Theorem fmpti 7084

Description: Functionality of the mapping operation. (Contributed by NM, 19-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
fmpti.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fmpti	⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpti.2	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2	1	rgen 3046	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵
3		fmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
4	3	fmpt 7082	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5	2, 4	mpbi 230	1 ⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515

This theorem is referenced by:  harf  9511  r0weon  9965  dfac2a  10083  ackbij1lem10  10181  cff  10201  isf32lem9  10314  fin1a2lem2  10354  fin1a2lem4  10356  facmapnn  14250  wwlktovf  14922  cjf  15070  ref  15078  imf  15079  absf  15304  limsupcl  15439  limsupgf  15441  eff  16047  sinf  16092  cosf  16093  bitsf  16397  fnum  16712  fden  16713  prmgapprmo  17033  setcepi  18050  catcfuccl  18080  smndex1ibas  18827  smndex2dbas  18841  smndex2hbas  18843  staffval  20750  ocvfval  21575  pjfval  21615  pjpm  21617  psdmul  22053  psdmvr  22056  leordtval2  23099  lecldbas  23106  nmfval  24476  nmoffn  24599  nmofval  24602  divcnOLD  24757  divcn  24759  xrhmeo  24844  tcphex  25117  tchnmfval  25128  ioorf  25474  dveflem  25883  tdeglem1  25963  resinf1o  26445  efifo  26456  logcnlem5  26555  resqrtcn  26659  asinf  26782  acosf  26784  atanf  26790  leibpilem2  26851  areaf  26871  emcllem1  26906  igamf  26961  chtf  27018  chpf  27033  ppif  27040  muf  27050  bposlem7  27201  2lgslem1b  27303  pntrf  27474  pntrsumo1  27476  pntsf  27484  pntrlog2bndlem4  27491  pntrlog2bndlem5  27492  oldf  27765  newf  27766  leftf  27777  rightf  27778  normf  31052  hosubcli  31698  cnlnadjlem4  31999  cnlnadjlem6  32001  zringfrac  33525  eulerpartlemsf  34350  fiblem  34389  signsvvf  34570  derangf  35155  snmlff  35316  ex-sategoelel12  35414  sinccvglem  35659  circum  35661  dnif  36462  f1omptsnlem  37324  phpreu  37598  poimirlem26  37640  cncfres  37759  lsatset  38983  clsk1independent  44035  lhe4.4ex1a  44318  absfico  45212  clim1fr1  45599  liminfgf  45756  limsup10ex  45771  liminf10ex  45772  dvsinax  45911  wallispilem5  46067  wallispi  46068  stirlinglem5  46076  stirlinglem13  46084  stirlinglem14  46085  stirlinglem15  46086  stirlingr  46088  fourierdlem43  46148  fourierdlem57  46161  fourierdlem58  46162  fourierdlem62  46166  fouriersw  46229  0ome  46527  sprsymrelf  47496  fmtnof1  47536  prmdvdsfmtnof  47587  uspgrsprf  48134  ackendofnn0  48673