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Theorem tsmsres 23639
Description: Extend an infinite group sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsres.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tsmsres.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
tsmsres.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsres.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsres.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsres.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
tsmsres.s (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tsmsres (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums (𝐹 β†Ύ π‘Š)) = (𝐺 tsums 𝐹))
Proof of Theorem tsmsres
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑒 𝑦 𝑧 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4227 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∩ π‘Š) βŠ† 𝐴
21sspwi 4613 . . . . . . . . . . 11 𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) βŠ† 𝒫 𝐴
3 ssrin 4232 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) βŠ† 𝒫 𝐴 β†’ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) βŠ† (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) βŠ† (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
5 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin))
64, 5sselid 3979 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
7 elfpw 9350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ Fin))
87simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑧 βŠ† 𝐴)
98adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑧 βŠ† 𝐴)
109ssrind 4234 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑧 ∩ π‘Š) βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š))
11 elinel2 4195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
1211adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
13 inss1 4227 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑧
14 ssfi 9169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑧) β†’ (𝑧 ∩ π‘Š) ∈ Fin)
1512, 13, 14sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑧 ∩ π‘Š) ∈ Fin)
16 elfpw 9350 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∩ π‘Š) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ↔ ((𝑧 ∩ π‘Š) βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š) ∧ (𝑧 ∩ π‘Š) ∈ Fin))
1710, 15, 16sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑧 ∩ π‘Š) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin))
18 sseq2 4007 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑧 ∩ π‘Š) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑏 ↔ π‘Ž βŠ† (𝑧 ∩ π‘Š)))
19 ssin 4229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž βŠ† 𝑧 ∧ π‘Ž βŠ† π‘Š) ↔ π‘Ž βŠ† (𝑧 ∩ π‘Š))
2018, 19bitr4di 288 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑧 ∩ π‘Š) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑏 ↔ (π‘Ž βŠ† 𝑧 ∧ π‘Ž βŠ† π‘Š)))
21 reseq2 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (𝑧 ∩ π‘Š) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏) = ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š)))
22 inss2 4228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∩ π‘Š) βŠ† π‘Š
23 resabs1 6009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∩ π‘Š) βŠ† π‘Š β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š)) = (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š)))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š)) = (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))
2521, 24eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (𝑧 ∩ π‘Š) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏) = (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š)))
2625oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑧 ∩ π‘Š) β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))))
2726eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑧 ∩ π‘Š) β†’ ((𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))) ∈ 𝑒))
2820, 27imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑧 ∩ π‘Š) β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒) ↔ ((π‘Ž βŠ† 𝑧 ∧ π‘Ž βŠ† π‘Š) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))) ∈ 𝑒)))
2928rspcv 3608 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∩ π‘Š) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒) β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝑧 ∧ π‘Ž βŠ† π‘Š) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))) ∈ 𝑒)))
3017, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒) β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝑧 ∧ π‘Ž βŠ† π‘Š) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))) ∈ 𝑒)))
31 elfpw 9350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ↔ (π‘Ž βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ Fin))
3231simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) β†’ π‘Ž βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š))
3332ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ π‘Ž βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š))
34 inss2 4228 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∩ π‘Š) βŠ† π‘Š
3533, 34sstrdi 3993 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ π‘Ž βŠ† π‘Š)
3635biantrud 532 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑧 ↔ (π‘Ž βŠ† 𝑧 ∧ π‘Ž βŠ† π‘Š)))
37 tsmsres.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
38 tsmsres.z . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (0gβ€˜πΊ)
39 tsmsres.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
4039ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
41 tsmsres.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
4241ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
4342, 9fssresd 6755 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆπ΅)
44 tsmsres.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
4541, 44fexd 7225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
4645ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐹 ∈ V)
4738fvexi 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
48 ressuppss 8164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑧) supp 0 ) βŠ† (𝐹 supp 0 ))
