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Theorem tsmsres 24041
Description: Extend an infinite group sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsres.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsres.z 0 = (0g𝐺)
tsmsres.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmsres.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
tsmsres.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmsres.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmsres.s (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊)
Assertion
Ref Expression
tsmsres (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝑊)) = (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem tsmsres
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4224 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑊) ⊆ 𝐴
21sspwi 4610 . . . . . . . . . . 11 𝒫 (𝐴𝑊) ⊆ 𝒫 𝐴
3 ssrin 4229 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 (𝐴𝑊) ⊆ 𝒫 𝐴 → (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
5 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin))
64, 5sselid 3976 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
7 elfpw 9372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧𝐴𝑧 ∈ Fin))
87simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧𝐴)
98adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧𝐴)
109ssrind 4231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧𝑊) ⊆ (𝐴𝑊))
11 elinel2 4192 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
1211adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
13 inss1 4224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑊) ⊆ 𝑧
14 ssfi 9191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ Fin ∧ (𝑧𝑊) ⊆ 𝑧) → (𝑧𝑊) ∈ Fin)
1512, 13, 14sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧𝑊) ∈ Fin)
16 elfpw 9372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ↔ ((𝑧𝑊) ⊆ (𝐴𝑊) ∧ (𝑧𝑊) ∈ Fin))
1710, 15, 16sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin))
18 sseq2 4004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑧𝑊) → (𝑎𝑏𝑎 ⊆ (𝑧𝑊)))
19 ssin 4226 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑧𝑎𝑊) ↔ 𝑎 ⊆ (𝑧𝑊))
2018, 19bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑧𝑊) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎𝑧𝑎𝑊)))
21 reseq2 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (𝑧𝑊) → ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏) = ((𝐹𝑊) ↾ (𝑧𝑊)))
22 inss2 4225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝑊) ⊆ 𝑊
23 resabs1 6009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧𝑊) ⊆ 𝑊 → ((𝐹𝑊) ↾ (𝑧𝑊)) = (𝐹 ↾ (𝑧𝑊)))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑊) ↾ (𝑧𝑊)) = (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))
2521, 24eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (𝑧𝑊) → ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ (𝑧𝑊)))
2625oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑧𝑊) → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))))
2726eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑧𝑊) → ((𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))) ∈ 𝑢))
2820, 27imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑧𝑊) → ((𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) ↔ ((𝑎𝑧𝑎𝑊) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))) ∈ 𝑢)))
2928rspcv 3604 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ((𝑎𝑧𝑎𝑊) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))) ∈ 𝑢)))
3017, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ((𝑎𝑧𝑎𝑊) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))) ∈ 𝑢)))
31 elfpw 9372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ↔ (𝑎 ⊆ (𝐴𝑊) ∧ 𝑎 ∈ Fin))
3231simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ⊆ (𝐴𝑊))
3332ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ⊆ (𝐴𝑊))
34 inss2 4225 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑊) ⊆ 𝑊
3533, 34sstrdi 3990 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎𝑊)
3635biantrud 531 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑎𝑧 ↔ (𝑎𝑧𝑎𝑊)))
37 tsmsres.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘𝐺)
38 tsmsres.z . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (0g𝐺)
39 tsmsres.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4039ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
41 tsmsres.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴𝐵)
4342, 9fssresd 6758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧):𝑧𝐵)
44 tsmsres.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴𝑉)
4541, 44fexd 7233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ∈ V)
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹 ∈ V)
4738fvexi 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
48 ressuppss 8181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹𝑧) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
4946, 47, 48sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹𝑧) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
50 tsmsres.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊)
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊)
5249, 51sstrd 3988 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹𝑧) supp 0 ) ⊆ 𝑊)
5347a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ V)
5443, 12, 53fdmfifsupp 9392 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧) finSupp 0 )
5537, 38, 40, 12, 43, 52, 54gsumres 19861 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹𝑧) ↾ 𝑊)) = (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
