MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusmulf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusmulf 17509
Description: The multiplication in a quotient structure as a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusaddf.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐‘… /s โˆผ ))
qusaddf.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
qusaddf.r (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘‰)
qusaddf.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘)
qusaddf.e (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆผ (๐‘ ยท ๐‘ž)))
qusaddf.c ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ ๐‘‰)
qusmulf.p ยท = (.rโ€˜๐‘…)
qusmulf.a โˆ™ = (.rโ€˜๐‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
qusmulf (๐œ‘ โ†’ โˆ™ :((๐‘‰ / โˆผ ) ร— (๐‘‰ / โˆผ ))โŸถ(๐‘‰ / โˆผ ))
Distinct variable groups:   ๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž, โˆผ   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐‘‰,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐‘…,๐‘,๐‘ž   ยท ,๐‘,๐‘ž   โˆ™ ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘Ž,๐‘)   ยท (๐‘Ž,๐‘)   ๐‘ˆ(๐‘ž,๐‘,๐‘Ž,๐‘)   ๐‘(๐‘ž,๐‘,๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem qusmulf
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusaddf.u . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐‘… /s โˆผ ))
2 qusaddf.v . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
3 qusaddf.r . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘‰)
4 qusaddf.z . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘)
5 qusaddf.e . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆผ (๐‘ ยท ๐‘ž)))
6 qusaddf.c . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ ๐‘‰)
7 eqid 2726 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ )
8 fvex 6897 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) โˆˆ V
92, 8eqeltrdi 2835 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ V)
10 erex 8726 . . . . 5 ( โˆผ Er ๐‘‰ โ†’ (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆผ โˆˆ V))
113, 9, 10sylc 65 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆผ โˆˆ V)
121, 2, 7, 11, 4qusval 17495 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ ) โ€œs ๐‘…))
131, 2, 7, 11, 4quslem 17496 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ ):๐‘‰โ€“ontoโ†’(๐‘‰ / โˆผ ))
14 qusmulf.p . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
15 qusmulf.a . . 3 โˆ™ = (.rโ€˜๐‘ˆ)
1612, 2, 13, 4, 14, 15imasmulr 17471 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ = โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ )โ€˜๐‘), ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ )โ€˜๐‘ž)โŸฉ, ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ )โ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 16qusaddflem 17505 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ :((๐‘‰ / โˆผ ) ร— (๐‘‰ / โˆผ ))โŸถ(๐‘‰ / โˆผ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224   ร— cxp 5667  โŸถwf 6532  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   Er wer 8699  [cec 8700   / cqs 8701  Basecbs 17151  .rcmulr 17205   /s cqus 17458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-imas 17461  df-qus 17462
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator