MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  poslubdg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem poslubdg 18229
Description: Properties which determine the least upper bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
poslubdg.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
poslubdg.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
poslubdg.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ))
poslubdg.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Poset)
poslubdg.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
poslubdg.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
poslubdg.ub ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ≀ 𝑇)
poslubdg.le ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ 𝑇 ≀ 𝑦)
Assertion
Ref Expression
poslubdg (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) = 𝑇)
Distinct variable groups:   π‘₯, ≀ ,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem poslubdg
StepHypRef Expression
1 poslubdg.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ))
21fveq1d 6827 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) = ((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†))
3 poslubdg.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 eqid 2736 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
5 eqid 2736 . . 3 (lubβ€˜πΎ) = (lubβ€˜πΎ)
6 poslubdg.k . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Poset)
7 poslubdg.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
8 poslubdg.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
97, 8sseqtrd 3972 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
10 poslubdg.t . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
1110, 8eleqtrd 2839 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
12 poslubdg.ub . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ≀ 𝑇)
138eleq2d 2822 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↔ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
1413biimpar 478 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
15143adant3 1131 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
16 poslubdg.le . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ 𝑇 ≀ 𝑦)
1715, 16syld3an2 1410 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ 𝑇 ≀ 𝑦)
183, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 17poslubd 18228 . 2 (πœ‘ β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = 𝑇)
192, 18eqtrd 2776 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) = 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3898   class class class wbr 5092  β€˜cfv 6479  Basecbs 17009  lecple 17066  Posetcpo 18122  lubclub 18124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-proset 18110  df-poset 18128  df-lub 18161
This theorem is referenced by:  posglbdg  18230  mrelatlub  18377  ipolub  46625
  Copyright terms: Public domain W3C validator