Theorem pol0N 40966

Description: The polarity of the empty projective subspace is the whole space. (Contributed by NM, 29-Oct-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polssat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polssat.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pol0N	⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → ( ⊥ ‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem pol0N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4350	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		polssat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5		polssat.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
6	2, 3, 4, 5	polvalN 40962	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘∅) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ ∅ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
7	1, 6	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → ( ⊥ ‘∅) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ ∅ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
8		0iin 5022	. . . 4 ⊢ ∩ 𝑝 ∈ ∅ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)) = V
9	8	ineq2i 4163	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ ∅ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))) = (𝐴 ∩ V)
10		inv1 4348	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ V) = 𝐴
11	9, 10	eqtri 2784	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ ∅ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))) = 𝐴
12	7, 11	eqtrdi 2812	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → ( ⊥ ‘∅) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∩ ciin 4952  ‘cfv 6538  occoc 17436  Atomscatm 40320  pmapcpmap 40554  ⊥_𝑃cpolN 40959

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-polarityN 40960

This theorem is used by:  2pol0N  40968  1psubclN  41001  osumcllem9N  41021  pexmidN  41026  pexmidlem6N  41032  pexmidALTN  41035