Theorem pr2cv 43665

Description: If an unordered pair is equinumerous to ordinal two, then both parts are sets. (Contributed by RP, 8-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pr2cv	⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem pr2cv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2 9171	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → ∃𝑥∃𝑦{𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦})
2		breq1 5096	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o))
3		vex 3441	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		vex 3441	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
5		pr2ne 9903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ↔ 𝑥 ≠ 𝑦))
6	5	el2v 3444	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ↔ 𝑥 ≠ 𝑦)
7	6	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o → 𝑥 ≠ 𝑦)
8		preq12nebg 4814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} ↔ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) ∨ (𝑥 = 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝐴))))
9		eqvisset 3457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
10		eqvisset 3457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
11	9, 10	anim12i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
12		eqvisset 3457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
13		eqvisset 3457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
14	12, 13	anim12ci 614	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
15	11, 14	jaoi 857	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) ∨ (𝑥 = 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝐴)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
16	8, 15	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
17	3, 4, 7, 16	mp3an12i 1467	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o → ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
18	17	com12 32	. . . . 5 ⊢ ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
19	18	eqcoms 2741	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
20	2, 19	sylbid 240	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
21	20	exlimivv 1933	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑦{𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
22	1, 21	mpcom 38	1 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  Vcvv 3437  {cpr 4577   class class class wbr 5093  2_oc2o 8385   ≈ cen 8872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-1o 8391  df-2o 8392  df-en 8876

This theorem is referenced by:  pr2el1  43666  pr2cv1  43667  pr2el2  43668  pr2cv2  43669  pren2  43670