Theorem pr2el2 43541

Description: If an unordered pair is equinumerous to ordinal two, then a part is a member. (Contributed by RP, 21-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pr2el2	⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem pr2el2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pr2cv 43538	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2		prid2g 4766	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
3	1, 2	simpl2im 503	1 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  {cpr 4633   class class class wbr 5148  2_oc2o 8499   ≈ cen 8981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-1o 8505  df-2o 8506  df-en 8985

This theorem is referenced by: (None)