Theorem pr2el2 44203

Description: If an unordered pair is equinumerous to ordinal two, then a part is a member. (Contributed by RP, 21-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pr2el2	⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem pr2el2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pr2cv 44200	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2		prid2g 4732	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
3	1, 2	simpl2im 512	1 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  {cpr 4596   class class class wbr 5113  2_oc2o 8447   ≈ cen 8940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-1o 8453  df-2o 8454  df-en 8944

This theorem is referenced by: (None)