MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusaddflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusaddflem 17360
Description: The operation of a quotient structure is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusaddf.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐‘… /s โˆผ ))
qusaddf.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
qusaddf.r (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘‰)
qusaddf.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘)
qusaddf.e (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆผ (๐‘ ยท ๐‘ž)))
qusaddf.c ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ ๐‘‰)
qusaddflem.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ )
qusaddflem.g (๐œ‘ โ†’ โˆ™ = โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
Assertion
Ref Expression
qusaddflem (๐œ‘ โ†’ โˆ™ :((๐‘‰ / โˆผ ) ร— (๐‘‰ / โˆผ ))โŸถ(๐‘‰ / โˆผ ))
Distinct variable groups:   ๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ, โˆผ   ๐น,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ   ๐‘‰,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ   ๐‘…,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ   ยท ,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ   โˆ™ ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘Ž,๐‘)   โˆ™ (๐‘ฅ)   ยท (๐‘Ž,๐‘)   ๐‘ˆ(๐‘ฅ,๐‘ž,๐‘,๐‘Ž,๐‘)   ๐น(๐‘ฅ)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ž,๐‘,๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem qusaddflem
StepHypRef Expression
1 qusaddf.u . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐‘… /s โˆผ ))
2 qusaddf.v . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
3 qusaddflem.f . . 3 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ )
4 qusaddf.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘‰)
5 fvex 6838 . . . . 5 (Baseโ€˜๐‘…) โˆˆ V
62, 5eqeltrdi 2845 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ V)
7 erex 8593 . . . 4 ( โˆผ Er ๐‘‰ โ†’ (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆผ โˆˆ V))
84, 6, 7sylc 65 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆผ โˆˆ V)
9 qusaddf.z . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘)
101, 2, 3, 8, 9quslem 17351 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’(๐‘‰ / โˆผ ))
11 qusaddf.c . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ ๐‘‰)
12 qusaddf.e . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆผ (๐‘ ยท ๐‘ž)))
134, 6, 3, 11, 12ercpbl 17357 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
14 qusaddflem.g . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ = โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
1510, 13, 14, 11imasaddflem 17338 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ :((๐‘‰ / โˆผ ) ร— (๐‘‰ / โˆผ ))โŸถ(๐‘‰ / โˆผ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  Vcvv 3441  {csn 4573  โŸจcop 4579  โˆช ciun 4941   class class class wbr 5092   โ†ฆ cmpt 5175   ร— cxp 5618  โŸถwf 6475  โ€˜cfv 6479  (class class class)co 7337   Er wer 8566  [cec 8567   / cqs 8568  Basecbs 17009   /s cqus 17313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-fo 6485  df-fv 6487  df-ov 7340  df-er 8569  df-ec 8571  df-qs 8575
This theorem is referenced by:  qusaddf  17362  qusmulf  17364
  Copyright terms: Public domain W3C validator