Theorem lnssplnglem 29021

Description: Lemma for lnssplng 29022. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
plngval.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plngval.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
lnssplnglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅))
lnssplnglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐸𝑅))
lnssplnglem.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
lnssplnglem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
lnssplnglem.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
lnssplnglem.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
lnssplnglem.5	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lnssplnglem	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌) ⊆ (𝐴𝐸𝑅) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))(𝐴𝐸𝑅) = ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑠)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐸,𝑠   𝐿,𝑠   𝑃,𝑠   𝑅,𝑠   𝑋,𝑠   𝑌,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑠)   𝐼(𝑠)

Proof of Theorem lnssplnglem

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plngval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		plngval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		plngval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		plngval.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
5		plngval.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		lnssplnglem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
9		lnssplnglem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
10		lnssplnglem.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅))
11	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10	plngssp 29011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑃)
13		lnssplnglem.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐸𝑅))
14	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 13	plngssp 29011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝑃)
16		lnssplnglem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
17	16	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑋 ≠ 𝑌)
18	1, 2, 3, 6, 12, 15, 17	tgelrnln 28857	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
19	18	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
20	8	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
21		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
22	1, 3, 2, 7, 20, 21	tglnpt 28776	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
23		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
24	22, 23	eldifd 3918	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑧 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
25	1, 2, 3, 4, 7, 19, 24	elplnglnid 29013	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) ⊆ ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑧))
26	12	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
27	7	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28	26	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
29	15	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
30	22	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
31	17	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
32	1, 2, 3, 5, 11, 14, 16	tglinerflx2 28861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
33	32	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
34		simplr 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌)) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
35		nelne2 3058	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ≠ 𝑧)
36	33, 34, 35	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌)) → 𝑌 ≠ 𝑧)
37		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌)) → 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌))
38	1, 2, 3, 27, 29, 30, 28, 36, 37	lncom 28849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌)) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑧))
39	1, 2, 3, 27, 28, 29, 30, 31, 38, 36	lnrot2 28851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌)) → 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
40	23, 39	mtand 827	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌))
41	26, 40	eldifd 3918	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑧𝐿𝑌)))
42	15	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
43	17	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
44	1, 2, 3, 4, 7, 41, 42, 24, 43	plngrot 29020	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑧) = ((𝑧𝐿𝑌)𝐸𝑋))
45	44	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑧) = ((𝑧𝐿𝑌)𝐸𝑋))
46	5	ad4antr 744	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝐺 ∈ TarskiG)
47	22	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑃)
48	14	ad4antr 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑌 ∈ 𝑃)
49	21	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
50		lnssplnglem.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
51	50	ad4antr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
52		nelne2 3058	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≠ 𝑌)
53	49, 51, 52	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑧 ≠ 𝑌)
54	1, 2, 3, 46, 47, 48, 53	tgelrnln 28857	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → (𝑧𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
55	8	ad4antr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
56		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧)))
57	56	eldifad 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑤 ∈ 𝐴)
58	1, 3, 2, 46, 55, 57	tglnpt 28776	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑤 ∈ 𝑃)
59	56	eldifbd 3920	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑌𝐿𝑧))
60	1, 2, 3, 46, 47, 48, 53	tglinecom 28862	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → (𝑧𝐿𝑌) = (𝑌𝐿𝑧))
