Theorem gsumzadd 19801

Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzadd.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumzadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumzadd.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzadd.fn	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
gsumzadd.hn	⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
gsumzadd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumzadd.c	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))
gsumzadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
gsumzadd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gsumzadd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumzadd

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzadd.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumzadd.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumzadd.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsumzadd.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5		gsumzadd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		gsumzadd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		gsumzadd.fn	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
8		gsumzadd.hn	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
9		eqid 2729	. 2 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐻) supp 0 ) = ((𝐹 ∪ 𝐻) supp 0 )
10		gsumzadd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
11		gsumzadd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
12	1	submss 18683	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
14	10, 13	fssd 6669	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
15		gsumzadd.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝑆)
16	15, 13	fssd 6669	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
17		gsumzadd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))
18	10	frnd 6660	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝑆)
19	4	cntzidss 19219	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑆) → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
20	17, 18, 19	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
21	15	frnd 6660	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ 𝑆)
22	4	cntzidss 19219	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ ran 𝐻 ⊆ 𝑆) → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
23	17, 21, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
24	3	submcl 18686	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
25	24	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
26	11, 25	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
27		inidm 4178	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
28	26, 10, 15, 6, 6, 27	off 7631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐻):𝐴⟶𝑆)
29	28	frnd 6660	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ∘f + 𝐻) ⊆ 𝑆)
30	4	cntzidss 19219	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ ran (𝐹 ∘f + 𝐻) ⊆ 𝑆) → ran (𝐹 ∘f + 𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹 ∘f + 𝐻)))
31	17, 29, 30	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ∘f + 𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹 ∘f + 𝐻)))
32	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))
33	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
34	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝐺 ∈ Mnd)
35		vex 3440	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑥 ∈ V)
37	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
38		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
39		fssres 6690	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻:𝐴⟶𝑆 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶𝑆)
40	15, 38, 39	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶𝑆)
41	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
42		resss 5952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ 𝐻
43	42	rnssi 5882	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ran 𝐻
44	4	cntzidss 19219	. . . . . . . 8 ⊢ ((ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻) ∧ ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ran 𝐻) → ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ (𝑍‘ran (𝐻 ↾ 𝑥)))
45	41, 43, 44	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ (𝑍‘ran (𝐻 ↾ 𝑥)))
46	15	ffund 6656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐻)
47	46	funresd 6525	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐻 ↾ 𝑥))
48	47	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → Fun (𝐻 ↾ 𝑥))
49	8	fsuppimpd 9259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 supp 0 ) ∈ Fin)
50	49	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐻 supp 0 ) ∈ Fin)
51	15, 6	fexd 7163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
52	2	fvexi 6836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
53		ressuppss 8116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
54	51, 52, 53	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
56	50, 55	ssfid 9158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)
57		resfunexg 7151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐻 ↾ 𝑥) ∈ V)
58	46, 35, 57	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ↾ 𝑥) ∈ V)
59		isfsupp 9255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐻 ↾ 𝑥) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻 ↾ 𝑥) ∧ ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
60	58, 52, 59	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻 ↾ 𝑥) ∧ ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
61	60	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ((𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻 ↾ 𝑥) ∧ ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
62	48, 56, 61	mpbir2and 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 )
63	2, 4, 34, 36, 37, 40, 45, 62	gsumzsubmcl 19797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥)) ∈ 𝑆)
64	63	snssd 4760	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → {(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ 𝑆)
65	1, 4	cntz2ss 19214	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ {(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ 𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
66	33, 64, 65	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
67	32, 66	sstrd 3946	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
68		eldifi 4082	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
69	68	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
70		ffvelcdm 7015	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
71	10, 69, 70	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
72	67, 71	sseldd 3936	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
73	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 16, 20, 23, 31, 72	gsumzaddlem 19800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  {csn 4577   class class class wbr 5092  ran crn 5620   ↾ cres 5621  Fun wfun 6476  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∘_f cof 7611   supp csupp 8093  Fincfn 8872   finSupp cfsupp 9251  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  0_gc0g 17343   Σ_g cgsu 17344  Mndcmnd 18608  SubMndcsubmnd 18656  Cntzccntz 19194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-cntz 19196

This theorem is referenced by:  gsumadd  19802  gsumzsplit  19806