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Theorem tsmsres 23868
Description: Extend an infinite group sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsres.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tsmsres.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
tsmsres.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsres.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsres.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsres.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
tsmsres.s (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tsmsres (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums (𝐹 β†Ύ π‘Š)) = (𝐺 tsums 𝐹))
Proof of Theorem tsmsres
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑒 𝑦 𝑧 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4228 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∩ π‘Š) βŠ† 𝐴
21sspwi 4614 . . . . . . . . . . 11 𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) βŠ† 𝒫 𝐴
3 ssrin 4233 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) βŠ† 𝒫 𝐴 β†’ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) βŠ† (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) βŠ† (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
5 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin))
64, 5sselid 3980 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
7 elfpw 9356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ Fin))
87simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑧 βŠ† 𝐴)
98adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑧 βŠ† 𝐴)
109ssrind 4235 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑧 ∩ π‘Š) βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š))
11 elinel2 4196 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
1211adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
13 inss1 4228 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑧
14 ssfi 9175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑧) β†’ (𝑧 ∩ π‘Š) ∈ Fin)
1512, 13, 14sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑧 ∩ π‘Š) ∈ Fin)
16 elfpw 9356 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∩ π‘Š) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ↔ ((𝑧 ∩ π‘Š) βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š) ∧ (𝑧 ∩ π‘Š) ∈ Fin))
1710, 15, 16sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑧 ∩ π‘Š) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin))
18 sseq2 4008 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑧 ∩ π‘Š) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑏 ↔ π‘Ž βŠ† (𝑧 ∩ π‘Š)))
19 ssin 4230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž βŠ† 𝑧 ∧ π‘Ž βŠ† π‘Š) ↔ π‘Ž βŠ† (𝑧 ∩ π‘Š))
2018, 19bitr4di 288 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑧 ∩ π‘Š) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑏 ↔ (π‘Ž βŠ† 𝑧 ∧ π‘Ž βŠ† π‘Š)))
21 reseq2 5976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (𝑧 ∩ π‘Š) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏) = ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š)))
22 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∩ π‘Š) βŠ† π‘Š
23 resabs1 6011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∩ π‘Š) βŠ† π‘Š β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š)) = (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š)))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š)) = (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))
2521, 24eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (𝑧 ∩ π‘Š) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏) = (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š)))
2625oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑧 ∩ π‘Š) β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))))
2726eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑧 ∩ π‘Š) β†’ ((𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))) ∈ 𝑒))
2820, 27imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑧 ∩ π‘Š) β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒) ↔ ((π‘Ž βŠ† 𝑧 ∧ π‘Ž βŠ† π‘Š) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))) ∈ 𝑒)))
2928rspcv 3608 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∩ π‘Š) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒) β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝑧 ∧ π‘Ž βŠ† π‘Š) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))) ∈ 𝑒)))
3017, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒) β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝑧 ∧ π‘Ž βŠ† π‘Š) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))) ∈ 𝑒)))
31 elfpw 9356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ↔ (π‘Ž βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ Fin))
3231simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) β†’ π‘Ž βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š))
3332ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ π‘Ž βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š))
34 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∩ π‘Š) βŠ† π‘Š
3533, 34sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ π‘Ž βŠ† π‘Š)
3635biantrud 532 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑧 ↔ (π‘Ž βŠ† 𝑧 ∧ π‘Ž βŠ† π‘Š)))
37 tsmsres.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
38 tsmsres.z . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (0gβ€˜πΊ)
39 tsmsres.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
4039ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
41 tsmsres.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
4241ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
4342, 9fssresd 6758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆπ΅)
44 tsmsres.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
4541, 44fexd 7231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
4645ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐹 ∈ V)
4738fvexi 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
48 ressuppss 8170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑧) supp 0 ) βŠ† (𝐹 supp 0 ))
4946, 47, 48sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑧) supp 0 ) βŠ† (𝐹 supp 0 ))
50 tsmsres.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† π‘Š)
5150ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† π‘Š)
5249, 51sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑧) supp 0 ) βŠ† π‘Š)
5347a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 0 ∈ V)
5443, 12, 53fdmfifsupp 9375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧) finSupp 0 )
5537, 38, 40, 12, 43, 52, 54gsumres 19822 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝑧) β†Ύ π‘Š)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
56 resres 5994 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 β†Ύ 𝑧) β†Ύ π‘Š) = (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))
5756oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝑧) β†Ύ π‘Š)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š)))
5855, 57eqtr3di 2787 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))))
5958eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))) ∈ 𝑒))
6036, 59imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ ((π‘Ž βŠ† 𝑧 ∧ π‘Ž βŠ† π‘Š) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))) ∈ 𝑒)))
6130, 60sylibrd 258 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
6261ralrimdva 3154 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
63 sseq1 4007 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘Ž β†’ (𝑦 βŠ† 𝑧 ↔ π‘Ž βŠ† 𝑧))
6463rspceaimv 3617 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
656, 62, 64syl6an 682 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
6665rexlimdva 3155 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
67 elfpw 9356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
6867simplbi 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
6968adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
7069ssrind 4235 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š))
71 elinel2 4196 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
7271adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
73 inss1 4228 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑦
74 ssfi 9175 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑦) β†’ (𝑦 ∩ π‘Š) ∈ Fin)
7572, 73, 74sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑦 ∩ π‘Š) ∈ Fin)
76 elfpw 9356 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∩ π‘Š) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ↔ ((𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) ∈ Fin))
7770, 75, 76sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑦 ∩ π‘Š) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin))
7868ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
79 elfpw 9356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ↔ (𝑏 βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š) ∧ 𝑏 ∈ Fin))
8079simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) β†’ 𝑏 βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š))
8180adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ 𝑏 βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š))
8281, 1sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐴)
8378, 82unssd 4186 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝐴)
84 elinel2 4196 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) β†’ 𝑏 ∈ Fin)
85 unfi 9174 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑏) ∈ Fin)
8672, 84, 85syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑏) ∈ Fin)
87 elfpw 9356 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 βˆͺ 𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝑦 βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝐴 ∧ (𝑦 βˆͺ 𝑏) ∈ Fin))
8883, 86, 87sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
89 ssun1 4172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 βŠ† (𝑦 βˆͺ 𝑏)
90 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑏) β†’ 𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑏))
9189, 90sseqtrrid 4035 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑏) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑧)
92 pm5.5 361 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑏) β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
94 reseq2 5976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑏) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧) = (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)))
9594oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))))
9695eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑏) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) ∈ 𝑒))
9793, 96bitrd 278 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑏) β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) ∈ 𝑒))
9897rspcv 3608 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 βˆͺ 𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) ∈ 𝑒))
9988, 98syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) ∈ 𝑒))
10039ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
10186adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑏) ∈ Fin)
10241ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
10383adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝐴)
104102, 103fssresd 6758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)):(𝑦 βˆͺ 𝑏)⟢𝐡)
10545, 47jctir 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
106105ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
107 ressuppss 8170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) supp 0 ) βŠ† (𝐹 supp 0 ))
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) supp 0 ) βŠ† (𝐹 supp 0 ))
10950ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† π‘Š)
110108, 109sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) supp 0 ) βŠ† π‘Š)
11147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ 0 ∈ V)
112104, 101, 111fdmfifsupp 9375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) finSupp 0 )
11337, 38, 100, 101, 104, 110, 112gsumres 19822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) β†Ύ π‘Š)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))))
