Theorem ipolub 49098

Description: The LUB of the inclusion poset. (hypotheses "ipolub.s" and "ipolub.t" could be eliminated with 𝑆 ∈ dom 𝑈.) Could be significantly shortened if poslubdg 18318 is in quantified form. mrelatlub 18468 could potentially be shortened using this. See mrelatlubALT 49105. (Contributed by Zhi Wang, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipolub.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
ipolub.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
ipolubdm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
ipolub.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipolub	⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ipolub

Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. 2 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2		ipolub.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		ipolub.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
4	3	ipobas 18437	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
6		ipolub.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
7	3	ipopos 18442	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
9		ipolub.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
10		ipolub.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐹)
11		breq1 5092	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤(le‘𝐼)𝑇 ↔ 𝑦(le‘𝐼)𝑇))
12		ipolubdm.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
13		intubeu 49094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐹 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑣 → 𝑇 ⊆ 𝑣)) ↔ 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥}))
14	13	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐹 ∧ 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥}) → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑣 → 𝑇 ⊆ 𝑣)))
15	10, 12, 14	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑣 → 𝑇 ⊆ 𝑣)))
16	3, 2, 9, 1	ipolublem 49096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑣 → 𝑇 ⊆ 𝑣)) ↔ (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑇(le‘𝐼)𝑣))))
17	10, 16	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑣 → 𝑇 ⊆ 𝑣)) ↔ (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑇(le‘𝐼)𝑣))))
18	15, 17	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑇(le‘𝐼)𝑣)))
19	18	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇)
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇)
21		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
22	11, 20, 21	rspcdva 3573	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦(le‘𝐼)𝑇)
23		breq2 5093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑤(le‘𝐼)𝑣 ↔ 𝑤(le‘𝐼)𝑧))
24	23	ralbidv 3155	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑧))
25		breq1 5092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤(le‘𝐼)𝑧 ↔ 𝑦(le‘𝐼)𝑧))
26	25	cbvralvw 3210	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧)
27	24, 26	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧))
28		breq2 5093	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑇(le‘𝐼)𝑣 ↔ 𝑇(le‘𝐼)𝑧))
29	27, 28	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → ((∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑇(le‘𝐼)𝑣) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧 → 𝑇(le‘𝐼)𝑧)))
30	18	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑇(le‘𝐼)𝑣))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑇(le‘𝐼)𝑣))
32		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑧 ∈ 𝐹)
33	29, 31, 32	rspcdva 3573	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧 → 𝑇(le‘𝐼)𝑧))
34	33	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧) → 𝑇(le‘𝐼)𝑧)
35	1, 5, 6, 8, 9, 10, 22, 34	poslubdg 18318	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  {crab 3395   ⊆ wss 3897  ∪ cuni 4856  ∩ cint 4895   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  lecple 17168  Posetcpo 18213  lubclub 18215  toInccipo 18433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ocomp 17182  df-proset 18200  df-poset 18219  df-lub 18250  df-ipo 18434

This theorem is referenced by:  ipolub0  49102  mrelatlubALT  49105  toplatlub  49110  toplatjoin  49112