MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  posglbdg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem posglbdg 18364
Description: Properties which determine the greatest lower bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
posglbdg.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
posglbdg.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
posglbdg.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (glbβ€˜πΎ))
posglbdg.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Poset)
posglbdg.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
posglbdg.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
posglbdg.lb ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 ≀ π‘₯)
posglbdg.gt ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ 𝑦 ≀ 𝑇)
Assertion
Ref Expression
posglbdg (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘†) = 𝑇)
Distinct variable groups:   π‘₯, ≀ ,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem posglbdg
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (ODualβ€˜πΎ) = (ODualβ€˜πΎ)
2 posglbdg.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
31, 2oduleval 18238 . 2 β—‘ ≀ = (leβ€˜(ODualβ€˜πΎ))
4 posglbdg.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
5 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
61, 5odubas 18240 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜(ODualβ€˜πΎ))
74, 6eqtrdi 2788 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(ODualβ€˜πΎ)))
8 posglbdg.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (glbβ€˜πΎ))
9 posglbdg.k . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Poset)
10 eqid 2732 . . . . 5 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
111, 10odulub 18356 . . . 4 (𝐾 ∈ Poset β†’ (glbβ€˜πΎ) = (lubβ€˜(ODualβ€˜πΎ)))
129, 11syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (glbβ€˜πΎ) = (lubβ€˜(ODualβ€˜πΎ)))
138, 12eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (lubβ€˜(ODualβ€˜πΎ)))
141odupos 18277 . . 3 (𝐾 ∈ Poset β†’ (ODualβ€˜πΎ) ∈ Poset)
159, 14syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (ODualβ€˜πΎ) ∈ Poset)
16 posglbdg.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
17 posglbdg.t . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
18 posglbdg.lb . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 ≀ π‘₯)
19 vex 3478 . . . . 5 π‘₯ ∈ V
20 brcnvg 5877 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ V ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯β—‘ ≀ 𝑇 ↔ 𝑇 ≀ π‘₯))
2119, 17, 20sylancr 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯β—‘ ≀ 𝑇 ↔ 𝑇 ≀ π‘₯))
2221adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯β—‘ ≀ 𝑇 ↔ 𝑇 ≀ π‘₯))
2318, 22mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯β—‘ ≀ 𝑇)
24 vex 3478 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
2519, 24brcnv 5880 . . . . 5 (π‘₯β—‘ ≀ 𝑦 ↔ 𝑦 ≀ π‘₯)
2625ralbii 3093 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯β—‘ ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯)
27 posglbdg.gt . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ 𝑦 ≀ 𝑇)
2826, 27syl3an3b 1405 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯β—‘ ≀ 𝑦) β†’ 𝑦 ≀ 𝑇)
29 brcnvg 5877 . . . . 5 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ V) β†’ (𝑇◑ ≀ 𝑦 ↔ 𝑦 ≀ 𝑇))
3017, 24, 29sylancl 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇◑ ≀ 𝑦 ↔ 𝑦 ≀ 𝑇))
31303ad2ant1 1133 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯β—‘ ≀ 𝑦) β†’ (𝑇◑ ≀ 𝑦 ↔ 𝑦 ≀ 𝑇))
3228, 31mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯β—‘ ≀ 𝑦) β†’ 𝑇◑ ≀ 𝑦)
333, 7, 13, 15, 16, 17, 23, 32poslubdg 18363 1 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘†) = 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674  β€˜cfv 6540  Basecbs 17140  lecple 17200  ODualcodu 18235  Posetcpo 18256  lubclub 18258  glbcglb 18259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-dec 12674  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ple 17213  df-odu 18236  df-proset 18244  df-poset 18262  df-lub 18295  df-glb 18296
This theorem is referenced by:  mrelatglb  18509  mrelatglb0  18510  glbsscl  47547  ipoglb  47569
  Copyright terms: Public domain W3C validator