Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | inss1 4127 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∩ 𝑊) ⊆ 𝐴 |
2 | | sspwb 5236 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∩ 𝑊) ⊆ 𝐴 ↔ 𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ⊆ 𝒫 𝐴) |
3 | 1, 2 | mpbi 231 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝒫
(𝐴 ∩ 𝑊) ⊆ 𝒫 𝐴 |
4 | | ssrin 4132 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(𝒫 (𝐴 ∩
𝑊) ⊆ 𝒫 𝐴 → (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) |
5 | 3, 4 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(𝒫 (𝐴 ∩
𝑊) ∩ Fin) ⊆
(𝒫 𝐴 ∩
Fin) |
6 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) |
7 | 5, 6 | sseldi 3889 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) |
8 | | elfpw 8675 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ Fin)) |
9 | 8 | simplbi 498 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ 𝐴) |
10 | 9 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ⊆ 𝐴) |
11 | 10 | ssrind 4134 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧 ∩ 𝑊) ⊆ (𝐴 ∩ 𝑊)) |
12 | | elinel2 4096 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin) |
13 | 12 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin) |
14 | | inss1 4127 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑧 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑧 |
15 | | ssfi 8587 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑧 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑧) → (𝑧 ∩ 𝑊) ∈ Fin) |
16 | 13, 14, 15 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧 ∩ 𝑊) ∈ Fin) |
17 | | elfpw 8675 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑧 ∩ 𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ↔ ((𝑧 ∩ 𝑊) ⊆ (𝐴 ∩ 𝑊) ∧ (𝑧 ∩ 𝑊) ∈ Fin)) |
18 | 11, 16, 17 | sylanbrc 583 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧 ∩ 𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) |
19 | | sseq2 3916 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑏 = (𝑧 ∩ 𝑊) → (𝑎 ⊆ 𝑏 ↔ 𝑎 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑊))) |
20 | | ssin 4129 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑊) ↔ 𝑎 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑊)) |
21 | 19, 20 | syl6bbr 290 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑏 = (𝑧 ∩ 𝑊) → (𝑎 ⊆ 𝑏 ↔ (𝑎 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑊))) |
22 | | reseq2 5732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑏 = (𝑧 ∩ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏) = ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ (𝑧 ∩ 𝑊))) |
23 | | inss2 4128 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑧 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑊 |
24 | | resabs1 5767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑧 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑊 → ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ (𝑧 ∩ 𝑊)) = (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊))) |
25 | 23, 24 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ (𝑧 ∩ 𝑊)) = (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊)) |
26 | 22, 25 | syl6eq 2846 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑏 = (𝑧 ∩ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊))) |
27 | 26 | oveq2d 7035 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑏 = (𝑧 ∩ 𝑊) → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊)))) |
28 | 27 | eleq1d 2866 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑏 = (𝑧 ∩ 𝑊) → ((𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊))) ∈ 𝑢)) |
29 | 21, 28 | imbi12d 346 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑏 = (𝑧 ∩ 𝑊) → ((𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) ↔ ((𝑎 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑊) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊))) ∈ 𝑢))) |
30 | 29 | rspcv 3553 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑧 ∩ 𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ((𝑎 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑊) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊))) ∈ 𝑢))) |
31 | 18, 30 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ((𝑎 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑊) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊))) ∈ 𝑢))) |
32 | | elfpw 8675 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ↔ (𝑎 ⊆ (𝐴 ∩ 𝑊) ∧ 𝑎 ∈ Fin)) |
33 | 32 | simplbi 498 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ⊆ (𝐴 ∩ 𝑊)) |
34 | 33 | ad2antlr 723 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ⊆ (𝐴 ∩ 𝑊)) |
35 | | inss2 4128 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑊 |
36 | 34, 35 | syl6ss 3903 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ⊆ 𝑊) |
37 | 36 | biantrud 532 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑎 ⊆ 𝑧 ↔ (𝑎 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑊))) |
38 | | resres 5750 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐹 ↾ 𝑧) ↾ 𝑊) = (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊)) |
39 | 38 | oveq2i 7030 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐺 Σg
((𝐹 ↾ 𝑧) ↾ 𝑊)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊))) |
40 | | tsmsres.b |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺) |
41 | | tsmsres.z |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 0 =
(0g‘𝐺) |
42 | | tsmsres.1 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd) |
43 | 42 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd) |
44 | | tsmsres.f |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵) |
45 | 44 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵) |
46 | 45, 10 | fssresd 6416 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝐵) |
47 | | tsmsres.a |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉) |
48 | | fex 6858 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V) |
49 | 44, 47, 48 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V) |
50 | 49 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹 ∈ V) |
51 | 41 | fvexi 6555 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 0 ∈
V |
52 | | ressuppss 7703 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V)
→ ((𝐹 ↾ 𝑧) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )) |
