Theorem ipolub 48980

Description: The LUB of the inclusion poset. (hypotheses "ipolub.s" and "ipolub.t" could be eliminated with 𝑆 ∈ dom 𝑈.) Could be significantly shortened if poslubdg 18380 is in quantified form. mrelatlub 18528 could potentially be shortened using this. See mrelatlubALT 48987. (Contributed by Zhi Wang, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipolub.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
ipolub.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
ipolubdm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
ipolub.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipolub	⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ipolub

Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. 2 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2		ipolub.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		ipolub.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
4	3	ipobas 18497	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
6		ipolub.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
7	3	ipopos 18502	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
9		ipolub.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
10		ipolub.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐹)
11		breq1 5113	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤(le‘𝐼)𝑇 ↔ 𝑦(le‘𝐼)𝑇))
12		ipolubdm.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
13		intubeu 48976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐹 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑣 → 𝑇 ⊆ 𝑣)) ↔ 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥}))
14	13	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐹 ∧ 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥}) → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑣 → 𝑇 ⊆ 𝑣)))
15	10, 12, 14	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑣 → 𝑇 ⊆ 𝑣)))
16	3, 2, 9, 1	ipolublem 48978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑣 → 𝑇 ⊆ 𝑣)) ↔ (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑇(le‘𝐼)𝑣))))
17	10, 16	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑣 → 𝑇 ⊆ 𝑣)) ↔ (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑇(le‘𝐼)𝑣))))
18	15, 17	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑇(le‘𝐼)𝑣)))
19	18	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇)
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇)
21		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
22	11, 20, 21	rspcdva 3592	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦(le‘𝐼)𝑇)
23		breq2 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑤(le‘𝐼)𝑣 ↔ 𝑤(le‘𝐼)𝑧))
24	23	ralbidv 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑧))
25		breq1 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤(le‘𝐼)𝑧 ↔ 𝑦(le‘𝐼)𝑧))
26	25	cbvralvw 3216	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧)
27	24, 26	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧))
28		breq2 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑇(le‘𝐼)𝑣 ↔ 𝑇(le‘𝐼)𝑧))
29	27, 28	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → ((∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑇(le‘𝐼)𝑣) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧 → 𝑇(le‘𝐼)𝑧)))
30	18	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑇(le‘𝐼)𝑣))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑇(le‘𝐼)𝑣))
32		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑧 ∈ 𝐹)
33	29, 31, 32	rspcdva 3592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧 → 𝑇(le‘𝐼)𝑧))
34	33	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧) → 𝑇(le‘𝐼)𝑧)
35	1, 5, 6, 8, 9, 10, 22, 34	poslubdg 18380	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  {crab 3408   ⊆ wss 3917  ∪ cuni 4874  ∩ cint 4913   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  lecple 17234  Posetcpo 18275  lubclub 18277  toInccipo 18493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ocomp 17248  df-proset 18262  df-poset 18281  df-lub 18312  df-ipo 18494

This theorem is referenced by:  ipolub0  48984  mrelatlubALT  48987  toplatlub  48992  toplatjoin  48994