Theorem posglbdg 18374

Description: Properties which determine the greatest lower bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
posglbdg.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
posglbdg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
posglbdg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐾))
posglbdg.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
posglbdg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
posglbdg.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
posglbdg.lb	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑇 ≤ 𝑥)
posglbdg.gt	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ≤ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
posglbdg	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥, ≤ ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem posglbdg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (ODual‘𝐾) = (ODual‘𝐾)
2		posglbdg.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3	1, 2	oduleval 18250	. 2 ⊢ ◡ ≤ = (le‘(ODual‘𝐾))
4		posglbdg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
5		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6	1, 5	odubas 18252	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(ODual‘𝐾))
7	4, 6	eqtrdi 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(ODual‘𝐾)))
8		posglbdg.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐾))
9		posglbdg.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
10		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
11	1, 10	odulub 18366	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → (glb‘𝐾) = (lub‘(ODual‘𝐾)))
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (glb‘𝐾) = (lub‘(ODual‘𝐾)))
13	8, 12	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (lub‘(ODual‘𝐾)))
14	1	odupos 18287	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → (ODual‘𝐾) ∈ Poset)
15	9, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (ODual‘𝐾) ∈ Poset)
16		posglbdg.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
17		posglbdg.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
18		posglbdg.lb	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑇 ≤ 𝑥)
19		vex 3451	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
20		brcnvg 5843	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝑥◡ ≤ 𝑇 ↔ 𝑇 ≤ 𝑥))
21	19, 17, 20	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥◡ ≤ 𝑇 ↔ 𝑇 ≤ 𝑥))
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥◡ ≤ 𝑇 ↔ 𝑇 ≤ 𝑥))
23	18, 22	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥◡ ≤ 𝑇)
24		vex 3451	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
25	19, 24	brcnv 5846	. . . . 5 ⊢ (𝑥◡ ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 ≤ 𝑥)
26	25	ralbii 3075	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥◡ ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)
27		posglbdg.gt	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ≤ 𝑇)
28	26, 27	syl3an3b 1407	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥◡ ≤ 𝑦) → 𝑦 ≤ 𝑇)
29		brcnvg 5843	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑇◡ ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 ≤ 𝑇))
30	17, 24, 29	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇◡ ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 ≤ 𝑇))
31	30	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥◡ ≤ 𝑦) → (𝑇◡ ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 ≤ 𝑇))
32	28, 31	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥◡ ≤ 𝑦) → 𝑇◡ ≤ 𝑦)
33	3, 7, 13, 15, 16, 17, 23, 32	poslubdg 18373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5637  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  lecple 17227  ODualcodu 18247  Posetcpo 18268  lubclub 18270  glbcglb 18271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-dec 12650  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ple 17240  df-odu 18248  df-proset 18255  df-poset 18274  df-lub 18305  df-glb 18306

This theorem is referenced by:  mrelatglb  18519  mrelatglb0  18520  glbsscl  48949  ipoglb  48979