53 | 50, 51, 52 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹 ↾ 𝑧) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )) |
54 | | tsmsres.s |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊) |
55 | 54 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊) |
56 | 53, 55 | sstrd 3901 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹 ↾ 𝑧) supp 0 ) ⊆ 𝑊) |
57 | 51 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ V) |
58 | 46, 13, 57 | fdmfifsupp 8692 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑧) finSupp 0 ) |
59 | 40, 41, 43, 13, 46, 56, 58 | gsumres 18754 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑧) ↾ 𝑊)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) |
60 | 39, 59 | syl5reqr 2845 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊)))) |
61 | 60 | eleq1d 2866 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊))) ∈ 𝑢)) |
62 | 37, 61 | imbi12d 346 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝑎 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ((𝑎 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑊) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊))) ∈ 𝑢))) |
63 | 31, 62 | sylibrd 260 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → (𝑎 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))) |
64 | 63 | ralrimdva 3155 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))) |
65 | | sseq1 3915 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑧)) |
66 | 65 | rspceaimv 3565 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)) |
67 | 7, 64, 66 | syl6an 680 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))) |
68 | 67 | rexlimdva 3246 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))) |
69 | | elfpw 8675 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin)) |
70 | 69 | simplbi 498 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴) |
71 | 70 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝐴) |
72 | 71 | ssrind 4134 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ (𝐴 ∩ 𝑊)) |
73 | | elinel2 4096 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin) |
74 | 73 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin) |
75 | | inss1 4127 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑦 |
76 | | ssfi 8587 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑦) → (𝑦 ∩ 𝑊) ∈ Fin) |
77 | 74, 75, 76 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦 ∩ 𝑊) ∈ Fin) |
78 | | elfpw 8675 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑦 ∩ 𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ↔ ((𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ (𝐴 ∩ 𝑊) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ∈ Fin)) |
79 | 72, 77, 78 | sylanbrc 583 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦 ∩ 𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) |
80 | 70 | ad2antlr 723 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝐴) |
81 | | elfpw 8675 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ↔ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∩ 𝑊) ∧ 𝑏 ∈ Fin)) |
82 | 81 | simplbi 498 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ⊆ (𝐴 ∩ 𝑊)) |
83 | 82 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → 𝑏 ⊆ (𝐴 ∩ 𝑊)) |
84 | 83, 1 | syl6ss 3903 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → 𝑏 ⊆ 𝐴) |
85 | 80, 84 | unssd 4085 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → (𝑦 ∪ 𝑏) ⊆ 𝐴) |
86 | | elinel2 4096 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ∈ Fin) |
87 | | unfi 8634 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) → (𝑦 ∪ 𝑏) ∈ Fin) |
88 | 74, 86, 87 | syl2an 595 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → (𝑦 ∪ 𝑏) ∈ Fin) |
89 | | elfpw 8675 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑦 ∪ 𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝑦 ∪ 𝑏) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦 ∪ 𝑏) ∈ Fin)) |
90 | 85, 88, 89 | sylanbrc 583 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → (𝑦 ∪ 𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) |
91 | | ssun1 4071 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑏) |
92 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑏) → 𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑏)) |
93 | 91, 92 | sseqtrrid 3943 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑏) → 𝑦 ⊆ 𝑧) |
94 | | pm5.5 363 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑦 ⊆ 𝑧 → ((𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)) |
95 | 93, 94 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑏) → ((𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)) |
96 | | reseq2 5732 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑏) → (𝐹 ↾ 𝑧) = (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏))) |
97 | 96 | oveq2d 7035 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑏) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏)))) |
98 | 97 | eleq1d 2866 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑏) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏))) ∈ 𝑢)) |
99 | 95, 98 | bitrd 280 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑏) → ((𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏))) ∈ 𝑢)) |
100 | 99 | rspcv 3553 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑦 ∪ 𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏))) ∈ 𝑢)) |
101 | 90, 100 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏))) ∈ 𝑢)) |
102 | 42 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → 𝐺 ∈ CMnd) |
103 | 88 | adantrr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝑦 ∪ 𝑏) ∈ Fin) |
104 | 44 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵) |
105 | 85 | adantrr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝑦 ∪ 𝑏) ⊆ 𝐴) |
106 | 104, 105 | fssresd 6416 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏)):(𝑦 ∪ 𝑏)⟶𝐵) |
107 | 49, 51 | jctir 521 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈
V)) |
108 | 107 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈
V)) |
109 | | ressuppss 7703 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V)
→ ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏)) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )) |
110 | 108, 109 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏)) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )) |