4946, 47, 48sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑧) supp 0 ) βŠ† (𝐹 supp 0 ))
50 tsmsres.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† π‘Š)
5150ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† π‘Š)
5249, 51sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑧) supp 0 ) βŠ† π‘Š)
5347a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 0 ∈ V)
5443, 12, 53fdmfifsupp 9369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧) finSupp 0 )
5537, 38, 40, 12, 43, 52, 54gsumres 19775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝑧) β†Ύ π‘Š)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
56 resres 5992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 β†Ύ 𝑧) β†Ύ π‘Š) = (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))
5756oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝑧) β†Ύ π‘Š)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š)))
5855, 57eqtr3di 2787 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))))
5958eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))) ∈ 𝑒))
6036, 59imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ ((π‘Ž βŠ† 𝑧 ∧ π‘Ž βŠ† π‘Š) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))) ∈ 𝑒)))
6130, 60sylibrd 258 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
6261ralrimdva 3154 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
63 sseq1 4006 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘Ž β†’ (𝑦 βŠ† 𝑧 ↔ π‘Ž βŠ† 𝑧))
6463rspceaimv 3616 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
656, 62, 64syl6an 682 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
6665rexlimdva 3155 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
67 elfpw 9350 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
6867simplbi 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
6968adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
7069ssrind 4234 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š))
71 elinel2 4195 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
7271adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
73 inss1 4227 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑦
74 ssfi 9169 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑦) β†’ (𝑦 ∩ π‘Š) ∈ Fin)
7572, 73, 74sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑦 ∩ π‘Š) ∈ Fin)
76 elfpw 9350 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∩ π‘Š) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ↔ ((𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) ∈ Fin))
7770, 75, 76sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑦 ∩ π‘Š) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin))
7868ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
79 elfpw 9350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ↔ (𝑏 βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š) ∧ 𝑏 ∈ Fin))
8079simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) β†’ 𝑏 βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š))
8180adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ 𝑏 βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š))
8281, 1sstrdi 3993 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐴)
8378, 82unssd 4185 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝐴)
84 elinel2 4195 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) β†’ 𝑏 ∈ Fin)
85 unfi 9168 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑏) ∈ Fin)
8672, 84, 85syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑏) ∈ Fin)
87 elfpw 9350 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 βˆͺ 𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝑦 βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝐴 ∧ (𝑦 βˆͺ 𝑏) ∈ Fin))
8883, 86, 87sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
89 ssun1 4171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 βŠ† (𝑦 βˆͺ 𝑏)
90 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑏) β†’ 𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑏))
9189, 90sseqtrrid 4034 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑏) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑧)
92 pm5.5 361 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑏) β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
94 reseq2 5974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑏) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧) = (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)))
9594oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))))
9695eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑏) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) ∈ 𝑒))
9793, 96bitrd 278 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑏) β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) ∈ 𝑒))
9897rspcv 3608 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 βˆͺ 𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) ∈ 𝑒))
9988, 98syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) ∈ 𝑒))
10039ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
10186adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑏) ∈ Fin)
10241ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
10383adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝐴)
104102, 103fssresd 6755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)):(𝑦 βˆͺ 𝑏)⟢𝐡)
10545, 47jctir 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
106105ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
107 ressuppss 8164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) supp 0 ) βŠ† (𝐹 supp 0 ))
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) supp 0 ) βŠ† (𝐹 supp 0 ))
10950ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† π‘Š)
110108, 109sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) supp 0 ) βŠ† π‘Š)
11147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ 0 ∈ V)
112104, 101, 111fdmfifsupp 9369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) finSupp 0 )
11337, 38, 100, 101, 104, 110, 112gsumres 19775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) β†Ύ π‘Š)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))))
