Theorem fmpti 7018

Description: Functionality of the mapping operation. (Contributed by NM, 19-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
fmpti.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fmpti	⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpti.2	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2	1	rgen 3064	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵
3		fmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
4	3	fmpt 7016	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5	2, 4	mpbi 229	1 ⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3062   ↦ cmpt 5164  ⟶wf 6454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3306  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462

This theorem is referenced by:  harf  9365  r0weon  9818  dfac2a  9935  ackbij1lem10  10035  cff  10054  isf32lem9  10167  fin1a2lem2  10207  fin1a2lem4  10209  facmapnn  14049  wwlktovf  14720  cjf  14864  ref  14872  imf  14873  absf  15098  limsupcl  15231  limsupgf  15233  eff  15840  sinf  15882  cosf  15883  bitsf  16183  fnum  16495  fden  16496  prmgapprmo  16812  setcepi  17852  catcfuccl  17883  catcfucclOLD  17884  smndex1ibas  18588  smndex2dbas  18602  smndex2hbas  18604  staffval  20156  ocvfval  20920  pjfval  20962  pjpm  20964  leordtval2  22412  lecldbas  22419  nmfval  23793  nmoffn  23924  nmofval  23927  divcn  24080  xrhmeo  24158  tcphex  24430  tchnmfval  24441  ioorf  24786  dveflem  25192  tdeglem1  25269  resinf1o  25741  efifo  25752  logcnlem5  25850  resqrtcn  25951  asinf  26071  acosf  26073  atanf  26079  leibpilem2  26140  areaf  26160  emcllem1  26194  igamf  26249  chtf  26306  chpf  26321  ppif  26328  muf  26338  bposlem7  26487  2lgslem1b  26589  pntrf  26760  pntrsumo1  26762  pntsf  26770  pntrlog2bndlem4  26777  pntrlog2bndlem5  26778  normf  29534  hosubcli  30180  cnlnadjlem4  30481  cnlnadjlem6  30483  eulerpartlemsf  32375  fiblem  32414  signsvvf  32607  derangf  33179  snmlff  33340  ex-sategoelel12  33438  sinccvglem  33679  circum  33681  oldf  34090  newf  34091  leftf  34098  rightf  34099  dnif  34703  f1omptsnlem  35555  phpreu  35809  poimirlem26  35851  cncfres  35971  lsatset  37204  clsk1independent  41869  lhe4.4ex1a  42160  absfico  42978  clim1fr1  43371  liminfgf  43528  limsup10ex  43543  liminf10ex  43544  dvsinax  43683  wallispilem5  43839  wallispi  43840  stirlinglem5  43848  stirlinglem13  43856  stirlinglem14  43857  stirlinglem15  43858  stirlingr  43860  fourierdlem43  43920  fourierdlem57  43933  fourierdlem58  43934  fourierdlem62  43938  fouriersw  44001  0ome  44297  sprsymrelf  45191  fmtnof1  45231  prmdvdsfmtnof  45282  uspgrsprf  45552  ackendofnn0  46274