Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pr2cv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pr2cv 40042
 Description: If an unordered pair is equinumerous to ordinal two, then both parts are sets. (Contributed by RP, 8-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
pr2cv ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem pr2cv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 en2 8732 . 2 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → ∃𝑥𝑦{𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦})
2 breq1 5045 . . . 4 ({𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o))
3 vex 3476 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
4 vex 3476 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
5 pr2ne 9409 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦))
65el2v 3480 . . . . . . . 8 ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦)
76biimpi 218 . . . . . . 7 ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦)
8 preq12nebg 4769 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V ∧ 𝑥𝑦) → ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} ↔ ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) ∨ (𝑥 = 𝐵𝑦 = 𝐴))))
9 eqvisset 3490 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴𝐴 ∈ V)
10 eqvisset 3490 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵𝐵 ∈ V)
119, 10anim12i 614 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
12 eqvisset 3490 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵𝐵 ∈ V)
13 eqvisset 3490 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴𝐴 ∈ V)
1412, 13anim12ci 615 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝐵𝑦 = 𝐴) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
1511, 14jaoi 853 . . . . . . . 8 (((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) ∨ (𝑥 = 𝐵𝑦 = 𝐴)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
168, 15syl6bi 255 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V ∧ 𝑥𝑦) → ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
173, 4, 7, 16mp3an12i 1461 . . . . . 6 ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o → ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
1817com12 32 . . . . 5 ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
1918eqcoms 2828 . . . 4 ({𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
202, 19sylbid 242 . . 3 ({𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
2120exlimivv 1933 . 2 (∃𝑥𝑦{𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
221, 21mpcom 38 1 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3006  Vcvv 3473  {cpr 4545   class class class wbr 5042  2oc2o 8074   ≈ cen 8484 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-br 5043  df-opab 5105  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-om 7559  df-1o 8080  df-2o 8081  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491 This theorem is referenced by:  pr2el1  40043  pr2cv1  40044  pr2el2  40045  pr2cv2  40046  pren2  40047
 Copyright terms: Public domain W3C validator