Theorem ipolub 48962

Description: The LUB of the inclusion poset. (hypotheses "ipolub.s" and "ipolub.t" could be eliminated with 𝑆 ∈ dom 𝑈.) Could be significantly shortened if poslubdg 18424 is in quantified form. mrelatlub 18572 could potentially be shortened using this. See mrelatlubALT 48969. (Contributed by Zhi Wang, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipolub.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
ipolub.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
ipolubdm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
ipolub.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipolub	⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ipolub

Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. 2 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2		ipolub.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		ipolub.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
4	3	ipobas 18541	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
6		ipolub.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
7	3	ipopos 18546	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
9		ipolub.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
10		ipolub.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐹)
11		breq1 5122	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤(le‘𝐼)𝑇 ↔ 𝑦(le‘𝐼)𝑇))
12		ipolubdm.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
13		intubeu 48958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐹 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑣 → 𝑇 ⊆ 𝑣)) ↔ 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥}))
14	13	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐹 ∧ 𝑇 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥}) → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑣 → 𝑇 ⊆ 𝑣)))
15	10, 12, 14	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑣 → 𝑇 ⊆ 𝑣)))
16	3, 2, 9, 1	ipolublem 48960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑣 → 𝑇 ⊆ 𝑣)) ↔ (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑇(le‘𝐼)𝑣))))
17	10, 16	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∪ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∪ 𝑆 ⊆ 𝑣 → 𝑇 ⊆ 𝑣)) ↔ (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑇(le‘𝐼)𝑣))))
18	15, 17	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑇(le‘𝐼)𝑣)))
19	18	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇)
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑇)
21		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
22	11, 20, 21	rspcdva 3602	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦(le‘𝐼)𝑇)
23		breq2 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑤(le‘𝐼)𝑣 ↔ 𝑤(le‘𝐼)𝑧))
24	23	ralbidv 3163	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑧))
25		breq1 5122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤(le‘𝐼)𝑧 ↔ 𝑦(le‘𝐼)𝑧))
26	25	cbvralvw 3220	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧)
27	24, 26	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧))
28		breq2 5123	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑇(le‘𝐼)𝑣 ↔ 𝑇(le‘𝐼)𝑧))
29	27, 28	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → ((∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑇(le‘𝐼)𝑣) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧 → 𝑇(le‘𝐼)𝑧)))
30	18	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑇(le‘𝐼)𝑣))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → ∀𝑣 ∈ 𝐹 (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑇(le‘𝐼)𝑣))
32		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑧 ∈ 𝐹)
33	29, 31, 32	rspcdva 3602	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧 → 𝑇(le‘𝐼)𝑧))
34	33	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐼)𝑧) → 𝑇(le‘𝐼)𝑧)
35	1, 5, 6, 8, 9, 10, 22, 34	poslubdg 18424	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  {crab 3415   ⊆ wss 3926  ∪ cuni 4883  ∩ cint 4922   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  Basecbs 17228  lecple 17278  Posetcpo 18319  lubclub 18321  toInccipo 18537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ocomp 17292  df-proset 18306  df-poset 18325  df-lub 18356  df-ipo 18538

This theorem is referenced by:  ipolub0  48966  mrelatlubALT  48969  toplatlub  48974  toplatjoin  48976