Theorem gsumzadd 19852

Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzadd.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumzadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumzadd.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzadd.fn	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
gsumzadd.hn	⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
gsumzadd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumzadd.c	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))
gsumzadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
gsumzadd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gsumzadd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumzadd

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzadd.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumzadd.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumzadd.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsumzadd.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5		gsumzadd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		gsumzadd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		gsumzadd.fn	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
8		gsumzadd.hn	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
9		eqid 2729	. 2 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐻) supp 0 ) = ((𝐹 ∪ 𝐻) supp 0 )
10		gsumzadd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
11		gsumzadd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
12	1	submss 18736	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
14	10, 13	fssd 6705	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
15		gsumzadd.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝑆)
16	15, 13	fssd 6705	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
17		gsumzadd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))
18	10	frnd 6696	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝑆)
19	4	cntzidss 19272	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑆) → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
20	17, 18, 19	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
21	15	frnd 6696	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ 𝑆)
22	4	cntzidss 19272	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ ran 𝐻 ⊆ 𝑆) → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
23	17, 21, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
24	3	submcl 18739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
25	24	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
26	11, 25	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
27		inidm 4190	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
28	26, 10, 15, 6, 6, 27	off 7671	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐻):𝐴⟶𝑆)
29	28	frnd 6696	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ∘f + 𝐻) ⊆ 𝑆)
30	4	cntzidss 19272	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ ran (𝐹 ∘f + 𝐻) ⊆ 𝑆) → ran (𝐹 ∘f + 𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹 ∘f + 𝐻)))
31	17, 29, 30	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ∘f + 𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹 ∘f + 𝐻)))
32	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))
33	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
34	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝐺 ∈ Mnd)
35		vex 3451	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑥 ∈ V)
37	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
38		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
39		fssres 6726	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻:𝐴⟶𝑆 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶𝑆)
40	15, 38, 39	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶𝑆)
41	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
42		resss 5972	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ 𝐻
43	42	rnssi 5904	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ran 𝐻
44	4	cntzidss 19272	. . . . . . . 8 ⊢ ((ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻) ∧ ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ran 𝐻) → ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ (𝑍‘ran (𝐻 ↾ 𝑥)))
45	41, 43, 44	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ (𝑍‘ran (𝐻 ↾ 𝑥)))
46	15	ffund 6692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐻)
47	46	funresd 6559	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐻 ↾ 𝑥))
48	47	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → Fun (𝐻 ↾ 𝑥))
49	8	fsuppimpd 9320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 supp 0 ) ∈ Fin)
50	49	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐻 supp 0 ) ∈ Fin)
51	15, 6	fexd 7201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
52	2	fvexi 6872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
53		ressuppss 8162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
54	51, 52, 53	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
56	50, 55	ssfid 9212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)
57		resfunexg 7189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐻 ↾ 𝑥) ∈ V)
58	46, 35, 57	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ↾ 𝑥) ∈ V)
59		isfsupp 9316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐻 ↾ 𝑥) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻 ↾ 𝑥) ∧ ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
60	58, 52, 59	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻 ↾ 𝑥) ∧ ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
61	60	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ((𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻 ↾ 𝑥) ∧ ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
62	48, 56, 61	mpbir2and 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 )
63	2, 4, 34, 36, 37, 40, 45, 62	gsumzsubmcl 19848	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥)) ∈ 𝑆)
64	63	snssd 4773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → {(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ 𝑆)
65	1, 4	cntz2ss 19267	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ {(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ 𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
66	33, 64, 65	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
67	32, 66	sstrd 3957	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
68		eldifi 4094	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
69	68	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
70		ffvelcdm 7053	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
71	10, 69, 70	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
72	67, 71	sseldd 3947	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
73	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 16, 20, 23, 31, 72	gsumzaddlem 19851	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914  {csn 4589   class class class wbr 5107  ran crn 5639   ↾ cres 5640  Fun wfun 6505  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∘_f cof 7651   supp csupp 8139  Fincfn 8918   finSupp cfsupp 9312  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  Mndcmnd 18661  SubMndcsubmnd 18709  Cntzccntz 19247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-cntz 19249

This theorem is referenced by:  gsumadd  19853  gsumzsplit  19857