
8887oveq1d 7160 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))) = (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))))
8985, 88breqtrd 5083 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) ≤ (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))))
9028abscld 14784 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ∈ ℝ)
91 remulcl 10610 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ∈ ℝ) → (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) ∈ ℝ)
9236, 90, 91sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) ∈ ℝ)
9328, 31abstrid 14804 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) ≤ ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) + (abs‘(𝑌 , 𝑋))))
9490recnd 10657 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ∈ ℂ)
95942timesd 11868 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) = ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) + (abs‘(𝑋 , 𝑌))))
9628abscjd 14798 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(∗‘(𝑋 , 𝑌))) = (abs‘(𝑋 , 𝑌)))
9712clmcj 23607 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ ℂMod → ∗ = (*𝑟𝐹))
9822, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∗ = (*𝑟𝐹))
9998fveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∗‘(𝑋 , 𝑌)) = ((*𝑟𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)))
100 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
10112, 14, 7, 100ipcj 20706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
1021, 5, 6, 101syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((*𝑟𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
10399, 102eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∗‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
104103fveq2d 6667 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(∗‘(𝑋 , 𝑌))) = (abs‘(𝑌 , 𝑋)))
10596, 104eqtr3d 2855 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) = (abs‘(𝑌 , 𝑋)))
106105oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) + (abs‘(𝑋 , 𝑌))) = ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) + (abs‘(𝑌 , 𝑋))))
10795, 106eqtrd 2853 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) = ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) + (abs‘(𝑌 , 𝑋))))
10893, 107breqtrrd 5085 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) ≤ (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))))
109 tcphcph.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
110 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
111 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))
11211, 7, 12, 1, 13, 14, 109, 40, 23, 110, 111, 5, 6ipcau2 23764 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ (((norm‘𝐺)‘𝑋) · ((norm‘𝐺)‘𝑌)))
11311, 110, 7, 14tcphnmval 23759 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → ((norm‘𝐺)‘𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
1144, 5, 113syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((norm‘𝐺)‘𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
11511, 110, 7, 14tcphnmval 23759 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑉) → ((norm‘𝐺)‘𝑌) = (√‘(𝑌 , 𝑌)))
1164, 6, 115syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((norm‘𝐺)‘𝑌) = (√‘(𝑌 , 𝑌)))
117114, 116oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((norm‘𝐺)‘𝑋) · ((norm‘𝐺)‘𝑌)) = ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
118112, 117breqtrd 5083 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
11936a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
120 2pos 11728 . . . . . . . . . 10 0 < 2
121120a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 2)
122 lemul2 11481 . . . . . . . . 9 (((abs‘(𝑋 , 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ↔ (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) ≤ (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))))
12390, 49, 119, 121, 122syl112anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ↔ (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) ≤ (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))))
124118, 123mpbid 233 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) ≤ (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))))
12533, 92, 51, 108, 124letrd 10785 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) ≤ (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))))
12633, 51, 21, 125leadd2dd 11243 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))) ≤ (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))))
127126, 54breqtrrd 5085 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))) ≤ (((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + (𝑌 , 𝑌)))
12816, 34, 56, 89, 127letrd 10785 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) ≤ (((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + (𝑌 , 𝑌)))
12916recnd 10657 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) ∈ ℂ)
130129sqsqrtd 14787 . . 3 (𝜑 → ((√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))↑2) = ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))
13135sqrtcld 14785 . . . . 5 (𝜑 → (√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℂ)
13248recnd 10657 . . . . 5 (𝜑 → (√‘(𝑌 , 𝑌)) ∈ ℂ)
133 binom2 13567 . . . . 5 (((√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝑌 , 𝑌)) ∈ ℂ) → (((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2) = ((((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2)))
134131, 132, 133syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2) = ((((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2)))
13535sqsqrtd 14787 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) = (𝑋 , 𝑋))
136135oveq1d 7160 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) = ((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))))
13753sqsqrtd 14787 . . . . 5 (𝜑 → ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2) = (𝑌 , 𝑌))
138136, 137oveq12d 7163 . . . 4 (𝜑 → ((((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2)) = (((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + (𝑌 , 𝑌)))
139134, 138eqtrd 2853 . . 3 (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2) = (((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + (𝑌 , 𝑌)))
140128, 130, 1393brtr4d 5089 . 2 (𝜑 → ((√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))↑2) ≤ (((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2))
14116, 60resqrtcld 14765 . . 3 (𝜑 → (√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))) ∈ ℝ)
14243, 48readdcld 10658 . . 3 (𝜑 → ((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌))) ∈ ℝ)
14316, 60sqrtge0d 14768 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))))
14418, 42sqrtge0d 14768 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (√‘(𝑋 , 𝑋)))
14520, 47sqrtge0d 14768 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (√‘(𝑌 , 𝑌)))
14643, 48, 144, 145addge0d 11204 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌))))
147141, 142, 143, 146le2sqd 13608 . 2 (𝜑 → ((√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌))) ↔ ((√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))↑2) ≤ (((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2)))
148140, 147mpbird 258 1 (𝜑 → (√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  2c2 11680  cexp 13417  ccj 14443  csqrt 14580  abscabs 14581  Basecbs 16471  s cress 16472  +gcplusg 16553  *𝑟cstv 16555  Scalarcsca 16556  ·𝑖cip 16558  Grpcgrp 18041  -gcsg 18043  LModclmod 19563  fldccnfld 20473  PreHilcphl 20696  normcnm 23113  ℂModcclm 23593  toℂPreHilctcph 23698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-rnghom 19396  df-drng 19433  df-subrg 19462  df-staf 19545  df-srng 19546  df-lmod 19565  df-lmhm 19723  df-lvec 19804  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-cnfld 20474  df-phl 20698  df-nm 23119  df-tng 23121  df-clm 23594  df-tcph 23700
This theorem is referenced by:  tcphcph  23767
  Copyright terms: Public domain W3C validator