Theorem plngrotlem1 29069

Description: Lemma for plngrot 29072. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
plngval.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plngval.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
plngrot.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
plngrot.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
plngrot.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
plngrot.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
plngrotlem2.4	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
plngrotlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
plngrotlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑊))
plngrotlem2.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑊)
plngrotlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍))
plngrotlem1.2	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑆((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑍))

Assertion

Ref	Expression
plngrotlem1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐸   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝑡,𝑆   𝑊,𝑎,𝑏,𝑡   𝑋,𝑎,𝑏,𝑡   𝑌,𝑎,𝑏,𝑡   𝑍,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝑆(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem plngrotlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plngval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		plngval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		plngval.1	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		plngval.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
5		plngval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		plngrot.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
7	6	eldifad 3917	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
8		plngrot.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
9		plngrot.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
10	9	eldifad 3917	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11		plngrot.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
12	1, 2, 3, 5, 10, 8, 11	tglinerflx2 28907	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
13		elndif 4087	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌) → ¬ 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
14	12, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
15		nelne2 3056	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) → 𝑍 ≠ 𝑌)
16	6, 14, 15	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
17	1, 2, 3, 5, 7, 8, 16	tgelrnln 28903	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
18	1, 2, 3, 4, 5, 17, 9	elplnglnid 29065	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍𝐿𝑌) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
19	18	sselda 3937	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑆 ∈ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
20	5	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21	20	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22	17	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → (𝑍𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
23	1, 2, 3, 5, 10, 8, 11	tgelrnln 28903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
24		plngrotlem1.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍))
25	1, 2, 3, 4, 5, 23, 6, 24	plngssp 29063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑃)
26	25	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑆 ∈ 𝑃)
27		plngrotlem2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
28	27	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
29		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 𝑊) → 𝑆 = 𝑊)
30		plngrotlem2.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑊))
31	1, 2, 3, 5, 7, 8, 27, 16, 30	btwnlng3 28894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
32	31	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 𝑊) → 𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
33	29, 32	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 𝑊) → 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
34	33	stoic1a 1802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → ¬ 𝑆 = 𝑊)
35	34	neqned 2965	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑆 ≠ 𝑊)
36	1, 2, 3, 20, 26, 28, 35	tgelrnln 28903	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → (𝑆𝐿𝑊) ∈ ran 𝐿)
37	36	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → (𝑆𝐿𝑊) ∈ ran 𝐿)
38	26	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝑃)
39	28	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
40	23	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
41	40	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
42		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
43	1, 3, 2, 21, 41, 42	tglnpt 28818	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
44	35	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑆 ≠ 𝑊)
45		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
46		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆))
47	1, 45, 2, 21, 39, 43, 38, 46	tgbtwncom 28757	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑡 ∈ (𝑆𝐼𝑊))
48	1, 2, 3, 21, 38, 39, 43, 44, 47	btwnlng1 28892	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑡 ∈ (𝑆𝐿𝑊))
49		plngrotlem2.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑊)
50	49	neneqd 2963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 = 𝑊)
51	50	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → ¬ 𝑌 = 𝑊)
52	5	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
53	23	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
54	17	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑍𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
55	7	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
56	8	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
57	16	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑍 ≠ 𝑌)
