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Theorem tsmsres 23511
Description: Extend an infinite group sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsres.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tsmsres.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
tsmsres.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsres.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsres.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsres.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
tsmsres.s (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tsmsres (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums (𝐹 β†Ύ π‘Š)) = (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem tsmsres
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑒 𝑦 𝑧 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4189 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∩ π‘Š) βŠ† 𝐴
21sspwi 4573 . . . . . . . . . . 11 𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) βŠ† 𝒫 𝐴
3 ssrin 4194 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) βŠ† 𝒫 𝐴 β†’ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) βŠ† (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) βŠ† (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
5 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin))
64, 5sselid 3943 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
7 elfpw 9301 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ Fin))
87simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑧 βŠ† 𝐴)
98adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑧 βŠ† 𝐴)
109ssrind 4196 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑧 ∩ π‘Š) βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š))
11 elinel2 4157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
1211adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
13 inss1 4189 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑧
14 ssfi 9120 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑧) β†’ (𝑧 ∩ π‘Š) ∈ Fin)
1512, 13, 14sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑧 ∩ π‘Š) ∈ Fin)
16 elfpw 9301 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∩ π‘Š) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ↔ ((𝑧 ∩ π‘Š) βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š) ∧ (𝑧 ∩ π‘Š) ∈ Fin))
1710, 15, 16sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑧 ∩ π‘Š) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin))
18 sseq2 3971 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑧 ∩ π‘Š) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑏 ↔ π‘Ž βŠ† (𝑧 ∩ π‘Š)))
19 ssin 4191 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž βŠ† 𝑧 ∧ π‘Ž βŠ† π‘Š) ↔ π‘Ž βŠ† (𝑧 ∩ π‘Š))
2018, 19bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑧 ∩ π‘Š) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑏 ↔ (π‘Ž βŠ† 𝑧 ∧ π‘Ž βŠ† π‘Š)))
21 reseq2 5933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (𝑧 ∩ π‘Š) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏) = ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š)))
22 inss2 4190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∩ π‘Š) βŠ† π‘Š
23 resabs1 5968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∩ π‘Š) βŠ† π‘Š β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š)) = (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š)))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š)) = (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))
2521, 24eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (𝑧 ∩ π‘Š) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏) = (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š)))
2625oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑧 ∩ π‘Š) β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))))
2726eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑧 ∩ π‘Š) β†’ ((𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))) ∈ 𝑒))
2820, 27imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑧 ∩ π‘Š) β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒) ↔ ((π‘Ž βŠ† 𝑧 ∧ π‘Ž βŠ† π‘Š) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))) ∈ 𝑒)))
2928rspcv 3576 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∩ π‘Š) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒) β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝑧 ∧ π‘Ž βŠ† π‘Š) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))) ∈ 𝑒)))
3017, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒) β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝑧 ∧ π‘Ž βŠ† π‘Š) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))) ∈ 𝑒)))
31 elfpw 9301 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ↔ (π‘Ž βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ Fin))
3231simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) β†’ π‘Ž βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š))
3332ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ π‘Ž βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š))
34 inss2 4190 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∩ π‘Š) βŠ† π‘Š
3533, 34sstrdi 3957 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ π‘Ž βŠ† π‘Š)
3635biantrud 533 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑧 ↔ (π‘Ž βŠ† 𝑧 ∧ π‘Ž βŠ† π‘Š)))
37 tsmsres.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
38 tsmsres.z . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (0gβ€˜πΊ)
39 tsmsres.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
4039ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
41 tsmsres.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
4342, 9fssresd 6710 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆπ΅)
44 tsmsres.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
4541, 44fexd 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐹 ∈ V)
4738fvexi 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
48 ressuppss 8115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑧) supp 0 ) βŠ† (𝐹 supp 0 ))
4946, 47, 48sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑧) supp 0 ) βŠ† (𝐹 supp 0 ))
