Theorem plngcplem 29270

Description: Lemma for plngcp 29271. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
plngval.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plngval.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
plngcp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
plngcp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
plngcp.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((𝐴𝐸𝑅) ∖ 𝐴))
plngcplem.1	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}

Assertion

Ref	Expression
plngcplem	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝑅) = (𝐴𝐸𝑆))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝑅,𝑎,𝑏,𝑡   𝑆,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝐸(𝑡, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem plngcplem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plngval.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		plngval.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		plngval.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		plngcplem.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5		plngval.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑆𝑂𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		plngcp.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8	7	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑆𝑂𝑅) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
9		plngcp.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
10	9	eldifad 4050	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
11	10	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑆𝑂𝑅) → 𝑅 ∈ 𝑃)
12		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑆𝑂𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑃)
13		plngval.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
14		plngcp.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((𝐴𝐸𝑅) ∖ 𝐴))
15	14	eldifad 4050	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐴𝐸𝑅))
16	1, 2, 3, 13, 5, 7, 9, 15	plngssp 29266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑃)
17	16	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑆𝑂𝑅) → 𝑆 ∈ 𝑃)
18		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
19		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑆𝑂𝑅) → 𝑆𝑂𝑅)
20	1, 18, 2, 4, 3, 8, 6, 17, 11, 19	oppcom 29227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑆𝑂𝑅) → 𝑅𝑂𝑆)
21	1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12, 17, 20	lnopp2hpgb 29248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑆𝑂𝑅) → (𝑥𝑂𝑆 ↔ 𝑅((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑥))
22	21	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) → (𝑥𝑂𝑆 ↔ 𝑅((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑥))
23	5	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) ∧ 𝑅((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
24	7	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) ∧ 𝑅((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑥) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
25	10	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) ∧ 𝑅((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑥) → 𝑅 ∈ 𝑃)
26		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) ∧ 𝑅((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
27		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) ∧ 𝑅((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑥) → 𝑅((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑥)
28	1, 2, 3, 23, 24, 25, 4, 26, 27	hpgcom 29252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) ∧ 𝑅((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑥) → 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅)
29	5	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
30	7	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
31		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑃)
32	10	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) → 𝑅 ∈ 𝑃)
33		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) → 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅)
34	1, 2, 3, 29, 30, 31, 4, 32, 33	hpgcom 29252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) → 𝑅((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑥)
35	28, 34	impbida 813	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) → (𝑅((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑥 ↔ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅))
36	22, 35	bitr2d 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) → (𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ↔ 𝑥𝑂𝑆))
37	1, 2, 3, 4, 6, 8, 17, 12, 11, 19	lnopp2hpgb 29248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑆𝑂𝑅) → (𝑥𝑂𝑅 ↔ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑥))
38	37	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) → (𝑥𝑂𝑅 ↔ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑥))
39	5	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
40	7	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑥) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
41	16	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑥) → 𝑆 ∈ 𝑃)
42		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
43		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑥) → 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑥)
44	1, 2, 3, 39, 40, 41, 4, 42, 43	hpgcom 29252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑥) → 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆)
45	5	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆) → 𝐺 ∈ TarskiG)
46	7	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
47		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑃)
48	16	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆) → 𝑆 ∈ 𝑃)
49		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆) → 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆)
50	1, 2, 3, 45, 46, 47, 4, 48, 49	hpgcom 29252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆) → 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑥)
51	44, 50	impbida 813	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) → (𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑥 ↔ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆))
52	38, 51	bitrd 282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) → (𝑥𝑂𝑅 ↔ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆))
53	36, 52	orbi12d 932	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) → ((𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑥𝑂𝑅) ↔ (𝑥𝑂𝑆 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆)))
54		orcom 884	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥𝑂𝑆 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆) ↔ (𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆 ∨ 𝑥𝑂𝑆))
55	53, 54	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆𝑂𝑅) → ((𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑥𝑂𝑅) ↔ (𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆 ∨ 𝑥𝑂𝑆)))
56	5	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
57	7	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
58		simp-4r 796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑃)
59	10	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) → 𝑅 ∈ 𝑃)
60		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) → 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅)
61	16	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) → 𝑆 ∈ 𝑃)
62		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) → 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅)
63	1, 2, 3, 56, 57, 61, 4, 59, 62	hpgcom 29252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) → 𝑅((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆)
64	1, 2, 3, 56, 57, 58, 4, 59, 60, 61, 63	hpgtr 29253	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) → 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆)
65	5	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆) → 𝐺 ∈ TarskiG)
66	7	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
67		simp-4r 796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑃)
68	16	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆) → 𝑆 ∈ 𝑃)
69		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆) → 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆)
70	10	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆) → 𝑅 ∈ 𝑃)
71		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆) → 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅)
72	1, 2, 3, 65, 66, 67, 4, 68, 69, 70, 71	hpgtr 29253	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆) → 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅)
73	64, 72	impbida 813	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) → (𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ↔ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆))
74	7	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥𝑂𝑅) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
75	5	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥𝑂𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
76	16	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥𝑂𝑅) → 𝑆 ∈ 𝑃)
77		simp-4r 796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥𝑂𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑃)
78	10	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥𝑂𝑅) → 𝑅 ∈ 𝑃)
79		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥𝑂𝑅) → 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅)
80	1, 2, 3, 75, 74, 76, 4, 78, 79	hpgcom 29252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥𝑂𝑅) → 𝑅((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆)
81		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥𝑂𝑅) → 𝑥𝑂𝑅)
82	1, 18, 2, 4, 3, 74, 75, 77, 78, 81	oppcom 29227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥𝑂𝑅) → 𝑅𝑂𝑥)
83	1, 2, 3, 4, 75, 74, 78, 76, 77, 82	lnopp2hpgb 29248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥𝑂𝑅) → (𝑆𝑂𝑥 ↔ 𝑅((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆))
84	80, 83	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥𝑂𝑅) → 𝑆𝑂𝑥)
85	1, 18, 2, 4, 3, 74, 75, 76, 77, 84	oppcom 29227	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥𝑂𝑅) → 𝑥𝑂𝑆)
86	7	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥𝑂𝑆) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
87	5	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥𝑂𝑆) → 𝐺 ∈ TarskiG)
88	10	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥𝑂𝑆) → 𝑅 ∈ 𝑃)
89		simp-4r 796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥𝑂𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑃)
90		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥𝑂𝑆) → 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅)
91	16	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥𝑂𝑆) → 𝑆 ∈ 𝑃)
92		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥𝑂𝑆) → 𝑥𝑂𝑆)
93	1, 18, 2, 4, 3, 86, 87, 89, 91, 92	oppcom 29227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥𝑂𝑆) → 𝑆𝑂𝑥)
94	1, 2, 3, 4, 87, 86, 91, 88, 89, 93	lnopp2hpgb 29248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥𝑂𝑆) → (𝑅𝑂𝑥 ↔ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅))
95	90, 94	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥𝑂𝑆) → 𝑅𝑂𝑥)
96	1, 18, 2, 4, 3, 86, 87, 88, 89, 95	oppcom 29227	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) ∧ 𝑥𝑂𝑆) → 𝑥𝑂𝑅)
97	85, 96	impbida 813	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) → (𝑥𝑂𝑅 ↔ 𝑥𝑂𝑆))
98	73, 97	orbi12d 932	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅) → ((𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑥𝑂𝑅) ↔ (𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆 ∨ 𝑥𝑂𝑆)))
99		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑆 ∈ 𝐴))
100		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝑦((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ↔ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅))
101		oveq1 7429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝑦𝐼𝑅) = (𝑆𝐼𝑅))
102	101	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝑡 ∈ (𝑦𝐼𝑅) ↔ 𝑡 ∈ (𝑆𝐼𝑅)))
103	102	rexbidv 3186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑦𝐼𝑅) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑆𝐼𝑅)))
104	99, 100, 103	3orbi123d 1463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑦𝐼𝑅)) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑆𝐼𝑅))))
105	1, 2, 3, 13, 5, 7, 9	plngval 29262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝑅) = {𝑦 ∈ 𝑃 ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑦𝐼𝑅))})
106	15, 105	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {𝑦 ∈ 𝑃 ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑦𝐼𝑅))})
107	104, 106	elrabrd 3647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑆𝐼𝑅)))