61	59, 60	neleqtrrd 2888	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑧𝐿𝑌))
62	58, 61	eldifd 3918	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑤 ∈ (𝑃 ∖ (𝑧𝐿𝑌)))
63	10	ad4antr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅))
64		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑤 ≠ 𝑧)
65	1, 2, 3, 46, 58, 47, 64, 64, 55, 57, 49	tglinethru 28863	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝐴 = (𝑤𝐿𝑧))
66	51, 65	neleqtrd 2887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → ¬ 𝑌 ∈ (𝑤𝐿𝑧))
67	48, 66	eldifd 3918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ (𝑤𝐿𝑧)))
68	58, 59	eldifd 3918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑤 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑧)))
69	53	necomd 3015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑌 ≠ 𝑧)
70	1, 2, 3, 4, 46, 67, 47, 68, 69	plngrot 29020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → ((𝑌𝐿𝑧)𝐸𝑤) = ((𝑤𝐿𝑧)𝐸𝑌))
71	60	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → ((𝑧𝐿𝑌)𝐸𝑤) = ((𝑌𝐿𝑧)𝐸𝑤))
72	65	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → (𝐴𝐸𝑌) = ((𝑤𝐿𝑧)𝐸𝑌))
73	70, 71, 72	3eqtr4d 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → ((𝑧𝐿𝑌)𝐸𝑤) = (𝐴𝐸𝑌))
74	13, 50	eldifd 3918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝐴𝐸𝑅) ∖ 𝐴))
75	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 74	plngcp 29016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝑅) = (𝐴𝐸𝑌))
76	75	ad4antr 744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → (𝐴𝐸𝑅) = (𝐴𝐸𝑌))
77	73, 76	eqtr4d 2803	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → ((𝑧𝐿𝑌)𝐸𝑤) = (𝐴𝐸𝑅))
78	63, 77	eleqtrrd 2868	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑋 ∈ ((𝑧𝐿𝑌)𝐸𝑤))
79	40	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑧𝐿𝑌))
80	78, 79	eldifd 3918	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → 𝑋 ∈ (((𝑧𝐿𝑌)𝐸𝑤) ∖ (𝑧𝐿𝑌)))
81	1, 2, 3, 4, 46, 54, 62, 80	plngcp 29016	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → ((𝑧𝐿𝑌)𝐸𝑤) = ((𝑧𝐿𝑌)𝐸𝑋))
82	45, 81, 77	3eqtr2rd 2807	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))) ∧ 𝑤 ≠ 𝑧) → (𝐴𝐸𝑅) = ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑧))
83	32	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
84	83, 23, 35	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ≠ 𝑧)
85	1, 2, 3, 7, 42, 22, 84	tgelrnln 28857	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑌𝐿𝑧) ∈ ran 𝐿)
86	1, 2, 3, 7, 42, 22, 84	tglinerflx1 28860	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑧))
87	50	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
88		nelne1 3057	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑧) ∧ ¬ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌𝐿𝑧) ≠ 𝐴)
89	86, 87, 88	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑌𝐿𝑧) ≠ 𝐴)
90	89	necomd 3015	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝐴 ≠ (𝑌𝐿𝑧))
91	1, 2, 3, 7, 20, 85, 21, 90	tglnpt4 28882	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → ∃𝑤 ∈ (𝐴 ∖ (𝑌𝐿𝑧))𝑤 ≠ 𝑧)
92	82, 91	r19.29a 3173	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝐴𝐸𝑅) = ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑧))
93	25, 92	sseqtrrd 3976	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) ⊆ (𝐴𝐸𝑅))
94		oveq2 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑠) = ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑧))
95	94	eqeq2d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → ((𝐴𝐸𝑅) = ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑠) ↔ (𝐴𝐸𝑅) = ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑧)))
96	95, 24, 92	rspcedvdw 3587	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → ∃𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))(𝐴𝐸𝑅) = ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑠))
97	93, 96	jca 520	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → ((𝑋𝐿𝑌) ⊆ (𝐴𝐸𝑅) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))(𝐴𝐸𝑅) = ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑠)))
98		lnssplnglem.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
99	98	neneqd 2965	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = (𝑋𝐿𝑌))
100	5	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
101	8	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
102	11	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
103	14	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
104	16	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
105	1, 2, 3, 100, 102, 103, 104	tgelrnln 28857	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
106		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝐴 ⊆ (𝑋𝐿𝑌))
107	3, 100, 101, 105, 106	tglinesseq 28867	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝐴 = (𝑋𝐿𝑌))
108	99, 107	mtand 827	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑋𝐿𝑌))
109		nssrex 4004	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ (𝑋𝐿𝑌) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
110	108, 109	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
111	97, 110	r19.29a 3173	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌) ⊆ (𝐴𝐸𝑅) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))(𝐴𝐸𝑅) = ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑠)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907  ran crn 5653  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  TarskiGcstrkg 28654  Itvcitv 28660  LineGclng 28661  hlGcplng 29003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-oadd 8445  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-hash 14358  df-word 14541  df-concat 14598  df-s1 14624  df-s2 14875  df-s3 14876  df-trkgc 28675  df-trkgb 28676  df-trkgcb 28677  df-trkgld 28679  df-trkg 28680  df-cgrg 28738  df-leg 28810  df-hlg 28828  df-mir 28884  df-rag 28925  df-perpg 28927  df-hpg 28989  df-plng 29004

This theorem is referenced by:  lnssplng  29022