MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphcphlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcphcphlem1 24622
Description: Lemma for tcphcph 24624: the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
tcphcph.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
tcphcph.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
tcphcph.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
tcphcph.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
tcphcph.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
tcphcph.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
tcphcph.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
tcphcph.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
tcphcphlem1.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
tcphcphlem1.4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
tcphcphlem1 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
Distinct variable groups:   π‘₯, βˆ’   π‘₯, ,   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑉   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Š   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hint:   𝐾(π‘₯)

Proof of Theorem tcphcphlem1
StepHypRef Expression
1 tcphcph.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 phllmod 21057 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 lmodgrp 20372 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
41, 2, 33syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
5 tcphcphlem1.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
6 tcphcphlem1.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
7 tcphcph.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 tcphcph.m . . . . . . 7 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
97, 8grpsubcl 18835 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ 𝑉)
104, 5, 6, 9syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ 𝑉)
11 tcphval.n . . . . . 6 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
12 tcphcph.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
13 tcphcph.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
14 tcphcph.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
1511, 7, 12, 1, 13, 14tcphcphlem3 24620 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ∈ ℝ)
1610, 15mpdan 686 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ∈ ℝ)
1711, 7, 12, 1, 13, 14tcphcphlem3 24620 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
185, 17mpdan 686 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
1911, 7, 12, 1, 13, 14tcphcphlem3 24620 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ ℝ)
206, 19mpdan 686 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ ℝ)
2118, 20readdcld 11192 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ ℝ)
2211, 7, 12, 1, 13phclm 24619 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
23 tcphcph.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
2412, 23clmsscn 24465 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
2522, 24syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
2612, 14, 7, 23ipcl 21060 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , π‘Œ) ∈ 𝐾)
271, 5, 6, 26syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋 , π‘Œ) ∈ 𝐾)
2825, 27sseldd 3949 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 , π‘Œ) ∈ β„‚)
2912, 14, 7, 23ipcl 21060 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ , 𝑋) ∈ 𝐾)
301, 6, 5, 29syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , 𝑋) ∈ 𝐾)
3125, 30sseldd 3949 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , 𝑋) ∈ β„‚)
3228, 31addcld 11182 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)) ∈ β„‚)
3332abscld 15330 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) ∈ ℝ)
3421, 33readdcld 11192 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))) ∈ ℝ)
3518recnd 11191 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ β„‚)
36 2re 12235 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
37 oveq12 7370 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ = 𝑋 ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝑋 , 𝑋))
3837anidms 568 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝑋 , 𝑋))
3938breq2d 5121 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (0 ≀ (π‘₯ , π‘₯) ↔ 0 ≀ (𝑋 , 𝑋)))
40 tcphcph.4 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
4140ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
4239, 41, 5rspcdva 3584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑋 , 𝑋))
4318, 42resqrtcld 15311 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℝ)
44 oveq12 7370 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ = π‘Œ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (π‘Œ , π‘Œ))
4544anidms 568 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (π‘Œ , π‘Œ))
4645breq2d 5121 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (0 ≀ (π‘₯ , π‘₯) ↔ 0 ≀ (π‘Œ , π‘Œ)))
4746, 41, 6rspcdva 3584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘Œ , π‘Œ))
4820, 47resqrtcld 15311 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)) ∈ ℝ)
4943, 48remulcld 11193 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ∈ ℝ)
50 remulcl 11144 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))) ∈ ℝ)
5136, 49, 50sylancr 588 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))) ∈ ℝ)
5251recnd 11191 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))) ∈ β„‚)
5320recnd 11191 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ β„‚)
5435, 52, 53add32d 11390 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + (π‘Œ , π‘Œ)) = (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))))
5521, 51readdcld 11192 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) ∈ ℝ)
5654, 55eqeltrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ ℝ)
57 oveq12 7370 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∧ π‘₯ = (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))
