Theorem quslem 17254

Description: The function in qusval 17253 is a surjection onto a quotient set. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusval.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ∼ ))
qusval.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
qusval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ )
qusval.e	⊢ (𝜑 → ∼ ∈ 𝑊)
qusval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
quslem	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→(𝑉 / ∼ ))

Distinct variable groups:   𝑥, ∼   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem quslem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusval.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ 𝑊)
2		ecexg 8502	. . . . . 6 ⊢ ( ∼ ∈ 𝑊 → [𝑥] ∼ ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → [𝑥] ∼ ∈ V)
4	3	ralrimivw 3104	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 [𝑥] ∼ ∈ V)
5		qusval.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ )
6	5	fnmpt 6573	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 [𝑥] ∼ ∈ V → 𝐹 Fn 𝑉)
7	4, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑉)
8		dffn4 6694	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝑉 ↔ 𝐹:𝑉–onto→ran 𝐹)
9	7, 8	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→ran 𝐹)
10	5	rnmpt 5864	. . . 4 ⊢ ran 𝐹 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑦 = [𝑥] ∼ }
11		df-qs 8504	. . . 4 ⊢ (𝑉 / ∼ ) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑦 = [𝑥] ∼ }
12	10, 11	eqtr4i 2769	. . 3 ⊢ ran 𝐹 = (𝑉 / ∼ )
13		foeq3 6686	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 = (𝑉 / ∼ ) → (𝐹:𝑉–onto→ran 𝐹 ↔ 𝐹:𝑉–onto→(𝑉 / ∼ )))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→ran 𝐹 ↔ 𝐹:𝑉–onto→(𝑉 / ∼ ))
15	9, 14	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→(𝑉 / ∼ ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ↦ cmpt 5157  ran crn 5590   Fn wfn 6428  –onto→wfo 6431  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  [cec 8496   / cqs 8497  Basecbs 16912   /_s cqus 17216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-fun 6435  df-fn 6436  df-fo 6439  df-ec 8500  df-qs 8504

This theorem is referenced by:  qusbas  17256  quss  17257  qusaddvallem  17262  qusaddflem  17263  qusaddval  17264  qusaddf  17265  qusmulval  17266  qusmulf  17267  qusgrp2  18693  qusring2  19859  znzrhfo  20755  qustps  22873  qustgpopn  23271  qustgplem  23272  qustgphaus  23274  qusker  31549  qusscaval  31552  quslmod  31554  quslmhm  31555  qusdimsum  31709