Theorem lnssplnglem 29124

Description: Lemma for lnssplng 29125. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
plngval.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plngval.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
lnssplnglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅))
lnssplnglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐸𝑅))
lnssplnglem.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
lnssplnglem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
lnssplnglem.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
lnssplnglem.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
lnssplnglem.5	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lnssplnglem	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌) ⊆ (𝐴𝐸𝑅) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))(𝐴𝐸𝑅) = ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑠)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐸,𝑠   𝐿,𝑠   𝑃,𝑠   𝑅,𝑠   𝑋,𝑠   𝑌,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑠)   𝐼(𝑠)

Proof of Theorem lnssplnglem

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plngval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		plngval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		plngval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		plngval.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
5		plngval.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		lnssplnglem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
9		lnssplnglem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
10		lnssplnglem.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅))
11	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10	plngssp 29114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑃)
13		lnssplnglem.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐸𝑅))
14	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 13	plngssp 29114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝑃)
16		lnssplnglem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
17	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑋 ≠ 𝑌)
18	1, 2, 3, 6, 12, 15, 17	tgelrnln 28954	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
19	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
20	8	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
21		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
22	1, 3, 2, 7, 20, 21	tglnpt 28869	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
23		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
24	22, 23	eldifd 3917	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑧 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
25	1, 2, 3, 4, 7, 19, 24	elplnglnid 29116	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) ⊆ ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑧))
26	12	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
27	7	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28	26	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
29	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
30	22	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
31	17	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
32	1, 2, 3, 5, 11, 14, 16	tglinerflx2 28958	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
33	32	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
34		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌)) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
35		nelne2 3058	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ≠ 𝑧)
36	33, 34, 35	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌)) → 𝑌 ≠ 𝑧)
37		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌)) → 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌))
38	1, 2, 3, 27, 29, 30, 28, 36, 37	lncom 28946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌)) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑧))
39	1, 2, 3, 27, 28, 29, 30, 31, 38, 36	lnrot2 28948	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌)) → 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
40	23, 39	mtand 828	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌))
41	26, 40	eldifd 3917	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑧𝐿𝑌)))
42	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
43	17	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
44	1, 2, 3, 4, 7, 41, 42, 24, 43	plngrot 29123	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑧) = ((𝑧𝐿𝑌)𝐸𝑋))
45	44	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑧) = ((𝑧𝐿𝑌)𝐸𝑋))
46	5	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝐺 ∈ TarskiG)
47	22	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑃)
48	14	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑌 ∈ 𝑃)
49	21	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
50		lnssplnglem.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
51	50	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
52		nelne2 3058	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≠ 𝑌)
53	49, 51, 52	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑧 ≠ 𝑌)
54	1, 2, 3, 46, 47, 48, 53	tgelrnln 28954	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → (𝑧𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
55	8	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
56		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧)))
57	56	eldifad 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑤 ∈ 𝐴)
58	1, 3, 2, 46, 55, 57	tglnpt 28869	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑤 ∈ 𝑃)
59	56	eldifbd 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑌𝐿𝑧))
60	1, 2, 3, 46, 47, 48, 53	tglinecom 28959	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → (𝑧𝐿𝑌) = (𝑌𝐿𝑧))
