MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphcphlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcphcphlem1 25191
Description: Lemma for tcphcph 25193: the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
tcphcph.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
tcphcph.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
tcphcph.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
tcphcph.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
tcphcph.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
tcphcph.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
tcphcph.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
tcphcph.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
tcphcphlem1.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
tcphcphlem1.4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
tcphcphlem1 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
Distinct variable groups:   π‘₯, βˆ’   π‘₯, ,   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑉   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Š   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hint:   𝐾(π‘₯)

Proof of Theorem tcphcphlem1
StepHypRef Expression
1 tcphcph.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 phllmod 21576 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 lmodgrp 20764 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
41, 2, 33syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
5 tcphcphlem1.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
6 tcphcphlem1.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
7 tcphcph.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 tcphcph.m . . . . . . 7 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
97, 8grpsubcl 18990 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ 𝑉)
104, 5, 6, 9syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ 𝑉)
11 tcphval.n . . . . . 6 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
12 tcphcph.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
13 tcphcph.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
14 tcphcph.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
1511, 7, 12, 1, 13, 14tcphcphlem3 25189 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ∈ ℝ)
1610, 15mpdan 685 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ∈ ℝ)
1711, 7, 12, 1, 13, 14tcphcphlem3 25189 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
185, 17mpdan 685 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
1911, 7, 12, 1, 13, 14tcphcphlem3 25189 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ ℝ)
206, 19mpdan 685 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ ℝ)
2118, 20readdcld 11283 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ ℝ)
2211, 7, 12, 1, 13phclm 25188 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
23 tcphcph.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
2412, 23clmsscn 25034 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
2522, 24syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
2612, 14, 7, 23ipcl 21579 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , π‘Œ) ∈ 𝐾)
271, 5, 6, 26syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋 , π‘Œ) ∈ 𝐾)
2825, 27sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 , π‘Œ) ∈ β„‚)
2912, 14, 7, 23ipcl 21579 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ , 𝑋) ∈ 𝐾)
301, 6, 5, 29syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , 𝑋) ∈ 𝐾)
3125, 30sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , 𝑋) ∈ β„‚)
3228, 31addcld 11273 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)) ∈ β„‚)
3332abscld 15425 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) ∈ ℝ)
3421, 33readdcld 11283 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))) ∈ ℝ)
3518recnd 11282 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ β„‚)
36 2re 12326 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
37 oveq12 7435 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ = 𝑋 ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝑋 , 𝑋))
3837anidms 565 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝑋 , 𝑋))
3938breq2d 5164 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (0 ≀ (π‘₯ , π‘₯) ↔ 0 ≀ (𝑋 , 𝑋)))
40 tcphcph.4 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
4140ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
4239, 41, 5rspcdva 3612 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑋 , 𝑋))
4318, 42resqrtcld 15406 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℝ)
44 oveq12 7435 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ = π‘Œ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (π‘Œ , π‘Œ))
4544anidms 565 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (π‘Œ , π‘Œ))
4645breq2d 5164 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (0 ≀ (π‘₯ , π‘₯) ↔ 0 ≀ (π‘Œ , π‘Œ)))
4746, 41, 6rspcdva 3612 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘Œ , π‘Œ))
4820, 47resqrtcld 15406 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)) ∈ ℝ)
4943, 48remulcld 11284 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ∈ ℝ)
50 remulcl 11233 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))) ∈ ℝ)
5136, 49, 50sylancr 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))) ∈ ℝ)
5251recnd 11282 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))) ∈ β„‚)
5320recnd 11282 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ β„‚)
5435, 52, 53add32d 11481 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + (π‘Œ , π‘Œ)) = (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))))
5521, 51readdcld 11283 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) ∈ ℝ)
5654, 55eqeltrd 2829 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ ℝ)
57 oveq12 7435 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∧ π‘₯ = (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))
5857anidms 565 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑋 βˆ’ π‘Œ) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))
