Theorem iporthcom 21607

Description: Orthogonality (meaning inner product is 0) is commutative. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ip0l.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
iporthcom	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐵 , 𝐴) = 𝑍))

Proof of Theorem iporthcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phlsrng.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	phlsrng 21603	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
3	2	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ *-Ring)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (*rf‘𝐹) = (*rf‘𝐹)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6	4, 5	srngf1o 20798	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ *-Ring → (*rf‘𝐹):(Base‘𝐹)–1-1-onto→(Base‘𝐹))
7		f1of1 6783	. . . 4 ⊢ ((*rf‘𝐹):(Base‘𝐹)–1-1-onto→(Base‘𝐹) → (*rf‘𝐹):(Base‘𝐹)–1-1→(Base‘𝐹))
8	3, 6, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (*rf‘𝐹):(Base‘𝐹)–1-1→(Base‘𝐹))
9		phllmhm.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
10		phllmhm.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11	1, 9, 10, 5	ipcl 21605	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹))
12		phllmod 21602	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
13	12	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
14		ip0l.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
15	1, 5, 14	lmod0cl 20856	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑍 ∈ (Base‘𝐹))
16	13, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ (Base‘𝐹))
17		f1fveq 7220	. . 3 ⊢ (((*rf‘𝐹):(Base‘𝐹)–1-1→(Base‘𝐹) ∧ ((𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝐹))) → (((*rf‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*rf‘𝐹)‘𝑍) ↔ (𝐴 , 𝐵) = 𝑍))
18	8, 11, 16, 17	syl12anc 837	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((*rf‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*rf‘𝐹)‘𝑍) ↔ (𝐴 , 𝐵) = 𝑍))
19		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
20	5, 19, 4	stafval 20792	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹) → ((*rf‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)))
21	11, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*rf‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)))
22	1, 9, 10, 19	ipcj 21606	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = (𝐵 , 𝐴))
23	21, 22	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*rf‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = (𝐵 , 𝐴))
24	5, 19, 4	stafval 20792	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ (Base‘𝐹) → ((*rf‘𝐹)‘𝑍) = ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍))
25	16, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*rf‘𝐹)‘𝑍) = ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍))
26	19, 14	srng0 20804	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ *-Ring → ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
27	3, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
28	25, 27	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*rf‘𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
29	23, 28	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((*rf‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*rf‘𝐹)‘𝑍) ↔ (𝐵 , 𝐴) = 𝑍))
30	18, 29	bitr3d 281	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐵 , 𝐴) = 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  –1-1→wf1 6499  –1-1-onto→wf1o 6501  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150  *_𝑟cstv 17193  Scalarcsca 17194  ·_𝑖cip 17196  0_gc0g 17373  *_rfcstf 20787  *-Ringcsr 20788  LModclmod 20828  PreHilcphl 21596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-tpos 8180  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-0g 17375  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-mhm 18722  df-grp 18883  df-ghm 19159  df-mgp 20093  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20290  df-rhm 20425  df-staf 20789  df-srng 20790  df-lmod 20830  df-lmhm 20991  df-lvec 21072  df-sra 21142  df-rgmod 21143  df-phl 21598

This theorem is referenced by:  ocvocv  21643  lsmcss  21664  cphorthcom  25174