Theorem pr2el1 43497

Description: If an unordered pair is equinumerous to ordinal two, then a part is a member. (Contributed by RP, 21-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pr2el1	⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem pr2el1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pr2cv 43496	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2	1	simpld 494	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐴 ∈ V)
3		prid1g 4767	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104  Vcvv 3477  {cpr 4632   class class class wbr 5149  2_oc2o 8493   ≈ cen 8975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5430

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-1o 8499  df-2o 8500  df-en 8979

This theorem is referenced by: (None)