Theorem pol0N 37047

Description: The polarity of the empty projective subspace is the whole space. (Contributed by NM, 29-Oct-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polssat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polssat.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pol0N	⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → ( ⊥ ‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem pol0N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4352	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
2		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		polssat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5		polssat.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
6	2, 3, 4, 5	polvalN 37043	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘∅) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ ∅ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
7	1, 6	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → ( ⊥ ‘∅) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ ∅ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
8		0iin 4989	. . . 4 ⊢ ∩ 𝑝 ∈ ∅ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)) = V
9	8	ineq2i 4188	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ ∅ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))) = (𝐴 ∩ V)
10		inv1 4350	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ V) = 𝐴
11	9, 10	eqtri 2846	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ ∅ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))) = 𝐴
12	7, 11	syl6eq 2874	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → ( ⊥ ‘∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  ∩ ciin 4922  ‘cfv 6357  occoc 16575  Atomscatm 36401  pmapcpmap 36635  ⊥_𝑃cpolN 37040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-polarityN 37041

This theorem is referenced by:  2pol0N  37049  1psubclN  37082  osumcllem9N  37102  pexmidN  37107  pexmidlem6N  37113  pexmidALTN  37116