Theorem ipolub 49786

Description: The LUB of the inclusion poset. (hypotheses "ipolub.s" and "ipolub.t" could be eliminated with 𝑆 ∈ dom 𝑈.) Could be significantly shortened if poslubdg 18463 is in quantified form. mrelatlub 18613 could potentially be shortened using this. See mrelatlubALT 49793. (Contributed by Zhi Wang, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipolub.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
ipolub.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
ipolubdm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
ipolub.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipolub	⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ipolub

Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2		ipolub.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		ipolub.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
4	3	ipobas 18582	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5	2, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
6		ipolub.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
7	3	ipopos 18587	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
9		ipolub.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
10		ipolub.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐹)
11		breq1 5112	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤(le‘𝐼)𝑇 ↔ 𝑦(le‘𝐼)𝑇))
12		ipolubdm.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
13		intubeu 49782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐹 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑣 → 𝑇 ⊆ 𝑣)) ↔ 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥}))
14	13	biimpar 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐹 ∧ 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥}) → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑣 → 𝑇 ⊆ 𝑣)))
15	10, 12, 14	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑣 → 𝑇 ⊆ 𝑣)))
16	3, 2, 9, 1	ipolublem 49784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑣 → 𝑇 ⊆ 𝑣)) ↔ (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑇(le‘𝐼)𝑣))))
17	10, 16	mpdan 699	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑣 → 𝑇 ⊆ 𝑣)) ↔ (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑇(le‘𝐼)𝑣))))
18	15, 17	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑇(le‘𝐼)𝑣)))
19	18	simpld 499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇)
20	19	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇)
21		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
22	11, 20, 21	rspcdva 3582	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦(le‘𝐼)𝑇)
23		breq2 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑤(le‘𝐼)𝑣 ↔ 𝑤(le‘𝐼)𝑧))
24	23	ralbidv 3188	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑧))
25		breq1 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤(le‘𝐼)𝑧 ↔ 𝑦(le‘𝐼)𝑧))
26	25	cbvralvw 3243	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧)
27	24, 26	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧))
28		breq2 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑇(le‘𝐼)𝑣 ↔ 𝑇(le‘𝐼)𝑧))
29	27, 28	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → ((∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑇(le‘𝐼)𝑣) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧 → 𝑇(le‘𝐼)𝑧)))
30	18	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑇(le‘𝐼)𝑣))
31	30	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑇(le‘𝐼)𝑣))
32		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑧 ∈ 𝐹)
33	29, 31, 32	rspcdva 3582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧 → 𝑇(le‘𝐼)𝑧))
34	33	3impia 1135	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧) → 𝑇(le‘𝐼)𝑧)
35	1, 5, 6, 8, 9, 10, 22, 34	poslubdg 18463	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  {crab 3416   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4872  ∩ cint 4912   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  Basecbs 17264  lecple 17312  Posetcpo 18358  lubclub 18360  toInccipo 18578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ocomp 17326  df-proset 18345  df-poset 18364  df-lub 18395  df-ipo 18579

This theorem is referenced by:  ipolub0  49790  mrelatlubALT  49793  toplatlub  49798  toplatjoin  49800