Theorem fmpti 7101

Description: Functionality of the mapping operation. (Contributed by NM, 19-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
fmpti.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fmpti	⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpti.2	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2	1	rgen 3053	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵
3		fmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
4	3	fmpt 7099	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5	2, 4	mpbi 230	1 ⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051   ↦ cmpt 5201  ⟶wf 6526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534

This theorem is referenced by:  harf  9570  r0weon  10024  dfac2a  10142  ackbij1lem10  10240  cff  10260  isf32lem9  10373  fin1a2lem2  10413  fin1a2lem4  10415  facmapnn  14301  wwlktovf  14973  cjf  15121  ref  15129  imf  15130  absf  15354  limsupcl  15487  limsupgf  15489  eff  16095  sinf  16140  cosf  16141  bitsf  16444  fnum  16759  fden  16760  prmgapprmo  17080  setcepi  18099  catcfuccl  18129  smndex1ibas  18876  smndex2dbas  18890  smndex2hbas  18892  staffval  20799  ocvfval  21624  pjfval  21664  pjpm  21666  psdmul  22102  psdmvr  22105  leordtval2  23148  lecldbas  23155  nmfval  24525  nmoffn  24648  nmofval  24651  divcnOLD  24806  divcn  24808  xrhmeo  24893  tcphex  25167  tchnmfval  25178  ioorf  25524  dveflem  25933  tdeglem1  26013  resinf1o  26495  efifo  26506  logcnlem5  26605  resqrtcn  26709  asinf  26832  acosf  26834  atanf  26840  leibpilem2  26901  areaf  26921  emcllem1  26956  igamf  27011  chtf  27068  chpf  27083  ppif  27090  muf  27100  bposlem7  27251  2lgslem1b  27353  pntrf  27524  pntrsumo1  27526  pntsf  27534  pntrlog2bndlem4  27541  pntrlog2bndlem5  27542  oldf  27813  newf  27814  leftf  27821  rightf  27822  normf  31050  hosubcli  31696  cnlnadjlem4  31997  cnlnadjlem6  31999  zringfrac  33515  eulerpartlemsf  34337  fiblem  34376  signsvvf  34557  derangf  35136  snmlff  35297  ex-sategoelel12  35395  sinccvglem  35640  circum  35642  dnif  36438  f1omptsnlem  37300  phpreu  37574  poimirlem26  37616  cncfres  37735  lsatset  38954  clsk1independent  44017  lhe4.4ex1a  44301  absfico  45190  clim1fr1  45578  liminfgf  45735  limsup10ex  45750  liminf10ex  45751  dvsinax  45890  wallispilem5  46046  wallispi  46047  stirlinglem5  46055  stirlinglem13  46063  stirlinglem14  46064  stirlinglem15  46065  stirlingr  46067  fourierdlem43  46127  fourierdlem57  46140  fourierdlem58  46141  fourierdlem62  46145  fouriersw  46208  0ome  46506  sprsymrelf  47457  fmtnof1  47497  prmdvdsfmtnof  47548  uspgrsprf  48069  ackendofnn0  48612