Theorem gsumzadd 19523

Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzadd.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumzadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumzadd.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzadd.fn	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
gsumzadd.hn	⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
gsumzadd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumzadd.c	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))
gsumzadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
gsumzadd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gsumzadd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumzadd

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzadd.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumzadd.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumzadd.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsumzadd.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5		gsumzadd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		gsumzadd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		gsumzadd.fn	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
8		gsumzadd.hn	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
9		eqid 2738	. 2 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐻) supp 0 ) = ((𝐹 ∪ 𝐻) supp 0 )
10		gsumzadd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
11		gsumzadd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
12	1	submss 18448	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
14	10, 13	fssd 6618	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
15		gsumzadd.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝑆)
16	15, 13	fssd 6618	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
17		gsumzadd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))
18	10	frnd 6608	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝑆)
19	4	cntzidss 18944	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑆) → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
20	17, 18, 19	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
21	15	frnd 6608	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ 𝑆)
22	4	cntzidss 18944	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ ran 𝐻 ⊆ 𝑆) → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
23	17, 21, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
24	3	submcl 18451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
25	24	3expb 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
26	11, 25	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
27		inidm 4152	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
28	26, 10, 15, 6, 6, 27	off 7551	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐻):𝐴⟶𝑆)
29	28	frnd 6608	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ∘f + 𝐻) ⊆ 𝑆)
30	4	cntzidss 18944	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ ran (𝐹 ∘f + 𝐻) ⊆ 𝑆) → ran (𝐹 ∘f + 𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹 ∘f + 𝐻)))
31	17, 29, 30	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ∘f + 𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹 ∘f + 𝐻)))
32	17	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))
33	13	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
34	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝐺 ∈ Mnd)
35		vex 3436	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑥 ∈ V)
37	11	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
38		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
39		fssres 6640	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻:𝐴⟶𝑆 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶𝑆)
40	15, 38, 39	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶𝑆)
41	23	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
42		resss 5916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ 𝐻
43	42	rnssi 5849	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ran 𝐻
44	4	cntzidss 18944	. . . . . . . 8 ⊢ ((ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻) ∧ ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ran 𝐻) → ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ (𝑍‘ran (𝐻 ↾ 𝑥)))
45	41, 43, 44	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ (𝑍‘ran (𝐻 ↾ 𝑥)))
46	15	ffund 6604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐻)
47	46	funresd 6477	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐻 ↾ 𝑥))
48	47	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → Fun (𝐻 ↾ 𝑥))
49	8	fsuppimpd 9135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 supp 0 ) ∈ Fin)
50	49	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐻 supp 0 ) ∈ Fin)
51	15, 6	fexd 7103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
52	2	fvexi 6788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
53		ressuppss 7999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
54	51, 52, 53	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
55	54	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
56	50, 55	ssfid 9042	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)
57		resfunexg 7091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐻 ↾ 𝑥) ∈ V)
58	46, 35, 57	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ↾ 𝑥) ∈ V)
59		isfsupp 9132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐻 ↾ 𝑥) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻 ↾ 𝑥) ∧ ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
60	58, 52, 59	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻 ↾ 𝑥) ∧ ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
61	60	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → ((𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻 ↾ 𝑥) ∧ ((𝐻 ↾ 𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
62	48, 56, 61	mpbir2and 710	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 )
63	2, 4, 34, 36, 37, 40, 45, 62	gsumzsubmcl 19519	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥)) ∈ 𝑆)
64	63	snssd 4742	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → {(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ 𝑆)
65	1, 4	cntz2ss 18939	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ {(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ 𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
66	33, 64, 65	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
67	32, 66	sstrd 3931	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
68		eldifi 4061	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
69	68	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
70		ffvelrn 6959	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
71	10, 69, 70	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
72	67, 71	sseldd 3922	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
73	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 16, 20, 23, 31, 72	gsumzaddlem 19522	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887  {csn 4561   class class class wbr 5074  ran crn 5590   ↾ cres 5591  Fun wfun 6427  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∘_f cof 7531   supp csupp 7977  Fincfn 8733   finSupp cfsupp 9128  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  0_gc0g 17150   Σ_g cgsu 17151  Mndcmnd 18385  SubMndcsubmnd 18429  Cntzccntz 18921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-cntz 18923

This theorem is referenced by:  gsumadd  19524  gsumzsplit  19528