Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > qusaddflem | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The operation of a quotient structure is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
qusaddf.u | โข (๐ โ ๐ = (๐ /s โผ )) |
qusaddf.v | โข (๐ โ ๐ = (Baseโ๐ )) |
qusaddf.r | โข (๐ โ โผ Er ๐) |
qusaddf.z | โข (๐ โ ๐ โ ๐) |
qusaddf.e | โข (๐ โ ((๐ โผ ๐ โง ๐ โผ ๐) โ (๐ ยท ๐) โผ (๐ ยท ๐))) |
qusaddf.c | โข ((๐ โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โ (๐ ยท ๐) โ ๐) |
qusaddflem.f | โข ๐น = (๐ฅ โ ๐ โฆ [๐ฅ] โผ ) |
qusaddflem.g | โข (๐ โ โ = โช ๐ โ ๐ โช ๐ โ ๐ {โจโจ(๐นโ๐), (๐นโ๐)โฉ, (๐นโ(๐ ยท ๐))โฉ}) |
Ref | Expression |
---|---|
qusaddflem | โข (๐ โ โ :((๐ / โผ ) ร (๐ / โผ ))โถ(๐ / โผ )) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | qusaddf.u | . . 3 โข (๐ โ ๐ = (๐ /s โผ )) | |
2 | qusaddf.v | . . 3 โข (๐ โ ๐ = (Baseโ๐ )) | |
3 | qusaddflem.f | . . 3 โข ๐น = (๐ฅ โ ๐ โฆ [๐ฅ] โผ ) | |
4 | qusaddf.r | . . . 4 โข (๐ โ โผ Er ๐) | |
5 | fvex 6838 | . . . . 5 โข (Baseโ๐ ) โ V | |
6 | 2, 5 | eqeltrdi 2845 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ V) |
7 | erex 8593 | . . . 4 โข ( โผ Er ๐ โ (๐ โ V โ โผ โ V)) | |
8 | 4, 6, 7 | sylc 65 | . . 3 โข (๐ โ โผ โ V) |
9 | qusaddf.z | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐) | |
10 | 1, 2, 3, 8, 9 | quslem 17351 | . 2 โข (๐ โ ๐น:๐โontoโ(๐ / โผ )) |
11 | qusaddf.c | . . 3 โข ((๐ โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โ (๐ ยท ๐) โ ๐) | |
12 | qusaddf.e | . . 3 โข (๐ โ ((๐ โผ ๐ โง ๐ โผ ๐) โ (๐ ยท ๐) โผ (๐ ยท ๐))) | |
13 | 4, 6, 3, 11, 12 | ercpbl 17357 | . 2 โข ((๐ โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โ (((๐นโ๐) = (๐นโ๐) โง (๐นโ๐) = (๐นโ๐)) โ (๐นโ(๐ ยท ๐)) = (๐นโ(๐ ยท ๐)))) |
14 | qusaddflem.g | . 2 โข (๐ โ โ = โช ๐ โ ๐ โช ๐ โ ๐ {โจโจ(๐นโ๐), (๐นโ๐)โฉ, (๐นโ(๐ ยท ๐))โฉ}) | |
15 | 10, 13, 14, 11 | imasaddflem 17338 | 1 โข (๐ โ โ :((๐ / โผ ) ร (๐ / โผ ))โถ(๐ / โผ )) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 = wceq 1540 โ wcel 2105 Vcvv 3441 {csn 4573 โจcop 4579 โช ciun 4941 class class class wbr 5092 โฆ cmpt 5175 ร cxp 5618 โถwf 6475 โcfv 6479 (class class class)co 7337 Er wer 8566 [cec 8567 / cqs 8568 Basecbs 17009 /s cqus 17313 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2707 ax-sep 5243 ax-nul 5250 ax-pow 5308 ax-pr 5372 ax-un 7650 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rab 3404 df-v 3443 df-sbc 3728 df-csb 3844 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-nul 4270 df-if 4474 df-pw 4549 df-sn 4574 df-pr 4576 df-op 4580 df-uni 4853 df-iun 4943 df-br 5093 df-opab 5155 df-mpt 5176 df-id 5518 df-xp 5626 df-rel 5627 df-cnv 5628 df-co 5629 df-dm 5630 df-rn 5631 df-res 5632 df-ima 5633 df-iota 6431 df-fun 6481 df-fn 6482 df-f 6483 df-fo 6485 df-fv 6487 df-ov 7340 df-er 8569 df-ec 8571 df-qs 8575 |
This theorem is referenced by: qusaddf 17362 qusmulf 17364 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |