MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iporthcom Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iporthcom 21179
Description: Orthogonality (meaning inner product is 0) is commutative. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ip0l.z 𝑍 = (0gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
iporthcom ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 , 𝐡) = 𝑍 ↔ (𝐡 , 𝐴) = 𝑍))
Proof of Theorem iporthcom
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
21phlsrng 21175 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
323ad2ant1 1133 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
4 eqid 2732 . . . . 5 (*rfβ€˜πΉ) = (*rfβ€˜πΉ)
5 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
64, 5srngf1o 20454 . . . 4 (𝐹 ∈ *-Ring β†’ (*rfβ€˜πΉ):(Baseβ€˜πΉ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΉ))
7 f1of1 6829 . . . 4 ((*rfβ€˜πΉ):(Baseβ€˜πΉ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΉ) β†’ (*rfβ€˜πΉ):(Baseβ€˜πΉ)–1-1β†’(Baseβ€˜πΉ))
83, 6, 73syl 18 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (*rfβ€˜πΉ):(Baseβ€˜πΉ)–1-1β†’(Baseβ€˜πΉ))
9 phllmhm.h . . . 4 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
10 phllmhm.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
111, 9, 10, 5ipcl 21177 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
12 phllmod 21174 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
13123ad2ant1 1133 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
14 ip0l.z . . . . 5 𝑍 = (0gβ€˜πΉ)
151, 5, 14lmod0cl 20490 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
1613, 15syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
17 f1fveq 7257 . . 3 (((*rfβ€˜πΉ):(Baseβ€˜πΉ)–1-1β†’(Baseβ€˜πΉ) ∧ ((𝐴 , 𝐡) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ (((*rfβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)) = ((*rfβ€˜πΉ)β€˜π‘) ↔ (𝐴 , 𝐡) = 𝑍))
188, 11, 16, 17syl12anc 835 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (((*rfβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)) = ((*rfβ€˜πΉ)β€˜π‘) ↔ (𝐴 , 𝐡) = 𝑍))
19 eqid 2732 . . . . . 6 (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
205, 19, 4stafval 20448 . . . . 5 ((𝐴 , 𝐡) ∈ (Baseβ€˜πΉ) β†’ ((*rfβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)))
2111, 20syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((*rfβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)))
221, 9, 10, 19ipcj 21178 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)) = (𝐡 , 𝐴))
2321, 22eqtrd 2772 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((*rfβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)) = (𝐡 , 𝐴))
245, 19, 4stafval 20448 . . . . 5 (𝑍 ∈ (Baseβ€˜πΉ) β†’ ((*rfβ€˜πΉ)β€˜π‘) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘))
2516, 24syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((*rfβ€˜πΉ)β€˜π‘) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘))
2619, 14srng0 20460 . . . . 5 (𝐹 ∈ *-Ring β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘) = 𝑍)
273, 26syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘) = 𝑍)
2825, 27eqtrd 2772 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((*rfβ€˜πΉ)β€˜π‘) = 𝑍)
2923, 28eqeq12d 2748 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (((*rfβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)) = ((*rfβ€˜πΉ)β€˜π‘) ↔ (𝐡 , 𝐴) = 𝑍))
3018, 29bitr3d 280 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 , 𝐡) = 𝑍 ↔ (𝐡 , 𝐴) = 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€“1-1β†’wf1 6537  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  *π‘Ÿcstv 17195  Scalarcsca 17196  Β·π‘–cip 17198  0gc0g 17381  *rfcstf 20443  *-Ringcsr 20444  LModclmod 20463  PreHilcphl 21168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-ghm 19084  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-rnghom 20243  df-staf 20445  df-srng 20446  df-lmod 20465  df-lmhm 20625  df-lvec 20706  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-phl 21170
This theorem is referenced by:  ocvocv  21215  lsmcss  21236  cphorthcom  24709
  Copyright terms: Public domain W3C validator