Theorem posglbdg 18457

Description: Properties which determine the greatest lower bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
posglbdg.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
posglbdg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
posglbdg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐾))
posglbdg.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
posglbdg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
posglbdg.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
posglbdg.lb	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑇 ≤ 𝑥)
posglbdg.gt	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ≤ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
posglbdg	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥, ≤ ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem posglbdg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (ODual‘𝐾) = (ODual‘𝐾)
2		posglbdg.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3	1, 2	oduleval 18333	. 2 ⊢ ◡ ≤ = (le‘(ODual‘𝐾))
4		posglbdg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
5		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6	1, 5	odubas 18335	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(ODual‘𝐾))
7	4, 6	eqtrdi 2816	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(ODual‘𝐾)))
8		posglbdg.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐾))
9		posglbdg.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
10		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
11	1, 10	odulub 18449	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → (glb‘𝐾) = (lub‘(ODual‘𝐾)))
12	9, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (glb‘𝐾) = (lub‘(ODual‘𝐾)))
13	8, 12	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (lub‘(ODual‘𝐾)))
14	1	odupos 18370	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → (ODual‘𝐾) ∈ Poset)
15	9, 14	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (ODual‘𝐾) ∈ Poset)
16		posglbdg.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
17		posglbdg.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
18		posglbdg.lb	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑇 ≤ 𝑥)
19		vex 3461	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
20		brcnvg 5855	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝑥◡ ≤ 𝑇 ↔ 𝑇 ≤ 𝑥))
21	19, 17, 20	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥◡ ≤ 𝑇 ↔ 𝑇 ≤ 𝑥))
22	21	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥◡ ≤ 𝑇 ↔ 𝑇 ≤ 𝑥))
23	18, 22	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥◡ ≤ 𝑇)
24		vex 3461	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
25	19, 24	brcnv 5858	. . . . 5 ⊢ (𝑥◡ ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 ≤ 𝑥)
26	25	ralbii 3111	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥◡ ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)
27		posglbdg.gt	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ≤ 𝑇)
28	26, 27	syl3an3b 1428	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥◡ ≤ 𝑦) → 𝑦 ≤ 𝑇)
29		brcnvg 5855	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑇◡ ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 ≤ 𝑇))
30	17, 24, 29	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇◡ ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 ≤ 𝑇))
31	30	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥◡ ≤ 𝑦) → (𝑇◡ ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 ≤ 𝑇))
32	28, 31	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥◡ ≤ 𝑦) → 𝑇◡ ≤ 𝑦)
33	3, 7, 13, 15, 16, 17, 23, 32	poslubdg 18456	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5104  ^◡ccnv 5650  ‘cfv 6525  Basecbs 17257  lecple 17305  ODualcodu 18330  Posetcpo 18351  lubclub 18353  glbcglb 18354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ple 17318  df-odu 18331  df-proset 18338  df-poset 18357  df-lub 18388  df-glb 18389

This theorem is referenced by:  mrelatglb  18604  mrelatglb0  18605  glbsscl  49591  ipoglb  49621