58	1, 2, 3, 20, 55, 56, 57	tglinerflx1 28906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑍 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
59	6	eldifbd 3918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
60	59	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → ¬ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
61		nelne1 3055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑍𝐿𝑌) ≠ (𝑋𝐿𝑌))
62	58, 60, 61	syl2an2r 697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑍𝐿𝑌) ≠ (𝑋𝐿𝑌))
63	62	necomd 3013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) ≠ (𝑍𝐿𝑌))
64	12	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
65	7	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
66	8	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
67	16	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑍 ≠ 𝑌)
68	1, 2, 3, 52, 65, 66, 67	tglinerflx2 28907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
69	64, 68	elind 4153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑌)))
70		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
71	27	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
72	30	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑊))
73	1, 2, 3, 52, 65, 66, 71, 67, 72	btwnlng3 28894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
74	70, 73	elind 4153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑊 ∈ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑌)))
75	1, 2, 3, 52, 53, 54, 63, 69, 74	tglineineq 28916	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 = 𝑊)
76	51, 75	mtand 827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → ¬ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
77	76	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → ¬ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
78		nelne2 3056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∧ ¬ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑡 ≠ 𝑊)
79	42, 77, 78	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑡 ≠ 𝑊)
80	1, 2, 3, 21, 38, 39, 44	tglinerflx1 28906	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑆 ∈ (𝑆𝐿𝑊))
81		simpllr 787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
82		nelne1 3055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (𝑆𝐿𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → (𝑆𝐿𝑊) ≠ (𝑍𝐿𝑌))
83	80, 81, 82	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → (𝑆𝐿𝑊) ≠ (𝑍𝐿𝑌))
84	83	necomd 3013	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → (𝑍𝐿𝑌) ≠ (𝑆𝐿𝑊))
85	31	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
86	1, 2, 3, 21, 38, 39, 44	tglinerflx2 28907	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑊 ∈ (𝑆𝐿𝑊))
87	85, 86	elind 4153	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑊 ∈ ((𝑍𝐿𝑌) ∩ (𝑆𝐿𝑊)))
88	1, 2, 3, 21, 22, 37, 84, 87	tglineinsn 28917	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → ((𝑍𝐿𝑌) ∩ (𝑆𝐿𝑊)) = {𝑊})
89	1, 2, 3, 4, 21, 22, 37, 48, 39, 79, 88	lnincplng 29066	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → (𝑆𝐿𝑊) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑡))
90	9	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
91	10	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
92	56	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
93	11	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
94	1, 2, 3, 21, 91, 92, 93	tglinerflx1 28906	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
95	58	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑍 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
96	59	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → ¬ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
97	96	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → ¬ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
98	95, 97, 61	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → (𝑍𝐿𝑌) ≠ (𝑋𝐿𝑌))
99	55	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
100	57	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑍 ≠ 𝑌)
101	1, 2, 3, 21, 99, 92, 100	tglinerflx2 28907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
102	12	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
103	102	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
104	101, 103	elind 4153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑌 ∈ ((𝑍𝐿𝑌) ∩ (𝑋𝐿𝑌)))
105	1, 2, 3, 21, 22, 41, 98, 104	tglineinsn 28917	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → ((𝑍𝐿𝑌) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑌})
106	1, 2, 3, 4, 21, 22, 41, 94, 92, 93, 105	lnincplng 29066	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → (𝑋𝐿𝑌) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
107	106, 42	sseldd 3938	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑡 ∈ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
108	21	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
109	43	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
110	39	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
111	38	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑆 ∈ 𝑃)
112	79	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑡 ≠ 𝑊)
113	47	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑡 ∈ (𝑆𝐼𝑊))
114	1, 2, 3, 108, 109, 110, 111, 112, 113	btwnlng2 28893	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑆 ∈ (𝑡𝐿𝑊))
115	55	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
116	97	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → ¬ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
117		nelne2 3056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑡 ≠ 𝑍)
118	42, 116, 117	syl2an2r 697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑡 ≠ 𝑍)
119	118	necomd 3013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑍 ≠ 𝑡)
120	1, 2, 3, 108, 115, 109, 119	tglinecom 28908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → (𝑍𝐿𝑡) = (𝑡𝐿𝑍))
121	16	necomd 3013	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
122	1, 45, 2, 5, 7, 8, 27, 30, 121	tgbtwnne 28759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑊)