56 resres 5992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑧) ↾ 𝑊) = (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))
5756oveq2i 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 Σg ((𝐹𝑧) ↾ 𝑊)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊)))
5855, 57eqtr3di 2783 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))))
5958eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))) ∈ 𝑢))
6036, 59imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝑎𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ((𝑎𝑧𝑎𝑊) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))) ∈ 𝑢)))
6130, 60sylibrd 259 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → (𝑎𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
6261ralrimdva 3150 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑎𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
63 sseq1 4003 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦𝑧𝑎𝑧))
6463rspceaimv 3614 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑎𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))
656, 62, 64syl6an 683 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
6665rexlimdva 3151 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
67 elfpw 9372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦𝐴𝑦 ∈ Fin))
6867simplbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
6968adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦𝐴)
7069ssrind 4231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦𝑊) ⊆ (𝐴𝑊))
71 elinel2 4192 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
7271adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
73 inss1 4224 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑊) ⊆ 𝑦
74 ssfi 9191 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑦) → (𝑦𝑊) ∈ Fin)
7572, 73, 74sylancl 585 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦𝑊) ∈ Fin)
76 elfpw 9372 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ↔ ((𝑦𝑊) ⊆ (𝐴𝑊) ∧ (𝑦𝑊) ∈ Fin))
7770, 75, 76sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin))
7868ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → 𝑦𝐴)
79 elfpw 9372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ↔ (𝑏 ⊆ (𝐴𝑊) ∧ 𝑏 ∈ Fin))
8079simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ⊆ (𝐴𝑊))
8180adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → 𝑏 ⊆ (𝐴𝑊))
8281, 1sstrdi 3990 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → 𝑏𝐴)
8378, 82unssd 4182 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → (𝑦𝑏) ⊆ 𝐴)
84 elinel2 4192 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ∈ Fin)
85 unfi 9190 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) → (𝑦𝑏) ∈ Fin)
8672, 84, 85syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → (𝑦𝑏) ∈ Fin)
87 elfpw 9372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝑦𝑏) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦𝑏) ∈ Fin))
8883, 86, 87sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → (𝑦𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
89 ssun1 4168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 ⊆ (𝑦𝑏)
90 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑦𝑏) → 𝑧 = (𝑦𝑏))
9189, 90sseqtrrid 4031 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦𝑏) → 𝑦𝑧)
92 pm5.5 361 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝑧 → ((𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦𝑏) → ((𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))
94 reseq2 5974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑦𝑏) → (𝐹𝑧) = (𝐹 ↾ (𝑦𝑏)))
9594oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦𝑏) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))))
9695eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦𝑏) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) ∈ 𝑢))
9793, 96bitrd 279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦𝑏) → ((𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) ∈ 𝑢))
9897rspcv 3604 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) ∈ 𝑢))
9988, 98syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) ∈ 𝑢))
10039ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → 𝐺 ∈ CMnd)
10186adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝑦𝑏) ∈ Fin)
10241ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → 𝐹:𝐴𝐵)
10383adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝑦𝑏) ⊆ 𝐴)
104102, 103fssresd 6758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 ↾ (𝑦𝑏)):(𝑦𝑏)⟶𝐵)
10545, 47jctir 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
106105ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
107 ressuppss 8181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
10950ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊)
110108, 109sstrd 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) supp 0 ) ⊆ 𝑊)
11147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → 0 ∈ V)
112104, 101, 111fdmfifsupp 9392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) finSupp 0 )
11337, 38, 100, 101, 104, 110, 112gsumres 19861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) ↾ 𝑊)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))))
114 resres 5992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) ↾ 𝑊) = (𝐹 ↾ ((𝑦𝑏) ∩ 𝑊))
115 indir 4271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦𝑏) ∩ 𝑊) = ((𝑦𝑊) ∪ (𝑏𝑊))
11681, 34sstrdi 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → 𝑏𝑊)
117116adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → 𝑏𝑊)
