MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzadd 19699
Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzadd.0 0 = (0g𝐺)
gsumzadd.p + = (+g𝐺)
gsumzadd.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzadd.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumzadd.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumzadd.fn (𝜑𝐹 finSupp 0 )
gsumzadd.hn (𝜑𝐻 finSupp 0 )
gsumzadd.s (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumzadd.c (𝜑𝑆 ⊆ (𝑍𝑆))
gsumzadd.f (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
gsumzadd.h (𝜑𝐻:𝐴𝑆)
Assertion
Ref Expression
gsumzadd (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumzadd
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzadd.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumzadd.0 . 2 0 = (0g𝐺)
3 gsumzadd.p . 2 + = (+g𝐺)
4 gsumzadd.z . 2 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5 gsumzadd.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
6 gsumzadd.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
7 gsumzadd.fn . 2 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
8 gsumzadd.hn . 2 (𝜑𝐻 finSupp 0 )
9 eqid 2736 . 2 ((𝐹𝐻) supp 0 ) = ((𝐹𝐻) supp 0 )
10 gsumzadd.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
11 gsumzadd.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
121submss 18620 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆𝐵)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑𝑆𝐵)
1410, 13fssd 6686 . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
15 gsumzadd.h . . 3 (𝜑𝐻:𝐴𝑆)
1615, 13fssd 6686 . 2 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
17 gsumzadd.c . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑍𝑆))
1810frnd 6676 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹𝑆)
194cntzidss 19118 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ ran 𝐹𝑆) → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
2017, 18, 19syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
2115frnd 6676 . . 3 (𝜑 → ran 𝐻𝑆)
224cntzidss 19118 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ ran 𝐻𝑆) → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
2317, 21, 22syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
243submcl 18623 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
25243expb 1120 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2611, 25sylan 580 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
27 inidm 4178 . . . . 5 (𝐴𝐴) = 𝐴
2826, 10, 15, 6, 6, 27off 7635 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f + 𝐻):𝐴𝑆)
2928frnd 6676 . . 3 (𝜑 → ran (𝐹f + 𝐻) ⊆ 𝑆)
304cntzidss 19118 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ ran (𝐹f + 𝐻) ⊆ 𝑆) → ran (𝐹f + 𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹f + 𝐻)))
3117, 29, 30syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ran (𝐹f + 𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹f + 𝐻)))
3217adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆))
3313adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → 𝑆𝐵)
345adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → 𝐺 ∈ Mnd)
35 vex 3449 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
3635a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → 𝑥 ∈ V)
3711adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
38 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥)) → 𝑥𝐴)
39 fssres 6708 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐴𝑆𝑥𝐴) → (𝐻𝑥):𝑥𝑆)
4015, 38, 39syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝐻𝑥):𝑥𝑆)
4123adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
42 resss 5962 . . . . . . . . 9 (𝐻𝑥) ⊆ 𝐻
4342rnssi 5895 . . . . . . . 8 ran (𝐻𝑥) ⊆ ran 𝐻
444cntzidss 19118 . . . . . . . 8 ((ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻) ∧ ran (𝐻𝑥) ⊆ ran 𝐻) → ran (𝐻𝑥) ⊆ (𝑍‘ran (𝐻𝑥)))
4541, 43, 44sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → ran (𝐻𝑥) ⊆ (𝑍‘ran (𝐻𝑥)))
4615ffund 6672 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Fun 𝐻)
4746funresd 6544 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun (𝐻𝑥))
4847adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → Fun (𝐻𝑥))
498fsuppimpd 9312 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻 supp 0 ) ∈ Fin)
5049adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝐻 supp 0 ) ∈ Fin)
5115, 6fexd 7177 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ∈ V)
522fvexi 6856 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
53 ressuppss 8114 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐻𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
5451, 52, 53sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐻𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
5554adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → ((𝐻𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
5650, 55ssfid 9211 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → ((𝐻𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)
57 resfunexg 7165 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐻𝑥 ∈ V) → (𝐻𝑥) ∈ V)
5846, 35, 57sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻𝑥) ∈ V)
59 isfsupp 9309 . . . . . . . . . 10 (((𝐻𝑥) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐻𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻𝑥) ∧ ((𝐻𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
6058, 52, 59sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐻𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻𝑥) ∧ ((𝐻𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
6160adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → ((𝐻𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻𝑥) ∧ ((𝐻𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
6248, 56, 61mpbir2and 711 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝐻𝑥) finSupp 0 )
632, 4, 34, 36, 37, 40, 45, 62gsumzsubmcl 19695 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝐺 Σg (𝐻𝑥)) ∈ 𝑆)
6463snssd 4769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → {(𝐺 Σg (𝐻𝑥))} ⊆ 𝑆)
651, 4cntz2ss 19113 . . . . 5 ((𝑆𝐵 ∧ {(𝐺 Σg (𝐻𝑥))} ⊆ 𝑆) → (𝑍𝑆) ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))}))
6633, 64, 65syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝑍𝑆) ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))}))
6732, 66sstrd 3954 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))}))
68 eldifi 4086 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐴𝑥) → 𝑘𝐴)
6968adantl 482 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥)) → 𝑘𝐴)
70 ffvelcdm 7032 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑆𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
7110, 69, 70syl2an 596 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
7267, 71sseldd 3945 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))}))
731, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 16, 20, 23, 31, 72gsumzaddlem 19698 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105  ran crn 5634  cres 5635  Fun wfun 6490  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615   supp csupp 8092  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556  SubMndcsubmnd 18600  Cntzccntz 19095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-cntz 19097
This theorem is referenced by:  gsumadd  19700  gsumzsplit  19704
  Copyright terms: Public domain W3C validator