MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psdadd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psdadd 22080
Description: The derivative of a sum is the sum of the derivatives. (Contributed by SN, 12-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
psdadd.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdadd.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
psdadd.p + = (+gβ€˜π‘†)
psdadd.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
psdadd.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
psdadd.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
psdadd.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
psdadd.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
psdadd (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜(𝐹 + 𝐺)) = ((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) + (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΊ)))
Proof of Theorem psdadd
Dummy variables 𝑏 𝑑 β„Ž 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psdadd.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psdadd.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
3 eqid 2728 . . . . 5 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
4 psdadd.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
5 psdadd.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
6 psdadd.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
7 psdadd.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7psdval 22076 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) = (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
9 psdadd.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9psdval 22076 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΊ) = (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
118, 10oveq12d 7432 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∘f (+gβ€˜π‘…)(((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΊ)) = ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) ∘f (+gβ€˜π‘…)(𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))))
12 ovex 7447 . . . . . 6 (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V
13 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
1412, 13fnmpti 6692 . . . . 5 (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
1514a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
16 ovex 7447 . . . . . 6 (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V
17 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
1816, 17fnmpti 6692 . . . . 5 (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
1918a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
20 ovex 7447 . . . . . 6 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
2120rabex 5328 . . . . 5 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
2221a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
23 inidm 4214 . . . 4 ({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∩ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
24 fveq1 6890 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑑 β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (π‘‘β€˜π‘‹))
2524oveq1d 7429 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑑 β†’ ((π‘β€˜π‘‹) + 1) = ((π‘‘β€˜π‘‹) + 1))
26 fvoveq1 7437 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑑 β†’ (πΉβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
2725, 26oveq12d 7432 . . . . 5 (𝑏 = 𝑑 β†’ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
28 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
29 ovexd 7449 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V)
3013, 27, 28, 29fvmptd3 7022 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))β€˜π‘‘) = (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
31 fvoveq1 7437 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑑 β†’ (πΊβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
3225, 31oveq12d 7432 . . . . 5 (𝑏 = 𝑑 β†’ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
33 ovexd 7449 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V)
3417, 32, 28, 33fvmptd3 7022 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))β€˜π‘‘) = (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
3515, 19, 22, 22, 23, 30, 34offval 7688 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) ∘f (+gβ€˜π‘…)(𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))) = (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+gβ€˜π‘…)(((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))))
36 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
37 psdadd.p . . . . . . . . . 10 + = (+gβ€˜π‘†)
381, 2, 36, 37, 7, 9psradd 21875 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺))
3938adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺))
4039fveq1d 6893 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = ((𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
413psrbagsn 22000 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
424, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
4342adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
443psrbagaddcl 21854 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
4528, 43, 44syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
46 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
471, 46, 3, 2, 7psrelbas 21872 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
4847ffnd 6717 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
491, 46, 3, 2, 9psrelbas 21872 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺:{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
5049ffnd 6717 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
51 eqidd 2729 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
52 eqidd 2729 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
5348, 50, 22, 22, 23, 51, 52ofval 7690 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = ((πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
5445, 53syldan 590 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = ((πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
5540, 54eqtrd 2768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = ((πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
5655oveq2d 7430 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)((𝐹 + 𝐺)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)((πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
575adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
583psrbagf 21844 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
5958adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
606adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
6159, 60ffvelcdmd 7089 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘‘β€˜π‘‹) ∈ β„•0)
62 peano2nn0 12536 . . . . . . 7 ((π‘‘β€˜π‘‹) ∈ β„•0 β†’ ((π‘‘β€˜π‘‹) + 1) ∈ β„•0)
6361, 62syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘‘β€˜π‘‹) + 1) ∈ β„•0)
647adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
651, 46, 3, 2, 64psrelbas 21872 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐹:{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
6665, 45ffvelcdmd 7089 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6749adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐺:{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
6867, 45ffvelcdmd 7089 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
69 eqid 2728 . . . . . . 7 (.gβ€˜π‘…) = (.gβ€˜π‘…)
7046, 69, 36mulgnn0di 19773 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CMnd ∧ (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1) ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)((πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = ((((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+gβ€˜π‘…)(((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
7157, 63, 66, 68, 70syl13anc 1370 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)((πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = ((((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+gβ€˜π‘…)(((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
7256, 71eqtr2d 2769 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+gβ€˜π‘…)(((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)((𝐹 + 𝐺)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
7372mpteq2dva 5242 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+gβ€˜π‘…)(((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))) = (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)((𝐹 + 𝐺)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
7411, 35, 733eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∘f (+gβ€˜π‘…)(((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΊ)) = (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)((𝐹 + 𝐺)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
755cmnmndd 19752 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
76 mndmgm 18694 . . . . 5 (𝑅 ∈ Mnd β†’ 𝑅 ∈ Mgm)
7775, 76syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mgm)
781, 2, 4, 77, 6, 7psdcl 22078 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
791, 2, 4, 77, 6, 9psdcl 22078 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΊ) ∈ 𝐡)
801, 2, 36, 37, 78, 79psradd 21875 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) + (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΊ)) = ((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∘f (+gβ€˜π‘…)(((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΊ)))
811, 2, 37, 77, 7, 9psraddcl 21876 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐡)
821, 2, 3, 4, 5, 6, 81psdval 22076 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜(𝐹 + 𝐺)) = (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)((𝐹 + 𝐺)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
8374, 80, 823eqtr4rd 2779 1 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜(𝐹 + 𝐺)) = ((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) + (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3428  Vcvv 3470  ifcif 4524   ↦ cmpt 5225  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘f cof 7677   ↑m cmap 8838  Fincfn 8957  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135  β„•cn 12236  β„•0cn0 12496  Basecbs 17173  +gcplusg 17226  Mgmcmgm 18591  Mndcmnd 18687  .gcmg 19016  CMndccmn 19728   mPwSer cmps 21830   mPSDer cpsd 22049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-struct 17109  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-tset 17245  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-mulg 19017  df-cmn 19730  df-psr 21835  df-psd 22073
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator