Theorem poslubdg 18472

Description: Properties which determine the least upper bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
poslubdg.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
poslubdg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
poslubdg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐾))
poslubdg.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
poslubdg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
poslubdg.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
poslubdg.ub	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≤ 𝑇)
poslubdg.le	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑇 ≤ 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
poslubdg	⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥, ≤ ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem poslubdg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poslubdg.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐾))
2	1	fveq1d 6909	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = ((lub‘𝐾)‘𝑆))
3		poslubdg.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		eqid 2735	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
6		poslubdg.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
7		poslubdg.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8		poslubdg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
9	7, 8	sseqtrd 4036	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
10		poslubdg.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
11	10, 8	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
12		poslubdg.ub	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≤ 𝑇)
13	8	eleq2d 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)))
14	13	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15	14	3adant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16		poslubdg.le	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑇 ≤ 𝑦)
17	15, 16	syld3an2 1410	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑇 ≤ 𝑦)
18	3, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 17	poslubd 18471	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lub‘𝐾)‘𝑆) = 𝑇)
19	2, 18	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  Posetcpo 18365  lubclub 18367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-proset 18352  df-poset 18371  df-lub 18404

This theorem is referenced by:  posglbdg  18473  mrelatlub  18620  ipolub  48777