MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjfval 21128
Description: The value of the projection function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjfval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
pjfval.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
pjfval.o βŠ₯ = (ocvβ€˜π‘Š)
pjfval.p 𝑃 = (proj1β€˜π‘Š)
pjfval.k 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
pjfval 𝐾 = ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉)))
Distinct variable groups:   π‘₯, βŠ₯   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐾(π‘₯)

Proof of Theorem pjfval
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjfval.k . 2 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
2 fveq2 6843 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Š β†’ (LSubSpβ€˜π‘€) = (LSubSpβ€˜π‘Š))
3 pjfval.l . . . . . . 7 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
42, 3eqtr4di 2791 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ (LSubSpβ€˜π‘€) = 𝐿)
5 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘Š β†’ (proj1β€˜π‘€) = (proj1β€˜π‘Š))
6 pjfval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (proj1β€˜π‘Š)
75, 6eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Š β†’ (proj1β€˜π‘€) = 𝑃)
8 eqidd 2734 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Š β†’ π‘₯ = π‘₯)
9 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Š β†’ (ocvβ€˜π‘€) = (ocvβ€˜π‘Š))
10 pjfval.o . . . . . . . . 9 βŠ₯ = (ocvβ€˜π‘Š)
119, 10eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘Š β†’ (ocvβ€˜π‘€) = βŠ₯ )
1211fveq1d 6845 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Š β†’ ((ocvβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) = ( βŠ₯ β€˜π‘₯))
137, 8, 12oveq123d 7379 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ (π‘₯(proj1β€˜π‘€)((ocvβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) = (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯)))
144, 13mpteq12dv 5197 . . . . 5 (𝑀 = π‘Š β†’ (π‘₯ ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ↦ (π‘₯(proj1β€˜π‘€)((ocvβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))))
15 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘Š β†’ (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘Š))
16 pjfval.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
1715, 16eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Š β†’ (Baseβ€˜π‘€) = 𝑉)
1817, 17oveq12d 7376 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ ((Baseβ€˜π‘€) ↑m (Baseβ€˜π‘€)) = (𝑉 ↑m 𝑉))
1918xpeq2d 5664 . . . . 5 (𝑀 = π‘Š β†’ (V Γ— ((Baseβ€˜π‘€) ↑m (Baseβ€˜π‘€))) = (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉)))
2014, 19ineq12d 4174 . . . 4 (𝑀 = π‘Š β†’ ((π‘₯ ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ↦ (π‘₯(proj1β€˜π‘€)((ocvβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— ((Baseβ€˜π‘€) ↑m (Baseβ€˜π‘€)))) = ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))))
21 df-pj 21125 . . . 4 proj = (𝑀 ∈ V ↦ ((π‘₯ ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ↦ (π‘₯(proj1β€˜π‘€)((ocvβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— ((Baseβ€˜π‘€) ↑m (Baseβ€˜π‘€)))))
223fvexi 6857 . . . . . . 7 𝐿 ∈ V
2322inex1 5275 . . . . . 6 (𝐿 ∩ V) ∈ V
24 ovex 7391 . . . . . . 7 (𝑉 ↑m 𝑉) ∈ V
2524inex2 5276 . . . . . 6 (V ∩ (𝑉 ↑m 𝑉)) ∈ V
2623, 25xpex 7688 . . . . 5 ((𝐿 ∩ V) Γ— (V ∩ (𝑉 ↑m 𝑉))) ∈ V
27 eqid 2733 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯)))
28 ovexd 7393 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐿 β†’ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯)) ∈ V)
2927, 28fmpti 7061 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))):𝐿⟢V
30 fssxp 6697 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))):𝐿⟢V β†’ (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) βŠ† (𝐿 Γ— V))
31 ssrin 4194 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) βŠ† (𝐿 Γ— V) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))) βŠ† ((𝐿 Γ— V) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))))
3229, 30, 31mp2b 10 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))) βŠ† ((𝐿 Γ— V) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉)))
33 inxp 5789 . . . . . 6 ((𝐿 Γ— V) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))) = ((𝐿 ∩ V) Γ— (V ∩ (𝑉 ↑m 𝑉)))
3432, 33sseqtri 3981 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))) βŠ† ((𝐿 ∩ V) Γ— (V ∩ (𝑉 ↑m 𝑉)))
3526, 34ssexi 5280 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))) ∈ V
3620, 21, 35fvmpt 6949 . . 3 (π‘Š ∈ V β†’ (projβ€˜π‘Š) = ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))))
37 fvprc 6835 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (projβ€˜π‘Š) = βˆ…)
38 inss1 4189 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))) βŠ† (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯)))
39 fvprc 6835 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) = βˆ…)
403, 39eqtrid 2785 . . . . . . 7 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝐿 = βˆ…)
4140mpteq1d 5201 . . . . . 6 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))))
42 mpt0 6644 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) = βˆ…
4341, 42eqtrdi 2789 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) = βˆ…)
44 sseq0 4360 . . . . 5 ((((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))) βŠ† (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) = βˆ…) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))) = βˆ…)
4538, 43, 44sylancr 588 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))) = βˆ…)
4637, 45eqtr4d 2776 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (projβ€˜π‘Š) = ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))))
4736, 46pm2.61i 182 . 2 (projβ€˜π‘Š) = ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉)))
481, 47eqtri 2761 1 𝐾 = ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768  Basecbs 17088  proj1cpj1 19422  LSubSpclss 20407  ocvcocv 21080  projcpj 21122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-ov 7361  df-pj 21125
This theorem is referenced by:  pjdm  21129  pjpm  21130  pjfval2  21131
  Copyright terms: Public domain W3C validator