Theorem plngssp 29252

Description: Planes are sets of points. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
plngval.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plngval.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
elplng.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
elplng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
plngssp.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅))

Assertion

Ref	Expression
plngssp	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem plngssp

Dummy variables 𝑡 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4028	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))} ⊆ 𝑃
2		plngssp.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅))
3		plngval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		plngval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		plngval.1	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		plngval.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
7		plngval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		elplng.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
9		elplng.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	plngval 29248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝑅) = {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))})
11	2, 10	eleqtrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))})
12	1, 11	sselid 3929	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  {crab 3413   ∖ cdif 3896   class class class wbr 5103  ran crn 5652  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  TarskiGcstrkg 28882  Itvcitv 28888  LineGclng 28889  hpGchpg 29228  hlGcplng 29244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-plng 29245

This theorem is used by:  plngcplem  29256  plngrotlem1  29258  plngrotlem2  29259  lnssplnglem  29262  lnssplng  29263  plngmiropp  29265  nhpmirhp  29269