Theorem gsumzadd 19849

Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzadd.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumzadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumzadd.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzadd.fn	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
gsumzadd.hn	⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
gsumzadd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumzadd.c	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))
gsumzadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
gsumzadd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gsumzadd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumzadd

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzadd.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumzadd.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumzadd.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsumzadd.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5		gsumzadd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		gsumzadd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		gsumzadd.fn	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
8		gsumzadd.hn	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
9		eqid 2734	. 2 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐻) supp 0 ) = ((𝐹 ∪ 𝐻) supp 0 )
10		gsumzadd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
11		gsumzadd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
12	1	submss 18732	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
14	10, 13	fssd 6677	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
15		gsumzadd.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝑆)
16	15, 13	fssd 6677	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
17		gsumzadd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))
18	10	frnd 6668	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝑆)
19	4	cntzidss 19267	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑆) → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
20	17, 18, 19	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
21	15	frnd 6668	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ 𝑆)
22	4	cntzidss 19267	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ ran 𝐻 ⊆ 𝑆) → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
23	17, 21, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
24	3	submcl 18735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
25	24	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
26	11, 25	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
27		inidm 4177	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
28	26, 10, 15, 6, 6, 27	off 7638	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐻):𝐴⟶𝑆)
29	28	frnd 6668	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ∘f + 𝐻) ⊆ 𝑆)
30	4	cntzidss 19267	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ ran (𝐹 ∘f + 𝐻) ⊆ 𝑆) → ran (𝐹 ∘f + 𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹 ∘f + 𝐻)))
31	17, 29, 30	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ∘f + 𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹 ∘f + 𝐻)))
32	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))
33	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
34	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝐺 ∈ Mnd)
35		vex 3442	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑥 ∈ V)
37	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
38		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
39		fssres 6698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻:𝐴⟶𝑆 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶𝑆)
40	15, 38, 39	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶𝑆)
41	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
42		resss 5958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ 𝐻
43	42	rnssi 5887	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ran 𝐻
44	4	cntzidss 19267	. . . . . . . 8 ⊢ ((ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻) ∧ ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ran 𝐻) → ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ (𝑍‘ran (𝐻 ↾ 𝑥)))
45	41, 43, 44	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ (𝑍‘ran (𝐻 ↾ 𝑥)))
46	15	ffund 6664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐻)
47	46	funresd 6533	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐻 ↾ 𝑥))
48	47	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → Fun (𝐻 ↾ 𝑥))
49	8	fsuppimpd 9270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 supp 0 ) ∈ Fin)
50	49	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐻 supp 0 ) ∈ Fin)
51	15, 6	fexd 7171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
52	2	fvexi 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
53		ressuppss 8123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
54	51, 52, 53	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
56	50, 55	ssfid 9167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)
57		resfunexg 7159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐻 ↾ 𝑥) ∈ V)
58	46, 35, 57	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ↾ 𝑥) ∈ V)
59		isfsupp 9266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐻 ↾ 𝑥) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻 ↾ 𝑥) ∧ ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
60	58, 52, 59	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻 ↾ 𝑥) ∧ ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
61	60	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ((𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻 ↾ 𝑥) ∧ ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
62	48, 56, 61	mpbir2and 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 )
63	2, 4, 34, 36, 37, 40, 45, 62	gsumzsubmcl 19845	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥)) ∈ 𝑆)
64	63	snssd 4763	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → {(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ 𝑆)
65	1, 4	cntz2ss 19262	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ {(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ 𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
66	33, 64, 65	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
67	32, 66	sstrd 3942	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
68		eldifi 4081	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
69	68	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
70		ffvelcdm 7024	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
71	10, 69, 70	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
72	67, 71	sseldd 3932	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
73	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 16, 20, 23, 31, 72	gsumzaddlem 19848	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4578   class class class wbr 5096  ran crn 5623   ↾ cres 5624  Fun wfun 6484  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618   supp csupp 8100  Fincfn 8881   finSupp cfsupp 9262  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  0_gc0g 17357   Σ_g cgsu 17358  Mndcmnd 18657  SubMndcsubmnd 18705  Cntzccntz 19242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-cntz 19244

This theorem is referenced by:  gsumadd  19850  gsumzsplit  19854