Theorem pr2cv 43530

Description: If an unordered pair is equinumerous to ordinal two, then both parts are sets. (Contributed by RP, 8-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pr2cv	⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem pr2cv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2 9232	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → ∃𝑥∃𝑦{𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦})
2		breq1 5112	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o))
3		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
5		pr2ne 9963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ↔ 𝑥 ≠ 𝑦))
6	5	el2v 3457	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ↔ 𝑥 ≠ 𝑦)
7	6	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o → 𝑥 ≠ 𝑦)
8		preq12nebg 4829	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} ↔ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) ∨ (𝑥 = 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝐴))))
9		eqvisset 3470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
10		eqvisset 3470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
11	9, 10	anim12i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
12		eqvisset 3470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
13		eqvisset 3470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
14	12, 13	anim12ci 614	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
15	11, 14	jaoi 857	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) ∨ (𝑥 = 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝐴)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
16	8, 15	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
17	3, 4, 7, 16	mp3an12i 1467	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o → ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
18	17	com12 32	. . . . 5 ⊢ ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
19	18	eqcoms 2738	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
20	2, 19	sylbid 240	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
21	20	exlimivv 1932	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑦{𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
22	1, 21	mpcom 38	1 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450  {cpr 4593   class class class wbr 5109  2_oc2o 8430   ≈ cen 8917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-ord 6337  df-on 6338  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-1o 8436  df-2o 8437  df-en 8921

This theorem is referenced by:  pr2el1  43531  pr2cv1  43532  pr2el2  43533  pr2cv2  43534  pren2  43535