Theorem pr2el1 43540

Description: If an unordered pair is equinumerous to ordinal two, then a part is a member. (Contributed by RP, 21-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pr2el1	⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem pr2el1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pr2cv 43539	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2	1	simpld 494	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐴 ∈ V)
3		prid1g 4758	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3479  {cpr 4626   class class class wbr 5141  2_oc2o 8496   ≈ cen 8978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pr 5430

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-ord 6385  df-on 6386  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-1o 8502  df-2o 8503  df-en 8982

This theorem is referenced by: (None)