Theorem pr2cv 43497

Description: If an unordered pair is equinumerous to ordinal two, then both parts are sets. (Contributed by RP, 8-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pr2cv	⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem pr2cv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2 9281	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → ∃𝑥∃𝑦{𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦})
2		breq1 5119	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o))
3		vex 3461	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		vex 3461	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
5		pr2ne 10010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ↔ 𝑥 ≠ 𝑦))
6	5	el2v 3464	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ↔ 𝑥 ≠ 𝑦)
7	6	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o → 𝑥 ≠ 𝑦)
8		preq12nebg 4836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} ↔ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) ∨ (𝑥 = 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝐴))))
9		eqvisset 3477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
10		eqvisset 3477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
11	9, 10	anim12i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
12		eqvisset 3477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
13		eqvisset 3477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
14	12, 13	anim12ci 614	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
15	11, 14	jaoi 857	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) ∨ (𝑥 = 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝐴)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
16	8, 15	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
17	3, 4, 7, 16	mp3an12i 1466	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o → ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
18	17	com12 32	. . . . 5 ⊢ ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
19	18	eqcoms 2742	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
20	2, 19	sylbid 240	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
21	20	exlimivv 1931	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑦{𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
22	1, 21	mpcom 38	1 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  Vcvv 3457  {cpr 4601   class class class wbr 5116  2_oc2o 8468   ≈ cen 8950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pr 5399

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-br 5117  df-opab 5179  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6352  df-on 6353  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-1o 8474  df-2o 8475  df-en 8954

This theorem is referenced by:  pr2el1  43498  pr2cv1  43499  pr2el2  43500  pr2cv2  43501  pren2  43502