61	59, 60	neleqtrrd 2888	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑧𝐿𝑌))
62	58, 61	eldifd 3917	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑤 ∈ (𝑃 ∖ (𝑧𝐿𝑌)))
63	10	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅))
64		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑤 ≠ 𝑧)
65	1, 2, 3, 46, 58, 47, 64, 64, 55, 57, 49	tglinethru 28960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝐴 = (𝑤𝐿𝑧))
66	51, 65	neleqtrd 2887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → ¬ 𝑌 ∈ (𝑤𝐿𝑧))
67	48, 66	eldifd 3917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ (𝑤𝐿𝑧)))
68	58, 59	eldifd 3917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑤 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑧)))
69	53	necomd 3015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑌 ≠ 𝑧)
70	1, 2, 3, 4, 46, 67, 47, 68, 69	plngrot 29123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → ((𝑌𝐿𝑧)𝐸𝑤) = ((𝑤𝐿𝑧)𝐸𝑌))
71	60	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → ((𝑧𝐿𝑌)𝐸𝑤) = ((𝑌𝐿𝑧)𝐸𝑤))
72	65	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → (𝐴𝐸𝑌) = ((𝑤𝐿𝑧)𝐸𝑌))
73	70, 71, 72	3eqtr4d 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → ((𝑧𝐿𝑌)𝐸𝑤) = (𝐴𝐸𝑌))
74	13, 50	eldifd 3917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝐴𝐸𝑅) ∖ 𝐴))
75	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 74	plngcp 29119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝑅) = (𝐴𝐸𝑌))
76	75	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → (𝐴𝐸𝑅) = (𝐴𝐸𝑌))
77	73, 76	eqtr4d 2803	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → ((𝑧𝐿𝑌)𝐸𝑤) = (𝐴𝐸𝑅))
78	63, 77	eleqtrrd 2868	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑋 ∈ ((𝑧𝐿𝑌)𝐸𝑤))
79	40	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌))
80	78, 79	eldifd 3917	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑋 ∈ (((𝑧𝐿𝑌)𝐸𝑤) ∖ (𝑧𝐿𝑌)))
81	1, 2, 3, 4, 46, 54, 62, 80	plngcp 29119	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → ((𝑧𝐿𝑌)𝐸𝑤) = ((𝑧𝐿𝑌)𝐸𝑋))
82	45, 81, 77	3eqtr2rd 2807	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → (𝐴𝐸𝑅) = ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑧))
83	32	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
84	83, 23, 35	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ≠ 𝑧)
85	1, 2, 3, 7, 42, 22, 84	tgelrnln 28954	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑌𝐿𝑧) ∈ ran 𝐿)
86	1, 2, 3, 7, 42, 22, 84	tglinerflx1 28957	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑧))
87	50	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
88		nelne1 3057	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑧) ∧ ¬ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌𝐿𝑧) ≠ 𝐴)
89	86, 87, 88	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑌𝐿𝑧) ≠ 𝐴)
90	89	necomd 3015	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝐴 ≠ (𝑌𝐿𝑧))
91	1, 2, 3, 7, 20, 85, 21, 90	tglnpt4 28979	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → ∃𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))𝑤 ≠ 𝑧)
92	82, 91	r19.29a 3175	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝐴𝐸𝑅) = ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑧))
93	25, 92	sseqtrrd 3975	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) ⊆ (𝐴𝐸𝑅))
94		oveq2 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑠) = ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑧))
95	94	eqeq2d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → ((𝐴𝐸𝑅) = ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑠) ↔ (𝐴𝐸𝑅) = ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑧)))
96	95, 24, 92	rspcedvdw 3586	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → ∃𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))(𝐴𝐸𝑅) = ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑠))
97	93, 96	jca 521	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → ((𝑋𝐿𝑌) ⊆ (𝐴𝐸𝑅) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))(𝐴𝐸𝑅) = ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑠)))
98		lnssplnglem.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
99	98	neneqd 2965	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = (𝑋𝐿𝑌))
100	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
101	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
102	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
103	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
104	16	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
105	1, 2, 3, 100, 102, 103, 104	tgelrnln 28954	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
106		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝐴 ⊆ (𝑋𝐿𝑌))
107	3, 100, 101, 105, 106	tglinesseq 28964	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝐴 = (𝑋𝐿𝑌))
108	99, 107	mtand 828	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑋𝐿𝑌))
109		nssrex 4003	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ (𝑋𝐿𝑌) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
110	108, 109	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
111	97, 110	r19.29a 3175	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌) ⊆ (𝐴𝐸𝑅) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))(𝐴𝐸𝑅) = ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑠)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17291  TarskiGcstrkg 28747  Itvcitv 28753  LineGclng 28754  hlGcplng 29106

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-xnn0 12593  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-hash 14385  df-word 14569  df-concat 14626  df-s1 14653  df-s2 14909  df-s3 14910  df-trkgc 28768  df-trkgb 28769  df-trkgcb 28770  df-trkgld 28772  df-trkg 28773  df-cgrg 28831  df-leg 28903  df-hlg 28921  df-mir 28981  df-rag 29025  df-perpg 29027  df-hpg 29091  df-plng 29107

This theorem is used by:  lnssplng  29125