111 | 54 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊) |
112 | 110, 111 | sstrd 3901 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏)) supp 0 ) ⊆ 𝑊) |
113 | 51 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → 0 ∈ V) |
114 | 106, 103,
113 | fdmfifsupp 8692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏)) finSupp 0 ) |
115 | 40, 41, 102, 103, 106, 112, 114 | gsumres 18754 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏)) ↾ 𝑊)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏)))) |
116 | | resres 5750 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏)) ↾ 𝑊) = (𝐹 ↾ ((𝑦 ∪ 𝑏) ∩ 𝑊)) |
117 | | indir 4174 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑦 ∪ 𝑏) ∩ 𝑊) = ((𝑦 ∩ 𝑊) ∪ (𝑏 ∩ 𝑊)) |
118 | 83, 35 | syl6ss 3903 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → 𝑏 ⊆ 𝑊) |
119 | 118 | adantrr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝑊) |
120 | | df-ss 3876 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑏 ⊆ 𝑊 ↔ (𝑏 ∩ 𝑊) = 𝑏) |
121 | 119, 120 | sylib 219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝑏 ∩ 𝑊) = 𝑏) |
122 | 121 | uneq2d 4062 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝑦 ∩ 𝑊) ∪ (𝑏 ∩ 𝑊)) = ((𝑦 ∩ 𝑊) ∪ 𝑏)) |
123 | | simprr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏) |
124 | | ssequn1 4079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏 ↔ ((𝑦 ∩ 𝑊) ∪ 𝑏) = 𝑏) |
125 | 123, 124 | sylib 219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝑦 ∩ 𝑊) ∪ 𝑏) = 𝑏) |
126 | 122, 125 | eqtrd 2830 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝑦 ∩ 𝑊) ∪ (𝑏 ∩ 𝑊)) = 𝑏) |
127 | 117, 126 | syl5eq 2842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝑦 ∪ 𝑏) ∩ 𝑊) = 𝑏) |
128 | 127 | reseq2d 5737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 ↾ ((𝑦 ∪ 𝑏) ∩ 𝑊)) = (𝐹 ↾ 𝑏)) |
129 | 116, 128 | syl5eq 2842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏)) ↾ 𝑊) = (𝐹 ↾ 𝑏)) |
130 | 119 | resabs1d 5768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ 𝑏)) |
131 | 129, 130 | eqtr4d 2833 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏)) ↾ 𝑊) = ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) |
132 | 131 | oveq2d 7035 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏)) ↾ 𝑊)) = (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏))) |
133 | 115, 132 | eqtr3d 2832 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏))) = (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏))) |
134 | 133 | eleq1d 2866 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏))) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)) |
135 | 134 | biimpd 230 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏))) ∈ 𝑢 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)) |
136 | 135 | expr 457 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → ((𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏))) ∈ 𝑢 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))) |
137 | 136 | com23 86 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏))) ∈ 𝑢 → ((𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))) |
138 | 101, 137 | syld 47 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → ((𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))) |
139 | 138 | ralrimdva 3155 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → ∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)((𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))) |
140 | | sseq1 3915 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑎 = (𝑦 ∩ 𝑊) → (𝑎 ⊆ 𝑏 ↔ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) |
141 | 140 | rspceaimv 3565 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑦 ∩ 𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ ∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)((𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)) |
142 | 79, 139, 141 | syl6an 680 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))) |
143 | 142 | rexlimdva 3246 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))) |
144 | 68, 143 | impbid 213 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))) |
145 | 144 | imbi2d 342 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)))) |
146 | 145 | ralbidv 3163 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)))) |
147 | 146 | anbi2d 628 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))))) |
148 | | eqid 2794 |
. . . 4
⊢
(TopOpen‘𝐺) =
(TopOpen‘𝐺) |
149 | | eqid 2794 |
. . . 4
⊢
(𝒫 (𝐴 ∩
𝑊) ∩ Fin) = (𝒫
(𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) |
150 | | tsmsres.2 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp) |
151 | | inex1g 5117 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ 𝑊) ∈ V) |
152 | 47, 151 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝑊) ∈ V) |
153 | | fssres 6415 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝑊) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝑊)):(𝐴 ∩ 𝑊)⟶𝐵) |
154 | 44, 1, 153 | sylancl 586 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝑊)):(𝐴 ∩ 𝑊)⟶𝐵) |
155 | | resres 5750 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ 𝑊) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝑊)) |
156 | | ffn 6385 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴) |
157 | | fnresdm 6339 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹) |
158 | 44, 156, 157 | 3syl 18 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹) |
159 | 158 | reseq1d 5736 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ 𝑊) = (𝐹 ↾ 𝑊)) |
160 | 155, 159 | syl5eqr 2844 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝑊)) = (𝐹 ↾ 𝑊)) |
161 | 160 | feq1d 6370 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝑊)):(𝐴 ∩ 𝑊)⟶𝐵 ↔ (𝐹 ↾ 𝑊):(𝐴 ∩ 𝑊)⟶𝐵)) |
162 | 154, 161 | mpbid 233 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑊):(𝐴 ∩ 𝑊)⟶𝐵) |
163 | 40, 148, 149, 42, 150, 152, 162 | eltsms 22424 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝑊)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))))) |
164 | | eqid 2794 |
. . . 4
⊢
(𝒫 𝐴 ∩
Fin) = (𝒫 𝐴 ∩
Fin) |
165 | 40, 148, 164, 42, 150, 47, 44 | eltsms 22424 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))))) |
166 | 147, 163,
165 | 3bitr4d 312 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))) |
167 | 166 | eqrdv 2792 |
1
⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝑊)) = (𝐺 tsums 𝐹)) |