Theorem plngrotlem1 29017

Description: Lemma for plngrot 29020. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
plngval.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plngval.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
plngrot.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
plngrot.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
plngrot.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
plngrot.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
plngrotlem2.4	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
plngrotlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
plngrotlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑊))
plngrotlem2.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑊)
plngrotlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍))
plngrotlem1.2	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑆((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑍))

Assertion

Ref	Expression
plngrotlem1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐸   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝑡,𝑆   𝑊,𝑎,𝑏,𝑡   𝑋,𝑎,𝑏,𝑡   𝑌,𝑎,𝑏,𝑡   𝑍,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝑆(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem plngrotlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plngval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		plngval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		plngval.1	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		plngval.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
5		plngval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		plngrot.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
7	6	eldifad 3919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
8		plngrot.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
9		plngrot.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
10	9	eldifad 3919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11		plngrot.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
12	1, 2, 3, 5, 10, 8, 11	tglinerflx2 28861	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
13		elndif 4089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌) → ¬ 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
14	12, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
15		nelne2 3058	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) → 𝑍 ≠ 𝑌)
16	6, 14, 15	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
17	1, 2, 3, 5, 7, 8, 16	tgelrnln 28857	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
18	1, 2, 3, 4, 5, 17, 9	elplnglnid 29013	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍𝐿𝑌) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
19	18	sselda 3939	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑆 ∈ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
20	5	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21	20	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22	17	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → (𝑍𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
23	1, 2, 3, 5, 10, 8, 11	tgelrnln 28857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
24		plngrotlem1.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍))
25	1, 2, 3, 4, 5, 23, 6, 24	plngssp 29011	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑃)
26	25	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑆 ∈ 𝑃)
27		plngrotlem2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
28	27	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
29		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 𝑊) → 𝑆 = 𝑊)
30		plngrotlem2.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑊))
31	1, 2, 3, 5, 7, 8, 27, 16, 30	btwnlng3 28848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
32	31	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 𝑊) → 𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
33	29, 32	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 𝑊) → 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
34	33	stoic1a 1795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → ¬ 𝑆 = 𝑊)
35	34	neqned 2967	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑆 ≠ 𝑊)
36	1, 2, 3, 20, 26, 28, 35	tgelrnln 28857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → (𝑆𝐿𝑊) ∈ ran 𝐿)
37	36	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → (𝑆𝐿𝑊) ∈ ran 𝐿)
38	26	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝑃)
39	28	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
40	23	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
41	40	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
42		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
43	1, 3, 2, 21, 41, 42	tglnpt 28776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
44	35	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑆 ≠ 𝑊)
45		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
46		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆))
47	1, 45, 2, 21, 39, 43, 38, 46	tgbtwncom 28715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑡 ∈ (𝑆𝐼𝑊))
48	1, 2, 3, 21, 38, 39, 43, 44, 47	btwnlng1 28846	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑡 ∈ (𝑆𝐿𝑊))
49		plngrotlem2.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑊)
50	49	neneqd 2965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 = 𝑊)
51	50	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → ¬ 𝑌 = 𝑊)
52	5	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
53	23	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
54	17	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑍𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
55	7	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
56	8	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
57	16	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑍 ≠ 𝑌)
58	1, 2, 3, 20, 55, 56, 57	tglinerflx1 28860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑍 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
