Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pr2cv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pr2cv 41827
Description: If an unordered pair is equinumerous to ordinal two, then both parts are sets. (Contributed by RP, 8-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
pr2cv ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem pr2cv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 en2 9226 . 2 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → ∃𝑥𝑦{𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦})
2 breq1 5109 . . . 4 ({𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o))
3 vex 3450 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
4 vex 3450 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
5 pr2ne 9941 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦))
65el2v 3454 . . . . . . . 8 ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦)
76biimpi 215 . . . . . . 7 ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦)
8 preq12nebg 4821 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V ∧ 𝑥𝑦) → ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} ↔ ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) ∨ (𝑥 = 𝐵𝑦 = 𝐴))))
9 eqvisset 3463 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴𝐴 ∈ V)
10 eqvisset 3463 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵𝐵 ∈ V)
119, 10anim12i 614 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
12 eqvisset 3463 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵𝐵 ∈ V)
13 eqvisset 3463 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴𝐴 ∈ V)
1412, 13anim12ci 615 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝐵𝑦 = 𝐴) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
1511, 14jaoi 856 . . . . . . . 8 (((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) ∨ (𝑥 = 𝐵𝑦 = 𝐴)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
168, 15syl6bi 253 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V ∧ 𝑥𝑦) → ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
173, 4, 7, 16mp3an12i 1466 . . . . . 6 ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o → ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
1817com12 32 . . . . 5 ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
1918eqcoms 2745 . . . 4 ({𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
202, 19sylbid 239 . . 3 ({𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
2120exlimivv 1936 . 2 (∃𝑥𝑦{𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
221, 21mpcom 38 1 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2944  Vcvv 3446  {cpr 4589   class class class wbr 5106  2oc2o 8407  cen 8881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-1o 8413  df-2o 8414  df-en 8885
This theorem is referenced by:  pr2el1  41828  pr2cv1  41829  pr2el2  41830  pr2cv2  41831  pren2  41832
  Copyright terms: Public domain W3C validator