MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusaddvallem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusaddvallem 17497
Description: Value of an operation defined on a quotient structure. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusaddf.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐‘… /s โˆผ ))
qusaddf.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
qusaddf.r (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘‰)
qusaddf.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘)
qusaddf.e (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆผ (๐‘ ยท ๐‘ž)))
qusaddf.c ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ ๐‘‰)
qusaddflem.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ )
qusaddflem.g (๐œ‘ โ†’ โˆ™ = โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
Assertion
Ref Expression
qusaddvallem ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ([๐‘‹] โˆผ โˆ™ [๐‘Œ] โˆผ ) = [(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)] โˆผ )
Distinct variable groups:   ๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ, โˆผ   ๐น,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ   ๐‘‰,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ   ๐‘…,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ   ยท ,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ   ๐‘‹,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ   โˆ™ ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐‘Œ,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘Ž,๐‘)   โˆ™ (๐‘ฅ)   ยท (๐‘Ž,๐‘)   ๐‘ˆ(๐‘ฅ,๐‘ž,๐‘,๐‘Ž,๐‘)   ๐น(๐‘ฅ)   ๐‘‹(๐‘Ž,๐‘)   ๐‘Œ(๐‘Ž,๐‘)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ž,๐‘,๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem qusaddvallem
StepHypRef Expression
1 qusaddf.u . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐‘… /s โˆผ ))
2 qusaddf.v . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
3 qusaddflem.f . . . 4 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ )
4 qusaddf.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘‰)
5 fvex 6905 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) โˆˆ V
62, 5eqeltrdi 2842 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ V)
7 erex 8727 . . . . 5 ( โˆผ Er ๐‘‰ โ†’ (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆผ โˆˆ V))
84, 6, 7sylc 65 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆผ โˆˆ V)
9 qusaddf.z . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘)
101, 2, 3, 8, 9quslem 17489 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’(๐‘‰ / โˆผ ))
11 qusaddf.c . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ ๐‘‰)
12 qusaddf.e . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆผ (๐‘ ยท ๐‘ž)))
134, 6, 3, 11, 12ercpbl 17495 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
14 qusaddflem.g . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ = โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
1510, 13, 14imasaddvallem 17475 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘‹) โˆ™ (๐นโ€˜๐‘Œ)) = (๐นโ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
1643ad2ant1 1134 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ โˆผ Er ๐‘‰)
1763ad2ant1 1134 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ V)
1816, 17, 3divsfval 17493 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐นโ€˜๐‘‹) = [๐‘‹] โˆผ )
1916, 17, 3divsfval 17493 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Œ) = [๐‘Œ] โˆผ )
2018, 19oveq12d 7427 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘‹) โˆ™ (๐นโ€˜๐‘Œ)) = ([๐‘‹] โˆผ โˆ™ [๐‘Œ] โˆผ ))
2116, 17, 3divsfval 17493 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = [(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)] โˆผ )
2215, 20, 213eqtr3d 2781 1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ([๐‘‹] โˆผ โˆ™ [๐‘Œ] โˆผ ) = [(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)] โˆผ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3475  {csn 4629  โŸจcop 4635  โˆช ciun 4998   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   Er wer 8700  [cec 8701   / cqs 8702  Basecbs 17144   /s cqus 17451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fo 6550  df-fv 6552  df-ov 7412  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709
This theorem is referenced by:  qusaddval  17499  qusmulval  17501
  Copyright terms: Public domain W3C validator