Theorem pr2el2 44128

Description: If an unordered pair is equinumerous to ordinal two, then a part is a member. (Contributed by RP, 21-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pr2el2	⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem pr2el2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pr2cv 44125	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2		prid2g 4721	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
3	1, 2	simpl2im 511	1 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  {cpr 4585   class class class wbr 5101  2_oc2o 8432   ≈ cen 8925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pr 5391

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-ord 6350  df-on 6351  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-1o 8438  df-2o 8439  df-en 8929

This theorem is referenced by: (None)