5857anidms 568 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑋 βˆ’ π‘Œ) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))
5958breq2d 5121 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑋 βˆ’ π‘Œ) β†’ (0 ≀ (π‘₯ , π‘₯) ↔ 0 ≀ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))))
6059, 41, 10rspcdva 3584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))
6116, 60absidd 15316 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))) = ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))
6212clmadd 24460 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ + = (+gβ€˜πΉ))
6322, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜πΉ))
6463oveqd 7378 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) = ((𝑋 , 𝑋)(+gβ€˜πΉ)(π‘Œ , π‘Œ)))
6563oveqd 7378 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)) = ((𝑋 , π‘Œ)(+gβ€˜πΉ)(π‘Œ , 𝑋)))
6664, 65oveq12d 7379 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))(-gβ€˜πΉ)((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋)(+gβ€˜πΉ)(π‘Œ , π‘Œ))(-gβ€˜πΉ)((𝑋 , π‘Œ)(+gβ€˜πΉ)(π‘Œ , 𝑋))))
6712, 14, 7, 23ipcl 21060 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
681, 5, 5, 67syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
6912, 14, 7, 23ipcl 21060 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ 𝐾)
701, 6, 6, 69syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ 𝐾)
7112, 23clmacl 24470 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾 ∧ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ 𝐾) β†’ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ 𝐾)
7222, 68, 70, 71syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ 𝐾)
7312, 23clmacl 24470 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝑋 , π‘Œ) ∈ 𝐾 ∧ (π‘Œ , 𝑋) ∈ 𝐾) β†’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)) ∈ 𝐾)
7422, 27, 30, 73syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)) ∈ 𝐾)
7512, 23clmsub 24466 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)) ∈ 𝐾) β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))(-gβ€˜πΉ)((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))))
7622, 72, 74, 75syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))(-gβ€˜πΉ)((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))))
77 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (-gβ€˜πΉ) = (-gβ€˜πΉ)
78 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
7912, 14, 7, 8, 77, 78, 1, 5, 6, 5, 6ip2subdi 21071 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = (((𝑋 , 𝑋)(+gβ€˜πΉ)(π‘Œ , π‘Œ))(-gβ€˜πΉ)((𝑋 , π‘Œ)(+gβ€˜πΉ)(π‘Œ , 𝑋))))
8066, 76, 793eqtr4rd 2784 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))))
8180fveq2d 6850 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))) = (absβ€˜(((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))))
8261, 81eqtr3d 2775 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = (absβ€˜(((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))))
8325, 72sseldd 3949 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ β„‚)
8483, 32abs2dif2d 15352 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))) ≀ ((absβ€˜((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))))
8582, 84eqbrtrd 5131 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ≀ ((absβ€˜((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))))
8618, 20, 42, 47addge0d 11739 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)))
8721, 86absidd 15316 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))) = ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)))
8887oveq1d 7376 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))) = (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))))
8985, 88breqtrd 5135 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ≀ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))))
9028abscld 15330 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ∈ ℝ)
91 remulcl 11144 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) ∈ ℝ)
9236, 90, 91sylancr 588 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) ∈ ℝ)
9328, 31abstrid 15350 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) ≀ ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) + (absβ€˜(π‘Œ , 𝑋))))
9490recnd 11191 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ∈ β„‚)
95942timesd 12404 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) = ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) + (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))))
9628abscjd 15344 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(βˆ—β€˜(𝑋 , π‘Œ))) = (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)))
9712clmcj 24462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
9822, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
9998fveq1d 6848 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜(𝑋 , π‘Œ)) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝑋 , π‘Œ)))
100 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
10112, 14, 7, 100ipcj 21061 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝑋 , π‘Œ)) = (π‘Œ , 𝑋))
1021, 5, 6, 101syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝑋 , π‘Œ)) = (π‘Œ , 𝑋))
10399, 102eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜(𝑋 , π‘Œ)) = (π‘Œ , 𝑋))
104103fveq2d 6850 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(βˆ—β€˜(𝑋 , π‘Œ))) = (absβ€˜(π‘Œ , 𝑋)))
10596, 104eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) = (absβ€˜(π‘Œ , 𝑋)))
106105oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) + (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) = ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) + (absβ€˜(π‘Œ , 𝑋))))
10795, 106eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) = ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) + (absβ€˜(π‘Œ , 𝑋))))
10893, 107breqtrrd 5137 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) ≀ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))))