114 resres 5992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) β†Ύ π‘Š) = (𝐹 β†Ύ ((𝑦 βˆͺ 𝑏) ∩ π‘Š))
115 indir 4274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 βˆͺ 𝑏) ∩ π‘Š) = ((𝑦 ∩ π‘Š) βˆͺ (𝑏 ∩ π‘Š))
11681, 34sstrdi 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ 𝑏 βŠ† π‘Š)
117116adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ 𝑏 βŠ† π‘Š)
118 df-ss 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 βŠ† π‘Š ↔ (𝑏 ∩ π‘Š) = 𝑏)
119117, 118sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝑏 ∩ π‘Š) = 𝑏)
120119uneq2d 4162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝑦 ∩ π‘Š) βˆͺ (𝑏 ∩ π‘Š)) = ((𝑦 ∩ π‘Š) βˆͺ 𝑏))
121 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)
122 ssequn1 4179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏 ↔ ((𝑦 ∩ π‘Š) βˆͺ 𝑏) = 𝑏)
123121, 122sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝑦 ∩ π‘Š) βˆͺ 𝑏) = 𝑏)
124120, 123eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝑦 ∩ π‘Š) βˆͺ (𝑏 ∩ π‘Š)) = 𝑏)
125115, 124eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝑦 βˆͺ 𝑏) ∩ π‘Š) = 𝑏)
126125reseq2d 5979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝑦 βˆͺ 𝑏) ∩ π‘Š)) = (𝐹 β†Ύ 𝑏))
127114, 126eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) β†Ύ π‘Š) = (𝐹 β†Ύ 𝑏))
128117resabs1d 6010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏) = (𝐹 β†Ύ 𝑏))
129127, 128eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) β†Ύ π‘Š) = ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏))
130129oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) β†Ύ π‘Š)) = (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)))
131113, 130eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) = (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)))
132131eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒))
133132biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) ∈ 𝑒 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒))
134133expr 457 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ ((𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏 β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) ∈ 𝑒 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
135134com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) ∈ 𝑒 β†’ ((𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
13699, 135syld 47 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ ((𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
137136ralrimdva 3154 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)((𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
138 sseq1 4006 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (𝑦 ∩ π‘Š) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑏 ↔ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏))
139138rspceaimv 3616 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∩ π‘Š) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)((𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒))
14077, 137, 139syl6an 682 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
141140rexlimdva 3155 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
14266, 141impbid 211 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
143142imbi2d 340 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))))
144143ralbidv 3177 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))))
145144anbi2d 629 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))))
146 eqid 2732 . . . 4 (TopOpenβ€˜πΊ) = (TopOpenβ€˜πΊ)
147 eqid 2732 . . . 4 (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) = (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)
148 tsmsres.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
149 inex1g 5318 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∩ π‘Š) ∈ V)
15044, 149syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ π‘Š) ∈ V)
151 fssres 6754 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ (𝐴 ∩ π‘Š) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ π‘Š)):(𝐴 ∩ π‘Š)⟢𝐡)
15241, 1, 151sylancl 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ π‘Š)):(𝐴 ∩ π‘Š)⟢𝐡)
153 resres 5992 . . . . . . 7 ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β†Ύ π‘Š) = (𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ π‘Š))
154 ffn 6714 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
155 fnresdm 6666 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
15641, 154, 1553syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
157156reseq1d 5978 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β†Ύ π‘Š) = (𝐹 β†Ύ π‘Š))
158153, 157eqtr3id 2786 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ π‘Š)) = (𝐹 β†Ύ π‘Š))
159158feq1d 6699 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ π‘Š)):(𝐴 ∩ π‘Š)⟢𝐡 ↔ (𝐹 β†Ύ π‘Š):(𝐴 ∩ π‘Š)⟢𝐡))
160152, 159mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Š):(𝐴 ∩ π‘Š)⟢𝐡)
16137, 146, 147, 39, 148, 150, 160eltsms 23628 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums (𝐹 β†Ύ π‘Š)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))))
162 eqid 2732 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
16337, 146, 162, 39, 148, 44, 41eltsms 23628 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))))
164145, 161, 1633bitr4d 310 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums (𝐹 β†Ύ π‘Š)) ↔ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)))
165164eqrdv 2730 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums (𝐹 β†Ύ π‘Š)) = (𝐺 tsums 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601   β†Ύ cres 5677   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   supp csupp 8142  Fincfn 8935  Basecbs 17140  TopOpenctopn 17363  0gc0g 17381   Ξ£g cgsu 17382  CMndccmn 19642  TopSpctps 22425   tsums ctsu 23621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-ntr 22515  df-nei 22593  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-tsms 23622
This theorem is referenced by:  tsmssplit  23647  esumss  33058
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