Theorem psdadd 22118

Description: The derivative of a sum is the sum of the derivatives. (Contributed by SN, 12-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psdadd.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psdadd.p	⊢ + = (+g‘𝑆)
psdadd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
psdadd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
psdadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
psdadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psdadd	⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐹 + 𝐺)) = ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) + (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐺)))

Proof of Theorem psdadd

Dummy variables 𝑏 𝑑 ℎ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psdadd.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psdadd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
4		psdadd.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
5		psdadd.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	psdval 22114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) = (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
7		psdadd.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 7	psdval 22114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐺) = (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
9	6, 8	oveq12d 7386	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) ∘f (+g‘𝑅)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐺)) = ((𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))))
10		ovex 7401	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V
11		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
12	10, 11	fnmpti 6643	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
14		ovex 7401	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V
15		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
16	14, 15	fnmpti 6643	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
18		ovex 7401	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
19	18	rabex 5286	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
21		inidm 4181	. . . 4 ⊢ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
22		fveq1 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘𝑋) = (𝑑‘𝑋))
23	22	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → ((𝑏‘𝑋) + 1) = ((𝑑‘𝑋) + 1))
24		fvoveq1 7391	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
25	23, 24	oveq12d 7386	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
26		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
27		ovexd 7403	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V)
28	11, 25, 26, 27	fvmptd3 6973	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))‘𝑑) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
29		fvoveq1 7391	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
30	23, 29	oveq12d 7386	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
31		ovexd 7403	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V)
32	15, 30, 26, 31	fvmptd3 6973	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))‘𝑑) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
33	13, 17, 20, 20, 21, 28, 32	offval 7641	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))) = (𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+g‘𝑅)(((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))))
34		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
35		psdadd.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑆)
36	1, 2, 34, 35, 5, 7	psradd 21905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺))
37	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺))
38	37	fveq1d 6844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 + 𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = ((𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
39		reldmpsr 21882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Rel dom mPwSer
40	1, 2, 39	strov2rcl 17156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V)
41	5, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
42	3	psrbagsn 22030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
44	43	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
45	3	psrbagaddcl 21892	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
46	26, 44, 45	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
47		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
48	1, 47, 3, 2, 5	psrelbas 21902	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
49	48	ffnd 6671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
50	1, 47, 3, 2, 7	psrelbas 21902	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
51	50	ffnd 6671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
52		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
53		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
54	49, 51, 20, 20, 21, 52, 53	ofval 7643	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = ((𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
55	46, 54	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = ((𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
56	38, 55	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 + 𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = ((𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
57	56	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐹 + 𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
58		psdadd.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
59	58	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ CMnd)
60	3	psrbagf 21886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
61	60	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
62	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑋 ∈ 𝐼)
63	61, 62	ffvelcdmd 7039	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑‘𝑋) ∈ ℕ0)
64		peano2nn0 12453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑‘𝑋) ∈ ℕ0 → ((𝑑‘𝑋) + 1) ∈ ℕ0)
65	63, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑑‘𝑋) + 1) ∈ ℕ0)
66	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐹 ∈ 𝐵)
67	1, 47, 3, 2, 66	psrelbas 21902	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
68	67, 46	ffvelcdmd 7039	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ (Base‘𝑅))
69	50	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐺:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
70	69, 46	ffvelcdmd 7039	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ (Base‘𝑅))
71		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
72	47, 71, 34	mulgnn0di 19766	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CMnd ∧ (((𝑑‘𝑋) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = ((((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+g‘𝑅)(((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
73	59, 65, 68, 70, 72	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = ((((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+g‘𝑅)(((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
74	57, 73	eqtr2d 2773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+g‘𝑅)(((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐹 + 𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
75	74	mpteq2dva 5193	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+g‘𝑅)(((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))) = (𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐹 + 𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
76	9, 33, 75	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) ∘f (+g‘𝑅)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐺)) = (𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐹 + 𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
77	58	cmnmndd 19745	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
78		mndmgm 18678	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 𝑅 ∈ Mgm)
79	77, 78	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
80	1, 2, 79, 4, 5	psdcl 22116	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) ∈ 𝐵)
81	1, 2, 79, 4, 7	psdcl 22116	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐺) ∈ 𝐵)
82	1, 2, 34, 35, 80, 81	psradd 21905	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) + (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐺)) = ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) ∘f (+g‘𝑅)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐺)))
83	1, 2, 35, 79, 5, 7	psraddcl 21906	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
84	1, 2, 3, 4, 83	psdval 22114	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐹 + 𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
85	76, 82, 84	3eqtr4rd 2783	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐹 + 𝐺)) = ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) + (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401  Vcvv 3442  ifcif 4481   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5631   “ cima 5635   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∘_f cof 7630   ↑_m cmap 8775  Fincfn 8895  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  Mgmcmgm 18575  Mndcmnd 18671  ._gcmg 19009  CMndccmn 19721   mPwSer cmps 21872   mPSDer cpsd 22085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-tset 17208  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mulg 19010  df-cmn 19723  df-psr 21877  df-psd 22111

This theorem is referenced by: (None)