Theorem posglbdg 18048

Description: Properties which determine the greatest lower bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
posglbdg.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
posglbdg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
posglbdg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐾))
posglbdg.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
posglbdg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
posglbdg.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
posglbdg.lb	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑇 ≤ 𝑥)
posglbdg.gt	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ≤ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
posglbdg	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥, ≤ ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem posglbdg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (ODual‘𝐾) = (ODual‘𝐾)
2		posglbdg.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3	1, 2	oduleval 17923	. 2 ⊢ ◡ ≤ = (le‘(ODual‘𝐾))
4		posglbdg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6	1, 5	odubas 17925	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(ODual‘𝐾))
7	4, 6	eqtrdi 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(ODual‘𝐾)))
8		posglbdg.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐾))
9		posglbdg.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
10		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
11	1, 10	odulub 18040	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → (glb‘𝐾) = (lub‘(ODual‘𝐾)))
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (glb‘𝐾) = (lub‘(ODual‘𝐾)))
13	8, 12	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (lub‘(ODual‘𝐾)))
14	1	odupos 17961	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → (ODual‘𝐾) ∈ Poset)
15	9, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (ODual‘𝐾) ∈ Poset)
16		posglbdg.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
17		posglbdg.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
18		posglbdg.lb	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑇 ≤ 𝑥)
19		vex 3426	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
20		brcnvg 5777	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝑥◡ ≤ 𝑇 ↔ 𝑇 ≤ 𝑥))
21	19, 17, 20	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥◡ ≤ 𝑇 ↔ 𝑇 ≤ 𝑥))
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥◡ ≤ 𝑇 ↔ 𝑇 ≤ 𝑥))
23	18, 22	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥◡ ≤ 𝑇)
24		vex 3426	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
25	19, 24	brcnv 5780	. . . . 5 ⊢ (𝑥◡ ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 ≤ 𝑥)
26	25	ralbii 3090	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥◡ ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)
27		posglbdg.gt	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ≤ 𝑇)
28	26, 27	syl3an3b 1403	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥◡ ≤ 𝑦) → 𝑦 ≤ 𝑇)
29		brcnvg 5777	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑇◡ ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 ≤ 𝑇))
30	17, 24, 29	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇◡ ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 ≤ 𝑇))
31	30	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥◡ ≤ 𝑦) → (𝑇◡ ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 ≤ 𝑇))
32	28, 31	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥◡ ≤ 𝑦) → 𝑇◡ ≤ 𝑦)
33	3, 7, 13, 15, 16, 17, 23, 32	poslubdg 18047	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ^◡ccnv 5579  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  lecple 16895  ODualcodu 17920  Posetcpo 17940  lubclub 17942  glbcglb 17943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-dec 12367  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ple 16908  df-odu 17921  df-proset 17928  df-poset 17946  df-lub 17979  df-glb 17980

This theorem is referenced by:  mrelatglb  18193  mrelatglb0  18194  glbsscl  46143  ipoglb  46165