Theorem poslubdg 18142

Description: Properties which determine the least upper bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
poslubdg.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
poslubdg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
poslubdg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐾))
poslubdg.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
poslubdg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
poslubdg.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
poslubdg.ub	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≤ 𝑇)
poslubdg.le	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑇 ≤ 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
poslubdg	⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥, ≤ ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem poslubdg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poslubdg.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐾))
2	1	fveq1d 6768	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = ((lub‘𝐾)‘𝑆))
3		poslubdg.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
6		poslubdg.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
7		poslubdg.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8		poslubdg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
9	7, 8	sseqtrd 3960	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
10		poslubdg.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
11	10, 8	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
12		poslubdg.ub	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≤ 𝑇)
13	8	eleq2d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)))
14	13	biimpar 478	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15	14	3adant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16		poslubdg.le	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑇 ≤ 𝑦)
17	15, 16	syld3an2 1410	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑇 ≤ 𝑦)
18	3, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 17	poslubd 18141	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lub‘𝐾)‘𝑆) = 𝑇)
19	2, 18	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ⊆ wss 3886   class class class wbr 5073  ‘cfv 6426  Basecbs 16922  lecple 16979  Posetcpo 18035  lubclub 18037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-id 5484  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-proset 18023  df-poset 18041  df-lub 18074

This theorem is referenced by:  posglbdg  18143  mrelatlub  18290  ipolub  46252