Theorem psdadd 22050

Description: The derivative of a sum is the sum of the derivatives. (Contributed by SN, 12-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psdadd.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psdadd.p	⊢ + = (+g‘𝑆)
psdadd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
psdadd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
psdadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
psdadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psdadd	⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐹 + 𝐺)) = ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) + (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐺)))

Proof of Theorem psdadd

Dummy variables 𝑏 𝑑 ℎ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psdadd.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psdadd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
4		psdadd.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
5		psdadd.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	psdval 22046	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) = (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
7		psdadd.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 7	psdval 22046	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐺) = (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
9	6, 8	oveq12d 7405	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) ∘f (+g‘𝑅)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐺)) = ((𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))))
10		ovex 7420	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V
11		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
12	10, 11	fnmpti 6661	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
14		ovex 7420	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V
15		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
16	14, 15	fnmpti 6661	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
18		ovex 7420	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
19	18	rabex 5294	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
21		inidm 4190	. . . 4 ⊢ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
22		fveq1 6857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘𝑋) = (𝑑‘𝑋))
23	22	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → ((𝑏‘𝑋) + 1) = ((𝑑‘𝑋) + 1))
24		fvoveq1 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
25	23, 24	oveq12d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
26		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
27		ovexd 7422	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V)
28	11, 25, 26, 27	fvmptd3 6991	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))‘𝑑) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
29		fvoveq1 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
30	23, 29	oveq12d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
31		ovexd 7422	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V)
32	15, 30, 26, 31	fvmptd3 6991	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))‘𝑑) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
33	13, 17, 20, 20, 21, 28, 32	offval 7662	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))) = (𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+g‘𝑅)(((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))))
34		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
35		psdadd.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑆)
36	1, 2, 34, 35, 5, 7	psradd 21846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺))
37	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺))
38	37	fveq1d 6860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 + 𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = ((𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
39		reldmpsr 21823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Rel dom mPwSer
40	1, 2, 39	strov2rcl 17187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V)
41	5, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
42	3	psrbagsn 21970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
44	43	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
45	3	psrbagaddcl 21833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
46	26, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
47		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
48	1, 47, 3, 2, 5	psrelbas 21843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
49	48	ffnd 6689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
50	1, 47, 3, 2, 7	psrelbas 21843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
51	50	ffnd 6689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
52		eqidd 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
53		eqidd 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
54	49, 51, 20, 20, 21, 52, 53	ofval 7664	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = ((𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
55	46, 54	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = ((𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
56	38, 55	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 + 𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = ((𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
57	56	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐹 + 𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
58		psdadd.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
59	58	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ CMnd)
60	3	psrbagf 21827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
61	60	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
62	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑋 ∈ 𝐼)
63	61, 62	ffvelcdmd 7057	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑‘𝑋) ∈ ℕ0)
64		peano2nn0 12482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑‘𝑋) ∈ ℕ0 → ((𝑑‘𝑋) + 1) ∈ ℕ0)
65	63, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑑‘𝑋) + 1) ∈ ℕ0)
66	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐹 ∈ 𝐵)
67	1, 47, 3, 2, 66	psrelbas 21843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
68	67, 46	ffvelcdmd 7057	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ (Base‘𝑅))
69	50	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐺:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
70	69, 46	ffvelcdmd 7057	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ (Base‘𝑅))
71		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
72	47, 71, 34	mulgnn0di 19755	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CMnd ∧ (((𝑑‘𝑋) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = ((((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+g‘𝑅)(((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
73	59, 65, 68, 70, 72	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = ((((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+g‘𝑅)(((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
74	57, 73	eqtr2d 2765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+g‘𝑅)(((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐹 + 𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
75	74	mpteq2dva 5200	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+g‘𝑅)(((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))) = (𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐹 + 𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
76	9, 33, 75	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) ∘f (+g‘𝑅)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐺)) = (𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐹 + 𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
77	58	cmnmndd 19734	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
78		mndmgm 18668	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 𝑅 ∈ Mgm)
79	77, 78	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
80	1, 2, 79, 4, 5	psdcl 22048	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) ∈ 𝐵)
81	1, 2, 79, 4, 7	psdcl 22048	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐺) ∈ 𝐵)
82	1, 2, 34, 35, 80, 81	psradd 21846	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) + (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐺)) = ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) ∘f (+g‘𝑅)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐺)))
83	1, 2, 35, 79, 5, 7	psraddcl 21847	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
84	1, 2, 3, 4, 83	psdval 22046	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐹 + 𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
85	76, 82, 84	3eqtr4rd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐹 + 𝐺)) = ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) + (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405  Vcvv 3447  ifcif 4488   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5637   “ cima 5641   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∘_f cof 7651   ↑_m cmap 8799  Fincfn 8918  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Mgmcmgm 18565  Mndcmnd 18661  ._gcmg 18999  CMndccmn 19710   mPwSer cmps 21813   mPSDer cpsd 22017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-tset 17239  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mulg 19000  df-cmn 19712  df-psr 21818  df-psd 22043

This theorem is referenced by: (None)