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Theorem tsmsres 24152
Description: Extend an infinite group sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsres.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsres.z 0 = (0g𝐺)
tsmsres.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmsres.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
tsmsres.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmsres.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmsres.s (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊)
Assertion
Ref Expression
tsmsres (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝑊)) = (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem tsmsres
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4237 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑊) ⊆ 𝐴
21sspwi 4612 . . . . . . . . . . 11 𝒫 (𝐴𝑊) ⊆ 𝒫 𝐴
3 ssrin 4242 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 (𝐴𝑊) ⊆ 𝒫 𝐴 → (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
5 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin))
64, 5sselid 3981 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
7 elfpw 9394 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧𝐴𝑧 ∈ Fin))
87simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧𝐴)
98adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧𝐴)
109ssrind 4244 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧𝑊) ⊆ (𝐴𝑊))
11 elinel2 4202 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
1211adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
13 inss1 4237 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑊) ⊆ 𝑧
14 ssfi 9213 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ Fin ∧ (𝑧𝑊) ⊆ 𝑧) → (𝑧𝑊) ∈ Fin)
1512, 13, 14sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧𝑊) ∈ Fin)
16 elfpw 9394 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ↔ ((𝑧𝑊) ⊆ (𝐴𝑊) ∧ (𝑧𝑊) ∈ Fin))
1710, 15, 16sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin))
18 sseq2 4010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑧𝑊) → (𝑎𝑏𝑎 ⊆ (𝑧𝑊)))
19 ssin 4239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑧𝑎𝑊) ↔ 𝑎 ⊆ (𝑧𝑊))
2018, 19bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑧𝑊) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎𝑧𝑎𝑊)))
21 reseq2 5992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (𝑧𝑊) → ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏) = ((𝐹𝑊) ↾ (𝑧𝑊)))
22 inss2 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝑊) ⊆ 𝑊
23 resabs1 6024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧𝑊) ⊆ 𝑊 → ((𝐹𝑊) ↾ (𝑧𝑊)) = (𝐹 ↾ (𝑧𝑊)))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑊) ↾ (𝑧𝑊)) = (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))
2521, 24eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (𝑧𝑊) → ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ (𝑧𝑊)))
2625oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑧𝑊) → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))))
2726eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑧𝑊) → ((𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))) ∈ 𝑢))
2820, 27imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑧𝑊) → ((𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) ↔ ((𝑎𝑧𝑎𝑊) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))) ∈ 𝑢)))
2928rspcv 3618 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ((𝑎𝑧𝑎𝑊) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))) ∈ 𝑢)))
3017, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ((𝑎𝑧𝑎𝑊) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))) ∈ 𝑢)))
31 elfpw 9394 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ↔ (𝑎 ⊆ (𝐴𝑊) ∧ 𝑎 ∈ Fin))
3231simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ⊆ (𝐴𝑊))
3332ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ⊆ (𝐴𝑊))
34 inss2 4238 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑊) ⊆ 𝑊
3533, 34sstrdi 3996 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎𝑊)
3635biantrud 531 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑎𝑧 ↔ (𝑎𝑧𝑎𝑊)))
37 tsmsres.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘𝐺)
38 tsmsres.z . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (0g𝐺)
39 tsmsres.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4039ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
41 tsmsres.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
4241ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴𝐵)
4342, 9fssresd 6775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧):𝑧𝐵)
44 tsmsres.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴𝑉)
4541, 44fexd 7247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ∈ V)
4645ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹 ∈ V)
4738fvexi 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
48 ressuppss 8208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹𝑧) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
4946, 47, 48sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹𝑧) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
50 tsmsres.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊)
5150ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊)
5249, 51sstrd 3994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹𝑧) supp 0 ) ⊆ 𝑊)
5347a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ V)
5443, 12, 53fdmfifsupp 9415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧) finSupp 0 )
5537, 38, 40, 12, 43, 52, 54gsumres 19931 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹𝑧) ↾ 𝑊)) = (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
56 resres 6010 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑧) ↾ 𝑊) = (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))
5756oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 Σg ((𝐹𝑧) ↾ 𝑊)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊)))
5855, 57eqtr3di 2792 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))))
5958eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))) ∈ 𝑢))
6036, 59imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝑎𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ((𝑎𝑧𝑎𝑊) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))) ∈ 𝑢)))
6130, 60sylibrd 259 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → (𝑎𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
6261ralrimdva 3154 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑎𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
63 sseq1 4009 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦𝑧𝑎𝑧))
6463rspceaimv 3628 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑎𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))
656, 62, 64syl6an 684 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
6665rexlimdva 3155 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
67 elfpw 9394 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦𝐴𝑦 ∈ Fin))
6867simplbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
6968adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦𝐴)
7069ssrind 4244 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦𝑊) ⊆ (𝐴𝑊))
71 elinel2 4202 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
7271adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
73 inss1 4237 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑊) ⊆ 𝑦
74 ssfi 9213 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑦) → (𝑦𝑊) ∈ Fin)
7572, 73, 74sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦𝑊) ∈ Fin)
76 elfpw 9394 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ↔ ((𝑦𝑊) ⊆ (𝐴𝑊) ∧ (𝑦𝑊) ∈ Fin))
7770, 75, 76sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin))
7868ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → 𝑦𝐴)
79 elfpw 9394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ↔ (𝑏 ⊆ (𝐴𝑊) ∧ 𝑏 ∈ Fin))
8079simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ⊆ (𝐴𝑊))
8180adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → 𝑏 ⊆ (𝐴𝑊))
8281, 1sstrdi 3996 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → 𝑏𝐴)
8378, 82unssd 4192 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → (𝑦𝑏) ⊆ 𝐴)
84 elinel2 4202 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ∈ Fin)
