Theorem tsmsres 24376

Description: Extend an infinite group sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsres.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsres.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tsmsres.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsres.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsres.s	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tsmsres	⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝑊)) = (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem tsmsres

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑊) ⊆ 𝐴
2	1	sspwi 4572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ⊆ 𝒫 𝐴
3		ssrin 4190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ⊆ 𝒫 𝐴 → (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
5		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin))
6	4, 5	sselid 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
7		elfpw 9325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ Fin))
8	7	simplbi 502	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
9	8	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
10	9	ssrind 4192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧 ∩ 𝑊) ⊆ (𝐴 ∩ 𝑊))
11		elinel2 4151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
12	11	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
13		inss1 4185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑧
14		ssfi 9171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑧) → (𝑧 ∩ 𝑊) ∈ Fin)
15	12, 13, 14	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧 ∩ 𝑊) ∈ Fin)
16		elfpw 9325	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∩ 𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ↔ ((𝑧 ∩ 𝑊) ⊆ (𝐴 ∩ 𝑊) ∧ (𝑧 ∩ 𝑊) ∈ Fin))
17	10, 15, 16	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧 ∩ 𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin))
18		sseq2 3960	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = (𝑧 ∩ 𝑊) → (𝑎 ⊆ 𝑏 ↔ 𝑎 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑊)))
19		ssin 4187	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑊) ↔ 𝑎 ⊆ (𝑧 ∩ 𝑊))
20	18, 19	bitr4di 292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑧 ∩ 𝑊) → (𝑎 ⊆ 𝑏 ↔ (𝑎 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑊)))
21		reseq2 5971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = (𝑧 ∩ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏) = ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ (𝑧 ∩ 𝑊)))
22		inss2 4186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑊
23		resabs1 6003	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑊 → ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ (𝑧 ∩ 𝑊)) = (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊)))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ (𝑧 ∩ 𝑊)) = (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊))
25	21, 24	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = (𝑧 ∩ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊)))
26	25	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = (𝑧 ∩ 𝑊) → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊))))
27	26	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑧 ∩ 𝑊) → ((𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊))) ∈ 𝑢))
28	20, 27	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑧 ∩ 𝑊) → ((𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) ↔ ((𝑎 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑊) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊))) ∈ 𝑢)))
29	28	rspcv 3575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∩ 𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ((𝑎 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑊) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊))) ∈ 𝑢)))
30	17, 29	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ((𝑎 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑊) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊))) ∈ 𝑢)))
31		elfpw 9325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ↔ (𝑎 ⊆ (𝐴 ∩ 𝑊) ∧ 𝑎 ∈ Fin))
32	31	simplbi 502	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ⊆ (𝐴 ∩ 𝑊))
33	32	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ⊆ (𝐴 ∩ 𝑊))
34		inss2 4186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑊
35	33, 34	sstrdi 3946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ⊆ 𝑊)
36	35	biantrud 541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑎 ⊆ 𝑧 ↔ (𝑎 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑊)))
37		tsmsres.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
38		tsmsres.z	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
39		tsmsres.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
40	39	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
41		tsmsres.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
42	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
43	42, 9	fssresd 6746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝐵)
44		tsmsres.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
45	41, 44	fexd 7230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
46	45	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹 ∈ V)
47	38	fvexi 6896	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ V
48		ressuppss 8185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹 ↾ 𝑧) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
49	46, 47, 48	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹 ↾ 𝑧) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
50		tsmsres.s	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊)
51	50	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊)
52	49, 51	sstrd 3944	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹 ↾ 𝑧) supp 0 ) ⊆ 𝑊)
53	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ V)
54	43, 12, 53	fdmfifsupp 9349	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑧) finSupp 0 )
55	37, 38, 40, 12, 43, 52, 54	gsumres 20046	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑧) ↾ 𝑊)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
