Theorem poslubdg 18424

Description: Properties which determine the least upper bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
poslubdg.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
poslubdg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
poslubdg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐾))
poslubdg.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
poslubdg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
poslubdg.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
poslubdg.ub	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≤ 𝑇)
poslubdg.le	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑇 ≤ 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
poslubdg	⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥, ≤ ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem poslubdg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poslubdg.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐾))
2	1	fveq1d 6878	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = ((lub‘𝐾)‘𝑆))
3		poslubdg.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		eqid 2735	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
6		poslubdg.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
7		poslubdg.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8		poslubdg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
9	7, 8	sseqtrd 3995	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
10		poslubdg.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
11	10, 8	eleqtrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
12		poslubdg.ub	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≤ 𝑇)
13	8	eleq2d 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)))
14	13	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15	14	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16		poslubdg.le	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑇 ≤ 𝑦)
17	15, 16	syld3an2 1413	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑇 ≤ 𝑦)
18	3, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 17	poslubd 18423	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lub‘𝐾)‘𝑆) = 𝑇)
19	2, 18	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  Basecbs 17228  lecple 17278  Posetcpo 18319  lubclub 18321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-proset 18306  df-poset 18325  df-lub 18356

This theorem is referenced by:  posglbdg  18425  mrelatlub  18572  ipolub  48962