Theorem posglbdg 18461

Description: Properties which determine the greatest lower bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
posglbdg.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
posglbdg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
posglbdg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐾))
posglbdg.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
posglbdg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
posglbdg.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
posglbdg.lb	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑇 ≤ 𝑥)
posglbdg.gt	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ≤ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
posglbdg	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥, ≤ ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem posglbdg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (ODual‘𝐾) = (ODual‘𝐾)
2		posglbdg.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3	1, 2	oduleval 18335	. 2 ⊢ ◡ ≤ = (le‘(ODual‘𝐾))
4		posglbdg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6	1, 5	odubas 18337	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(ODual‘𝐾))
7	4, 6	eqtrdi 2792	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(ODual‘𝐾)))
8		posglbdg.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐾))
9		posglbdg.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
10		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
11	1, 10	odulub 18453	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → (glb‘𝐾) = (lub‘(ODual‘𝐾)))
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (glb‘𝐾) = (lub‘(ODual‘𝐾)))
13	8, 12	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (lub‘(ODual‘𝐾)))
14	1	odupos 18374	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → (ODual‘𝐾) ∈ Poset)
15	9, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (ODual‘𝐾) ∈ Poset)
16		posglbdg.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
17		posglbdg.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
18		posglbdg.lb	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑇 ≤ 𝑥)
19		vex 3483	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
20		brcnvg 5889	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝑥◡ ≤ 𝑇 ↔ 𝑇 ≤ 𝑥))
21	19, 17, 20	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥◡ ≤ 𝑇 ↔ 𝑇 ≤ 𝑥))
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥◡ ≤ 𝑇 ↔ 𝑇 ≤ 𝑥))
23	18, 22	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥◡ ≤ 𝑇)
24		vex 3483	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
25	19, 24	brcnv 5892	. . . . 5 ⊢ (𝑥◡ ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 ≤ 𝑥)
26	25	ralbii 3092	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥◡ ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)
27		posglbdg.gt	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ≤ 𝑇)
28	26, 27	syl3an3b 1406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥◡ ≤ 𝑦) → 𝑦 ≤ 𝑇)
29		brcnvg 5889	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑇◡ ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 ≤ 𝑇))
30	17, 24, 29	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇◡ ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 ≤ 𝑇))
31	30	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥◡ ≤ 𝑦) → (𝑇◡ ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 ≤ 𝑇))
32	28, 31	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥◡ ≤ 𝑦) → 𝑇◡ ≤ 𝑦)
33	3, 7, 13, 15, 16, 17, 23, 32	poslubdg 18460	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  Vcvv 3479   ⊆ wss 3950   class class class wbr 5142  ^◡ccnv 5683  ‘cfv 6560  Basecbs 17248  lecple 17305  ODualcodu 18332  Posetcpo 18354  lubclub 18356  glbcglb 18357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-dec 12736  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ple 17318  df-odu 18333  df-proset 18341  df-poset 18360  df-lub 18392  df-glb 18393

This theorem is referenced by:  mrelatglb  18606  mrelatglb0  18607  glbsscl  48865  ipoglb  48895