50 tsmsres.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† π‘Š)
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† π‘Š)
5249, 51sstrd 3955 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑧) supp 0 ) βŠ† π‘Š)
5347a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 0 ∈ V)
5443, 12, 53fdmfifsupp 9320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧) finSupp 0 )
5537, 38, 40, 12, 43, 52, 54gsumres 19695 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝑧) β†Ύ π‘Š)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
56 resres 5951 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 β†Ύ 𝑧) β†Ύ π‘Š) = (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))
5756oveq2i 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝑧) β†Ύ π‘Š)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š)))
5855, 57eqtr3di 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))))
5958eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))) ∈ 𝑒))
6036, 59imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ ((π‘Ž βŠ† 𝑧 ∧ π‘Ž βŠ† π‘Š) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑧 ∩ π‘Š))) ∈ 𝑒)))
6130, 60sylibrd 259 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
6261ralrimdva 3148 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
63 sseq1 3970 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘Ž β†’ (𝑦 βŠ† 𝑧 ↔ π‘Ž βŠ† 𝑧))
6463rspceaimv 3584 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
656, 62, 64syl6an 683 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
6665rexlimdva 3149 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
67 elfpw 9301 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
6867simplbi 499 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
6968adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
7069ssrind 4196 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š))
71 elinel2 4157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
7271adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
73 inss1 4189 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑦
74 ssfi 9120 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑦) β†’ (𝑦 ∩ π‘Š) ∈ Fin)
7572, 73, 74sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑦 ∩ π‘Š) ∈ Fin)
76 elfpw 9301 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∩ π‘Š) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ↔ ((𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) ∈ Fin))
7770, 75, 76sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑦 ∩ π‘Š) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin))
7868ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
79 elfpw 9301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ↔ (𝑏 βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š) ∧ 𝑏 ∈ Fin))
8079simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) β†’ 𝑏 βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š))
8180adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ 𝑏 βŠ† (𝐴 ∩ π‘Š))
8281, 1sstrdi 3957 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐴)
8378, 82unssd 4147 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝐴)
84 elinel2 4157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) β†’ 𝑏 ∈ Fin)
85 unfi 9119 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑏) ∈ Fin)
8672, 84, 85syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑏) ∈ Fin)
87 elfpw 9301 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 βˆͺ 𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝑦 βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝐴 ∧ (𝑦 βˆͺ 𝑏) ∈ Fin))
8883, 86, 87sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
89 ssun1 4133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 βŠ† (𝑦 βˆͺ 𝑏)
90 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑏) β†’ 𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑏))
9189, 90sseqtrrid 3998 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑏) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑧)
92 pm5.5 362 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑏) β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
94 reseq2 5933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑏) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧) = (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)))
9594oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑏) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))))
9695eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑏) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) ∈ 𝑒))
9793, 96bitrd 279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑏) β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) ∈ 𝑒))
9897rspcv 3576 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 βˆͺ 𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) ∈ 𝑒))
9988, 98syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) ∈ 𝑒))
10039ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
10186adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑏) ∈ Fin)
10241ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
10383adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝐴)
104102, 103fssresd 6710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)):(𝑦 βˆͺ 𝑏)⟢𝐡)
10545, 47jctir 522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
106105ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
107 ressuppss 8115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) supp 0 ) βŠ† (𝐹 supp 0 ))
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) supp 0 ) βŠ† (𝐹 supp 0 ))
10950ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† π‘Š)
110108, 109sstrd 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) supp 0 ) βŠ† π‘Š)
11147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ 0 ∈ V)
112104, 101, 111fdmfifsupp 9320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) finSupp 0 )
11337, 38, 100, 101, 104, 110, 112gsumres 19695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) β†Ύ π‘Š)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))))
