Theorem qusaddval 17639

Description: The addition in a quotient structure. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusaddf.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ∼ ))
qusaddf.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
qusaddf.r	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑉)
qusaddf.z	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
qusaddf.e	⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∼ 𝑝 ∧ 𝑏 ∼ 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) ∼ (𝑝 · 𝑞)))
qusaddf.c	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
qusaddf.p	⊢ · = (+g‘𝑅)
qusaddf.a	⊢ ∙ = (+g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
qusaddval	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋] ∼ ∙ [𝑌] ∼ ) = [(𝑋 · 𝑌)] ∼ )

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞, ∼   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝,𝑞   ∙ ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑌,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎, 𝑏)   · (𝑎, 𝑏)   𝑈(𝑞, 𝑝, 𝑎, 𝑏)   𝑋(𝑎, 𝑏)   𝑌(𝑎, 𝑏)   𝑍(𝑞, 𝑝, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem qusaddval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusaddf.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ∼ ))
2		qusaddf.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		qusaddf.r	. 2 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑉)
4		qusaddf.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
5		qusaddf.e	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∼ 𝑝 ∧ 𝑏 ∼ 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) ∼ (𝑝 · 𝑞)))
6		qusaddf.c	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
7		eqid 2760	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ ) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ )
8		fvex 6891	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
9	2, 8	eqeltrdi 2868	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
10		erex 8721	. . . . 5 ⊢ ( ∼ Er 𝑉 → (𝑉 ∈ V → ∼ ∈ V))
11	3, 9, 10	sylc 66	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
12	1, 2, 7, 11, 4	qusval 17628	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ ) “s 𝑅))
13	1, 2, 7, 11, 4	quslem 17629	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ ):𝑉–onto→(𝑉 / ∼ ))
14		qusaddf.p	. . 3 ⊢ · = (+g‘𝑅)
15		qusaddf.a	. . 3 ⊢ ∙ = (+g‘𝑈)
16	12, 2, 13, 4, 14, 15	imasplusg 17603	. 2 ⊢ (𝜑 → ∙ = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ )‘𝑝), ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ )‘𝑞)⟩, ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ )‘(𝑝 · 𝑞))⟩})
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 16	qusaddvallem 17637	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋] ∼ ∙ [𝑌] ∼ ) = [(𝑋 · 𝑌)] ∼ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   Er wer 8693  [cec 8694   / cqs 8695  Basecbs 17301  +_gcplusg 17342   /_s cqus 17591

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-fz 13562  df-struct 17239  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-imas 17594  df-qus 17595

This theorem is used by:  qusadd  19316  qus0subgadd  19327  frgpadd  19890  pi1addval  25276  rlocaddval  33709