Theorem fmpti 7045

Description: Functionality of the mapping operation. (Contributed by NM, 19-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
fmpti.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fmpti	⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpti.2	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2	1	rgen 3049	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵
3		fmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
4	3	fmpt 7043	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5	2, 4	mpbi 230	1 ⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ↦ cmpt 5170  ⟶wf 6477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485

This theorem is referenced by:  harf  9444  r0weon  9903  dfac2a  10021  ackbij1lem10  10119  cff  10139  isf32lem9  10252  fin1a2lem2  10292  fin1a2lem4  10294  facmapnn  14192  wwlktovf  14863  cjf  15011  ref  15019  imf  15020  absf  15245  limsupcl  15380  limsupgf  15382  eff  15988  sinf  16033  cosf  16034  bitsf  16338  fnum  16653  fden  16654  prmgapprmo  16974  setcepi  17995  catcfuccl  18025  smndex1ibas  18808  smndex2dbas  18822  smndex2hbas  18824  staffval  20756  ocvfval  21603  pjfval  21643  pjpm  21645  psdmul  22081  psdmvr  22084  leordtval2  23127  lecldbas  23134  nmfval  24503  nmoffn  24626  nmofval  24629  divcnOLD  24784  divcn  24786  xrhmeo  24871  tcphex  25144  tchnmfval  25155  ioorf  25501  dveflem  25910  tdeglem1  25990  resinf1o  26472  efifo  26483  logcnlem5  26582  resqrtcn  26686  asinf  26809  acosf  26811  atanf  26817  leibpilem2  26878  areaf  26898  emcllem1  26933  igamf  26988  chtf  27045  chpf  27060  ppif  27067  muf  27077  bposlem7  27228  2lgslem1b  27330  pntrf  27501  pntrsumo1  27503  pntsf  27511  pntrlog2bndlem4  27518  pntrlog2bndlem5  27519  oldf  27798  newf  27799  leftf  27810  rightf  27811  normf  31103  hosubcli  31749  cnlnadjlem4  32050  cnlnadjlem6  32052  zringfrac  33519  eulerpartlemsf  34372  fiblem  34411  signsvvf  34592  derangf  35212  snmlff  35373  ex-sategoelel12  35471  sinccvglem  35716  circum  35718  dnif  36516  f1omptsnlem  37378  phpreu  37652  poimirlem26  37694  cncfres  37813  lsatset  39037  clsk1independent  44087  lhe4.4ex1a  44370  absfico  45263  clim1fr1  45649  liminfgf  45804  limsup10ex  45819  liminf10ex  45820  dvsinax  45959  wallispilem5  46115  wallispi  46116  stirlinglem5  46124  stirlinglem13  46132  stirlinglem14  46133  stirlinglem15  46134  stirlingr  46136  fourierdlem43  46196  fourierdlem57  46209  fourierdlem58  46210  fourierdlem62  46214  fouriersw  46277  0ome  46575  sprsymrelf  47534  fmtnof1  47574  prmdvdsfmtnof  47625  uspgrsprf  48185  ackendofnn0  48724