Theorem posglbdg 18435

Description: Properties which determine the greatest lower bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
posglbdg.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
posglbdg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
posglbdg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐾))
posglbdg.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
posglbdg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
posglbdg.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
posglbdg.lb	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑇 ≤ 𝑥)
posglbdg.gt	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ≤ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
posglbdg	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥, ≤ ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem posglbdg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (ODual‘𝐾) = (ODual‘𝐾)
2		posglbdg.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3	1, 2	oduleval 18311	. 2 ⊢ ◡ ≤ = (le‘(ODual‘𝐾))
4		posglbdg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6	1, 5	odubas 18313	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(ODual‘𝐾))
7	4, 6	eqtrdi 2812	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(ODual‘𝐾)))
8		posglbdg.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐾))
9		posglbdg.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
10		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
11	1, 10	odulub 18427	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → (glb‘𝐾) = (lub‘(ODual‘𝐾)))
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (glb‘𝐾) = (lub‘(ODual‘𝐾)))
13	8, 12	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (lub‘(ODual‘𝐾)))
14	1	odupos 18348	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → (ODual‘𝐾) ∈ Poset)
15	9, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (ODual‘𝐾) ∈ Poset)
16		posglbdg.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
17		posglbdg.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
18		posglbdg.lb	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑇 ≤ 𝑥)
19		vex 3457	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
20		brcnvg 5847	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝑥◡ ≤ 𝑇 ↔ 𝑇 ≤ 𝑥))
21	19, 17, 20	sylancr 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥◡ ≤ 𝑇 ↔ 𝑇 ≤ 𝑥))
22	21	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥◡ ≤ 𝑇 ↔ 𝑇 ≤ 𝑥))
23	18, 22	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥◡ ≤ 𝑇)
24		vex 3457	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
25	19, 24	brcnv 5850	. . . . 5 ⊢ (𝑥◡ ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 ≤ 𝑥)
26	25	ralbii 3107	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥◡ ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)
27		posglbdg.gt	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ≤ 𝑇)
28	26, 27	syl3an3b 1423	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥◡ ≤ 𝑦) → 𝑦 ≤ 𝑇)
29		brcnvg 5847	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑇◡ ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 ≤ 𝑇))
30	17, 24, 29	sylancl 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇◡ ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 ≤ 𝑇))
31	30	3ad2ant1 1145	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥◡ ≤ 𝑦) → (𝑇◡ ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 ≤ 𝑇))
32	28, 31	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥◡ ≤ 𝑦) → 𝑇◡ ≤ 𝑦)
33	3, 7, 13, 15, 16, 17, 23, 32	poslubdg 18434	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5097  ^◡ccnv 5642  ‘cfv 6515  Basecbs 17235  lecple 17283  ODualcodu 18308  Posetcpo 18329  lubclub 18331  glbcglb 18332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ple 17296  df-odu 18309  df-proset 18316  df-poset 18335  df-lub 18366  df-glb 18367

This theorem is referenced by:  mrelatglb  18582  mrelatglb0  18583  glbsscl  49542  ipoglb  49572