56		resres 5989	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑧) ↾ 𝑊) = (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊))
57	56	oveq2i 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑧) ↾ 𝑊)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊)))
58	55, 57	eqtr3di 2812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊))))
59	58	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊))) ∈ 𝑢))
60	36, 59	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝑎 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ((𝑎 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑊) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧 ∩ 𝑊))) ∈ 𝑢)))
61	30, 60	sylibrd 262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → (𝑎 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)))
62	61	ralrimdva 3164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)))
63		sseq1 3959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑧))
64	63	rspceaimv 3585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
65	6, 62, 64	syl6an 697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)))
66	65	rexlimdva 3165	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)))
67		elfpw 9325	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
68	67	simplbi 502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
69	68	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
70	69	ssrind 4192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ (𝐴 ∩ 𝑊))
71		elinel2 4151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
72	71	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
73		inss1 4185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑦
74		ssfi 9171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑦) → (𝑦 ∩ 𝑊) ∈ Fin)
75	72, 73, 74	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦 ∩ 𝑊) ∈ Fin)
76		elfpw 9325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∩ 𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ↔ ((𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ (𝐴 ∩ 𝑊) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ∈ Fin))
77	70, 75, 76	sylanbrc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦 ∩ 𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin))
78	68	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
79		elfpw 9325	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ↔ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∩ 𝑊) ∧ 𝑏 ∈ Fin))
80	79	simplbi 502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ⊆ (𝐴 ∩ 𝑊))
81	80	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → 𝑏 ⊆ (𝐴 ∩ 𝑊))
82	81, 1	sstrdi 3946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
83	78, 82	unssd 4141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → (𝑦 ∪ 𝑏) ⊆ 𝐴)
84		elinel2 4151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ∈ Fin)
85		unfi 9169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) → (𝑦 ∪ 𝑏) ∈ Fin)
86	72, 84, 85	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → (𝑦 ∪ 𝑏) ∈ Fin)
87		elfpw 9325	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∪ 𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝑦 ∪ 𝑏) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦 ∪ 𝑏) ∈ Fin))
88	83, 86, 87	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → (𝑦 ∪ 𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
89		ssun1 4127	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑏)
90		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑏) → 𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑏))
91	89, 90	sseqtrrid 3977	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑏) → 𝑦 ⊆ 𝑧)
92		pm5.5 364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑧 → ((𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
93	91, 92	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑏) → ((𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
94		reseq2 5971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑏) → (𝐹 ↾ 𝑧) = (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏)))
95	94	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑏) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏))))
96	95	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑏) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏))) ∈ 𝑢))
97	93, 96	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑏) → ((𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏))) ∈ 𝑢))
98	97	rspcv 3575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∪ 𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏))) ∈ 𝑢))
99	88, 98	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏))) ∈ 𝑢))
100	39	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → 𝐺 ∈ CMnd)
101	86	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝑦 ∪ 𝑏) ∈ Fin)
102	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
103	83	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝑦 ∪ 𝑏) ⊆ 𝐴)
104	102, 103	fssresd 6746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏)):(𝑦 ∪ 𝑏)⟶𝐵)
105	45, 47	jctir 530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
106	105	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
107		ressuppss 8185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏)) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
108	106, 107	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏)) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
109	50	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊)
110	108, 109	sstrd 3944	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏)) supp 0 ) ⊆ 𝑊)
111	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → 0 ∈ V)
112	104, 101, 111	fdmfifsupp 9349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏)) finSupp 0 )
113	37, 38, 100, 101, 104, 110, 112	gsumres 20046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏)) ↾ 𝑊)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏))))
114		resres 5989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏)) ↾ 𝑊) = (𝐹 ↾ ((𝑦 ∪ 𝑏) ∩ 𝑊))