109 tcphcph.3 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
110 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (normβ€˜πΊ) = (normβ€˜πΊ)
111 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ , 𝑋) / (π‘Œ , π‘Œ)) = ((π‘Œ , 𝑋) / (π‘Œ , π‘Œ))
11211, 7, 12, 1, 13, 14, 109, 40, 23, 110, 111, 5, 6ipcau2 24621 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ≀ (((normβ€˜πΊ)β€˜π‘‹) Β· ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)))
11311, 110, 7, 14tcphnmval 24616 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)))
1144, 5, 113syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)))
11511, 110, 7, 14tcphnmval 24616 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) = (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))
1164, 6, 115syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) = (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))
117114, 116oveq12d 7379 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((normβ€˜πΊ)β€˜π‘‹) Β· ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)) = ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
118112, 117breqtrd 5135 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
11936a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
120 2pos 12264 . . . . . . . . . 10 0 < 2
121120a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
122 lemul2 12016 . . . . . . . . 9 (((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ∈ ℝ ∧ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ↔ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) ≀ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))))
12390, 49, 119, 121, 122syl112anc 1375 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ↔ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) ≀ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))))
124118, 123mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) ≀ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))))
12533, 92, 51, 108, 124letrd 11320 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) ≀ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))))
12633, 51, 21, 125leadd2dd 11778 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))) ≀ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))))
127126, 54breqtrrd 5137 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))) ≀ (((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + (π‘Œ , π‘Œ)))
12816, 34, 56, 89, 127letrd 11320 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ≀ (((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + (π‘Œ , π‘Œ)))
12916recnd 11191 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ∈ β„‚)
130129sqsqrtd 15333 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))↑2) = ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))
13135sqrtcld 15331 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) ∈ β„‚)
13248recnd 11191 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)) ∈ β„‚)
133 binom2 14130 . . . . 5 (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)) ∈ β„‚) β†’ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))↑2) = ((((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + ((βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))↑2)))
134131, 132, 133syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))↑2) = ((((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + ((βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))↑2)))
13535sqsqrtd 15333 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋))↑2) = (𝑋 , 𝑋))
136135oveq1d 7376 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) = ((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))))
13753sqsqrtd 15333 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))↑2) = (π‘Œ , π‘Œ))
138136, 137oveq12d 7379 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + ((βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))↑2)) = (((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + (π‘Œ , π‘Œ)))
139134, 138eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))↑2) = (((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + (π‘Œ , π‘Œ)))
140128, 130, 1393brtr4d 5141 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))↑2) ≀ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))↑2))
14116, 60resqrtcld 15311 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))) ∈ ℝ)
14243, 48readdcld 11192 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ∈ ℝ)
14316, 60sqrtge0d 15314 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))))
14418, 42sqrtge0d 15314 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)))
14520, 47sqrtge0d 15314 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))
14643, 48, 144, 145addge0d 11739 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
147141, 142, 143, 146le2sqd 14169 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ↔ ((βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))↑2) ≀ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))↑2)))
148140, 147mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059   + caddc 11062   Β· cmul 11064   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  2c2 12216  β†‘cexp 13976  βˆ—ccj 14990  βˆšcsqrt 15127  abscabs 15128  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  +gcplusg 17141  *π‘Ÿcstv 17143  Scalarcsca 17144  Β·π‘–cip 17146  Grpcgrp 18756  -gcsg 18758  LModclmod 20365  β„‚fldccnfld 20819  PreHilcphl 21051  normcnm 23955  β„‚Modcclm 24448  toβ„‚PreHilctcph 24554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-rnghom 20156  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-staf 20347  df-srng 20348  df-lmod 20367  df-lmhm 20527  df-lvec 20608  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-cnfld 20820  df-phl 21053  df-nm 23961  df-tng 23963  df-clm 24449  df-tcph 24556
This theorem is referenced by:  tcphcph  24624
  Copyright terms: Public domain W3C validator