Theorem psdadd 22129

Description: The derivative of a sum is the sum of the derivatives. (Contributed by SN, 12-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psdadd.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psdadd.p	⊢ + = (+g‘𝑆)
psdadd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
psdadd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
psdadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
psdadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psdadd	⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐹 + 𝐺)) = ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) + (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐺)))

Proof of Theorem psdadd

Dummy variables 𝑏 𝑑 ℎ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psdadd.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psdadd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
4		psdadd.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
5		psdadd.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	psdval 22125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) = (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
7		psdadd.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 7	psdval 22125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐺) = (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
9	6, 8	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) ∘f (+g‘𝑅)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐺)) = ((𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))))
10		ovex 7400	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V
11		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
12	10, 11	fnmpti 6641	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
14		ovex 7400	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V
15		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
16	14, 15	fnmpti 6641	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
18		ovex 7400	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
19	18	rabex 5280	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
21		inidm 4167	. . . 4 ⊢ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
22		fveq1 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘𝑋) = (𝑑‘𝑋))
23	22	oveq1d 7382	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → ((𝑏‘𝑋) + 1) = ((𝑑‘𝑋) + 1))
24		fvoveq1 7390	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
25	23, 24	oveq12d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
26		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
27		ovexd 7402	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V)
28	11, 25, 26, 27	fvmptd3 6971	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))‘𝑑) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
29		fvoveq1 7390	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
30	23, 29	oveq12d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
31		ovexd 7402	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V)
32	15, 30, 26, 31	fvmptd3 6971	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))‘𝑑) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
33	13, 17, 20, 20, 21, 28, 32	offval 7640	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑏‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))) = (𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+g‘𝑅)(((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))))
34		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
35		psdadd.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑆)
36	1, 2, 34, 35, 5, 7	psradd 21917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺))
37	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺))
38	37	fveq1d 6842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 + 𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = ((𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
39		reldmpsr 21894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Rel dom mPwSer
40	1, 2, 39	strov2rcl 17187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V)
41	5, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
42	3	psrbagsn 22041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
44	43	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
45	3	psrbagaddcl 21904	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
46	26, 44, 45	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
47		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
48	1, 47, 3, 2, 5	psrelbas 21914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
49	48	ffnd 6669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
50	1, 47, 3, 2, 7	psrelbas 21914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
51	50	ffnd 6669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
52		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
53		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
54	49, 51, 20, 20, 21, 52, 53	ofval 7642	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = ((𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
55	46, 54	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = ((𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
56	38, 55	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 + 𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = ((𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
57	56	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐹 + 𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
58		psdadd.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
59	58	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ CMnd)
60	3	psrbagf 21898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
61	60	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
62	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑋 ∈ 𝐼)
63	61, 62	ffvelcdmd 7037	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑‘𝑋) ∈ ℕ0)
64		peano2nn0 12477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑‘𝑋) ∈ ℕ0 → ((𝑑‘𝑋) + 1) ∈ ℕ0)
65	63, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑑‘𝑋) + 1) ∈ ℕ0)
66	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐹 ∈ 𝐵)
67	1, 47, 3, 2, 66	psrelbas 21914	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
68	67, 46	ffvelcdmd 7037	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ (Base‘𝑅))
69	50	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐺:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
70	69, 46	ffvelcdmd 7037	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ (Base‘𝑅))
71		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
72	47, 71, 34	mulgnn0di 19800	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CMnd ∧ (((𝑑‘𝑋) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = ((((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+g‘𝑅)(((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
73	59, 65, 68, 70, 72	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = ((((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+g‘𝑅)(((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
74	57, 73	eqtr2d 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+g‘𝑅)(((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐹 + 𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
75	74	mpteq2dva 5178	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+g‘𝑅)(((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐺‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))) = (𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐹 + 𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
76	9, 33, 75	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) ∘f (+g‘𝑅)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐺)) = (𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐹 + 𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
77	58	cmnmndd 19779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
78		mndmgm 18709	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 𝑅 ∈ Mgm)
79	77, 78	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
80	1, 2, 79, 4, 5	psdcl 22127	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) ∈ 𝐵)
81	1, 2, 79, 4, 7	psdcl 22127	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐺) ∈ 𝐵)
82	1, 2, 34, 35, 80, 81	psradd 21917	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) + (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐺)) = ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) ∘f (+g‘𝑅)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐺)))
83	1, 2, 35, 79, 5, 7	psraddcl 21918	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
84	1, 2, 3, 4, 83	psdval 22125	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐹 + 𝐺)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
85	76, 82, 84	3eqtr4rd 2782	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐹 + 𝐺)) = ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) + (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389  Vcvv 3429  ifcif 4466   ↦ cmpt 5166  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∘_f cof 7629   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Mgmcmgm 18606  Mndcmnd 18702  ._gcmg 19043  CMndccmn 19755   mPwSer cmps 21884   mPSDer cpsd 22096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-tset 17239  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mulg 19044  df-cmn 19757  df-psr 21889  df-psd 22122

This theorem is referenced by: (None)