123	122	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑍 ≠ 𝑊)
124		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
125	1, 2, 3, 5, 7, 27, 8, 122, 30	btwnlng1 28892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑍𝐿𝑊))
126	1, 2, 3, 5, 7, 27, 122, 8, 121, 125	tglineelsb2 28905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑍𝐿𝑊) = (𝑍𝐿𝑌))
127	126	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → (𝑍𝐿𝑊) = (𝑍𝐿𝑌))
128	124, 127	eleqtrrd 2866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑊))
129	1, 2, 3, 108, 115, 110, 123, 109, 118, 128	tglineelsb2 28905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → (𝑍𝐿𝑊) = (𝑍𝐿𝑡))
130	129, 127	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → (𝑍𝐿𝑡) = (𝑍𝐿𝑌))
131	79	necomd 3013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑊 ≠ 𝑡)
132	131	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑊 ≠ 𝑡)
133	1, 2, 3, 108, 109, 115, 110, 118, 128, 123	lnrot2 28897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑊 ∈ (𝑡𝐿𝑍))
134	1, 2, 3, 108, 109, 115, 118, 110, 132, 133	tglineelsb2 28905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → (𝑡𝐿𝑍) = (𝑡𝐿𝑊))
135	120, 130, 134	3eqtr3rd 2807	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → (𝑡𝐿𝑊) = (𝑍𝐿𝑌))
136	114, 135	eleqtrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
137	81, 136	mtand 827	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → ¬ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
138	107, 137	eldifd 3916	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑡 ∈ (((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋) ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
139	1, 2, 3, 4, 21, 22, 90, 138	plngcp 29068	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋) = ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑡))
140	89, 139	sseqtrrd 3974	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → (𝑆𝐿𝑊) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
141	140, 80	sseldd 3938	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑆 ∈ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
142		eleq1 2851	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑆 → (𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆) ↔ 𝑆 ∈ (𝑊𝐼𝑆)))
143		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
144	5	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
145	27	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
146	25	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑆 ∈ 𝑃)
147	1, 45, 2, 144, 145, 146	tgbtwntriv2 28756	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑆 ∈ (𝑊𝐼𝑆))
148	142, 143, 147	rspcedvdw 3584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆))
149		plngrotlem2.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
150	23	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
151	5	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
152	25	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑆 ∈ 𝑃)
153	27	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
154	7	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
155		plngrotlem1.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑆((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑍))
156	155	ord 877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌) → 𝑆((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑍))
157	156	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → (¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌) → 𝑆((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑍))
158	157	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑆((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑍)
159	1, 2, 3, 151, 150, 152, 149, 154, 158	hpgcom 29049	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑆)
160	30	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑊))
161	1, 45, 2, 149, 55, 28, 102, 96, 76, 160	islnoppd 29021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑍𝑂𝑊)
162	1, 2, 3, 149, 20, 40, 55, 26, 28, 161	lnopp2hpgb 29045	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → (𝑆𝑂𝑊 ↔ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑆))
163	162	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑆𝑂𝑊 ↔ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑆))
164	159, 163	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑆𝑂𝑊)
165	1, 45, 2, 149, 3, 150, 151, 152, 153, 164	oppcom 29025	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑊𝑂𝑆)
166	1, 45, 2, 149, 153, 152	islnopp 29020	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑊𝑂𝑆 ↔ ((¬ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆))))
167	165, 166	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → ((¬ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)))
168	167	simprd 500	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆))
169		exmidd 908	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → (𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)))
170	148, 168, 169	mpjaodan 973	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆))
171	141, 170	r19.29a 3173	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑆 ∈ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
172		exmidd 908	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)))
173	19, 171, 172	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3902   class class class wbr 5109  {copab 5173  ran crn 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  distcds 17314  TarskiGcstrkg 28696  Itvcitv 28702  LineGclng 28703  hpGchpg 29039  hlGcplng 29055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-concat 14604  df-s1 14630  df-s2 14881  df-s3 14882  df-trkgc 28717  df-trkgb 28718  df-trkgcb 28719  df-trkgld 28721  df-trkg 28722  df-cgrg 28780  df-leg 28852  df-hlg 28870  df-mir 28930  df-rag 28974  df-perpg 28976  df-hpg 29040  df-plng 29056

This theorem is referenced by:  plngrotlem2  29070