Theorem iporthcom 21754

Description: Orthogonality (meaning inner product is 0) is commutative. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ip0l.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
iporthcom	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐵 , 𝐴) = 𝑍))

Proof of Theorem iporthcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phlsrng.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	phlsrng 21750	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
3	2	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ *-Ring)
4		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (*rf‘𝐹) = (*rf‘𝐹)
5		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6	4, 5	srngf1o 20929	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ *-Ring → (*rf‘𝐹):(Base‘𝐹)–1-1-onto→(Base‘𝐹))
7		f1of1 6820	. . . 4 ⊢ ((*rf‘𝐹):(Base‘𝐹)–1-1-onto→(Base‘𝐹) → (*rf‘𝐹):(Base‘𝐹)–1-1→(Base‘𝐹))
8	3, 6, 7	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (*rf‘𝐹):(Base‘𝐹)–1-1→(Base‘𝐹))
9		phllmhm.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
10		phllmhm.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11	1, 9, 10, 5	ipcl 21752	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹))
12		phllmod 21749	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
13	12	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
14		ip0l.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
15	1, 5, 14	lmod0cl 20987	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑍 ∈ (Base‘𝐹))
16	13, 15	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ (Base‘𝐹))
17		f1fveq 7261	. . 3 ⊢ (((*rf‘𝐹):(Base‘𝐹)–1-1→(Base‘𝐹) ∧ ((𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝐹))) → (((*rf‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*rf‘𝐹)‘𝑍) ↔ (𝐴 , 𝐵) = 𝑍))
18	8, 11, 16, 17	syl12anc 849	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((*rf‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*rf‘𝐹)‘𝑍) ↔ (𝐴 , 𝐵) = 𝑍))
19		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
20	5, 19, 4	stafval 20923	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹) → ((*rf‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)))
21	11, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*rf‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)))
22	1, 9, 10, 19	ipcj 21753	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = (𝐵 , 𝐴))
23	21, 22	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*rf‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = (𝐵 , 𝐴))
24	5, 19, 4	stafval 20923	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ (Base‘𝐹) → ((*rf‘𝐹)‘𝑍) = ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍))
25	16, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*rf‘𝐹)‘𝑍) = ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍))
26	19, 14	srng0 20935	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ *-Ring → ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
27	3, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
28	25, 27	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*rf‘𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
29	23, 28	eqeq12d 2785	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((*rf‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*rf‘𝐹)‘𝑍) ↔ (𝐵 , 𝐴) = 𝑍))
30	18, 29	bitr3d 284	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐵 , 𝐴) = 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  –1-1→wf1 6534  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  *_𝑟cstv 17312  Scalarcsca 17313  ·_𝑖cip 17315  0_gc0g 17492  *_rfcstf 20918  *-Ringcsr 20919  LModclmod 20959  PreHilcphl 21743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-grp 19003  df-ghm 19284  df-mgp 20217  df-ur 20264  df-ring 20317  df-oppr 20419  df-rhm 20554  df-staf 20920  df-srng 20921  df-lmod 20961  df-lmhm 21121  df-lvec 21202  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-phl 21745

This theorem is referenced by:  ocvocv  21790  lsmcss  21811  cphorthcom  25329