Theorem pol0N 40355

Description: The polarity of the empty projective subspace is the whole space. (Contributed by NM, 29-Oct-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polssat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polssat.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pol0N	⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → ( ⊥ ‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem pol0N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4340	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		polssat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5		polssat.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
6	2, 3, 4, 5	polvalN 40351	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘∅) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ ∅ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
7	1, 6	mpan2 692	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → ( ⊥ ‘∅) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ ∅ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
8		0iin 5006	. . . 4 ⊢ ∩ 𝑝 ∈ ∅ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)) = V
9	8	ineq2i 4157	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ ∅ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))) = (𝐴 ∩ V)
10		inv1 4338	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ V) = 𝐴
11	9, 10	eqtri 2759	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ ∅ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))) = 𝐴
12	7, 11	eqtrdi 2787	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → ( ⊥ ‘∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ∩ ciin 4934  ‘cfv 6498  occoc 17228  Atomscatm 39709  pmapcpmap 39943  ⊥_𝑃cpolN 40348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-polarityN 40349

This theorem is referenced by:  2pol0N  40357  1psubclN  40390  osumcllem9N  40410  pexmidN  40415  pexmidlem6N  40421  pexmidALTN  40424