Theorem pjpm 21927

Description: The projection map is a partial function from subspaces of the pre-Hilbert space to total operators. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjpm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
pjpm.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pjpm.k	⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pjpm	⊢ 𝐾 ∈ ((𝑉 ↑m 𝑉) ↑pm 𝐿)

Proof of Theorem pjpm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjpm.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		pjpm.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
3		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
4		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (proj1‘𝑊) = (proj1‘𝑊)
5		pjpm.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	pjfval 21925	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) ∩ (V × (𝑉 ↑m 𝑉)))
7		inss1 4185	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) ∩ (V × (𝑉 ↑m 𝑉))) ⊆ (𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)))
8	6, 7	eqsstri 3980	. . 3 ⊢ 𝐾 ⊆ (𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)))
9		funmpt 6575	. . 3 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)))
10		funss 6556	. . 3 ⊢ (𝐾 ⊆ (𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) → (Fun (𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) → Fun 𝐾))
11	8, 9, 10	mp2 9	. 2 ⊢ Fun 𝐾
12		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)))
13		ovexd 7452	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 → (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) ∈ V)
14	12, 13	fmpti 7109	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))):𝐿⟶V
15		fssxp 6734	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))):𝐿⟶V → (𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) ⊆ (𝐿 × V))
16		ssrin 4190	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) ⊆ (𝐿 × V) → ((𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) ∩ (V × (𝑉 ↑m 𝑉))) ⊆ ((𝐿 × V) ∩ (V × (𝑉 ↑m 𝑉))))
17	14, 15, 16	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐿 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) ∩ (V × (𝑉 ↑m 𝑉))) ⊆ ((𝐿 × V) ∩ (V × (𝑉 ↑m 𝑉)))
18	6, 17	eqsstri 3980	. . 3 ⊢ 𝐾 ⊆ ((𝐿 × V) ∩ (V × (𝑉 ↑m 𝑉)))
19		inxp 5816	. . . 4 ⊢ ((𝐿 × V) ∩ (V × (𝑉 ↑m 𝑉))) = ((𝐿 ∩ V) × (V ∩ (𝑉 ↑m 𝑉)))
20		inv1 4351	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∩ V) = 𝐿
21		incom 4158	. . . . . 6 ⊢ (V ∩ (𝑉 ↑m 𝑉)) = ((𝑉 ↑m 𝑉) ∩ V)
22		inv1 4351	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ↑m 𝑉) ∩ V) = (𝑉 ↑m 𝑉)
23	21, 22	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ (V ∩ (𝑉 ↑m 𝑉)) = (𝑉 ↑m 𝑉)
24	20, 23	xpeq12i 5687	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∩ V) × (V ∩ (𝑉 ↑m 𝑉))) = (𝐿 × (𝑉 ↑m 𝑉))
25	19, 24	eqtri 2785	. . 3 ⊢ ((𝐿 × V) ∩ (V × (𝑉 ↑m 𝑉))) = (𝐿 × (𝑉 ↑m 𝑉))
26	18, 25	sseqtri 3982	. 2 ⊢ 𝐾 ⊆ (𝐿 × (𝑉 ↑m 𝑉))
27		ovex 7450	. . 3 ⊢ (𝑉 ↑m 𝑉) ∈ V
28	2	fvexi 6896	. . 3 ⊢ 𝐿 ∈ V
29	27, 28	elpm 8884	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑉 ↑m 𝑉) ↑pm 𝐿) ↔ (Fun 𝐾 ∧ 𝐾 ⊆ (𝐿 × (𝑉 ↑m 𝑉))))
30	11, 26, 29	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝐾 ∈ ((𝑉 ↑m 𝑉) ↑pm 𝐿)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ↑_m cmap 8830   ↑_pm cpm 8831  Basecbs 17307  proj₁cpj1 19768  LSubSpclss 21121  ocvcocv 21879  projcpj 21919

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-pm 8833  df-pj 21922

This theorem is used by: (None)