59	6	eldifbd 3920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
60	59	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → ¬ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
61		nelne1 3057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑍𝐿𝑌) ≠ (𝑋𝐿𝑌))
62	58, 60, 61	syl2an2r 697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑍𝐿𝑌) ≠ (𝑋𝐿𝑌))
63	62	necomd 3015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) ≠ (𝑍𝐿𝑌))
64	12	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
65	7	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
66	8	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
67	16	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑍 ≠ 𝑌)
68	1, 2, 3, 52, 65, 66, 67	tglinerflx2 28861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
69	64, 68	elind 4155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑌)))
70		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
71	27	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
72	30	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑊))
73	1, 2, 3, 52, 65, 66, 71, 67, 72	btwnlng3 28848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
74	70, 73	elind 4155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑊 ∈ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑌)))
75	1, 2, 3, 52, 53, 54, 63, 69, 74	tglineineq 28870	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 = 𝑊)
76	51, 75	mtand 827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → ¬ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
77	76	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → ¬ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
78		nelne2 3058	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∧ ¬ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑡 ≠ 𝑊)
79	42, 77, 78	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑡 ≠ 𝑊)
80	1, 2, 3, 21, 38, 39, 44	tglinerflx1 28860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑆 ∈ (𝑆𝐿𝑊))
81		simpllr 787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
82		nelne1 3057	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (𝑆𝐿𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → (𝑆𝐿𝑊) ≠ (𝑍𝐿𝑌))
83	80, 81, 82	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → (𝑆𝐿𝑊) ≠ (𝑍𝐿𝑌))
84	83	necomd 3015	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → (𝑍𝐿𝑌) ≠ (𝑆𝐿𝑊))
85	31	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
86	1, 2, 3, 21, 38, 39, 44	tglinerflx2 28861	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑊 ∈ (𝑆𝐿𝑊))
87	85, 86	elind 4155	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑊 ∈ ((𝑍𝐿𝑌) ∩ (𝑆𝐿𝑊)))
88	1, 2, 3, 21, 22, 37, 84, 87	tglineinsn 28871	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → ((𝑍𝐿𝑌) ∩ (𝑆𝐿𝑊)) = {𝑊})
89	1, 2, 3, 4, 21, 22, 37, 48, 39, 79, 88	lnincplng 29014	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → (𝑆𝐿𝑊) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑡))
90	9	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
91	10	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
92	56	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
93	11	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
94	1, 2, 3, 21, 91, 92, 93	tglinerflx1 28860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
95	58	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑍 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
96	59	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → ¬ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
97	96	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → ¬ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
98	95, 97, 61	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → (𝑍𝐿𝑌) ≠ (𝑋𝐿𝑌))
99	55	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
100	57	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑍 ≠ 𝑌)
101	1, 2, 3, 21, 99, 92, 100	tglinerflx2 28861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
102	12	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
103	102	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
104	101, 103	elind 4155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑌 ∈ ((𝑍𝐿𝑌) ∩ (𝑋𝐿𝑌)))
105	1, 2, 3, 21, 22, 41, 98, 104	tglineinsn 28871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → ((𝑍𝐿𝑌) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑌})
106	1, 2, 3, 4, 21, 22, 41, 94, 92, 93, 105	lnincplng 29014	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → (𝑋𝐿𝑌) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
107	106, 42	sseldd 3940	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑡 ∈ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
108	21	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
109	43	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
110	39	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
111	38	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑆 ∈ 𝑃)
112	79	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑡 ≠ 𝑊)
113	47	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑡 ∈ (𝑆𝐼𝑊))
114	1, 2, 3, 108, 109, 110, 111, 112, 113	btwnlng2 28847	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑆 ∈ (𝑡𝐿𝑊))
115	55	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
116	97	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → ¬ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
117		nelne2 3058	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑡 ≠ 𝑍)
118	42, 116, 117	syl2an2r 697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑡 ≠ 𝑍)
119	118	necomd 3015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑍 ≠ 𝑡)
120	1, 2, 3, 108, 115, 109, 119	tglinecom 28862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → (𝑍𝐿𝑡) = (𝑡𝐿𝑍))
121	16	necomd 3015	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
122	1, 45, 2, 5, 7, 8, 27, 30, 121	tgbtwnne 28717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑊)
123	122	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑍 ≠ 𝑊)
