Theorem poslubdg 18378

Description: Properties which determine the least upper bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
poslubdg.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
poslubdg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
poslubdg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐾))
poslubdg.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
poslubdg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
poslubdg.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
poslubdg.ub	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≤ 𝑇)
poslubdg.le	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑇 ≤ 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
poslubdg	⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥, ≤ ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem poslubdg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poslubdg.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐾))
2	1	fveq1d 6842	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = ((lub‘𝐾)‘𝑆))
3		poslubdg.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
6		poslubdg.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
7		poslubdg.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8		poslubdg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
9	7, 8	sseqtrd 3958	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
10		poslubdg.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
11	10, 8	eleqtrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
12		poslubdg.ub	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≤ 𝑇)
13	8	eleq2d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)))
14	13	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15	14	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16		poslubdg.le	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑇 ≤ 𝑦)
17	15, 16	syld3an2 1414	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑇 ≤ 𝑦)
18	3, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 17	poslubd 18377	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lub‘𝐾)‘𝑆) = 𝑇)
19	2, 18	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  lecple 17227  Posetcpo 18273  lubclub 18275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-proset 18260  df-poset 18279  df-lub 18310

This theorem is referenced by:  posglbdg  18379  mrelatlub  18528  ipolub  49463