Theorem pr2el1 43507

Description: If an unordered pair is equinumerous to ordinal two, then a part is a member. (Contributed by RP, 21-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pr2el1	⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem pr2el1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pr2cv 43506	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2	1	simpld 494	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐴 ∈ V)
3		prid1g 4785	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  {cpr 4650   class class class wbr 5166  2_oc2o 8510   ≈ cen 8994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5650  df-we 5652  df-xp 5701  df-rel 5702  df-cnv 5703  df-co 5704  df-dm 5705  df-rn 5706  df-res 5707  df-ima 5708  df-ord 6393  df-on 6394  df-suc 6396  df-iota 6520  df-fun 6570  df-fn 6571  df-f 6572  df-f1 6573  df-fo 6574  df-f1o 6575  df-fv 6576  df-1o 8516  df-2o 8517  df-en 8998

This theorem is referenced by: (None)