5958breq2d 5164 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑋 βˆ’ π‘Œ) β†’ (0 ≀ (π‘₯ , π‘₯) ↔ 0 ≀ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))))
6059, 41, 10rspcdva 3612 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))
6116, 60absidd 15411 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))) = ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))
6212clmadd 25029 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ + = (+gβ€˜πΉ))
6322, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜πΉ))
6463oveqd 7443 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) = ((𝑋 , 𝑋)(+gβ€˜πΉ)(π‘Œ , π‘Œ)))
6563oveqd 7443 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)) = ((𝑋 , π‘Œ)(+gβ€˜πΉ)(π‘Œ , 𝑋)))
6664, 65oveq12d 7444 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))(-gβ€˜πΉ)((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋)(+gβ€˜πΉ)(π‘Œ , π‘Œ))(-gβ€˜πΉ)((𝑋 , π‘Œ)(+gβ€˜πΉ)(π‘Œ , 𝑋))))
6712, 14, 7, 23ipcl 21579 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
681, 5, 5, 67syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
6912, 14, 7, 23ipcl 21579 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ 𝐾)
701, 6, 6, 69syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ 𝐾)
7112, 23clmacl 25039 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾 ∧ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ 𝐾) β†’ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ 𝐾)
7222, 68, 70, 71syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ 𝐾)
7312, 23clmacl 25039 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝑋 , π‘Œ) ∈ 𝐾 ∧ (π‘Œ , 𝑋) ∈ 𝐾) β†’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)) ∈ 𝐾)
7422, 27, 30, 73syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)) ∈ 𝐾)
7512, 23clmsub 25035 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)) ∈ 𝐾) β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))(-gβ€˜πΉ)((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))))
7622, 72, 74, 75syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))(-gβ€˜πΉ)((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))))
77 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (-gβ€˜πΉ) = (-gβ€˜πΉ)
78 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
7912, 14, 7, 8, 77, 78, 1, 5, 6, 5, 6ip2subdi 21590 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = (((𝑋 , 𝑋)(+gβ€˜πΉ)(π‘Œ , π‘Œ))(-gβ€˜πΉ)((𝑋 , π‘Œ)(+gβ€˜πΉ)(π‘Œ , 𝑋))))
8066, 76, 793eqtr4rd 2779 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))))
8180fveq2d 6906 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))) = (absβ€˜(((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))))
8261, 81eqtr3d 2770 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = (absβ€˜(((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))))
8325, 72sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ β„‚)
8483, 32abs2dif2d 15447 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))) ≀ ((absβ€˜((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))))
8582, 84eqbrtrd 5174 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ≀ ((absβ€˜((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))))
8618, 20, 42, 47addge0d 11830 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)))
8721, 86absidd 15411 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))) = ((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)))
8887oveq1d 7441 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ))) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))) = (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))))
8985, 88breqtrd 5178 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ≀ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))))
9028abscld 15425 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ∈ ℝ)
91 remulcl 11233 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) ∈ ℝ)
9236, 90, 91sylancr 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) ∈ ℝ)
9328, 31abstrid 15445 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) ≀ ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) + (absβ€˜(π‘Œ , 𝑋))))
9490recnd 11282 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ∈ β„‚)
95942timesd 12495 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) = ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) + (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))))
9628abscjd 15439 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(βˆ—β€˜(𝑋 , π‘Œ))) = (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)))
9712clmcj 25031 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
9822, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
9998fveq1d 6904 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜(𝑋 , π‘Œ)) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝑋 , π‘Œ)))
100 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
10112, 14, 7, 100ipcj 21580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝑋 , π‘Œ)) = (π‘Œ , 𝑋))
1021, 5, 6, 101syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝑋 , π‘Œ)) = (π‘Œ , 𝑋))
10399, 102eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜(𝑋 , π‘Œ)) = (π‘Œ , 𝑋))
104103fveq2d 6906 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(βˆ—β€˜(𝑋 , π‘Œ))) = (absβ€˜(π‘Œ , 𝑋)))
10596, 104eqtr3d 2770 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) = (absβ€˜(π‘Œ , 𝑋)))
106105oveq2d 7442 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) + (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) = ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) + (absβ€˜(π‘Œ , 𝑋))))
10795, 106eqtrd 2768 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) = ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) + (absβ€˜(π‘Œ , 𝑋))))
10893, 107breqtrrd 5180 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) ≀ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))))
109 tcphcph.3 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
110 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (normβ€˜πΊ) = (normβ€˜πΊ)