124		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
125	1, 2, 3, 5, 7, 27, 8, 122, 30	btwnlng1 28846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑍𝐿𝑊))
126	1, 2, 3, 5, 7, 27, 122, 8, 121, 125	tglineelsb2 28859	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑍𝐿𝑊) = (𝑍𝐿𝑌))
127	126	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → (𝑍𝐿𝑊) = (𝑍𝐿𝑌))
128	124, 127	eleqtrrd 2868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑊))
129	1, 2, 3, 108, 115, 110, 123, 109, 118, 128	tglineelsb2 28859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → (𝑍𝐿𝑊) = (𝑍𝐿𝑡))
130	129, 127	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → (𝑍𝐿𝑡) = (𝑍𝐿𝑌))
131	79	necomd 3015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑊 ≠ 𝑡)
132	131	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑊 ≠ 𝑡)
133	1, 2, 3, 108, 109, 115, 110, 118, 128, 123	lnrot2 28851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑊 ∈ (𝑡𝐿𝑍))
134	1, 2, 3, 108, 109, 115, 118, 110, 132, 133	tglineelsb2 28859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → (𝑡𝐿𝑍) = (𝑡𝐿𝑊))
135	120, 130, 134	3eqtr3rd 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → (𝑡𝐿𝑊) = (𝑍𝐿𝑌))
136	114, 135	eleqtrd 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
137	81, 136	mtand 827	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → ¬ 𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
138	107, 137	eldifd 3918	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑡 ∈ (((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋) ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
139	1, 2, 3, 4, 21, 22, 90, 138	plngcp 29016	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋) = ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑡))
140	89, 139	sseqtrrd 3976	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → (𝑆𝐿𝑊) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
141	140, 80	sseldd 3940	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)) → 𝑆 ∈ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
142		eleq1 2853	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑆 → (𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆) ↔ 𝑆 ∈ (𝑊𝐼𝑆)))
143		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
144	5	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
145	27	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
146	25	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑆 ∈ 𝑃)
147	1, 45, 2, 144, 145, 146	tgbtwntriv2 28714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑆 ∈ (𝑊𝐼𝑆))
148	142, 143, 147	rspcedvdw 3587	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆))
149		plngrotlem2.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
150	23	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
151	5	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
152	25	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑆 ∈ 𝑃)
153	27	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
154	7	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
155		plngrotlem1.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑆((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑍))
156	155	ord 877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌) → 𝑆((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑍))
157	156	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → (¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌) → 𝑆((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑍))
158	157	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑆((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑍)
159	1, 2, 3, 151, 150, 152, 149, 154, 158	hpgcom 28998	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑆)
160	30	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑊))
161	1, 45, 2, 149, 55, 28, 102, 96, 76, 160	islnoppd 28971	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑍𝑂𝑊)
162	1, 2, 3, 149, 20, 40, 55, 26, 28, 161	lnopp2hpgb 28994	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → (𝑆𝑂𝑊 ↔ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑆))
163	162	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑆𝑂𝑊 ↔ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑆))
164	159, 163	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑆𝑂𝑊)
165	1, 45, 2, 149, 3, 150, 151, 152, 153, 164	oppcom 28975	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑊𝑂𝑆)
166	1, 45, 2, 149, 153, 152	islnopp 28970	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → (𝑊𝑂𝑆 ↔ ((¬ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆))))
167	165, 166	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → ((¬ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆)))
168	167	simprd 500	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆))
169		exmidd 908	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → (𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ ¬ 𝑆 ∈ (𝑋𝐿𝑌)))
170	148, 168, 169	mpjaodan 973	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑊𝐼𝑆))
171	141, 170	r19.29a 3173	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)) → 𝑆 ∈ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
172		exmidd 908	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ ¬ 𝑆 ∈ (𝑍𝐿𝑌)))
173	19, 171, 172	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3904   class class class wbr 5105  {copab 5167  ran crn 5653  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  distcds 17309  TarskiGcstrkg 28654  Itvcitv 28660  LineGclng 28661  hpGchpg 28988  hlGcplng 29003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-oadd 8445  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-hash 14358  df-word 14541  df-concat 14598  df-s1 14624  df-s2 14875  df-s3 14876  df-trkgc 28675  df-trkgb 28676  df-trkgcb 28677  df-trkgld 28679  df-trkg 28680  df-cgrg 28738  df-leg 28810  df-hlg 28828  df-mir 28884  df-rag 28925  df-perpg 28927  df-hpg 28989  df-plng 29004

This theorem is referenced by:  plngrotlem2  29018