Theorem pjpm 21698

Description: The projection map is a partial function from subspaces of the pre-Hilbert space to total operators. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjpm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
pjpm.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pjpm.k	⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pjpm	⊢ 𝐾 ∈ ((𝑉 ↑m 𝑉) ↑pm 𝐿)

Proof of Theorem pjpm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjpm.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		pjpm.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (proj1‘𝑊) = (proj1‘𝑊)
5		pjpm.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	pjfval 21696	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) ∩ (V × (𝑉 ↑m 𝑉)))
7		inss1 4178	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) ∩ (V × (𝑉 ↑m 𝑉))) ⊆ (𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)))
8	6, 7	eqsstri 3969	. . 3 ⊢ 𝐾 ⊆ (𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)))
9		funmpt 6530	. . 3 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)))
10		funss 6511	. . 3 ⊢ (𝐾 ⊆ (𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) → (Fun (𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) → Fun 𝐾))
11	8, 9, 10	mp2 9	. 2 ⊢ Fun 𝐾
12		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)))
13		ovexd 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 → (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) ∈ V)
14	12, 13	fmpti 7058	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))):𝐿⟶V
15		fssxp 6689	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))):𝐿⟶V → (𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) ⊆ (𝐿 × V))
16		ssrin 4183	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) ⊆ (𝐿 × V) → ((𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) ∩ (V × (𝑉 ↑m 𝑉))) ⊆ ((𝐿 × V) ∩ (V × (𝑉 ↑m 𝑉))))
17	14, 15, 16	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) ∩ (V × (𝑉 ↑m 𝑉))) ⊆ ((𝐿 × V) ∩ (V × (𝑉 ↑m 𝑉)))
18	6, 17	eqsstri 3969	. . 3 ⊢ 𝐾 ⊆ ((𝐿 × V) ∩ (V × (𝑉 ↑m 𝑉)))
19		inxp 5780	. . . 4 ⊢ ((𝐿 × V) ∩ (V × (𝑉 ↑m 𝑉))) = ((𝐿 ∩ V) × (V ∩ (𝑉 ↑m 𝑉)))
20		inv1 4339	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∩ V) = 𝐿
21		incom 4150	. . . . . 6 ⊢ (V ∩ (𝑉 ↑m 𝑉)) = ((𝑉 ↑m 𝑉) ∩ V)
22		inv1 4339	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ↑m 𝑉) ∩ V) = (𝑉 ↑m 𝑉)
23	21, 22	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ (V ∩ (𝑉 ↑m 𝑉)) = (𝑉 ↑m 𝑉)
24	20, 23	xpeq12i 5652	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∩ V) × (V ∩ (𝑉 ↑m 𝑉))) = (𝐿 × (𝑉 ↑m 𝑉))
25	19, 24	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ((𝐿 × V) ∩ (V × (𝑉 ↑m 𝑉))) = (𝐿 × (𝑉 ↑m 𝑉))
26	18, 25	sseqtri 3971	. 2 ⊢ 𝐾 ⊆ (𝐿 × (𝑉 ↑m 𝑉))
27		ovex 7393	. . 3 ⊢ (𝑉 ↑m 𝑉) ∈ V
28	2	fvexi 6848	. . 3 ⊢ 𝐿 ∈ V
29	27, 28	elpm 8814	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑉 ↑m 𝑉) ↑pm 𝐿) ↔ (Fun 𝐾 ∧ 𝐾 ⊆ (𝐿 × (𝑉 ↑m 𝑉))))
30	11, 26, 29	mpbir2an 712	1 ⊢ 𝐾 ∈ ((𝑉 ↑m 𝑉) ↑pm 𝐿)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   ↦ cmpt 5167   × cxp 5622  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8766   ↑_pm cpm 8767  Basecbs 17170  proj₁cpj1 19601  LSubSpclss 20917  ocvcocv 21650  projcpj 21690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-pm 8769  df-pj 21693

This theorem is referenced by: (None)