Theorem fmpti 7105

Description: Functionality of the mapping operation. (Contributed by NM, 19-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
fmpti.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fmpti	⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpti.2	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2	1	rgen 3078	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵
3		fmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
4	3	fmpt 7103	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5	2, 4	mpbi 233	1 ⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537

This theorem is used by:  harf  9530  r0weon  10015  dfac2a  10132  ackbij1lem10  10230  cff  10249  isf32lem9  10363  fin1a2lem2  10403  fin1a2lem4  10405  facmapnn  14349  wwlktovf  15029  cjf  15191  ref  15199  imf  15200  absf  15425  limsupcl  15560  limsupgf  15562  eff  16167  sinf  16212  cosf  16213  bitsf  16517  fnum  16833  fden  16834  prmgapprmo  17154  setcepi  18177  catcfuccl  18207  smndex1ibas  19009  smndex2dbas  19026  smndex2hbas  19028  staffval  21007  ocvfval  21879  pjfval  21919  pjpm  21921  psdmul  22394  psdmvr  22397  leordtval2  23437  lecldbas  23444  nmfval  24814  nmoffn  24937  nmofval  24940  divcn  25096  xrhmeo  25174  tcphex  25445  tchnmfval  25456  ioorf  25801  dveflem  26206  tdeglem1  26283  resinf1o  26773  efifo  26784  logcnlem5  26883  resqrtcn  26986  asinf  27109  acosf  27111  atanf  27117  leibpilem2  27178  areaf  27198  emcllem1  27232  igamf  27287  chtf  27344  chpf  27359  ppif  27366  muf  27376  bposlem7  27526  2lgslem1b  27628  pntrf  27799  pntrsumo1  27801  pntsf  27809  pntrlog2bndlem4  27816  pntrlog2bndlem5  27817  oldf  28102  newf  28103  leftf  28120  rightf  28121  normf  31604  hosubcli  32250  cnlnadjlem4  32551  cnlnadjlem6  32553  zringfrac  33964  eulerpartlemsf  34870  fiblem  34909  signsvvf  35087  derangf  35747  snmlff  35908  ex-sategoelel12  36006  sinccvglem  36251  circum  36253  dnif  37171  bj-evalf  37824  f1omptsnlem  38090  phpreu  38358  poimirlem26  38395  cncfres  38515  lsatset  39863  clsk1independent  44886  lhe4.4ex1a  45153  absfico  46048  clim1fr1  46431  liminfgf  46586  limsup10ex  46601  liminf10ex  46602  dvsinax  46741  wallispilem5  46897  wallispi  46898  stirlinglem5  46906  stirlinglem13  46914  stirlinglem14  46915  stirlinglem15  46916  stirlingr  46918  fourierdlem43  46978  fourierdlem57  46991  fourierdlem58  46992  fourierdlem62  46996  fouriersw  47059  0ome  47357  sinnpoly  47759  sprsymrelf  48395  fmtnof1  48438  prmdvdsfmtnof  48489  uspgrsprf  49062  ackendofnn0  49614  dvsec  50689  dvcsc  50690  dvcot  50691