111 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ , 𝑋) / (π‘Œ , π‘Œ)) = ((π‘Œ , 𝑋) / (π‘Œ , π‘Œ))
11211, 7, 12, 1, 13, 14, 109, 40, 23, 110, 111, 5, 6ipcau2 25190 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ≀ (((normβ€˜πΊ)β€˜π‘‹) Β· ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)))
11311, 110, 7, 14tcphnmval 25185 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)))
1144, 5, 113syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)))
11511, 110, 7, 14tcphnmval 25185 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) = (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))
1164, 6, 115syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) = (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))
117114, 116oveq12d 7444 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((normβ€˜πΊ)β€˜π‘‹) Β· ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)) = ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
118112, 117breqtrd 5178 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
11936a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
120 2pos 12355 . . . . . . . . . 10 0 < 2
121120a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
122 lemul2 12107 . . . . . . . . 9 (((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ∈ ℝ ∧ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ↔ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) ≀ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))))
12390, 49, 119, 121, 122syl112anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ↔ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) ≀ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))))
124118, 123mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))) ≀ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))))
12533, 92, 51, 108, 124letrd 11411 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋))) ≀ (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))))
12633, 51, 21, 125leadd2dd 11869 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))) ≀ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))))
127126, 54breqtrrd 5180 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑋 , 𝑋) + (π‘Œ , π‘Œ)) + (absβ€˜((𝑋 , π‘Œ) + (π‘Œ , 𝑋)))) ≀ (((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + (π‘Œ , π‘Œ)))
12816, 34, 56, 89, 127letrd 11411 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ≀ (((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + (π‘Œ , π‘Œ)))
12916recnd 11282 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ∈ β„‚)
130129sqsqrtd 15428 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))↑2) = ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))
13135sqrtcld 15426 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) ∈ β„‚)
13248recnd 11282 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)) ∈ β„‚)
133 binom2 14222 . . . . 5 (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)) ∈ β„‚) β†’ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))↑2) = ((((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + ((βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))↑2)))
134131, 132, 133syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))↑2) = ((((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + ((βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))↑2)))
13535sqsqrtd 15428 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋))↑2) = (𝑋 , 𝑋))
136135oveq1d 7441 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) = ((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))))
13753sqsqrtd 15428 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))↑2) = (π‘Œ , π‘Œ))
138136, 137oveq12d 7444 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + ((βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))↑2)) = (((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + (π‘Œ , π‘Œ)))
139134, 138eqtrd 2768 . . 3 (πœ‘ β†’ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))↑2) = (((𝑋 , 𝑋) + (2 Β· ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))) + (π‘Œ , π‘Œ)))
140128, 130, 1393brtr4d 5184 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))↑2) ≀ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))↑2))
14116, 60resqrtcld 15406 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))) ∈ ℝ)
14243, 48readdcld 11283 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ∈ ℝ)
14316, 60sqrtge0d 15409 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))))
14418, 42sqrtge0d 15409 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)))
14520, 47sqrtge0d 15409 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))
14643, 48, 144, 145addge0d 11830 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
147141, 142, 143, 146le2sqd 14261 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ↔ ((βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ)))↑2) ≀ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))↑2)))
148140, 147mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 βˆ’ π‘Œ) , (𝑋 βˆ’ π‘Œ))) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) + (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11146  β„cr 11147  0cc0 11148   + caddc 11151   Β· cmul 11153   < clt 11288   ≀ cle 11289   βˆ’ cmin 11484   / cdiv 11911  2c2 12307  β†‘cexp 14068  βˆ—ccj 15085  βˆšcsqrt 15222  abscabs 15223  Basecbs 17189   β†Ύs cress 17218  +gcplusg 17242  *π‘Ÿcstv 17244  Scalarcsca 17245  Β·π‘–cip 17247  Grpcgrp 18904  -gcsg 18906  LModclmod 20757  β„‚fldccnfld 21293  PreHilcphl 21570  normcnm 24513  β„‚Modcclm 25017  toβ„‚PreHilctcph 25123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227  ax-mulf 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-rhm 20425  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-drng 20640  df-staf 20739  df-srng 20740  df-lmod 20759  df-lmhm 20921  df-lvec 21002  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-cnfld 21294  df-phl 21572  df-nm 24519  df-tng 24521  df-clm 25018  df-tcph 25125
This theorem is referenced by:  tcphcph  25193
  Copyright terms: Public domain W3C validator