MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  posglbdg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem posglbdg 18414
Description: Properties which determine the greatest lower bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
posglbdg.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
posglbdg.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
posglbdg.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (glbβ€˜πΎ))
posglbdg.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Poset)
posglbdg.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
posglbdg.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
posglbdg.lb ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 ≀ π‘₯)
posglbdg.gt ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ 𝑦 ≀ 𝑇)
Assertion
Ref Expression
posglbdg (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘†) = 𝑇)
Distinct variable groups:   π‘₯, ≀ ,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem posglbdg
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 (ODualβ€˜πΎ) = (ODualβ€˜πΎ)
2 posglbdg.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
31, 2oduleval 18288 . 2 β—‘ ≀ = (leβ€˜(ODualβ€˜πΎ))
4 posglbdg.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
5 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
61, 5odubas 18290 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜(ODualβ€˜πΎ))
74, 6eqtrdi 2784 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(ODualβ€˜πΎ)))
8 posglbdg.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (glbβ€˜πΎ))
9 posglbdg.k . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Poset)
10 eqid 2728 . . . . 5 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
111, 10odulub 18406 . . . 4 (𝐾 ∈ Poset β†’ (glbβ€˜πΎ) = (lubβ€˜(ODualβ€˜πΎ)))
129, 11syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (glbβ€˜πΎ) = (lubβ€˜(ODualβ€˜πΎ)))
138, 12eqtrd 2768 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (lubβ€˜(ODualβ€˜πΎ)))
141odupos 18327 . . 3 (𝐾 ∈ Poset β†’ (ODualβ€˜πΎ) ∈ Poset)
159, 14syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (ODualβ€˜πΎ) ∈ Poset)
16 posglbdg.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
17 posglbdg.t . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
18 posglbdg.lb . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 ≀ π‘₯)
19 vex 3477 . . . . 5 π‘₯ ∈ V
20 brcnvg 5886 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ V ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯β—‘ ≀ 𝑇 ↔ 𝑇 ≀ π‘₯))
2119, 17, 20sylancr 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯β—‘ ≀ 𝑇 ↔ 𝑇 ≀ π‘₯))
2221adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯β—‘ ≀ 𝑇 ↔ 𝑇 ≀ π‘₯))
2318, 22mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯β—‘ ≀ 𝑇)
24 vex 3477 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
2519, 24brcnv 5889 . . . . 5 (π‘₯β—‘ ≀ 𝑦 ↔ 𝑦 ≀ π‘₯)
2625ralbii 3090 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯β—‘ ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯)
27 posglbdg.gt . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ 𝑦 ≀ 𝑇)
2826, 27syl3an3b 1402 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯β—‘ ≀ 𝑦) β†’ 𝑦 ≀ 𝑇)
29 brcnvg 5886 . . . . 5 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ V) β†’ (𝑇◑ ≀ 𝑦 ↔ 𝑦 ≀ 𝑇))
3017, 24, 29sylancl 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇◑ ≀ 𝑦 ↔ 𝑦 ≀ 𝑇))
31303ad2ant1 1130 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯β—‘ ≀ 𝑦) β†’ (𝑇◑ ≀ 𝑦 ↔ 𝑦 ≀ 𝑇))
3228, 31mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯β—‘ ≀ 𝑦) β†’ 𝑇◑ ≀ 𝑦)
333, 7, 13, 15, 16, 17, 23, 32poslubdg 18413 1 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘†) = 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152  β—‘ccnv 5681  β€˜cfv 6553  Basecbs 17187  lecple 17247  ODualcodu 18285  Posetcpo 18306  lubclub 18308  glbcglb 18309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-dec 12716  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ple 17260  df-odu 18286  df-proset 18294  df-poset 18312  df-lub 18345  df-glb 18346
This theorem is referenced by:  mrelatglb  18559  mrelatglb0  18560  glbsscl  48058  ipoglb  48080
  Copyright terms: Public domain W3C validator