MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjfval 21640
Description: The value of the projection function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjfval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
pjfval.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
pjfval.o βŠ₯ = (ocvβ€˜π‘Š)
pjfval.p 𝑃 = (proj1β€˜π‘Š)
pjfval.k 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
pjfval 𝐾 = ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉)))
Distinct variable groups:   π‘₯, βŠ₯   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐾(π‘₯)

Proof of Theorem pjfval
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjfval.k . 2 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
2 fveq2 6897 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Š β†’ (LSubSpβ€˜π‘€) = (LSubSpβ€˜π‘Š))
3 pjfval.l . . . . . . 7 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
42, 3eqtr4di 2786 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ (LSubSpβ€˜π‘€) = 𝐿)
5 fveq2 6897 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘Š β†’ (proj1β€˜π‘€) = (proj1β€˜π‘Š))
6 pjfval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (proj1β€˜π‘Š)
75, 6eqtr4di 2786 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Š β†’ (proj1β€˜π‘€) = 𝑃)
8 eqidd 2729 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Š β†’ π‘₯ = π‘₯)
9 fveq2 6897 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Š β†’ (ocvβ€˜π‘€) = (ocvβ€˜π‘Š))
10 pjfval.o . . . . . . . . 9 βŠ₯ = (ocvβ€˜π‘Š)
119, 10eqtr4di 2786 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘Š β†’ (ocvβ€˜π‘€) = βŠ₯ )
1211fveq1d 6899 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Š β†’ ((ocvβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) = ( βŠ₯ β€˜π‘₯))
137, 8, 12oveq123d 7441 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ (π‘₯(proj1β€˜π‘€)((ocvβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) = (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯)))
144, 13mpteq12dv 5239 . . . . 5 (𝑀 = π‘Š β†’ (π‘₯ ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ↦ (π‘₯(proj1β€˜π‘€)((ocvβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))))
15 fveq2 6897 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘Š β†’ (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘Š))
16 pjfval.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
1715, 16eqtr4di 2786 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Š β†’ (Baseβ€˜π‘€) = 𝑉)
1817, 17oveq12d 7438 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ ((Baseβ€˜π‘€) ↑m (Baseβ€˜π‘€)) = (𝑉 ↑m 𝑉))
1918xpeq2d 5708 . . . . 5 (𝑀 = π‘Š β†’ (V Γ— ((Baseβ€˜π‘€) ↑m (Baseβ€˜π‘€))) = (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉)))
2014, 19ineq12d 4213 . . . 4 (𝑀 = π‘Š β†’ ((π‘₯ ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ↦ (π‘₯(proj1β€˜π‘€)((ocvβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— ((Baseβ€˜π‘€) ↑m (Baseβ€˜π‘€)))) = ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))))
21 df-pj 21637 . . . 4 proj = (𝑀 ∈ V ↦ ((π‘₯ ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ↦ (π‘₯(proj1β€˜π‘€)((ocvβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— ((Baseβ€˜π‘€) ↑m (Baseβ€˜π‘€)))))
223fvexi 6911 . . . . . . 7 𝐿 ∈ V
2322inex1 5317 . . . . . 6 (𝐿 ∩ V) ∈ V
24 ovex 7453 . . . . . . 7 (𝑉 ↑m 𝑉) ∈ V
2524inex2 5318 . . . . . 6 (V ∩ (𝑉 ↑m 𝑉)) ∈ V
2623, 25xpex 7755 . . . . 5 ((𝐿 ∩ V) Γ— (V ∩ (𝑉 ↑m 𝑉))) ∈ V
27 eqid 2728 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯)))
28 ovexd 7455 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐿 β†’ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯)) ∈ V)
2927, 28fmpti 7122 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))):𝐿⟢V
30 fssxp 6751 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))):𝐿⟢V β†’ (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) βŠ† (𝐿 Γ— V))
31 ssrin 4234 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) βŠ† (𝐿 Γ— V) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))) βŠ† ((𝐿 Γ— V) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))))
3229, 30, 31mp2b 10 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))) βŠ† ((𝐿 Γ— V) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉)))
33 inxp 5834 . . . . . 6 ((𝐿 Γ— V) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))) = ((𝐿 ∩ V) Γ— (V ∩ (𝑉 ↑m 𝑉)))
3432, 33sseqtri 4016 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))) βŠ† ((𝐿 ∩ V) Γ— (V ∩ (𝑉 ↑m 𝑉)))
3526, 34ssexi 5322 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))) ∈ V
3620, 21, 35fvmpt 7005 . . 3 (π‘Š ∈ V β†’ (projβ€˜π‘Š) = ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))))
37 fvprc 6889 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (projβ€˜π‘Š) = βˆ…)
38 inss1 4229 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))) βŠ† (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯)))
39 fvprc 6889 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) = βˆ…)
403, 39eqtrid 2780 . . . . . . 7 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝐿 = βˆ…)
4140mpteq1d 5243 . . . . . 6 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))))
42 mpt0 6697 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) = βˆ…
4341, 42eqtrdi 2784 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) = βˆ…)
44 sseq0 4400 . . . . 5 ((((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))) βŠ† (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) = βˆ…) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))) = βˆ…)
4538, 43, 44sylancr 586 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))) = βˆ…)
4637, 45eqtr4d 2771 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (projβ€˜π‘Š) = ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉))))
4736, 46pm2.61i 182 . 2 (projβ€˜π‘Š) = ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉)))
481, 47eqtri 2756 1 𝐾 = ((π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (π‘₯𝑃( βŠ₯ β€˜π‘₯))) ∩ (V Γ— (𝑉 ↑m 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5676  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑m cmap 8845  Basecbs 17180  proj1cpj1 19590  LSubSpclss 20815  ocvcocv 21592  projcpj 21634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-ov 7423  df-pj 21637
This theorem is referenced by:  pjdm  21641  pjpm  21642  pjfval2  21643
  Copyright terms: Public domain W3C validator