Theorem pol0N 40372

Description: The polarity of the empty projective subspace is the whole space. (Contributed by NM, 29-Oct-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polssat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polssat.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pol0N	⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → ( ⊥ ‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem pol0N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4341	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		polssat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5		polssat.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
6	2, 3, 4, 5	polvalN 40368	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘∅) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ ∅ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
7	1, 6	mpan2 692	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → ( ⊥ ‘∅) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ ∅ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
8		0iin 5007	. . . 4 ⊢ ∩ 𝑝 ∈ ∅ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)) = V
9	8	ineq2i 4158	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ ∅ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))) = (𝐴 ∩ V)
10		inv1 4339	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ V) = 𝐴
11	9, 10	eqtri 2760	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ ∅ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))) = 𝐴
12	7, 11	eqtrdi 2788	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → ( ⊥ ‘∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ∩ ciin 4935  ‘cfv 6493  occoc 17222  Atomscatm 39726  pmapcpmap 39960  ⊥_𝑃cpolN 40365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-polarityN 40366

This theorem is referenced by:  2pol0N  40374  1psubclN  40407  osumcllem9N  40427  pexmidN  40432  pexmidlem6N  40438  pexmidALTN  40441