MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iporthcom Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iporthcom 21528
Description: Orthogonality (meaning inner product is 0) is commutative. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ip0l.z 𝑍 = (0gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
iporthcom ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 , 𝐡) = 𝑍 ↔ (𝐡 , 𝐴) = 𝑍))
Proof of Theorem iporthcom
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
21phlsrng 21524 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
323ad2ant1 1130 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
4 eqid 2726 . . . . 5 (*rfβ€˜πΉ) = (*rfβ€˜πΉ)
5 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
64, 5srngf1o 20697 . . . 4 (𝐹 ∈ *-Ring β†’ (*rfβ€˜πΉ):(Baseβ€˜πΉ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΉ))
7 f1of1 6826 . . . 4 ((*rfβ€˜πΉ):(Baseβ€˜πΉ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΉ) β†’ (*rfβ€˜πΉ):(Baseβ€˜πΉ)–1-1β†’(Baseβ€˜πΉ))
83, 6, 73syl 18 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (*rfβ€˜πΉ):(Baseβ€˜πΉ)–1-1β†’(Baseβ€˜πΉ))
9 phllmhm.h . . . 4 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
10 phllmhm.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
111, 9, 10, 5ipcl 21526 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
12 phllmod 21523 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
13123ad2ant1 1130 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
14 ip0l.z . . . . 5 𝑍 = (0gβ€˜πΉ)
151, 5, 14lmod0cl 20734 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
1613, 15syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
17 f1fveq 7257 . . 3 (((*rfβ€˜πΉ):(Baseβ€˜πΉ)–1-1β†’(Baseβ€˜πΉ) ∧ ((𝐴 , 𝐡) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ (((*rfβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)) = ((*rfβ€˜πΉ)β€˜π‘) ↔ (𝐴 , 𝐡) = 𝑍))
188, 11, 16, 17syl12anc 834 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (((*rfβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)) = ((*rfβ€˜πΉ)β€˜π‘) ↔ (𝐴 , 𝐡) = 𝑍))
19 eqid 2726 . . . . . 6 (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
205, 19, 4stafval 20691 . . . . 5 ((𝐴 , 𝐡) ∈ (Baseβ€˜πΉ) β†’ ((*rfβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)))
2111, 20syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((*rfβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)))
221, 9, 10, 19ipcj 21527 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)) = (𝐡 , 𝐴))
2321, 22eqtrd 2766 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((*rfβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)) = (𝐡 , 𝐴))
245, 19, 4stafval 20691 . . . . 5 (𝑍 ∈ (Baseβ€˜πΉ) β†’ ((*rfβ€˜πΉ)β€˜π‘) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘))
2516, 24syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((*rfβ€˜πΉ)β€˜π‘) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘))
2619, 14srng0 20703 . . . . 5 (𝐹 ∈ *-Ring β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘) = 𝑍)
273, 26syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘) = 𝑍)
2825, 27eqtrd 2766 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((*rfβ€˜πΉ)β€˜π‘) = 𝑍)
2923, 28eqeq12d 2742 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (((*rfβ€˜πΉ)β€˜(𝐴 , 𝐡)) = ((*rfβ€˜πΉ)β€˜π‘) ↔ (𝐡 , 𝐴) = 𝑍))
3018, 29bitr3d 281 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 , 𝐡) = 𝑍 ↔ (𝐡 , 𝐴) = 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€“1-1β†’wf1 6534  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  *π‘Ÿcstv 17208  Scalarcsca 17209  Β·π‘–cip 17211  0gc0g 17394  *rfcstf 20686  *-Ringcsr 20687  LModclmod 20706  PreHilcphl 21517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-ghm 19139  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-rhm 20374  df-staf 20688  df-srng 20689  df-lmod 20708  df-lmhm 20870  df-lvec 20951  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-phl 21519
This theorem is referenced by:  ocvocv  21564  lsmcss  21585  cphorthcom  25084
  Copyright terms: Public domain W3C validator