Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pr2cv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pr2cv 40700
Description: If an unordered pair is equinumerous to ordinal two, then both parts are sets. (Contributed by RP, 8-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
pr2cv ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem pr2cv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 en2 8831 . 2 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → ∃𝑥𝑦{𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦})
2 breq1 5033 . . . 4 ({𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o))
3 vex 3402 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
4 vex 3402 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
5 pr2ne 9505 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦))
65el2v 3406 . . . . . . . 8 ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦)
76biimpi 219 . . . . . . 7 ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦)
8 preq12nebg 4748 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V ∧ 𝑥𝑦) → ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} ↔ ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) ∨ (𝑥 = 𝐵𝑦 = 𝐴))))
9 eqvisset 3415 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴𝐴 ∈ V)
10 eqvisset 3415 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵𝐵 ∈ V)
119, 10anim12i 616 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
12 eqvisset 3415 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵𝐵 ∈ V)
13 eqvisset 3415 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴𝐴 ∈ V)
1412, 13anim12ci 617 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝐵𝑦 = 𝐴) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
1511, 14jaoi 856 . . . . . . . 8 (((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) ∨ (𝑥 = 𝐵𝑦 = 𝐴)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
168, 15syl6bi 256 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V ∧ 𝑥𝑦) → ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
173, 4, 7, 16mp3an12i 1466 . . . . . 6 ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o → ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
1817com12 32 . . . . 5 ({𝑥, 𝑦} = {𝐴, 𝐵} → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
1918eqcoms 2746 . . . 4 ({𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
202, 19sylbid 243 . . 3 ({𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
2120exlimivv 1939 . 2 (∃𝑥𝑦{𝐴, 𝐵} = {𝑥, 𝑦} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
221, 21mpcom 38 1 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1786  wcel 2114  wne 2934  Vcvv 3398  {cpr 4518   class class class wbr 5030  2oc2o 8125  cen 8552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-om 7600  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558
This theorem is referenced by:  pr2el1  40701  pr2cv1  40702  pr2el2  40703  pr2cv2  40704  pren2  40705
  Copyright terms: Public domain W3C validator