114 resres 5951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) β†Ύ π‘Š) = (𝐹 β†Ύ ((𝑦 βˆͺ 𝑏) ∩ π‘Š))
115 indir 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 βˆͺ 𝑏) ∩ π‘Š) = ((𝑦 ∩ π‘Š) βˆͺ (𝑏 ∩ π‘Š))
11681, 34sstrdi 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ 𝑏 βŠ† π‘Š)
117116adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ 𝑏 βŠ† π‘Š)
118 df-ss 3928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 βŠ† π‘Š ↔ (𝑏 ∩ π‘Š) = 𝑏)
119117, 118sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝑏 ∩ π‘Š) = 𝑏)
120119uneq2d 4124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝑦 ∩ π‘Š) βˆͺ (𝑏 ∩ π‘Š)) = ((𝑦 ∩ π‘Š) βˆͺ 𝑏))
121 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)
122 ssequn1 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏 ↔ ((𝑦 ∩ π‘Š) βˆͺ 𝑏) = 𝑏)
123121, 122sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝑦 ∩ π‘Š) βˆͺ 𝑏) = 𝑏)
124120, 123eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝑦 ∩ π‘Š) βˆͺ (𝑏 ∩ π‘Š)) = 𝑏)
125115, 124eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝑦 βˆͺ 𝑏) ∩ π‘Š) = 𝑏)
126125reseq2d 5938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝑦 βˆͺ 𝑏) ∩ π‘Š)) = (𝐹 β†Ύ 𝑏))
127114, 126eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) β†Ύ π‘Š) = (𝐹 β†Ύ 𝑏))
128117resabs1d 5969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏) = (𝐹 β†Ύ 𝑏))
129127, 128eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) β†Ύ π‘Š) = ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏))
130129oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏)) β†Ύ π‘Š)) = (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)))
131113, 130eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) = (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)))
132131eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒))
133132biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) ∈ 𝑒 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒))
134133expr 458 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ ((𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏 β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) ∈ 𝑒 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
135134com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ 𝑏))) ∈ 𝑒 β†’ ((𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
13699, 135syld 47 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ ((𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
137136ralrimdva 3148 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)((𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
138 sseq1 3970 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (𝑦 ∩ π‘Š) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑏 ↔ (𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏))
139138rspceaimv 3584 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∩ π‘Š) ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)((𝑦 ∩ π‘Š) βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒))
14077, 137, 139syl6an 683 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
141140rexlimdva 3149 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))
14266, 141impbid 211 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
143142imbi2d 341 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))))
144143ralbidv 3171 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))))
145144anbi2d 630 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))))
146 eqid 2733 . . . 4 (TopOpenβ€˜πΊ) = (TopOpenβ€˜πΊ)
147 eqid 2733 . . . 4 (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin) = (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)
148 tsmsres.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
149 inex1g 5277 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∩ π‘Š) ∈ V)
15044, 149syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ π‘Š) ∈ V)
151 fssres 6709 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ (𝐴 ∩ π‘Š) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ π‘Š)):(𝐴 ∩ π‘Š)⟢𝐡)
15241, 1, 151sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ π‘Š)):(𝐴 ∩ π‘Š)⟢𝐡)
153 resres 5951 . . . . . . 7 ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β†Ύ π‘Š) = (𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ π‘Š))
154 ffn 6669 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
155 fnresdm 6621 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
15641, 154, 1553syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
157156reseq1d 5937 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β†Ύ π‘Š) = (𝐹 β†Ύ π‘Š))
158153, 157eqtr3id 2787 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ π‘Š)) = (𝐹 β†Ύ π‘Š))
159158feq1d 6654 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ π‘Š)):(𝐴 ∩ π‘Š)⟢𝐡 ↔ (𝐹 β†Ύ π‘Š):(𝐴 ∩ π‘Š)⟢𝐡))
160152, 159mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Š):(𝐴 ∩ π‘Š)⟢𝐡)
16137, 146, 147, 39, 148, 150, 160eltsms 23500 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums (𝐹 β†Ύ π‘Š)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 (𝐴 ∩ π‘Š) ∩ Fin)(π‘Ž βŠ† 𝑏 β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β†Ύ 𝑏)) ∈ 𝑒)))))
162 eqid 2733 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
16337, 146, 162, 39, 148, 44, 41eltsms 23500 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))))
164145, 161, 1633bitr4d 311 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums (𝐹 β†Ύ π‘Š)) ↔ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)))
165164eqrdv 2731 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums (𝐹 β†Ύ π‘Š)) = (𝐺 tsums 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561   β†Ύ cres 5636   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   supp csupp 8093  Fincfn 8886  Basecbs 17088  TopOpenctopn 17308  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327  CMndccmn 19567  TopSpctps 22297   tsums ctsu 23493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-ntr 22387  df-nei 22465  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tsms 23494
This theorem is referenced by:  tsmssplit  23519  esumss  32728
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