115		indir 4235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∪ 𝑏) ∩ 𝑊) = ((𝑦 ∩ 𝑊) ∪ (𝑏 ∩ 𝑊))
116	81, 34	sstrdi 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → 𝑏 ⊆ 𝑊)
117	116	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝑊)
118		dfss2 3920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝑊 ↔ (𝑏 ∩ 𝑊) = 𝑏)
119	117, 118	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝑏 ∩ 𝑊) = 𝑏)
120	119	uneq2d 4118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝑦 ∩ 𝑊) ∪ (𝑏 ∩ 𝑊)) = ((𝑦 ∩ 𝑊) ∪ 𝑏))
121		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)
122		ssequn1 4135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏 ↔ ((𝑦 ∩ 𝑊) ∪ 𝑏) = 𝑏)
123	121, 122	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝑦 ∩ 𝑊) ∪ 𝑏) = 𝑏)
124	120, 123	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝑦 ∩ 𝑊) ∪ (𝑏 ∩ 𝑊)) = 𝑏)
125	115, 124	eqtrid 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝑦 ∪ 𝑏) ∩ 𝑊) = 𝑏)
126	125	reseq2d 5976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 ↾ ((𝑦 ∪ 𝑏) ∩ 𝑊)) = (𝐹 ↾ 𝑏))
127	114, 126	eqtrid 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏)) ↾ 𝑊) = (𝐹 ↾ 𝑏))
128	117	resabs1d 6005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ 𝑏))
129	127, 128	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏)) ↾ 𝑊) = ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏))
130	129	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏)) ↾ 𝑊)) = (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)))
131	113, 130	eqtr3d 2799	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏))) = (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)))
132	131	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏))) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))
133	132	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏))) ∈ 𝑢 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))
134	133	expr 462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → ((𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏))) ∈ 𝑢 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
135	134	com23 87	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ 𝑏))) ∈ 𝑢 → ((𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
136	99, 135	syld 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → ((𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
137	136	ralrimdva 3164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → ∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)((𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
138		sseq1 3959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑦 ∩ 𝑊) → (𝑎 ⊆ 𝑏 ↔ (𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏))
139	138	rspceaimv 3585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∩ 𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) ∧ ∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)((𝑦 ∩ 𝑊) ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))
140	77, 137, 139	syl6an 697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
141	140	rexlimdva 3165	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
142	66, 141	impbid 215	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)))
143	142	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))))
144	143	ralbidv 3187	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))))
145	144	anbi2d 642	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)))))
146		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
147		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin) = (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)
148		tsmsres.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
149		inex1g 5286	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ 𝑊) ∈ V)
150	44, 149	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝑊) ∈ V)
151		fssres 6745	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝑊) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝑊)):(𝐴 ∩ 𝑊)⟶𝐵)
152	41, 1, 151	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝑊)):(𝐴 ∩ 𝑊)⟶𝐵)
153		resres 5989	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ 𝑊) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝑊))
154		ffn 6706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
155		fnresdm 6655	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
156	41, 154, 155	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
157	156	reseq1d 5975	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ 𝑊) = (𝐹 ↾ 𝑊))
158	153, 157	eqtr3id 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝑊)) = (𝐹 ↾ 𝑊))
159	158	feq1d 6688	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝑊)):(𝐴 ∩ 𝑊)⟶𝐵 ↔ (𝐹 ↾ 𝑊):(𝐴 ∩ 𝑊)⟶𝐵))
160	152, 159	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑊):(𝐴 ∩ 𝑊)⟶𝐵)
161	37, 146, 147, 39, 148, 150, 160	eltsms 24365	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝑊)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ 𝑊) ∩ Fin)(𝑎 ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))))
162		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
163	37, 146, 162, 39, 148, 44, 41	eltsms 24365	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)))))
164	145, 161, 163	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)))
165	164	eqrdv 2760	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝑊)) = (𝐺 tsums 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  Vcvv 3453   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560   ↾ cres 5661   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   supp csupp 8162  Fincfn 8956  Basecbs 17307  TopOpenctopn 17512  0_gc0g 17530   Σ_g cgsu 17531  CMndccmn 19913  TopSpctps 23163   tsums ctsu 24358

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-hash 14399  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-fbas 21588  df-fg 21589  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164  df-ntr 23251  df-nei 23329  df-fil 24078  df-fm 24170  df-flim 24171  df-flf 24172  df-tsms 24359

This theorem is used by:  tsmssplit  24384  esumss  34590