Theorem poslubdg 18484

Description: Properties which determine the least upper bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
poslubdg.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
poslubdg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
poslubdg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐾))
poslubdg.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
poslubdg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
poslubdg.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
poslubdg.ub	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≤ 𝑇)
poslubdg.le	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑇 ≤ 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
poslubdg	⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥, ≤ ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem poslubdg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poslubdg.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐾))
2	1	fveq1d 6922	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = ((lub‘𝐾)‘𝑆))
3		poslubdg.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		eqid 2740	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
6		poslubdg.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
7		poslubdg.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8		poslubdg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
9	7, 8	sseqtrd 4049	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
10		poslubdg.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
11	10, 8	eleqtrd 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
12		poslubdg.ub	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≤ 𝑇)
13	8	eleq2d 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)))
14	13	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15	14	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16		poslubdg.le	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑇 ≤ 𝑦)
17	15, 16	syld3an2 1411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑇 ≤ 𝑦)
18	3, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 17	poslubd 18483	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lub‘𝐾)‘𝑆) = 𝑇)
19	2, 18	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  lecple 17318  Posetcpo 18377  lubclub 18379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-proset 18365  df-poset 18383  df-lub 18416

This theorem is referenced by:  posglbdg  18485  mrelatlub  18632  ipolub  48660