114 resres 5994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) β†Ύ π‘Š) = (𝐹 β†Ύ ((𝑦 βˆͺ 𝑏) ∩ π‘Š))
115 indir 4275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 βˆͺ 𝑏) ∩ π‘Š) = ((𝑦 ∩ π‘Š) βˆͺ (𝑏 ∩ π‘Š))
11681, 34sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ 𝑏 βŠ† π‘Š)
117116adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ 𝑏 βŠ† π‘Š)
118 df-ss 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 βŠ† π‘Š ↔ (𝑏 ∩ π‘Š) = 𝑏)
119117, 118sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝑏 ∩ π‘Š) = 𝑏)
120119uneq2d 4163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝑦 ∩ π‘Š) βˆͺ (𝑏 ∩ π‘Š)) = ((𝑦 ∩ π‘Š) βˆͺ 𝑏))
121 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)
122 ssequn1 4180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏 ↔ ((𝑦 ∩ π‘Š) βˆͺ 𝑏) = 𝑏)
123121, 122sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝑦 ∩ π‘Š) βˆͺ 𝑏) = 𝑏)
124120, 123eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝑦 ∩ π‘Š) βˆͺ (𝑏 ∩ π‘Š)) = 𝑏)
125115, 124eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝑦 βˆͺ 𝑏) ∩ π‘Š) = 𝑏)
126125reseq2d 5981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝑦 βˆͺ 𝑏) ∩ π‘Š)) = (𝐹 β†Ύ 𝑏))
127114, 126eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) β†Ύ π‘Š) = (𝐹 β†Ύ 𝑏))
128117resabs1d 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏) = (𝐹 β†Ύ 𝑏))
129127, 128eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) β†Ύ π‘Š) = ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏))
130129oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) β†Ύ π‘Š)) = (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)))
131113, 130eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) = (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)))
132131eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒))
133132biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) ∈ 𝑒 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒))
134133expr 457 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ ((𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏 β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) ∈ 𝑒 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
135134com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) ∈ 𝑒 β†’ ((𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
13699, 135syld 47 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ ((𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
137136ralrimdva 3154 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)((𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
138 sseq1 4007 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (𝑦 ∩ π‘Š) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑏 ↔ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏))
139138rspceaimv 3617 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∩ π‘Š) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)((𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒))
14077, 137, 139syl6an 682 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
141140rexlimdva 3155 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
14266, 141impbid 211 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
143142imbi2d 340 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))))
144143ralbidv 3177 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))))
145144anbi2d 629 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))))
146 eqid 2732 . . . 4 (TopOpenβ€˜πΊ) = (TopOpenβ€˜πΊ)
147 eqid 2732 . . . 4 (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) = (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)
148 tsmsres.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
149 inex1g 5319 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∩ π‘Š) ∈ V)
15044, 149syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ π‘Š) ∈ V)
151 fssres 6757 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ (𝐴 ∩ π‘Š) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ π‘Š)):(𝐴 ∩ π‘Š)⟢𝐡)
15241, 1, 151sylancl 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ π‘Š)):(𝐴 ∩ π‘Š)⟢𝐡)
153 resres 5994 . . . . . . 7 ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β†Ύ π‘Š) = (𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ π‘Š))
154 ffn 6717 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
155 fnresdm 6669 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
15641, 154, 1553syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
157156reseq1d 5980 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β†Ύ π‘Š) = (𝐹 β†Ύ π‘Š))
158153, 157eqtr3id 2786 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ π‘Š)) = (𝐹 β†Ύ π‘Š))
159158feq1d 6702 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ π‘Š)):(𝐴 ∩ π‘Š)⟢𝐡 ↔ (𝐹 β†Ύ π‘Š):(𝐴 ∩ π‘Š)⟢𝐡))
160152, 159mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Š):(𝐴 ∩ π‘Š)⟢𝐡)
16137, 146, 147, 39, 148, 150, 160eltsms 23857 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums (𝐹 β†Ύ π‘Š)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))))
162 eqid 2732 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
16337, 146, 162, 39, 148, 44, 41eltsms 23857 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))))
164145, 161, 1633bitr4d 310 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums (𝐹 β†Ύ π‘Š)) ↔ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)))
165164eqrdv 2730 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums (𝐹 β†Ύ π‘Š)) = (𝐺 tsums 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602   β†Ύ cres 5678   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   supp csupp 8148  Fincfn 8941  Basecbs 17148  TopOpenctopn 17371  0gc0g 17389   Ξ£g cgsu 17390  CMndccmn 19689  TopSpctps 22654   tsums ctsu 23850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-ntr 22744  df-nei 22822  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-tsms 23851
This theorem is referenced by:  tsmssplit  23876  esumss  33356
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