108		3orass 1106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑆𝐼𝑅)) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ (𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑆𝐼𝑅))))
109	107, 108	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ (𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑆𝐼𝑅))))
110	14	eldifbd 4051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝐴)
111	109, 110	orcnd 892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑆𝐼𝑅)))
112	1, 18, 2, 4, 16, 10	islnopp 29222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆𝑂𝑅 ↔ ((¬ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑆𝐼𝑅))))
113	9	eldifbd 4051	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ 𝐴)
114	110, 113	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ∈ 𝐴))
115	114	biantrurd 542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑆𝐼𝑅) ↔ ((¬ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑆𝐼𝑅))))
116	112, 115	bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆𝑂𝑅 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑆𝐼𝑅)))
117	116	orbi2d 929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑆𝑂𝑅) ↔ (𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑆𝐼𝑅))))
118	111, 117	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑆𝑂𝑅))
119	118	orcomd 885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆𝑂𝑅 ∨ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅))
120	119	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑆𝑂𝑅 ∨ 𝑆((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅))
121	55, 98, 120	mpjaodan 973	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑥𝑂𝑅) ↔ (𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆 ∨ 𝑥𝑂𝑆)))
122		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
123	113	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑅 ∈ 𝐴)
124	122, 123	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ∈ 𝐴))
125	124	biantrurd 542	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅) ↔ ((¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))))
126		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ 𝑃)
127	10	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ 𝑃)
128	1, 18, 2, 4, 126, 127	islnopp 29222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → (𝑥𝑂𝑅 ↔ ((¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))))
129	128	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥𝑂𝑅 ↔ ((¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))))
130	125, 129	bitr4d 285	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅) ↔ 𝑥𝑂𝑅))
131	130	orbi2d 929	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅)) ↔ (𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑥𝑂𝑅)))
132	110	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑆 ∈ 𝐴)
133	122, 132	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ∈ 𝐴))
134	133	biantrurd 542	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑆) ↔ ((¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑆))))
135	16	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝑆 ∈ 𝑃)
136	1, 18, 2, 4, 126, 135	islnopp 29222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → (𝑥𝑂𝑆 ↔ ((¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑆))))
137	136	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥𝑂𝑆 ↔ ((¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑆))))
138	134, 137	bitr4d 285	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑆) ↔ 𝑥𝑂𝑆))
139	138	orbi2d 929	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑆)) ↔ (𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆 ∨ 𝑥𝑂𝑆)))
140	121, 131, 139	3bitr4d 314	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅)) ↔ (𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑆))))
141	140	pm5.74da 816	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → ((¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))) ↔ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑆)))))
142		3orass 1106	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))))
143		df-or 862	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))) ↔ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))))
144	142, 143	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))))
145		3orass 1106	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑆))))
146		df-or 862	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑆))) ↔ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑆))))
147	145, 146	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑆)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑆))))
148	141, 144, 147	3bitr4g 317	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑆))))
149	148	rabbidva 3418	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))} = {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑆))})
150	1, 2, 3, 13, 5, 7, 9	plngval 29262	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝑅) = {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))})
151	16, 110	eldifd 4049	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
152	1, 2, 3, 13, 5, 7, 151	plngval 29262	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝑆) = {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑆 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑆))})
153	149, 150, 152	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝑅) = (𝐴𝐸𝑆))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  {crab 3412   ∖ cdif 4044   class class class wbr 5102  {copab 5166  ran crn 5651  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394  distcds 17444  TarskiGcstrkg 28896  Itvcitv 28902  LineGclng 28903  hpGchpg 29242  hlGcplng 29258

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-oadd 8485  df-er 8722  df-map 8854  df-pm 8855  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-dju 9987  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-n0 12612  df-xnn0 12685  df-z 12699  df-uz 12971  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-hash 14480  df-word 14664  df-concat 14721  df-s1 14748  df-s2 15005  df-s3 15006  df-trkgc 28917  df-trkgb 28918  df-trkgcb 28919  df-trkgld 28921  df-trkg 28922  df-cgrg 28981  df-leg 29053  df-hlg 29071  df-mir 29132  df-rag 29176  df-perpg 29178  df-hpg 29243  df-plng 29259

This theorem is used by:  plngcp  29271