MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  posglbdg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem posglbdg 18380
Description: Properties which determine the greatest lower bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
posglbdg.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
posglbdg.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
posglbdg.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (glbβ€˜πΎ))
posglbdg.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Poset)
posglbdg.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
posglbdg.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
posglbdg.lb ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 ≀ π‘₯)
posglbdg.gt ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ 𝑦 ≀ 𝑇)
Assertion
Ref Expression
posglbdg (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘†) = 𝑇)
Distinct variable groups:   π‘₯, ≀ ,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem posglbdg
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 (ODualβ€˜πΎ) = (ODualβ€˜πΎ)
2 posglbdg.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
31, 2oduleval 18254 . 2 β—‘ ≀ = (leβ€˜(ODualβ€˜πΎ))
4 posglbdg.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
5 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
61, 5odubas 18256 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜(ODualβ€˜πΎ))
74, 6eqtrdi 2782 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(ODualβ€˜πΎ)))
8 posglbdg.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (glbβ€˜πΎ))
9 posglbdg.k . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Poset)
10 eqid 2726 . . . . 5 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
111, 10odulub 18372 . . . 4 (𝐾 ∈ Poset β†’ (glbβ€˜πΎ) = (lubβ€˜(ODualβ€˜πΎ)))
129, 11syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (glbβ€˜πΎ) = (lubβ€˜(ODualβ€˜πΎ)))
138, 12eqtrd 2766 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (lubβ€˜(ODualβ€˜πΎ)))
141odupos 18293 . . 3 (𝐾 ∈ Poset β†’ (ODualβ€˜πΎ) ∈ Poset)
159, 14syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (ODualβ€˜πΎ) ∈ Poset)
16 posglbdg.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
17 posglbdg.t . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
18 posglbdg.lb . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 ≀ π‘₯)
19 vex 3472 . . . . 5 π‘₯ ∈ V
20 brcnvg 5873 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ V ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯β—‘ ≀ 𝑇 ↔ 𝑇 ≀ π‘₯))
2119, 17, 20sylancr 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯β—‘ ≀ 𝑇 ↔ 𝑇 ≀ π‘₯))
2221adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯β—‘ ≀ 𝑇 ↔ 𝑇 ≀ π‘₯))
2318, 22mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯β—‘ ≀ 𝑇)
24 vex 3472 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
2519, 24brcnv 5876 . . . . 5 (π‘₯β—‘ ≀ 𝑦 ↔ 𝑦 ≀ π‘₯)
2625ralbii 3087 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯β—‘ ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯)
27 posglbdg.gt . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ 𝑦 ≀ 𝑇)
2826, 27syl3an3b 1402 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯β—‘ ≀ 𝑦) β†’ 𝑦 ≀ 𝑇)
29 brcnvg 5873 . . . . 5 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ V) β†’ (𝑇◑ ≀ 𝑦 ↔ 𝑦 ≀ 𝑇))
3017, 24, 29sylancl 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇◑ ≀ 𝑦 ↔ 𝑦 ≀ 𝑇))
31303ad2ant1 1130 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯β—‘ ≀ 𝑦) β†’ (𝑇◑ ≀ 𝑦 ↔ 𝑦 ≀ 𝑇))
3228, 31mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯β—‘ ≀ 𝑦) β†’ 𝑇◑ ≀ 𝑦)
333, 7, 13, 15, 16, 17, 23, 32poslubdg 18379 1 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘†) = 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5668  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153  lecple 17213  ODualcodu 18251  Posetcpo 18272  lubclub 18274  glbcglb 18275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-dec 12682  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ple 17226  df-odu 18252  df-proset 18260  df-poset 18278  df-lub 18311  df-glb 18312
This theorem is referenced by:  mrelatglb  18525  mrelatglb0  18526  glbsscl  47865  ipoglb  47887
  Copyright terms: Public domain W3C validator