Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzadd Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
gsumzadd (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzadd.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumzadd.0 . 2 0 = (0g𝐺)
3 gsumzadd.p . 2 + = (+g𝐺)
4 gsumzadd.z . 2 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5 gsumzadd.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
7 gsumzadd.fn . 2 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
8 gsumzadd.hn . 2 (𝜑𝐻 finSupp 0 )
9 eqid 2777 . 2 ((𝐹𝐻) supp 0 ) = ((𝐹𝐻) supp 0 )
10 gsumzadd.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
11 gsumzadd.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
121submss 17736 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆𝐵)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑𝑆𝐵)
1410, 13fssd 6305 . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
15 gsumzadd.h . . 3 (𝜑𝐻:𝐴𝑆)
1615, 13fssd 6305 . 2 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
17 gsumzadd.c . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑍𝑆))
1810frnd 6298 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹𝑆)
194cntzidss 18153 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ ran 𝐹𝑆) → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
2017, 18, 19syl2anc 579 . 2 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
2115frnd 6298 . . 3 (𝜑 → ran 𝐻𝑆)
224cntzidss 18153 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ ran 𝐻𝑆) → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
2317, 21, 22syl2anc 579 . 2 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
243submcl 17739 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
25243expb 1110 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2611, 25sylan 575 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
27 inidm 4042 . . . . 5 (𝐴𝐴) = 𝐴
2826, 10, 15, 6, 6, 27off 7189 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐻):𝐴𝑆)
2928frnd 6298 . . 3 (𝜑 → ran (𝐹𝑓 + 𝐻) ⊆ 𝑆)
304cntzidss 18153 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ ran (𝐹𝑓 + 𝐻) ⊆ 𝑆) → ran (𝐹𝑓 + 𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹𝑓 + 𝐻)))
3117, 29, 30syl2anc 579 . 2 (𝜑 → ran (𝐹𝑓 + 𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹𝑓 + 𝐻)))
3217adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆))
3313adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → 𝑆𝐵)
345adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → 𝐺 ∈ Mnd)
35 vex 3400 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
3635a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → 𝑥 ∈ V)
3711adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
38 simpl 476 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥)) → 𝑥𝐴)
39 fssres 6320 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐴𝑆𝑥𝐴) → (𝐻𝑥):𝑥𝑆)
4015, 38, 39syl2an 589 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝐻𝑥):𝑥𝑆)
4123adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻))
42 resss 5671 . . . . . . . . 9 (𝐻𝑥) ⊆ 𝐻
43 rnss 5599 . . . . . . . . 9 ((𝐻𝑥) ⊆ 𝐻 → ran (𝐻𝑥) ⊆ ran 𝐻)
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (𝐻𝑥) ⊆ ran 𝐻
454cntzidss 18153 . . . . . . . 8 ((ran 𝐻 ⊆ (𝑍‘ran 𝐻) ∧ ran (𝐻𝑥) ⊆ ran 𝐻) → ran (𝐻𝑥) ⊆ (𝑍‘ran (𝐻𝑥)))
4641, 44, 45sylancl 580 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → ran (𝐻𝑥) ⊆ (𝑍‘ran (𝐻𝑥)))
4715ffund 6295 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Fun 𝐻)
48 funres 6177 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐻 → Fun (𝐻𝑥))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun (𝐻𝑥))
5049adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → Fun (𝐻𝑥))
518fsuppimpd 8570 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻 supp 0 ) ∈ Fin)
5251adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝐻 supp 0 ) ∈ Fin)
53 fex 6761 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻:𝐴𝑆𝐴𝑉) → 𝐻 ∈ V)
5415, 6, 53syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ∈ V)
552fvexi 6460 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
56 ressuppss 7595 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐻𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
5754, 55, 56sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐻𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
5857adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → ((𝐻𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 ))
59 ssfi 8468 . . . . . . . . 9 (((𝐻 supp 0 ) ∈ Fin ∧ ((𝐻𝑥) supp 0 ) ⊆ (𝐻 supp 0 )) → ((𝐻𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)
6052, 58, 59syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → ((𝐻𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)
61 resfunexg 6751 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐻𝑥 ∈ V) → (𝐻𝑥) ∈ V)
6247, 35, 61sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻𝑥) ∈ V)
63 isfsupp 8567 . . . . . . . . . 10 (((𝐻𝑥) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐻𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻𝑥) ∧ ((𝐻𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
6462, 55, 63sylancl 580 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐻𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻𝑥) ∧ ((𝐻𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
6564adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → ((𝐻𝑥) finSupp 0 ↔ (Fun (𝐻𝑥) ∧ ((𝐻𝑥) supp 0 ) ∈ Fin)))
6650, 60, 65mpbir2and 703 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝐻𝑥) finSupp 0 )
672, 4, 34, 36, 37, 40, 46, 66gsumzsubmcl 18704 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝐺 Σg (𝐻𝑥)) ∈ 𝑆)
6867snssd 4571 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → {(𝐺 Σg (𝐻𝑥))} ⊆ 𝑆)
691, 4cntz2ss 18148 . . . . 5 ((𝑆𝐵 ∧ {(𝐺 Σg (𝐻𝑥))} ⊆ 𝑆) → (𝑍𝑆) ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))}))
7033, 68, 69syl2anc 579 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝑍𝑆) ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))}))
7132, 70sstrd 3830 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))}))
72 eldifi 3954 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐴𝑥) → 𝑘𝐴)
7372adantl 475 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥)) → 𝑘𝐴)
74 ffvelrn 6621 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑆𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
7510, 73, 74syl2an 589 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
7671, 75sseldd 3821 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝑥))) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑍‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))}))
771, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 16, 20, 23, 31, 76gsumzaddlem 18707 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  Vcvv 3397   ∖ cdif 3788   ∪ cun 3789   ⊆ wss 3791  {csn 4397   class class class wbr 4886  ran crn 5356   ↾ cres 5357  Fun wfun 6129  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ∘𝑓 cof 7172   supp csupp 7576  Fincfn 8241   finSupp cfsupp 8563  Basecbs 16255  +gcplusg 16338  0gc0g 16486   Σg cgsu 16487  Mndcmnd 17680  SubMndcsubmnd 17720  Cntzccntz 18131 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-cntz 18133 This theorem is referenced by:  gsumadd  18709  gsumzsplit  18713
 Copyright terms: Public domain W3C validator