MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iporthcom Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iporthcom 21571
Description: Orthogonality (meaning inner product is 0) is commutative. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ip0l.z 𝑍 = (0gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
iporthcom ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 , 𝐡) = 𝑍 ↔ (𝐡 , 𝐴) = 𝑍))
Proof of Theorem iporthcom
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
21phlsrng 21567 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
323ad2ant1 1130 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
4 eqid 2725 . . . . 5 (*rfβ€˜πΉ) = (*rfβ€˜πΉ)
5 eqid 2725 . . . . 5 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
64, 5srngf1o 20738 . . . 4 (𝐹 ∈ *-Ring β†’ (*rfβ€˜πΉ):(Baseβ€˜πΉ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΉ))
7 f1of1 6833 . . . 4 ((*rfβ€˜πΉ):(Baseβ€˜πΉ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΉ) β†’ (*rfβ€˜πΉ):(Baseβ€˜πΉ)–1-1β†’(Baseβ€˜πΉ))
83, 6, 73syl 18 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (*rfβ€˜πΉ):(Baseβ€˜πΉ)–1-1β†’(Baseβ€˜πΉ))
9 phllmhm.h . . . 4 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
10 phllmhm.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
111, 9, 10, 5ipcl 21569 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
12 phllmod 21566 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
13123ad2ant1 1130 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
14 ip0l.z . . . . 5 𝑍 = (0gβ€˜πΉ)
151, 5, 14lmod0cl 20775 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
1613, 15syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
17 f1fveq 7268 . . 3 (((*rfβ€˜πΉ):(Baseβ€˜πΉ)–1-1β†’(Baseβ€˜πΉ) ∧ ((𝐴 , 𝐡) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ (((*rfβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)) = ((*rfβ€˜πΉ)β€˜π‘) ↔ (𝐴 , 𝐡) = 𝑍))
188, 11, 16, 17syl12anc 835 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (((*rfβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)) = ((*rfβ€˜πΉ)β€˜π‘) ↔ (𝐴 , 𝐡) = 𝑍))
19 eqid 2725 . . . . . 6 (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
205, 19, 4stafval 20732 . . . . 5 ((𝐴 , 𝐡) ∈ (Baseβ€˜πΉ) β†’ ((*rfβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)))
2111, 20syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((*rfβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)))
221, 9, 10, 19ipcj 21570 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)) = (𝐡 , 𝐴))
2321, 22eqtrd 2765 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((*rfβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)) = (𝐡 , 𝐴))
245, 19, 4stafval 20732 . . . . 5 (𝑍 ∈ (Baseβ€˜πΉ) β†’ ((*rfβ€˜πΉ)β€˜π‘) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘))
2516, 24syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((*rfβ€˜πΉ)β€˜π‘) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘))
2619, 14srng0 20744 . . . . 5 (𝐹 ∈ *-Ring β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘) = 𝑍)
273, 26syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘) = 𝑍)
2825, 27eqtrd 2765 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((*rfβ€˜πΉ)β€˜π‘) = 𝑍)
2923, 28eqeq12d 2741 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (((*rfβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)) = ((*rfβ€˜πΉ)β€˜π‘) ↔ (𝐡 , 𝐴) = 𝑍))
3018, 29bitr3d 280 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 , 𝐡) = 𝑍 ↔ (𝐡 , 𝐴) = 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€“1-1β†’wf1 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  *π‘Ÿcstv 17234  Scalarcsca 17235  Β·π‘–cip 17237  0gc0g 17420  *rfcstf 20727  *-Ringcsr 20728  LModclmod 20747  PreHilcphl 21560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-grp 18897  df-ghm 19172  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-rhm 20415  df-staf 20729  df-srng 20730  df-lmod 20749  df-lmhm 20911  df-lvec 20992  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-phl 21562
This theorem is referenced by:  ocvocv  21607  lsmcss  21628  cphorthcom  25147
  Copyright terms: Public domain W3C validator