Theorem fmpti 7057

Description: Functionality of the mapping operation. (Contributed by NM, 19-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
fmpti.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fmpti	⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpti.2	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2	1	rgen 3053	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵
3		fmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
4	3	fmpt 7055	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5	2, 4	mpbi 230	1 ⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   ↦ cmpt 5179  ⟶wf 6488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496

This theorem is referenced by:  harf  9463  r0weon  9922  dfac2a  10040  ackbij1lem10  10138  cff  10158  isf32lem9  10271  fin1a2lem2  10311  fin1a2lem4  10313  facmapnn  14208  wwlktovf  14879  cjf  15027  ref  15035  imf  15036  absf  15261  limsupcl  15396  limsupgf  15398  eff  16004  sinf  16049  cosf  16050  bitsf  16354  fnum  16669  fden  16670  prmgapprmo  16990  setcepi  18012  catcfuccl  18042  smndex1ibas  18825  smndex2dbas  18839  smndex2hbas  18841  staffval  20774  ocvfval  21621  pjfval  21661  pjpm  21663  psdmul  22109  psdmvr  22112  leordtval2  23156  lecldbas  23163  nmfval  24532  nmoffn  24655  nmofval  24658  divcnOLD  24813  divcn  24815  xrhmeo  24900  tcphex  25173  tchnmfval  25184  ioorf  25530  dveflem  25939  tdeglem1  26019  resinf1o  26501  efifo  26512  logcnlem5  26611  resqrtcn  26715  asinf  26838  acosf  26840  atanf  26846  leibpilem2  26907  areaf  26927  emcllem1  26962  igamf  27017  chtf  27074  chpf  27089  ppif  27096  muf  27106  bposlem7  27257  2lgslem1b  27359  pntrf  27530  pntrsumo1  27532  pntsf  27540  pntrlog2bndlem4  27547  pntrlog2bndlem5  27548  oldf  27833  newf  27834  leftf  27851  rightf  27852  normf  31198  hosubcli  31844  cnlnadjlem4  32145  cnlnadjlem6  32147  zringfrac  33635  eulerpartlemsf  34516  fiblem  34555  signsvvf  34736  derangf  35362  snmlff  35523  ex-sategoelel12  35621  sinccvglem  35866  circum  35868  dnif  36674  f1omptsnlem  37541  phpreu  37805  poimirlem26  37847  cncfres  37966  lsatset  39250  clsk1independent  44287  lhe4.4ex1a  44570  absfico  45462  clim1fr1  45847  liminfgf  46002  limsup10ex  46017  liminf10ex  46018  dvsinax  46157  wallispilem5  46313  wallispi  46314  stirlinglem5  46322  stirlinglem13  46330  stirlinglem14  46331  stirlinglem15  46332  stirlingr  46334  fourierdlem43  46394  fourierdlem57  46407  fourierdlem58  46408  fourierdlem62  46412  fouriersw  46475  0ome  46773  sprsymrelf  47741  fmtnof1  47781  prmdvdsfmtnof  47832  uspgrsprf  48392  ackendofnn0  48930