MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psdadd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psdadd 22016
Description: The derivative of a sum is the sum of the derivatives. (Contributed by SN, 12-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
psdadd.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdadd.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
psdadd.p + = (+gβ€˜π‘†)
psdadd.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
psdadd.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
psdadd.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
psdadd.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
psdadd.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
psdadd (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜(𝐹 + 𝐺)) = ((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) + (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΊ)))
Proof of Theorem psdadd
Dummy variables 𝑏 𝑑 β„Ž 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psdadd.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psdadd.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
3 eqid 2724 . . . . 5 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
4 psdadd.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
5 psdadd.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
6 psdadd.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
7 psdadd.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7psdval 22012 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) = (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
9 psdadd.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9psdval 22012 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΊ) = (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
118, 10oveq12d 7420 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∘f (+gβ€˜π‘…)(((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΊ)) = ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) ∘f (+gβ€˜π‘…)(𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))))
12 ovex 7435 . . . . . 6 (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V
13 eqid 2724 . . . . . 6 (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
1412, 13fnmpti 6684 . . . . 5 (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
1514a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
16 ovex 7435 . . . . . 6 (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V
17 eqid 2724 . . . . . 6 (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
1816, 17fnmpti 6684 . . . . 5 (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
1918a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
20 ovex 7435 . . . . . 6 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
2120rabex 5323 . . . . 5 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
2221a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
23 inidm 4211 . . . 4 ({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∩ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
24 fveq1 6881 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑑 β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (π‘‘β€˜π‘‹))
2524oveq1d 7417 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑑 β†’ ((π‘β€˜π‘‹) + 1) = ((π‘‘β€˜π‘‹) + 1))
26 fvoveq1 7425 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑑 β†’ (πΉβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
2725, 26oveq12d 7420 . . . . 5 (𝑏 = 𝑑 β†’ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
28 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
29 ovexd 7437 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V)
3013, 27, 28, 29fvmptd3 7012 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))β€˜π‘‘) = (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
31 fvoveq1 7425 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑑 β†’ (πΊβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
3225, 31oveq12d 7420 . . . . 5 (𝑏 = 𝑑 β†’ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
33 ovexd 7437 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V)
3417, 32, 28, 33fvmptd3 7012 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))β€˜π‘‘) = (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
3515, 19, 22, 22, 23, 30, 34offval 7673 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) ∘f (+gβ€˜π‘…)(𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))) = (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+gβ€˜π‘…)(((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))))
36 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
37 psdadd.p . . . . . . . . . 10 + = (+gβ€˜π‘†)
381, 2, 36, 37, 7, 9psradd 21812 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺))
3938adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺))
4039fveq1d 6884 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = ((𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
413psrbagsn 21936 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
424, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
4342adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
443psrbagaddcl 21792 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
4528, 43, 44syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
46 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
471, 46, 3, 2, 7psrelbas 21809 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
4847ffnd 6709 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
491, 46, 3, 2, 9psrelbas 21809 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺:{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
5049ffnd 6709 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
51 eqidd 2725 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
52 eqidd 2725 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
5348, 50, 22, 22, 23, 51, 52ofval 7675 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = ((πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
5445, 53syldan 590 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = ((πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
5540, 54eqtrd 2764 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = ((πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
5655oveq2d 7418 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)((𝐹 + 𝐺)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)((πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
575adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
583psrbagf 21782 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
5958adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
606adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
6159, 60ffvelcdmd 7078 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘‘β€˜π‘‹) ∈ β„•0)
62 peano2nn0 12510 . . . . . . 7 ((π‘‘β€˜π‘‹) ∈ β„•0 β†’ ((π‘‘β€˜π‘‹) + 1) ∈ β„•0)
6361, 62syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘‘β€˜π‘‹) + 1) ∈ β„•0)
647adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
651, 46, 3, 2, 64psrelbas 21809 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐹:{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
6665, 45ffvelcdmd 7078 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6749adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐺:{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
6867, 45ffvelcdmd 7078 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
69 eqid 2724 . . . . . . 7 (.gβ€˜π‘…) = (.gβ€˜π‘…)
7046, 69, 36mulgnn0di 19737 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CMnd ∧ (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1) ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)((πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = ((((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+gβ€˜π‘…)(((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
7157, 63, 66, 68, 70syl13anc 1369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)((πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = ((((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+gβ€˜π‘…)(((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
7256, 71eqtr2d 2765 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+gβ€˜π‘…)(((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)((𝐹 + 𝐺)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
7372mpteq2dva 5239 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))(+gβ€˜π‘…)(((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))) = (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)((𝐹 + 𝐺)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
7411, 35, 733eqtrd 2768 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∘f (+gβ€˜π‘…)(((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΊ)) = (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)((𝐹 + 𝐺)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
755cmnmndd 19716 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
76 mndmgm 18666 . . . . 5 (𝑅 ∈ Mnd β†’ 𝑅 ∈ Mgm)
7775, 76syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mgm)
781, 2, 4, 77, 6, 7psdcl 22014 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
791, 2, 4, 77, 6, 9psdcl 22014 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΊ) ∈ 𝐡)
801, 2, 36, 37, 78, 79psradd 21812 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) + (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΊ)) = ((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∘f (+gβ€˜π‘…)(((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΊ)))
811, 2, 37, 77, 7, 9psraddcl 21813 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐡)
821, 2, 3, 4, 5, 6, 81psdval 22012 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜(𝐹 + 𝐺)) = (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)((𝐹 + 𝐺)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
8374, 80, 823eqtr4rd 2775 1 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜(𝐹 + 𝐺)) = ((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) + (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466  ifcif 4521   ↦ cmpt 5222  β—‘ccnv 5666   β€œ cima 5670   Fn wfn 6529  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ∘f cof 7662   ↑m cmap 8817  Fincfn 8936  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110  β„•cn 12210  β„•0cn0 12470  Basecbs 17145  +gcplusg 17198  Mgmcmgm 18563  Mndcmnd 18659  .gcmg 18987  CMndccmn 19692   mPwSer cmps 21768   mPSDer cpsd 21985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-seq 13965  df-struct 17081  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-tset 17217  df-0g 17388  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mulg 18988  df-cmn 19694  df-psr 21773  df-psd 22009
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator