MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  posglbdg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem posglbdg 18264
Description: Properties which determine the greatest lower bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
posglbdg.l = (le‘𝐾)
posglbdg.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
posglbdg.g (𝜑𝐺 = (glb‘𝐾))
posglbdg.k (𝜑𝐾 ∈ Poset)
posglbdg.s (𝜑𝑆𝐵)
posglbdg.t (𝜑𝑇𝐵)
posglbdg.lb ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑇 𝑥)
posglbdg.gt ((𝜑𝑦𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑦 𝑥) → 𝑦 𝑇)
Assertion
Ref Expression
posglbdg (𝜑 → (𝐺𝑆) = 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem posglbdg
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . 3 (ODual‘𝐾) = (ODual‘𝐾)
2 posglbdg.l . . 3 = (le‘𝐾)
31, 2oduleval 18138 . 2 = (le‘(ODual‘𝐾))
4 posglbdg.b . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
5 eqid 2738 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
61, 5odubas 18140 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘(ODual‘𝐾))
74, 6eqtrdi 2794 . 2 (𝜑𝐵 = (Base‘(ODual‘𝐾)))
8 posglbdg.g . . 3 (𝜑𝐺 = (glb‘𝐾))
9 posglbdg.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Poset)
10 eqid 2738 . . . . 5 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
111, 10odulub 18256 . . . 4 (𝐾 ∈ Poset → (glb‘𝐾) = (lub‘(ODual‘𝐾)))
129, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → (glb‘𝐾) = (lub‘(ODual‘𝐾)))
138, 12eqtrd 2778 . 2 (𝜑𝐺 = (lub‘(ODual‘𝐾)))
141odupos 18177 . . 3 (𝐾 ∈ Poset → (ODual‘𝐾) ∈ Poset)
159, 14syl 17 . 2 (𝜑 → (ODual‘𝐾) ∈ Poset)
16 posglbdg.s . 2 (𝜑𝑆𝐵)
17 posglbdg.t . 2 (𝜑𝑇𝐵)
18 posglbdg.lb . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑇 𝑥)
19 vex 3448 . . . . 5 𝑥 ∈ V
20 brcnvg 5834 . . . . 5 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑇𝐵) → (𝑥 𝑇𝑇 𝑥))
2119, 17, 20sylancr 588 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 𝑇𝑇 𝑥))
2221adantr 482 . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 𝑇𝑇 𝑥))
2318, 22mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 𝑇)
24 vex 3448 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
2519, 24brcnv 5837 . . . . 5 (𝑥 𝑦𝑦 𝑥)
2625ralbii 3095 . . . 4 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦 ↔ ∀𝑥𝑆 𝑦 𝑥)
27 posglbdg.gt . . . 4 ((𝜑𝑦𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑦 𝑥) → 𝑦 𝑇)
2826, 27syl3an3b 1406 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦) → 𝑦 𝑇)
29 brcnvg 5834 . . . . 5 ((𝑇𝐵𝑦 ∈ V) → (𝑇 𝑦𝑦 𝑇))
3017, 24, 29sylancl 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 𝑦𝑦 𝑇))
31303ad2ant1 1134 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦) → (𝑇 𝑦𝑦 𝑇))
3228, 31mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑦𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦) → 𝑇 𝑦)
333, 7, 13, 15, 16, 17, 23, 32poslubdg 18263 1 (𝜑 → (𝐺𝑆) = 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3063  Vcvv 3444  wss 3909   class class class wbr 5104  ccnv 5631  cfv 6494  Basecbs 17043  lecple 17100  ODualcodu 18135  Posetcpo 18156  lubclub 18158  glbcglb 18159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-4 12177  df-5 12178  df-6 12179  df-7 12180  df-8 12181  df-9 12182  df-dec 12578  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ple 17113  df-odu 18136  df-proset 18144  df-poset 18162  df-lub 18195  df-glb 18196
This theorem is referenced by:  mrelatglb  18409  mrelatglb0  18410  glbsscl  46889  ipoglb  46911
  Copyright terms: Public domain W3C validator