MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusaddval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusaddval 17544
Description: The addition in a quotient structure. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusaddf.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐‘… /s โˆผ ))
qusaddf.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
qusaddf.r (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘‰)
qusaddf.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘)
qusaddf.e (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆผ (๐‘ ยท ๐‘ž)))
qusaddf.c ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ ๐‘‰)
qusaddf.p ยท = (+gโ€˜๐‘…)
qusaddf.a โˆ™ = (+gโ€˜๐‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
qusaddval ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ([๐‘‹] โˆผ โˆ™ [๐‘Œ] โˆผ ) = [(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)] โˆผ )
Distinct variable groups:   ๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž, โˆผ   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐‘‰,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐‘…,๐‘,๐‘ž   ยท ,๐‘,๐‘ž   ๐‘‹,๐‘,๐‘ž   โˆ™ ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐‘Œ,๐‘,๐‘ž
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘Ž,๐‘)   ยท (๐‘Ž,๐‘)   ๐‘ˆ(๐‘ž,๐‘,๐‘Ž,๐‘)   ๐‘‹(๐‘Ž,๐‘)   ๐‘Œ(๐‘Ž,๐‘)   ๐‘(๐‘ž,๐‘,๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem qusaddval
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusaddf.u . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐‘… /s โˆผ ))
2 qusaddf.v . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
3 qusaddf.r . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘‰)
4 qusaddf.z . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘)
5 qusaddf.e . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆผ (๐‘ ยท ๐‘ž)))
6 qusaddf.c . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ ๐‘‰)
7 eqid 2728 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ )
8 fvex 6915 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) โˆˆ V
92, 8eqeltrdi 2837 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ V)
10 erex 8757 . . . . 5 ( โˆผ Er ๐‘‰ โ†’ (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆผ โˆˆ V))
113, 9, 10sylc 65 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆผ โˆˆ V)
121, 2, 7, 11, 4qusval 17533 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ ) โ€œs ๐‘…))
131, 2, 7, 11, 4quslem 17534 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ ):๐‘‰โ€“ontoโ†’(๐‘‰ / โˆผ ))
14 qusaddf.p . . 3 ยท = (+gโ€˜๐‘…)
15 qusaddf.a . . 3 โˆ™ = (+gโ€˜๐‘ˆ)
1612, 2, 13, 4, 14, 15imasplusg 17508 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ = โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ )โ€˜๐‘), ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ )โ€˜๐‘ž)โŸฉ, ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ )โ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 16qusaddvallem 17542 1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ([๐‘‹] โˆผ โˆ™ [๐‘Œ] โˆผ ) = [(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)] โˆผ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3473   class class class wbr 5152   โ†ฆ cmpt 5235  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   Er wer 8730  [cec 8731   / cqs 8732  Basecbs 17189  +gcplusg 17242   /s cqus 17496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-ec 8735  df-qs 8739  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-imas 17499  df-qus 17500
This theorem is referenced by:  qusadd  19157  qus0subgadd  19168  frgpadd  19732  pi1addval  25003  rlocaddval  33015
  Copyright terms: Public domain W3C validator