85 unfi 9211 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) → (𝑦𝑏) ∈ Fin)
8672, 84, 85syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → (𝑦𝑏) ∈ Fin)
87 elfpw 9394 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝑦𝑏) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦𝑏) ∈ Fin))
8883, 86, 87sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → (𝑦𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
89 ssun1 4178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 ⊆ (𝑦𝑏)
90 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑦𝑏) → 𝑧 = (𝑦𝑏))
9189, 90sseqtrrid 4027 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦𝑏) → 𝑦𝑧)
92 pm5.5 361 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝑧 → ((𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦𝑏) → ((𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))
94 reseq2 5992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑦𝑏) → (𝐹𝑧) = (𝐹 ↾ (𝑦𝑏)))
9594oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦𝑏) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))))
9695eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦𝑏) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) ∈ 𝑢))
9793, 96bitrd 279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦𝑏) → ((𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) ∈ 𝑢))
9897rspcv 3618 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) ∈ 𝑢))
9988, 98syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) ∈ 𝑢))
10039ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → 𝐺 ∈ CMnd)
10186adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝑦𝑏) ∈ Fin)
10241ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → 𝐹:𝐴𝐵)
10383adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝑦𝑏) ⊆ 𝐴)
104102, 103fssresd 6775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 ↾ (𝑦𝑏)):(𝑦𝑏)⟶𝐵)
10545, 47jctir 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
106105ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
107 ressuppss 8208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
10950ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊)
110108, 109sstrd 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) supp 0 ) ⊆ 𝑊)
11147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → 0 ∈ V)
112104, 101, 111fdmfifsupp 9415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) finSupp 0 )
11337, 38, 100, 101, 104, 110, 112gsumres 19931 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) ↾ 𝑊)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))))
114 resres 6010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) ↾ 𝑊) = (𝐹 ↾ ((𝑦𝑏) ∩ 𝑊))
115 indir 4286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦𝑏) ∩ 𝑊) = ((𝑦𝑊) ∪ (𝑏𝑊))
11681, 34sstrdi 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → 𝑏𝑊)
117116adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → 𝑏𝑊)
118 dfss2 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏𝑊 ↔ (𝑏𝑊) = 𝑏)
119117, 118sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝑏𝑊) = 𝑏)
120119uneq2d 4168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝑦𝑊) ∪ (𝑏𝑊)) = ((𝑦𝑊) ∪ 𝑏))
121 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)
122 ssequn1 4186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦𝑊) ⊆ 𝑏 ↔ ((𝑦𝑊) ∪ 𝑏) = 𝑏)
123121, 122sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝑦𝑊) ∪ 𝑏) = 𝑏)
124120, 123eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝑦𝑊) ∪ (𝑏𝑊)) = 𝑏)
125115, 124eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝑦𝑏) ∩ 𝑊) = 𝑏)
126125reseq2d 5997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 ↾ ((𝑦𝑏) ∩ 𝑊)) = (𝐹𝑏))
127114, 126eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) ↾ 𝑊) = (𝐹𝑏))
128117resabs1d 6026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏) = (𝐹𝑏))
129127, 128eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) ↾ 𝑊) = ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏))
130129oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) ↾ 𝑊)) = (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)))
131113, 130eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) = (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)))
132131eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))
133132biimpd 229 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) ∈ 𝑢 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))
134133expr 456 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → ((𝑦𝑊) ⊆ 𝑏 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) ∈ 𝑢 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
135134com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) ∈ 𝑢 → ((𝑦𝑊) ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
13699, 135syld 47 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → ((𝑦𝑊) ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
137136ralrimdva 3154 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → ∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)((𝑦𝑊) ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
138 sseq1 4009 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑦𝑊) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏))
139138rspceaimv 3628 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ ∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)((𝑦𝑊) ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))
14077, 137, 139syl6an 684 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
141140rexlimdva 3155 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
14266, 141impbid 212 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
143142imbi2d 340 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))))
144143ralbidv 3178 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))))
145144anbi2d 630 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))))
146 eqid 2737 . . . 4 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
147 eqid 2737 . . . 4 (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) = (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)
148 tsmsres.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
149 inex1g 5319 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝐴𝑊) ∈ V)
15044, 149syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑊) ∈ V)
151 fssres 6774 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ (𝐴𝑊) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴𝑊)):(𝐴𝑊)⟶𝐵)
15241, 1, 151sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴𝑊)):(𝐴𝑊)⟶𝐵)
153 resres 6010 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ↾ 𝑊) = (𝐹 ↾ (𝐴𝑊))
154 ffn 6736 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
155 fnresdm 6687 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
15641, 154, 1553syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
157156reseq1d 5996 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ↾ 𝑊) = (𝐹𝑊))
158153, 157eqtr3id 2791 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴𝑊)) = (𝐹𝑊))
159158feq1d 6720 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴𝑊)):(𝐴𝑊)⟶𝐵 ↔ (𝐹𝑊):(𝐴𝑊)⟶𝐵))
160152, 159mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑊):(𝐴𝑊)⟶𝐵)
16137, 146, 147, 39, 148, 150, 160eltsms 24141 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝑊)) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))))
162 eqid 2737 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
16337, 146, 162, 39, 148, 44, 41eltsms 24141 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))))
164145, 161, 1633bitr4d 311 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)))
165164eqrdv 2735 1 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝑊)) = (𝐺 tsums 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cun 3949  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600  cres 5687   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431   supp csupp 8185  Fincfn 8985  Basecbs 17247  TopOpenctopn 17466  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  CMndccmn 19798  TopSpctps 22938   tsums ctsu 24134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-ntr 23028  df-nei 23106  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-tsms 24135
This theorem is referenced by:  tsmssplit  24160  esumss  34073
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