Theorem iporthcom 21880

Description: Orthogonality (meaning inner product is 0) is commutative. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ip0l.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
iporthcom	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐵 , 𝐴) = 𝑍))

Proof of Theorem iporthcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phlsrng.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	phlsrng 21876	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
3	2	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ *-Ring)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (*rf‘𝐹) = (*rf‘𝐹)
5		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6	4, 5	srngf1o 21044	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ *-Ring → (*rf‘𝐹):(Base‘𝐹)–1-1-onto→(Base‘𝐹))
7		f1of1 6819	. . . 4 ⊢ ((*rf‘𝐹):(Base‘𝐹)–1-1-onto→(Base‘𝐹) → (*rf‘𝐹):(Base‘𝐹)–1-1→(Base‘𝐹))
8	3, 6, 7	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (*rf‘𝐹):(Base‘𝐹)–1-1→(Base‘𝐹))
9		phllmhm.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
10		phllmhm.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11	1, 9, 10, 5	ipcl 21878	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹))
12		phllmod 21875	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
13	12	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
14		ip0l.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
15	1, 5, 14	lmod0cl 21102	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑍 ∈ (Base‘𝐹))
16	13, 15	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ (Base‘𝐹))
17		f1fveq 7262	. . 3 ⊢ (((*rf‘𝐹):(Base‘𝐹)–1-1→(Base‘𝐹) ∧ ((𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝐹))) → (((*rf‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*rf‘𝐹)‘𝑍) ↔ (𝐴 , 𝐵) = 𝑍))
18	8, 11, 16, 17	syl12anc 850	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((*rf‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*rf‘𝐹)‘𝑍) ↔ (𝐴 , 𝐵) = 𝑍))
19		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
20	5, 19, 4	stafval 21038	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹) → ((*rf‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)))
21	11, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*rf‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)))
22	1, 9, 10, 19	ipcj 21879	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = (𝐵 , 𝐴))
23	21, 22	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*rf‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = (𝐵 , 𝐴))
24	5, 19, 4	stafval 21038	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ (Base‘𝐹) → ((*rf‘𝐹)‘𝑍) = ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍))
25	16, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*rf‘𝐹)‘𝑍) = ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍))
26	19, 14	srng0 21050	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ *-Ring → ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
27	3, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
28	25, 27	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*rf‘𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
29	23, 28	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((*rf‘𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*rf‘𝐹)‘𝑍) ↔ (𝐵 , 𝐴) = 𝑍))
30	18, 29	bitr3d 284	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐵 , 𝐴) = 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  –1-1→wf1 6532  –1-1-onto→wf1o 6534  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  Basecbs 17326  *_𝑟cstv 17369  Scalarcsca 17370  ·_𝑖cip 17372  0_gc0g 17549  *_rfcstf 21033  *-Ringcsr 21034  LModclmod 21074  PreHilcphl 21869

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8229  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-ip 17385  df-0g 17551  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-mhm 18917  df-grp 19086  df-ghm 19367  df-mgp 20300  df-ur 20347  df-ring 20400  df-oppr 20506  df-rhm 20641  df-staf 21035  df-srng 21036  df-lmod 21076  df-lmhm 21236  df-lvec 21317  df-sra 21387  df-rgmod 21388  df-phl 21871

This theorem is used by:  ocvocv  21916  lsmcss  21937  cphorthcom  25461