118 df-ss 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏𝑊 ↔ (𝑏𝑊) = 𝑏)
119117, 118sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝑏𝑊) = 𝑏)
120119uneq2d 4159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝑦𝑊) ∪ (𝑏𝑊)) = ((𝑦𝑊) ∪ 𝑏))
121 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)
122 ssequn1 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦𝑊) ⊆ 𝑏 ↔ ((𝑦𝑊) ∪ 𝑏) = 𝑏)
123121, 122sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝑦𝑊) ∪ 𝑏) = 𝑏)
124120, 123eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝑦𝑊) ∪ (𝑏𝑊)) = 𝑏)
125115, 124eqtrid 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝑦𝑏) ∩ 𝑊) = 𝑏)
126125reseq2d 5979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 ↾ ((𝑦𝑏) ∩ 𝑊)) = (𝐹𝑏))
127114, 126eqtrid 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) ↾ 𝑊) = (𝐹𝑏))
128117resabs1d 6010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏) = (𝐹𝑏))
129127, 128eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) ↾ 𝑊) = ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏))
130129oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) ↾ 𝑊)) = (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)))
131113, 130eqtr3d 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) = (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)))
132131eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))
133132biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) ∈ 𝑢 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))
134133expr 456 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → ((𝑦𝑊) ⊆ 𝑏 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) ∈ 𝑢 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
135134com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) ∈ 𝑢 → ((𝑦𝑊) ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
13699, 135syld 47 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → ((𝑦𝑊) ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
137136ralrimdva 3150 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → ∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)((𝑦𝑊) ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
138 sseq1 4003 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑦𝑊) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏))
139138rspceaimv 3614 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ ∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)((𝑦𝑊) ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))
14077, 137, 139syl6an 683 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
141140rexlimdva 3151 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
14266, 141impbid 211 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
143142imbi2d 340 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))))
144143ralbidv 3173 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))))
145144anbi2d 629 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))))
146 eqid 2728 . . . 4 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
147 eqid 2728 . . . 4 (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) = (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)
148 tsmsres.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
149 inex1g 5313 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝐴𝑊) ∈ V)
15044, 149syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑊) ∈ V)
151 fssres 6757 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ (𝐴𝑊) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴𝑊)):(𝐴𝑊)⟶𝐵)
15241, 1, 151sylancl 585 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴𝑊)):(𝐴𝑊)⟶𝐵)
153 resres 5992 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ↾ 𝑊) = (𝐹 ↾ (𝐴𝑊))
154 ffn 6716 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
155 fnresdm 6668 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
15641, 154, 1553syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
157156reseq1d 5978 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ↾ 𝑊) = (𝐹𝑊))
158153, 157eqtr3id 2782 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴𝑊)) = (𝐹𝑊))
159158feq1d 6701 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴𝑊)):(𝐴𝑊)⟶𝐵 ↔ (𝐹𝑊):(𝐴𝑊)⟶𝐵))
160152, 159mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑊):(𝐴𝑊)⟶𝐵)
16137, 146, 147, 39, 148, 150, 160eltsms 24030 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝑊)) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))))
162 eqid 2728 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
16337, 146, 162, 39, 148, 44, 41eltsms 24030 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))))
164145, 161, 1633bitr4d 311 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)))
165164eqrdv 2726 1 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝑊)) = (𝐺 tsums 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3057  wrex 3066  Vcvv 3470  cun 3943  cin 3944  wss 3945  𝒫 cpw 4598  cres 5674   Fn wfn 6537  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414   supp csupp 8159  Fincfn 8957  Basecbs 17173  TopOpenctopn 17396  0gc0g 17414   Σg cgsu 17415  CMndccmn 19728  TopSpctps 22827   tsums ctsu 24023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-hash 14316  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-fbas 21269  df-fg 21270  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-ntr 22917  df-nei 22995  df-fil 23743  df-fm 23835  df-flim 23836  df-flf 23837  df-tsms 24024
This theorem is referenced by:  tsmssplit  24049  esumss  33685
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