Theorem gsumzadd 20052

Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzadd.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumzadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumzadd.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzadd.fn	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
gsumzadd.hn	⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
gsumzadd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumzadd.c	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))
gsumzadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
gsumzadd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gsumzadd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumzadd

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzadd.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumzadd.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumzadd.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsumzadd.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5		gsumzadd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		gsumzadd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		gsumzadd.fn	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
8		gsumzadd.hn	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
9		eqid 2760	. 2 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐻) supp 0 ) = ((𝐹 ∪ 𝐻) supp 0 )
10		gsumzadd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
11		gsumzadd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
12	1	submss 18920	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
13	11, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
14	10, 13	fssd 6721	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
15		gsumzadd.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝑆)
16	15, 13	fssd 6721	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
17		gsumzadd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))
18	10	frnd 6712	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝑆)
19	4	cntzidss 19470	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑆) → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
20	17, 18, 19	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
21	15	frnd 6712	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ 𝑆)
22	4	cntzidss 19470	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ ran 𝐻 ⊆ 𝑆) → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
23	17, 21, 22	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
24	3	submcl 18923	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
25	24	3expb 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
26	11, 25	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
27		inidm 4172	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
28	26, 10, 15, 6, 6, 27	off 7697	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐻):𝐴⟶𝑆)
29	28	frnd 6712	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ∘f + 𝐻) ⊆ 𝑆)
30	4	cntzidss 19470	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ ran (𝐹 ∘f + 𝐻) ⊆ 𝑆) → ran (𝐹 ∘f + 𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹 ∘f + 𝐻)))
31	17, 29, 30	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ∘f + 𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹 ∘f + 𝐻)))
32	17	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))
33	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
34	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝐺 ∈ Mnd)
35		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑥 ∈ V)
37	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
38		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
39		fssres 6742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻:𝐴⟶𝑆 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶𝑆)
40	15, 38, 39	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶𝑆)
41	23	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
42		resss 5994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ 𝐻
43	42	rnssi 5924	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ran 𝐻
44	4	cntzidss 19470	. . . . . . . 8 ⊢ ((ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻) ∧ ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ran 𝐻) → ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ (𝑍‘ran (𝐻 ↾ 𝑥)))
45	41, 43, 44	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ (𝑍‘ran (𝐻 ↾ 𝑥)))
46	15	ffund 6708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐻)
47	46	funresd 6577	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐻 ↾ 𝑥))
48	47	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → Fun (𝐻 ↾ 𝑥))
49	8	fsuppimpd 9342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 supp 0 ) ∈ Fin)
50	49	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐻 supp 0 ) ∈ Fin)
51	15, 6	fexd 7227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
52	2	fvexi 6893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
53		ressuppss 8182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
54	51, 52, 53	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
55	54	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
56	50, 55	ssfid 9242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)
57		resfunexg 7215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐻 ↾ 𝑥) ∈ V)
58	46, 35, 57	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ↾ 𝑥) ∈ V)
59		isfsupp 9338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐻 ↾ 𝑥) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻 ↾ 𝑥) ∧ ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
60	58, 52, 59	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻 ↾ 𝑥) ∧ ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
61	60	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ((𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻 ↾ 𝑥) ∧ ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
62	48, 56, 61	mpbir2and 726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 )
63	2, 4, 34, 36, 37, 40, 45, 62	gsumzsubmcl 20048	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥)) ∈ 𝑆)
64	63	snssd 4747	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → {(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ 𝑆)
65	1, 4	cntz2ss 19465	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ {(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ 𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
66	33, 64, 65	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
67	32, 66	sstrd 3941	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
68		eldifi 4078	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
69	68	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
70		ffvelcdm 7075	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
71	10, 69, 70	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
72	67, 71	sseldd 3932	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
73	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 16, 20, 23, 31, 72	gsumzaddlem 20051	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103  ran crn 5656   ↾ cres 5657  Fun wfun 6527  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ∘_f cof 7677   supp csupp 8159  Fincfn 8955   finSupp cfsupp 9334  Basecbs 17304  +_gcplusg 17345  0_gc0g 17527   Σ_g cgsu 17528  Mndcmnd 18839  SubMndcsubmnd 18893  Cntzccntz 19445

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-hash 14398  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-cntz 19447

This theorem is used by:  gsumadd  20053  gsumzsplit  20057