MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzadd 19707
Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzadd.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
gsumzadd.0 0 = (0gβ€˜πΊ)
gsumzadd.p + = (+gβ€˜πΊ)
gsumzadd.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
gsumzadd.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzadd.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzadd.fn (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
gsumzadd.hn (πœ‘ β†’ 𝐻 finSupp 0 )
gsumzadd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
gsumzadd.c (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†))
gsumzadd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
gsumzadd.h (πœ‘ β†’ 𝐻:π΄βŸΆπ‘†)
Assertion
Ref Expression
gsumzadd (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Ξ£g 𝐹) + (𝐺 Ξ£g 𝐻)))

Proof of Theorem gsumzadd
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzadd.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 gsumzadd.0 . 2 0 = (0gβ€˜πΊ)
3 gsumzadd.p . 2 + = (+gβ€˜πΊ)
4 gsumzadd.z . 2 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
5 gsumzadd.g . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
6 gsumzadd.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
7 gsumzadd.fn . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
8 gsumzadd.hn . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 finSupp 0 )
9 eqid 2733 . 2 ((𝐹 βˆͺ 𝐻) supp 0 ) = ((𝐹 βˆͺ 𝐻) supp 0 )
10 gsumzadd.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
11 gsumzadd.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
121submss 18628 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
1311, 12syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
1410, 13fssd 6690 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
15 gsumzadd.h . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻:π΄βŸΆπ‘†)
1615, 13fssd 6690 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐴⟢𝐡)
17 gsumzadd.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†))
1810frnd 6680 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝑆)
194cntzidss 19126 . . 3 ((𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
2017, 18, 19syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
2115frnd 6680 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† 𝑆)
224cntzidss 19126 . . 3 ((𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†) ∧ ran 𝐻 βŠ† 𝑆) β†’ ran 𝐻 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐻))
2317, 21, 22syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐻))
243submcl 18631 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
25243expb 1121 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
2611, 25sylan 581 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
27 inidm 4182 . . . . 5 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
2826, 10, 15, 6, 6, 27off 7639 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐻):π΄βŸΆπ‘†)
2928frnd 6680 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f + 𝐻) βŠ† 𝑆)
304cntzidss 19126 . . 3 ((𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†) ∧ ran (𝐹 ∘f + 𝐻) βŠ† 𝑆) β†’ ran (𝐹 ∘f + 𝐻) βŠ† (π‘β€˜ran (𝐹 ∘f + 𝐻)))
3117, 29, 30syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f + 𝐻) βŠ† (π‘β€˜ran (𝐹 ∘f + 𝐻)))
3217adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ 𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†))
3313adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
345adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
35 vex 3451 . . . . . . . 8 π‘₯ ∈ V
3635a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ V)
3711adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
38 simpl 484 . . . . . . . 8 ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝐴)
39 fssres 6712 . . . . . . . 8 ((𝐻:π΄βŸΆπ‘† ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘†)
4015, 38, 39syl2an 597 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘†)
4123adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ ran 𝐻 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐻))
42 resss 5966 . . . . . . . . 9 (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† 𝐻
4342rnssi 5899 . . . . . . . 8 ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† ran 𝐻
444cntzidss 19126 . . . . . . . 8 ((ran 𝐻 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐻) ∧ ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† ran 𝐻) β†’ ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† (π‘β€˜ran (𝐻 β†Ύ π‘₯)))
4541, 43, 44sylancl 587 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† (π‘β€˜ran (𝐻 β†Ύ π‘₯)))
4615ffund 6676 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Fun 𝐻)
4746funresd 6548 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Fun (𝐻 β†Ύ π‘₯))
4847adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ Fun (𝐻 β†Ύ π‘₯))
498fsuppimpd 9319 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐻 supp 0 ) ∈ Fin)
5049adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐻 supp 0 ) ∈ Fin)
5115, 6fexd 7181 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ V)
522fvexi 6860 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
53 ressuppss 8118 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) supp 0 ) βŠ† (𝐻 supp 0 ))
5451, 52, 53sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) supp 0 ) βŠ† (𝐻 supp 0 ))
5554adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) supp 0 ) βŠ† (𝐻 supp 0 ))
5650, 55ssfid 9217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) supp 0 ) ∈ Fin)
57 resfunexg 7169 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐻 ∧ π‘₯ ∈ V) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯) ∈ V)
5846, 35, 57sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯) ∈ V)
59 isfsupp 9315 . . . . . . . . . 10 (((𝐻 β†Ύ π‘₯) ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻 β†Ύ π‘₯) ∧ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) supp 0 ) ∈ Fin)))
6058, 52, 59sylancl 587 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻 β†Ύ π‘₯) ∧ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) supp 0 ) ∈ Fin)))
6160adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻 β†Ύ π‘₯) ∧ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) supp 0 ) ∈ Fin)))
6248, 56, 61mpbir2and 712 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯) finSupp 0 )
632, 4, 34, 36, 37, 40, 45, 62gsumzsubmcl 19703 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯)) ∈ 𝑆)
6463snssd 4773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ {(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))} βŠ† 𝑆)
651, 4cntz2ss 19121 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ {(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))} βŠ† 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘†) βŠ† (π‘β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))}))
6633, 64, 65syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ (π‘β€˜π‘†) βŠ† (π‘β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))}))
6732, 66sstrd 3958 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ 𝑆 βŠ† (π‘β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))}))
68 eldifi 4090 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
6968adantl 483 . . . 4 ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯)) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
70 ffvelcdm 7036 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆπ‘† ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑆)
7110, 69, 70syl2an 597 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑆)
7267, 71sseldd 3949 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))}))
731, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 16, 20, 23, 31, 72gsumzaddlem 19706 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Ξ£g 𝐹) + (𝐺 Ξ£g 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βˆͺ cun 3912   βŠ† wss 3914  {csn 4590   class class class wbr 5109  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639  Fun wfun 6494  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∘f cof 7619   supp csupp 8096  Fincfn 8889   finSupp cfsupp 9311  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  0gc0g 17329   Ξ£g cgsu 17330  Mndcmnd 18564  SubMndcsubmnd 18608  Cntzccntz 19103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-cntz 19105
This theorem is referenced by:  gsumadd  19708  gsumzsplit  19712
  Copyright terms: Public domain W3C validator