MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzadd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem gsumzadd 19790
Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzadd.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
gsumzadd.0 0 = (0gβ€˜πΊ)
gsumzadd.p + = (+gβ€˜πΊ)
gsumzadd.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
gsumzadd.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzadd.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzadd.fn (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
gsumzadd.hn (πœ‘ β†’ 𝐻 finSupp 0 )
gsumzadd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
gsumzadd.c (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†))
gsumzadd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
gsumzadd.h (πœ‘ β†’ 𝐻:π΄βŸΆπ‘†)
Assertion
Ref Expression
gsumzadd (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Ξ£g 𝐹) + (𝐺 Ξ£g 𝐻)))
Proof of Theorem gsumzadd
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzadd.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 gsumzadd.0 . 2 0 = (0gβ€˜πΊ)
3 gsumzadd.p . 2 + = (+gβ€˜πΊ)
4 gsumzadd.z . 2 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
5 gsumzadd.g . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
6 gsumzadd.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
7 gsumzadd.fn . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
8 gsumzadd.hn . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 finSupp 0 )
9 eqid 2733 . 2 ((𝐹 βˆͺ 𝐻) supp 0 ) = ((𝐹 βˆͺ 𝐻) supp 0 )
10 gsumzadd.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
11 gsumzadd.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
121submss 18690 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
1311, 12syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
1410, 13fssd 6736 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
15 gsumzadd.h . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻:π΄βŸΆπ‘†)
1615, 13fssd 6736 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐴⟢𝐡)
17 gsumzadd.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†))
1810frnd 6726 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝑆)
194cntzidss 19204 . . 3 ((𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
2017, 18, 19syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
2115frnd 6726 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† 𝑆)
224cntzidss 19204 . . 3 ((𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†) ∧ ran 𝐻 βŠ† 𝑆) β†’ ran 𝐻 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐻))
2317, 21, 22syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐻))
243submcl 18693 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
25243expb 1121 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
2611, 25sylan 581 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
27 inidm 4219 . . . . 5 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
2826, 10, 15, 6, 6, 27off 7688 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐻):π΄βŸΆπ‘†)
2928frnd 6726 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f + 𝐻) βŠ† 𝑆)
304cntzidss 19204 . . 3 ((𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†) ∧ ran (𝐹 ∘f + 𝐻) βŠ† 𝑆) β†’ ran (𝐹 ∘f + 𝐻) βŠ† (π‘β€˜ran (𝐹 ∘f + 𝐻)))
3117, 29, 30syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f + 𝐻) βŠ† (π‘β€˜ran (𝐹 ∘f + 𝐻)))
3217adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ 𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†))
3313adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
345adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
35 vex 3479 . . . . . . . 8 π‘₯ ∈ V
3635a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ V)
3711adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
38 simpl 484 . . . . . . . 8 ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝐴)
39 fssres 6758 . . . . . . . 8 ((𝐻:π΄βŸΆπ‘† ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘†)
4015, 38, 39syl2an 597 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘†)
4123adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ ran 𝐻 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐻))
42 resss 6007 . . . . . . . . 9 (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† 𝐻
4342rnssi 5940 . . . . . . . 8 ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† ran 𝐻
444cntzidss 19204 . . . . . . . 8 ((ran 𝐻 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐻) ∧ ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† ran 𝐻) β†’ ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† (π‘β€˜ran (𝐻 β†Ύ π‘₯)))
4541, 43, 44sylancl 587 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† (π‘β€˜ran (𝐻 β†Ύ π‘₯)))
4615ffund 6722 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Fun 𝐻)
4746funresd 6592 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Fun (𝐻 β†Ύ π‘₯))
4847adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ Fun (𝐻 β†Ύ π‘₯))
498fsuppimpd 9369 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐻 supp 0 ) ∈ Fin)
5049adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐻 supp 0 ) ∈ Fin)
5115, 6fexd 7229 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ V)
522fvexi 6906 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
53 ressuppss 8168 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) supp 0 ) βŠ† (𝐻 supp 0 ))
5451, 52, 53sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) supp 0 ) βŠ† (𝐻 supp 0 ))
5554adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) supp 0 ) βŠ† (𝐻 supp 0 ))
5650, 55ssfid 9267 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) supp 0 ) ∈ Fin)
57 resfunexg 7217 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐻 ∧ π‘₯ ∈ V) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯) ∈ V)
5846, 35, 57sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯) ∈ V)
59 isfsupp 9365 . . . . . . . . . 10 (((𝐻 β†Ύ π‘₯) ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻 β†Ύ π‘₯) ∧ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) supp 0 ) ∈ Fin)))
6058, 52, 59sylancl 587 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻 β†Ύ π‘₯) ∧ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) supp 0 ) ∈ Fin)))
6160adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻 β†Ύ π‘₯) ∧ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) supp 0 ) ∈ Fin)))
6248, 56, 61mpbir2and 712 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯) finSupp 0 )
632, 4, 34, 36, 37, 40, 45, 62gsumzsubmcl 19786 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯)) ∈ 𝑆)
6463snssd 4813 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ {(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))} βŠ† 𝑆)
651, 4cntz2ss 19199 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ {(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))} βŠ† 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘†) βŠ† (π‘β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))}))
6633, 64, 65syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ (π‘β€˜π‘†) βŠ† (π‘β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))}))
6732, 66sstrd 3993 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ 𝑆 βŠ† (π‘β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))}))
68 eldifi 4127 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
6968adantl 483 . . . 4 ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯)) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
70 ffvelcdm 7084 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆπ‘† ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑆)
7110, 69, 70syl2an 597 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑆)
7267, 71sseldd 3984 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))}))
731, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 16, 20, 23, 31, 72gsumzaddlem 19789 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Ξ£g 𝐹) + (𝐺 Ξ£g 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668   supp csupp 8146  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9361  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  0gc0g 17385   Ξ£g cgsu 17386  Mndcmnd 18625  SubMndcsubmnd 18670  Cntzccntz 19179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-cntz 19181
This theorem is referenced by:  gsumadd  19791  gsumzsplit  19795
  Copyright terms: Public domain W3C validator