Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pr2cv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pr2cv 41155
Description: If an unordered pair is equinumerous to ordinal two, then both parts are sets. (Contributed by RP, 8-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
pr2cv ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem pr2cv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 en2 9053 . 2 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → ∃𝑥𝑦{𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦})
2 breq1 5077 . . . 4 ({𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o))
3 vex 3436 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
4 vex 3436 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
5 pr2ne 9761 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦))
65el2v 3440 . . . . . . . 8 ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦)
76biimpi 215 . . . . . . 7 ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦)
8 preq12nebg 4793 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V ∧ 𝑥𝑦) → ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} ↔ ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) ∨ (𝑥 = 𝐵𝑦 = 𝐴))))
9 eqvisset 3449 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴𝐴 ∈ V)
10 eqvisset 3449 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵𝐵 ∈ V)
119, 10anim12i 613 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
12 eqvisset 3449 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵𝐵 ∈ V)
13 eqvisset 3449 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴𝐴 ∈ V)
1412, 13anim12ci 614 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝐵𝑦 = 𝐴) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
1511, 14jaoi 854 . . . . . . . 8 (((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) ∨ (𝑥 = 𝐵𝑦 = 𝐴)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
168, 15syl6bi 252 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V ∧ 𝑥𝑦) → ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
173, 4, 7, 16mp3an12i 1464 . . . . . 6 ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o → ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
1817com12 32 . . . . 5 ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
1918eqcoms 2746 . . . 4 ({𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
202, 19sylbid 239 . . 3 ({𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
2120exlimivv 1935 . 2 (∃𝑥𝑦{𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
221, 21mpcom 38 1 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1539  wex 1782  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3432  {cpr 4563   class class class wbr 5074  2oc2o 8291  cen 8730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-om 7713  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737
This theorem is referenced by:  pr2el1  41156  pr2cv1  41157  pr2el2  41158  pr2cv2  41159  pren2  41160
  Copyright terms: Public domain W3C validator