Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ipolub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipolub 46983
Description: The LUB of the inclusion poset. (hypotheses "ipolub.s" and "ipolub.t" could be eliminated with 𝑆 ∈ dom 𝑈.) Could be significantly shortened if poslubdg 18300 is in quantified form. mrelatlub 18448 could potentially be shortened using this. See mrelatlubALT 46990. (Contributed by Zhi Wang, 28-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ipolub.i 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f (𝜑𝐹𝑉)
ipolub.s (𝜑𝑆𝐹)
ipolub.u (𝜑𝑈 = (lub‘𝐼))
ipolubdm.t (𝜑𝑇 = {𝑥𝐹 𝑆𝑥})
ipolub.t (𝜑𝑇𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipolub (𝜑 → (𝑈𝑆) = 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ipolub
Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . 2 (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2 ipolub.f . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
3 ipolub.i . . . 4 𝐼 = (toInc‘𝐹)
43ipobas 18417 . . 3 (𝐹𝑉𝐹 = (Base‘𝐼))
52, 4syl 17 . 2 (𝜑𝐹 = (Base‘𝐼))
6 ipolub.u . 2 (𝜑𝑈 = (lub‘𝐼))
73ipopos 18422 . . 3 𝐼 ∈ Poset
87a1i 11 . 2 (𝜑𝐼 ∈ Poset)
9 ipolub.s . 2 (𝜑𝑆𝐹)
10 ipolub.t . 2 (𝜑𝑇𝐹)
11 breq1 5107 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤(le‘𝐼)𝑇𝑦(le‘𝐼)𝑇))
12 ipolubdm.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇 = {𝑥𝐹 𝑆𝑥})
13 intubeu 46979 . . . . . . . 8 (𝑇𝐹 → (( 𝑆𝑇 ∧ ∀𝑣𝐹 ( 𝑆𝑣𝑇𝑣)) ↔ 𝑇 = {𝑥𝐹 𝑆𝑥}))
1413biimpar 478 . . . . . . 7 ((𝑇𝐹𝑇 = {𝑥𝐹 𝑆𝑥}) → ( 𝑆𝑇 ∧ ∀𝑣𝐹 ( 𝑆𝑣𝑇𝑣)))
1510, 12, 14syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ( 𝑆𝑇 ∧ ∀𝑣𝐹 ( 𝑆𝑣𝑇𝑣)))
163, 2, 9, 1ipolublem 46981 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇𝐹) → (( 𝑆𝑇 ∧ ∀𝑣𝐹 ( 𝑆𝑣𝑇𝑣)) ↔ (∀𝑤𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇 ∧ ∀𝑣𝐹 (∀𝑤𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣𝑇(le‘𝐼)𝑣))))
1710, 16mpdan 685 . . . . . 6 (𝜑 → (( 𝑆𝑇 ∧ ∀𝑣𝐹 ( 𝑆𝑣𝑇𝑣)) ↔ (∀𝑤𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇 ∧ ∀𝑣𝐹 (∀𝑤𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣𝑇(le‘𝐼)𝑣))))
1815, 17mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑤𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇 ∧ ∀𝑣𝐹 (∀𝑤𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣𝑇(le‘𝐼)𝑣)))
1918simpld 495 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑤𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇)
2019adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑦𝑆) → ∀𝑤𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇)
21 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
2211, 20, 21rspcdva 3581 . 2 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦(le‘𝐼)𝑇)
23 breq2 5108 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑧 → (𝑤(le‘𝐼)𝑣𝑤(le‘𝐼)𝑧))
2423ralbidv 3173 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑧 → (∀𝑤𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 ↔ ∀𝑤𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑧))
25 breq1 5107 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤(le‘𝐼)𝑧𝑦(le‘𝐼)𝑧))
2625cbvralvw 3224 . . . . . 6 (∀𝑤𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑧 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧)
2724, 26bitrdi 286 . . . . 5 (𝑣 = 𝑧 → (∀𝑤𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧))
28 breq2 5108 . . . . 5 (𝑣 = 𝑧 → (𝑇(le‘𝐼)𝑣𝑇(le‘𝐼)𝑧))
2927, 28imbi12d 344 . . . 4 (𝑣 = 𝑧 → ((∀𝑤𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣𝑇(le‘𝐼)𝑣) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧𝑇(le‘𝐼)𝑧)))
3018simprd 496 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑣𝐹 (∀𝑤𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣𝑇(le‘𝐼)𝑣))
3130adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐹) → ∀𝑣𝐹 (∀𝑤𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣𝑇(le‘𝐼)𝑣))
32 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐹) → 𝑧𝐹)
3329, 31, 32rspcdva 3581 . . 3 ((𝜑𝑧𝐹) → (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧𝑇(le‘𝐼)𝑧))
34333impia 1117 . 2 ((𝜑𝑧𝐹 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧) → 𝑇(le‘𝐼)𝑧)
351, 5, 6, 8, 9, 10, 22, 34poslubdg 18300 1 (𝜑 → (𝑈𝑆) = 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3063  {crab 3406  wss 3909   cuni 4864   cint 4906   class class class wbr 5104  cfv 6494  Basecbs 17080  lecple 17137  Posetcpo 18193  lubclub 18195  toInccipo 18413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12411  df-z 12497  df-dec 12616  df-uz 12761  df-fz 13422  df-struct 17016  df-slot 17051  df-ndx 17063  df-base 17081  df-tset 17149  df-ple 17150  df-ocomp 17151  df-proset 18181  df-poset 18199  df-lub 18232  df-ipo 18414
This theorem is referenced by:  ipolub0  46987  mrelatlubALT  46990  toplatlub  46995  toplatjoin  46997
  Copyright terms: Public domain W3C validator