MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusmulval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusmulval 17438
Description: The base set of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusaddf.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐‘… /s โˆผ ))
qusaddf.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
qusaddf.r (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘‰)
qusaddf.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘)
qusaddf.e (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆผ (๐‘ ยท ๐‘ž)))
qusaddf.c ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ ๐‘‰)
qusmulf.p ยท = (.rโ€˜๐‘…)
qusmulf.a โˆ™ = (.rโ€˜๐‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
qusmulval ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ([๐‘‹] โˆผ โˆ™ [๐‘Œ] โˆผ ) = [(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)] โˆผ )
Distinct variable groups:   ๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž, โˆผ   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐‘‰,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐‘…,๐‘,๐‘ž   ยท ,๐‘,๐‘ž   ๐‘‹,๐‘,๐‘ž   โˆ™ ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐‘Œ,๐‘,๐‘ž
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘Ž,๐‘)   ยท (๐‘Ž,๐‘)   ๐‘ˆ(๐‘ž,๐‘,๐‘Ž,๐‘)   ๐‘‹(๐‘Ž,๐‘)   ๐‘Œ(๐‘Ž,๐‘)   ๐‘(๐‘ž,๐‘,๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem qusmulval
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusaddf.u . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐‘… /s โˆผ ))
2 qusaddf.v . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
3 qusaddf.r . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘‰)
4 qusaddf.z . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘)
5 qusaddf.e . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆผ (๐‘ ยท ๐‘ž)))
6 qusaddf.c . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ ๐‘‰)
7 eqid 2737 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ )
8 fvex 6856 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) โˆˆ V
92, 8eqeltrdi 2846 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ V)
10 erex 8673 . . . . 5 ( โˆผ Er ๐‘‰ โ†’ (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆผ โˆˆ V))
113, 9, 10sylc 65 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆผ โˆˆ V)
121, 2, 7, 11, 4qusval 17425 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ ) โ€œs ๐‘…))
131, 2, 7, 11, 4quslem 17426 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ ):๐‘‰โ€“ontoโ†’(๐‘‰ / โˆผ ))
14 qusmulf.p . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
15 qusmulf.a . . 3 โˆ™ = (.rโ€˜๐‘ˆ)
1612, 2, 13, 4, 14, 15imasmulr 17401 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ = โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ )โ€˜๐‘), ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ )โ€˜๐‘ž)โŸฉ, ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ฅ] โˆผ )โ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 16qusaddvallem 17434 1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ([๐‘‹] โˆผ โˆ™ [๐‘Œ] โˆผ ) = [(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)] โˆผ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3446   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   Er wer 8646  [cec 8647   / cqs 8648  Basecbs 17084  .rcmulr 17135   /s cqus 17388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-ec 8651  df-qs 8655  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-imas 17391  df-qus 17392
This theorem is referenced by:  qusrhm  20710  quscrng  20713  qsidomlem1  32228  qsidomlem2  32229
  Copyright terms: Public domain W3C validator