Theorem plngssp 29316

Description: Planes are sets of points. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
plngval.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plngval.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
elplng.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
elplng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
plngssp.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅))

Assertion

Ref	Expression
plngssp	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem plngssp

Dummy variables 𝑡 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4008	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))} ⊆ 𝑃
2		plngssp.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅))
3		plngval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		plngval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		plngval.1	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		plngval.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
7		plngval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		elplng.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
9		elplng.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	plngval 29312	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝑅) = {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))})
11	2, 10	eleqtrd 2866	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))})
12	1, 11	sselid 3911	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  {crab 3416   ∖ cdif 4048   class class class wbr 5108  ran crn 5659  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  TarskiGcstrkg 28946  Itvcitv 28952  LineGclng 28953  hpGchpg 29292  hlGcplng 29308

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-plng 29309

This theorem is used by:  plngcplem  29320  plngrotlem1  29322  plngrotlem2  29323  lnssplnglem  29326  lnssplng  29327  plngmiropp  29329  nhpmirhp  29333