Theorem iporthcom 21592

Description: Orthogonality (meaning inner product is 0) is commutative. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ip0l.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
iporthcom	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐵 , 𝐴) = 𝑍))

Proof of Theorem iporthcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phlsrng.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	phlsrng 21588	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
3	2	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ *-Ring)
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (*rf‘𝐹) = (*rf‘𝐹)
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6	4, 5	srngf1o 20783	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ *-Ring → (*rf‘𝐹):(Base‘𝐹)–1-1-onto→(Base‘𝐹))
7		f1of1 6773	. . . 4 ⊢ ((*rf‘𝐹):(Base‘𝐹)–1-1-onto→(Base‘𝐹) → (*rf‘𝐹):(Base‘𝐹)–1-1→(Base‘𝐹))
8	3, 6, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (*rf‘𝐹):(Base‘𝐹)–1-1→(Base‘𝐹))
9		phllmhm.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
10		phllmhm.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11	1, 9, 10, 5	ipcl 21590	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹))
12		phllmod 21587	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
13	12	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
14		ip0l.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
15	1, 5, 14	lmod0cl 20841	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑍 ∈ (Base‘𝐹))
16	13, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ (Base‘𝐹))
17		f1fveq 7208	. . 3 ⊢ (((*rf‘𝐹):(Base‘𝐹)–1-1→(Base‘𝐹) ∧ ((𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝐹))) → (((*rf‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*rf‘𝐹)‘𝑍) ↔ (𝐴 , 𝐵) = 𝑍))
18	8, 11, 16, 17	syl12anc 836	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((*rf‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*rf‘𝐹)‘𝑍) ↔ (𝐴 , 𝐵) = 𝑍))
19		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
20	5, 19, 4	stafval 20777	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹) → ((*rf‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)))
21	11, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*rf‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)))
22	1, 9, 10, 19	ipcj 21591	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = (𝐵 , 𝐴))
23	21, 22	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*rf‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = (𝐵 , 𝐴))
24	5, 19, 4	stafval 20777	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ (Base‘𝐹) → ((*rf‘𝐹)‘𝑍) = ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍))
25	16, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*rf‘𝐹)‘𝑍) = ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍))
26	19, 14	srng0 20789	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ *-Ring → ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
27	3, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
28	25, 27	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*rf‘𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
29	23, 28	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((*rf‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*rf‘𝐹)‘𝑍) ↔ (𝐵 , 𝐴) = 𝑍))
30	18, 29	bitr3d 281	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐵 , 𝐴) = 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  –1-1→wf1 6489  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17138  *_𝑟cstv 17181  Scalarcsca 17182  ·_𝑖cip 17184  0_gc0g 17361  *_rfcstf 20772  *-Ringcsr 20773  LModclmod 20813  PreHilcphl 21581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-0g 17363  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-grp 18868  df-ghm 19144  df-mgp 20078  df-ur 20119  df-ring 20172  df-oppr 20275  df-rhm 20410  df-staf 20774  df-srng 20775  df-lmod 20815  df-lmhm 20976  df-lvec 21057  df-sra 21127  df-rgmod 21128  df-phl 21583

This theorem is referenced by:  ocvocv  21628  lsmcss  21649  cphorthcom  25159