Theorem polatN 37872

Description: The polarity of the singleton of an atom (i.e. a point). (Contributed by NM, 14-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polat.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
polat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
polat.p	⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polatN	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘{𝑄}) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑄)))

Proof of Theorem polatN

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4738	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → {𝑄} ⊆ 𝐴)
2		polat.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
3		polat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		polat.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5		polat.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)
6	2, 3, 4, 5	polvalN 37846	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ {𝑄} ⊆ 𝐴) → (𝑃‘{𝑄}) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ {𝑄} (𝑀‘( ⊥ ‘𝑝))))
7	1, 6	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘{𝑄}) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ {𝑄} (𝑀‘( ⊥ ‘𝑝))))
8		2fveq3 6761	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑄 → (𝑀‘( ⊥ ‘𝑝)) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑄)))
9	8	iinxsng 5013	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → ∩ 𝑝 ∈ {𝑄} (𝑀‘( ⊥ ‘𝑝)) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑄)))
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ∩ 𝑝 ∈ {𝑄} (𝑀‘( ⊥ ‘𝑝)) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑄)))
11	10	ineq2d 4143	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ {𝑄} (𝑀‘( ⊥ ‘𝑝))) = (𝐴 ∩ (𝑀‘( ⊥ ‘𝑄))))
12		olop 37155	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
13		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 3	atbase 37230	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
15	13, 2	opoccl 37135	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
16	12, 14, 15	syl2an 595	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
17	13, 3, 4	pmapssat 37700	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑀‘( ⊥ ‘𝑄)) ⊆ 𝐴)
18	16, 17	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘( ⊥ ‘𝑄)) ⊆ 𝐴)
19		sseqin2 4146	. . 3 ⊢ ((𝑀‘( ⊥ ‘𝑄)) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ (𝑀‘( ⊥ ‘𝑄))) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑄)))
20	18, 19	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ (𝑀‘( ⊥ ‘𝑄))) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑄)))
21	7, 11, 20	3eqtrd 2782	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘{𝑄}) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ∩ ciin 4922  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  occoc 16896  OPcops 37113  OLcol 37115  Atomscatm 37204  pmapcpmap 37438  ⊥_𝑃cpolN 37843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-ats 37208  df-pmap 37445  df-polarityN 37844

This theorem is referenced by:  2polatN  37873