MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  poslubdg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem poslubdg 18413
Description: Properties which determine the least upper bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
poslubdg.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
poslubdg.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
poslubdg.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ))
poslubdg.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Poset)
poslubdg.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
poslubdg.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
poslubdg.ub ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ≀ 𝑇)
poslubdg.le ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ 𝑇 ≀ 𝑦)
Assertion
Ref Expression
poslubdg (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) = 𝑇)
Distinct variable groups:   π‘₯, ≀ ,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem poslubdg
StepHypRef Expression
1 poslubdg.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ))
21fveq1d 6904 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) = ((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†))
3 poslubdg.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
5 eqid 2728 . . 3 (lubβ€˜πΎ) = (lubβ€˜πΎ)
6 poslubdg.k . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Poset)
7 poslubdg.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
8 poslubdg.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
97, 8sseqtrd 4022 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
10 poslubdg.t . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
1110, 8eleqtrd 2831 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
12 poslubdg.ub . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ≀ 𝑇)
138eleq2d 2815 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↔ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
1413biimpar 476 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
15143adant3 1129 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
16 poslubdg.le . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ 𝑇 ≀ 𝑦)
1715, 16syld3an2 1408 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ 𝑇 ≀ 𝑦)
183, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 17poslubd 18412 . 2 (πœ‘ β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = 𝑇)
192, 18eqtrd 2768 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) = 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  Basecbs 17187  lecple 17247  Posetcpo 18306  lubclub 18308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-proset 18294  df-poset 18312  df-lub 18345
This theorem is referenced by:  posglbdg  18414  mrelatlub  18561  ipolub  48077
  Copyright terms: Public domain W3C validator