Theorem plngssp 29138

Description: Planes are sets of points. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
plngval.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plngval.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
elplng.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
elplng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
plngssp.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅))

Assertion

Ref	Expression
plngssp	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem plngssp

Dummy variables 𝑡 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4028	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))} ⊆ 𝑃
2		plngssp.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅))
3		plngval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		plngval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		plngval.1	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		plngval.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
7		plngval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		elplng.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
9		elplng.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	plngval 29134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝑅) = {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))})
11	2, 10	eleqtrd 2862	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))})
12	1, 11	sselid 3929	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  {crab 3412   ∖ cdif 3896   class class class wbr 5103  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  TarskiGcstrkg 28768  Itvcitv 28774  LineGclng 28775  hpGchpg 29114  hlGcplng 29130

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-plng 29131

This theorem is used by:  plngcplem  29142  plngrotlem1  29144  plngrotlem2  29145  lnssplnglem  29148  lnssplng  29149  plngmiropp  29151  nhpmirhp  29155