MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzadd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem gsumzadd 19831
Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzadd.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
gsumzadd.0 0 = (0gβ€˜πΊ)
gsumzadd.p + = (+gβ€˜πΊ)
gsumzadd.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
gsumzadd.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzadd.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzadd.fn (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
gsumzadd.hn (πœ‘ β†’ 𝐻 finSupp 0 )
gsumzadd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
gsumzadd.c (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†))
gsumzadd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
gsumzadd.h (πœ‘ β†’ 𝐻:π΄βŸΆπ‘†)
Assertion
Ref Expression
gsumzadd (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Ξ£g 𝐹) + (𝐺 Ξ£g 𝐻)))
Proof of Theorem gsumzadd
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzadd.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 gsumzadd.0 . 2 0 = (0gβ€˜πΊ)
3 gsumzadd.p . 2 + = (+gβ€˜πΊ)
4 gsumzadd.z . 2 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
5 gsumzadd.g . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
6 gsumzadd.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
7 gsumzadd.fn . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
8 gsumzadd.hn . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 finSupp 0 )
9 eqid 2730 . 2 ((𝐹 βˆͺ 𝐻) supp 0 ) = ((𝐹 βˆͺ 𝐻) supp 0 )
10 gsumzadd.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
11 gsumzadd.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
121submss 18726 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
1311, 12syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
1410, 13fssd 6734 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
15 gsumzadd.h . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻:π΄βŸΆπ‘†)
1615, 13fssd 6734 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐴⟢𝐡)
17 gsumzadd.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†))
1810frnd 6724 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝑆)
194cntzidss 19245 . . 3 ((𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
2017, 18, 19syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
2115frnd 6724 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† 𝑆)
224cntzidss 19245 . . 3 ((𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†) ∧ ran 𝐻 βŠ† 𝑆) β†’ ran 𝐻 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐻))
2317, 21, 22syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐻))
243submcl 18729 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
25243expb 1118 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
2611, 25sylan 578 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
27 inidm 4217 . . . . 5 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
2826, 10, 15, 6, 6, 27off 7690 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐻):π΄βŸΆπ‘†)
2928frnd 6724 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f + 𝐻) βŠ† 𝑆)
304cntzidss 19245 . . 3 ((𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†) ∧ ran (𝐹 ∘f + 𝐻) βŠ† 𝑆) β†’ ran (𝐹 ∘f + 𝐻) βŠ† (π‘β€˜ran (𝐹 ∘f + 𝐻)))
3117, 29, 30syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f + 𝐻) βŠ† (π‘β€˜ran (𝐹 ∘f + 𝐻)))
3217adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ 𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†))
3313adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
345adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
35 vex 3476 . . . . . . . 8 π‘₯ ∈ V
3635a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ V)
3711adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
38 simpl 481 . . . . . . . 8 ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝐴)
39 fssres 6756 . . . . . . . 8 ((𝐻:π΄βŸΆπ‘† ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘†)
4015, 38, 39syl2an 594 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘†)
4123adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ ran 𝐻 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐻))
42 resss 6005 . . . . . . . . 9 (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† 𝐻
4342rnssi 5938 . . . . . . . 8 ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† ran 𝐻
444cntzidss 19245 . . . . . . . 8 ((ran 𝐻 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐻) ∧ ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† ran 𝐻) β†’ ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† (π‘β€˜ran (𝐻 β†Ύ π‘₯)))
4541, 43, 44sylancl 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† (π‘β€˜ran (𝐻 β†Ύ π‘₯)))
4615ffund 6720 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Fun 𝐻)
4746funresd 6590 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Fun (𝐻 β†Ύ π‘₯))
4847adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ Fun (𝐻 β†Ύ π‘₯))
498fsuppimpd 9371 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐻 supp 0 ) ∈ Fin)
5049adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐻 supp 0 ) ∈ Fin)
5115, 6fexd 7230 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ V)
522fvexi 6904 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
53 ressuppss 8170 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) supp 0 ) βŠ† (𝐻 supp 0 ))
5451, 52, 53sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) supp 0 ) βŠ† (𝐻 supp 0 ))
5554adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) supp 0 ) βŠ† (𝐻 supp 0 ))
5650, 55ssfid 9269 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) supp 0 ) ∈ Fin)
57 resfunexg 7218 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐻 ∧ π‘₯ ∈ V) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯) ∈ V)
5846, 35, 57sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯) ∈ V)
59 isfsupp 9367 . . . . . . . . . 10 (((𝐻 β†Ύ π‘₯) ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻 β†Ύ π‘₯) ∧ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) supp 0 ) ∈ Fin)))
6058, 52, 59sylancl 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻 β†Ύ π‘₯) ∧ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) supp 0 ) ∈ Fin)))
6160adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻 β†Ύ π‘₯) ∧ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) supp 0 ) ∈ Fin)))
6248, 56, 61mpbir2and 709 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯) finSupp 0 )
632, 4, 34, 36, 37, 40, 45, 62gsumzsubmcl 19827 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯)) ∈ 𝑆)
6463snssd 4811 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ {(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))} βŠ† 𝑆)
651, 4cntz2ss 19240 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ {(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))} βŠ† 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘†) βŠ† (π‘β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))}))
6633, 64, 65syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ (π‘β€˜π‘†) βŠ† (π‘β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))}))
6732, 66sstrd 3991 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ 𝑆 βŠ† (π‘β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))}))
68 eldifi 4125 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
6968adantl 480 . . . 4 ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯)) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
70 ffvelcdm 7082 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆπ‘† ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑆)
7110, 69, 70syl2an 594 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑆)
7267, 71sseldd 3982 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))}))
731, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 16, 20, 23, 31, 72gsumzaddlem 19830 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Ξ£g 𝐹) + (𝐺 Ξ£g 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670   supp csupp 8148  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  0gc0g 17389   Ξ£g cgsu 17390  Mndcmnd 18659  SubMndcsubmnd 18704  Cntzccntz 19220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-cntz 19222
This theorem is referenced by:  gsumadd  19832  gsumzsplit  19836
  Copyright terms: Public domain W3C validator