MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjpm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjpm 21130
Description: The projection map is a partial function from subspaces of the pre-Hilbert space to total operators. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjpm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
pjpm.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
pjpm.k 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
pjpm 𝐾 ∈ ((𝑉 ↑m 𝑉) ↑pm 𝐿)

Proof of Theorem pjpm
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjpm.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 pjpm.l . . . . 5 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3 eqid 2733 . . . . 5 (ocvβ€˜π‘Š) = (ocvβ€˜π‘Š)
4 eqid 2733 . . . . 5 (proj1β€˜π‘Š) = (proj1β€˜π‘Š)
5 pjpm.k . . . . 5 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
61, 2, 3, 4, 5pjfval 21128 . . . 4 𝐾 = ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉)))
7 inss1 4189 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))) βŠ† (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
86, 7eqsstri 3979 . . 3 𝐾 βŠ† (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
9 funmpt 6540 . . 3 Fun (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
10 funss 6521 . . 3 (𝐾 βŠ† (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))) β†’ (Fun (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))) β†’ Fun 𝐾))
118, 9, 10mp2 9 . 2 Fun 𝐾
12 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
13 ovexd 7393 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐿 β†’ (π‘₯(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) ∈ V)
1412, 13fmpti 7061 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))):𝐿⟢V
15 fssxp 6697 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))):𝐿⟢V β†’ (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))) βŠ† (𝐿 Γ— V))
16 ssrin 4194 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))) βŠ† (𝐿 Γ— V) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))) βŠ† ((𝐿 Γ— V) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))))
1714, 15, 16mp2b 10 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))) βŠ† ((𝐿 Γ— V) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉)))
186, 17eqsstri 3979 . . 3 𝐾 βŠ† ((𝐿 Γ— V) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉)))
19 inxp 5789 . . . 4 ((𝐿 Γ— V) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))) = ((𝐿 ∩ V) Γ— (V ∩ (𝑉 ↑m 𝑉)))
20 inv1 4355 . . . . 5 (𝐿 ∩ V) = 𝐿
21 incom 4162 . . . . . 6 (V ∩ (𝑉 ↑m 𝑉)) = ((𝑉 ↑m 𝑉) ∩ V)
22 inv1 4355 . . . . . 6 ((𝑉 ↑m 𝑉) ∩ V) = (𝑉 ↑m 𝑉)
2321, 22eqtri 2761 . . . . 5 (V ∩ (𝑉 ↑m 𝑉)) = (𝑉 ↑m 𝑉)
2420, 23xpeq12i 5662 . . . 4 ((𝐿 ∩ V) Γ— (V ∩ (𝑉 ↑m 𝑉))) = (𝐿 Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))
2519, 24eqtri 2761 . . 3 ((𝐿 Γ— V) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))) = (𝐿 Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))
2618, 25sseqtri 3981 . 2 𝐾 βŠ† (𝐿 Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))
27 ovex 7391 . . 3 (𝑉 ↑m 𝑉) ∈ V
282fvexi 6857 . . 3 𝐿 ∈ V
2927, 28elpm 8814 . 2 (𝐾 ∈ ((𝑉 ↑m 𝑉) ↑pm 𝐿) ↔ (Fun 𝐾 ∧ 𝐾 βŠ† (𝐿 Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))))
3011, 26, 29mpbir2an 710 1 𝐾 ∈ ((𝑉 ↑m 𝑉) ↑pm 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  Fun wfun 6491  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768   ↑pm cpm 8769  Basecbs 17088  proj1cpj1 19422  LSubSpclss 20407  ocvcocv 21080  projcpj 21122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-pm 8771  df-pj 21125
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator