MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusmulf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusmulf 17543
Description: The multiplication in a quotient structure as a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusaddf.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐‘… /s โˆผ ))
qusaddf.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
qusaddf.r (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘‰)
qusaddf.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘)
qusaddf.e (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆผ (๐‘ ยท ๐‘ž)))
qusaddf.c ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ ๐‘‰)
qusmulf.p ยท = (.rโ€˜๐‘…)
qusmulf.a โˆ™ = (.rโ€˜๐‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
qusmulf (๐œ‘ โ†’ โˆ™ :((๐‘‰ / โˆผ ) ร— (๐‘‰ / โˆผ ))โŸถ(๐‘‰ / โˆผ ))
Distinct variable groups:   ๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž, โˆผ   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐‘‰,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐‘…,๐‘,๐‘ž   ยท ,๐‘,๐‘ž   โˆ™ ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘Ž,๐‘)   ยท (๐‘Ž,๐‘)   ๐‘ˆ(๐‘ž,๐‘,๐‘Ž,๐‘)   ๐‘(๐‘ž,๐‘,๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem qusmulf
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusaddf.u . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐‘… /s โˆผ ))
2 qusaddf.v . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
3 qusaddf.r . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘‰)
4 qusaddf.z . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘)
5 qusaddf.e . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆผ (๐‘ ยท ๐‘ž)))
6 qusaddf.c . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ ๐‘‰)
7 eqid 2727 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ )
8 fvex 6913 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) โˆˆ V
92, 8eqeltrdi 2836 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ V)
10 erex 8753 . . . . 5 ( โˆผ Er ๐‘‰ โ†’ (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆผ โˆˆ V))
113, 9, 10sylc 65 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆผ โˆˆ V)
121, 2, 7, 11, 4qusval 17529 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ ) โ€œs ๐‘…))
131, 2, 7, 11, 4quslem 17530 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ ):๐‘‰โ€“ontoโ†’(๐‘‰ / โˆผ ))
14 qusmulf.p . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
15 qusmulf.a . . 3 โˆ™ = (.rโ€˜๐‘ˆ)
1612, 2, 13, 4, 14, 15imasmulr 17505 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ = โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ )โ€˜๐‘), ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ )โ€˜๐‘ž)โŸฉ, ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ )โ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 16qusaddflem 17539 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ :((๐‘‰ / โˆผ ) ร— (๐‘‰ / โˆผ ))โŸถ(๐‘‰ / โˆผ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3471   class class class wbr 5150   โ†ฆ cmpt 5233   ร— cxp 5678  โŸถwf 6547  โ€˜cfv 6551  (class class class)co 7424   Er wer 8726  [cec 8727   / cqs 8728  Basecbs 17185  .rcmulr 17239   /s cqus 17492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-ec 8731  df-qs 8735  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-struct 17121  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-imas 17495  df-qus 17496
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator