Theorem fmpti 7112

Description: Functionality of the mapping operation. (Contributed by NM, 19-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
fmpti.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fmpti	⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpti.2	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2	1	rgen 3064	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵
3		fmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
4	3	fmpt 7110	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5	2, 4	mpbi 229	1 ⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   ↦ cmpt 5232  ⟶wf 6540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548

This theorem is referenced by:  harf  9553  r0weon  10007  dfac2a  10124  ackbij1lem10  10224  cff  10243  isf32lem9  10356  fin1a2lem2  10396  fin1a2lem4  10398  facmapnn  14245  wwlktovf  14907  cjf  15051  ref  15059  imf  15060  absf  15284  limsupcl  15417  limsupgf  15419  eff  16025  sinf  16067  cosf  16068  bitsf  16368  fnum  16678  fden  16679  prmgapprmo  16995  setcepi  18038  catcfuccl  18069  catcfucclOLD  18070  smndex1ibas  18781  smndex2dbas  18795  smndex2hbas  18797  staffval  20455  ocvfval  21219  pjfval  21261  pjpm  21263  leordtval2  22716  lecldbas  22723  nmfval  24097  nmoffn  24228  nmofval  24231  divcn  24384  xrhmeo  24462  tcphex  24734  tchnmfval  24745  ioorf  25090  dveflem  25496  tdeglem1  25573  resinf1o  26045  efifo  26056  logcnlem5  26154  resqrtcn  26257  asinf  26377  acosf  26379  atanf  26385  leibpilem2  26446  areaf  26466  emcllem1  26500  igamf  26555  chtf  26612  chpf  26627  ppif  26634  muf  26644  bposlem7  26793  2lgslem1b  26895  pntrf  27066  pntrsumo1  27068  pntsf  27076  pntrlog2bndlem4  27083  pntrlog2bndlem5  27084  oldf  27352  newf  27353  leftf  27360  rightf  27361  normf  30376  hosubcli  31022  cnlnadjlem4  31323  cnlnadjlem6  31325  eulerpartlemsf  33358  fiblem  33397  signsvvf  33590  derangf  34159  snmlff  34320  ex-sategoelel12  34418  sinccvglem  34657  circum  34659  gg-divcn  35163  dnif  35350  f1omptsnlem  36217  phpreu  36472  poimirlem26  36514  cncfres  36633  lsatset  37860  clsk1independent  42797  lhe4.4ex1a  43088  absfico  43917  clim1fr1  44317  liminfgf  44474  limsup10ex  44489  liminf10ex  44490  dvsinax  44629  wallispilem5  44785  wallispi  44786  stirlinglem5  44794  stirlinglem13  44802  stirlinglem14  44803  stirlinglem15  44804  stirlingr  44806  fourierdlem43  44866  fourierdlem57  44879  fourierdlem58  44880  fourierdlem62  44884  fouriersw  44947  0ome  45245  sprsymrelf  46163  fmtnof1  46203  prmdvdsfmtnof  46254  uspgrsprf  46524  ackendofnn0  47370