![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > qusaddvallem | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of an operation defined on a quotient structure. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
qusaddf.u | โข (๐ โ ๐ = (๐ /s โผ )) |
qusaddf.v | โข (๐ โ ๐ = (Baseโ๐ )) |
qusaddf.r | โข (๐ โ โผ Er ๐) |
qusaddf.z | โข (๐ โ ๐ โ ๐) |
qusaddf.e | โข (๐ โ ((๐ โผ ๐ โง ๐ โผ ๐) โ (๐ ยท ๐) โผ (๐ ยท ๐))) |
qusaddf.c | โข ((๐ โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โ (๐ ยท ๐) โ ๐) |
qusaddflem.f | โข ๐น = (๐ฅ โ ๐ โฆ [๐ฅ] โผ ) |
qusaddflem.g | โข (๐ โ โ = โช ๐ โ ๐ โช ๐ โ ๐ {โจโจ(๐นโ๐), (๐นโ๐)โฉ, (๐นโ(๐ ยท ๐))โฉ}) |
Ref | Expression |
---|---|
qusaddvallem | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ ([๐] โผ โ [๐] โผ ) = [(๐ ยท ๐)] โผ ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | qusaddf.u | . . . 4 โข (๐ โ ๐ = (๐ /s โผ )) | |
2 | qusaddf.v | . . . 4 โข (๐ โ ๐ = (Baseโ๐ )) | |
3 | qusaddflem.f | . . . 4 โข ๐น = (๐ฅ โ ๐ โฆ [๐ฅ] โผ ) | |
4 | qusaddf.r | . . . . 5 โข (๐ โ โผ Er ๐) | |
5 | fvex 6905 | . . . . . 6 โข (Baseโ๐ ) โ V | |
6 | 2, 5 | eqeltrdi 2842 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ V) |
7 | erex 8727 | . . . . 5 โข ( โผ Er ๐ โ (๐ โ V โ โผ โ V)) | |
8 | 4, 6, 7 | sylc 65 | . . . 4 โข (๐ โ โผ โ V) |
9 | qusaddf.z | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ ๐) | |
10 | 1, 2, 3, 8, 9 | quslem 17489 | . . 3 โข (๐ โ ๐น:๐โontoโ(๐ / โผ )) |
11 | qusaddf.c | . . . 4 โข ((๐ โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โ (๐ ยท ๐) โ ๐) | |
12 | qusaddf.e | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ โผ ๐ โง ๐ โผ ๐) โ (๐ ยท ๐) โผ (๐ ยท ๐))) | |
13 | 4, 6, 3, 11, 12 | ercpbl 17495 | . . 3 โข ((๐ โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โ (((๐นโ๐) = (๐นโ๐) โง (๐นโ๐) = (๐นโ๐)) โ (๐นโ(๐ ยท ๐)) = (๐นโ(๐ ยท ๐)))) |
14 | qusaddflem.g | . . 3 โข (๐ โ โ = โช ๐ โ ๐ โช ๐ โ ๐ {โจโจ(๐นโ๐), (๐นโ๐)โฉ, (๐นโ(๐ ยท ๐))โฉ}) | |
15 | 10, 13, 14 | imasaddvallem 17475 | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ ((๐นโ๐) โ (๐นโ๐)) = (๐นโ(๐ ยท ๐))) |
16 | 4 | 3ad2ant1 1134 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ โผ Er ๐) |
17 | 6 | 3ad2ant1 1134 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ V) |
18 | 16, 17, 3 | divsfval 17493 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = [๐] โผ ) |
19 | 16, 17, 3 | divsfval 17493 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = [๐] โผ ) |
20 | 18, 19 | oveq12d 7427 | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ ((๐นโ๐) โ (๐นโ๐)) = ([๐] โผ โ [๐] โผ )) |
21 | 16, 17, 3 | divsfval 17493 | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ(๐ ยท ๐)) = [(๐ ยท ๐)] โผ ) |
22 | 15, 20, 21 | 3eqtr3d 2781 | 1 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ ([๐] โผ โ [๐] โผ ) = [(๐ ยท ๐)] โผ ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 Vcvv 3475 {csn 4629 โจcop 4635 โช ciun 4998 class class class wbr 5149 โฆ cmpt 5232 โcfv 6544 (class class class)co 7409 Er wer 8700 [cec 8701 / cqs 8702 Basecbs 17144 /s cqus 17451 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-id 5575 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-fo 6550 df-fv 6552 df-ov 7412 df-er 8703 df-ec 8705 df-qs 8709 |
This theorem is referenced by: qusaddval 17499 qusmulval 17501 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |