Theorem fmpti 7066

Description: Functionality of the mapping operation. (Contributed by NM, 19-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
fmpti.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fmpti	⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpti.2	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2	1	rgen 3046	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵
3		fmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
4	3	fmpt 7064	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5	2, 4	mpbi 230	1 ⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ↦ cmpt 5183  ⟶wf 6495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503

This theorem is referenced by:  harf  9487  r0weon  9941  dfac2a  10059  ackbij1lem10  10157  cff  10177  isf32lem9  10290  fin1a2lem2  10330  fin1a2lem4  10332  facmapnn  14226  wwlktovf  14898  cjf  15046  ref  15054  imf  15055  absf  15280  limsupcl  15415  limsupgf  15417  eff  16023  sinf  16068  cosf  16069  bitsf  16373  fnum  16688  fden  16689  prmgapprmo  17009  setcepi  18030  catcfuccl  18060  smndex1ibas  18809  smndex2dbas  18823  smndex2hbas  18825  staffval  20761  ocvfval  21608  pjfval  21648  pjpm  21650  psdmul  22086  psdmvr  22089  leordtval2  23132  lecldbas  23139  nmfval  24509  nmoffn  24632  nmofval  24635  divcnOLD  24790  divcn  24792  xrhmeo  24877  tcphex  25150  tchnmfval  25161  ioorf  25507  dveflem  25916  tdeglem1  25996  resinf1o  26478  efifo  26489  logcnlem5  26588  resqrtcn  26692  asinf  26815  acosf  26817  atanf  26823  leibpilem2  26884  areaf  26904  emcllem1  26939  igamf  26994  chtf  27051  chpf  27066  ppif  27073  muf  27083  bposlem7  27234  2lgslem1b  27336  pntrf  27507  pntrsumo1  27509  pntsf  27517  pntrlog2bndlem4  27524  pntrlog2bndlem5  27525  oldf  27802  newf  27803  leftf  27814  rightf  27815  normf  31102  hosubcli  31748  cnlnadjlem4  32049  cnlnadjlem6  32051  zringfrac  33518  eulerpartlemsf  34343  fiblem  34382  signsvvf  34563  derangf  35148  snmlff  35309  ex-sategoelel12  35407  sinccvglem  35652  circum  35654  dnif  36455  f1omptsnlem  37317  phpreu  37591  poimirlem26  37633  cncfres  37752  lsatset  38976  clsk1independent  44028  lhe4.4ex1a  44311  absfico  45205  clim1fr1  45592  liminfgf  45749  limsup10ex  45764  liminf10ex  45765  dvsinax  45904  wallispilem5  46060  wallispi  46061  stirlinglem5  46069  stirlinglem13  46077  stirlinglem14  46078  stirlinglem15  46079  stirlingr  46081  fourierdlem43  46141  fourierdlem57  46154  fourierdlem58  46155  fourierdlem62  46159  fouriersw  46222  0ome  46520  sprsymrelf  47489  fmtnof1  47529  prmdvdsfmtnof  47580  uspgrsprf  48127  ackendofnn0  48666