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Theorem tsmsres 22435
Description: Extend an infinite group sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsres.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsres.z 0 = (0g𝐺)
tsmsres.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmsres.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
tsmsres.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmsres.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmsres.s (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊)
Assertion
Ref Expression
tsmsres (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝑊)) = (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem tsmsres
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4127 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑊) ⊆ 𝐴
2 sspwb 5236 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑊) ⊆ 𝐴 ↔ 𝒫 (𝐴𝑊) ⊆ 𝒫 𝐴)
31, 2mpbi 231 . . . . . . . . . . 11 𝒫 (𝐴𝑊) ⊆ 𝒫 𝐴
4 ssrin 4132 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 (𝐴𝑊) ⊆ 𝒫 𝐴 → (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
6 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin))
75, 6sseldi 3889 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
8 elfpw 8675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧𝐴𝑧 ∈ Fin))
98simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧𝐴)
109adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧𝐴)
1110ssrind 4134 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧𝑊) ⊆ (𝐴𝑊))
12 elinel2 4096 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
1312adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
14 inss1 4127 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑊) ⊆ 𝑧
15 ssfi 8587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ Fin ∧ (𝑧𝑊) ⊆ 𝑧) → (𝑧𝑊) ∈ Fin)
1613, 14, 15sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧𝑊) ∈ Fin)
17 elfpw 8675 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ↔ ((𝑧𝑊) ⊆ (𝐴𝑊) ∧ (𝑧𝑊) ∈ Fin))
1811, 16, 17sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin))
19 sseq2 3916 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑧𝑊) → (𝑎𝑏𝑎 ⊆ (𝑧𝑊)))
20 ssin 4129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑧𝑎𝑊) ↔ 𝑎 ⊆ (𝑧𝑊))
2119, 20syl6bbr 290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑧𝑊) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎𝑧𝑎𝑊)))
22 reseq2 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (𝑧𝑊) → ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏) = ((𝐹𝑊) ↾ (𝑧𝑊)))
23 inss2 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝑊) ⊆ 𝑊
24 resabs1 5767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧𝑊) ⊆ 𝑊 → ((𝐹𝑊) ↾ (𝑧𝑊)) = (𝐹 ↾ (𝑧𝑊)))
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑊) ↾ (𝑧𝑊)) = (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))
2622, 25syl6eq 2846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (𝑧𝑊) → ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ (𝑧𝑊)))
2726oveq2d 7035 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑧𝑊) → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))))
2827eleq1d 2866 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑧𝑊) → ((𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))) ∈ 𝑢))
2921, 28imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑧𝑊) → ((𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) ↔ ((𝑎𝑧𝑎𝑊) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))) ∈ 𝑢)))
3029rspcv 3553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ((𝑎𝑧𝑎𝑊) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))) ∈ 𝑢)))
3118, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ((𝑎𝑧𝑎𝑊) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))) ∈ 𝑢)))
32 elfpw 8675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ↔ (𝑎 ⊆ (𝐴𝑊) ∧ 𝑎 ∈ Fin))
3332simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ⊆ (𝐴𝑊))
3433ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ⊆ (𝐴𝑊))
35 inss2 4128 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑊) ⊆ 𝑊
3634, 35syl6ss 3903 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎𝑊)
3736biantrud 532 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑎𝑧 ↔ (𝑎𝑧𝑎𝑊)))
38 resres 5750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑧) ↾ 𝑊) = (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))
3938oveq2i 7030 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 Σg ((𝐹𝑧) ↾ 𝑊)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊)))
40 tsmsres.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘𝐺)
41 tsmsres.z . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (0g𝐺)
42 tsmsres.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4342ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
44 tsmsres.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
4544ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴𝐵)
4645, 10fssresd 6416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧):𝑧𝐵)
47 tsmsres.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴𝑉)
48 fex 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
4944, 47, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ∈ V)
5049ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹 ∈ V)
5141fvexi 6555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
52 ressuppss 7703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹𝑧) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
5350, 51, 52sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹𝑧) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
54 tsmsres.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊)
5554ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊)
5653, 55sstrd 3901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹𝑧) supp 0 ) ⊆ 𝑊)
5751a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ V)
5846, 13, 57fdmfifsupp 8692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧) finSupp 0 )
5940, 41, 43, 13, 46, 56, 58gsumres 18754 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹𝑧) ↾ 𝑊)) = (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
6039, 59syl5reqr 2845 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))))
6160eleq1d 2866 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))) ∈ 𝑢))
6237, 61imbi12d 346 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝑎𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ((𝑎𝑧𝑎𝑊) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑧𝑊))) ∈ 𝑢)))
6331, 62sylibrd 260 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → (𝑎𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
6463ralrimdva 3155 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑎𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
65 sseq1 3915 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦𝑧𝑎𝑧))
6665rspceaimv 3565 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑎𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))
677, 64, 66syl6an 680 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
6867rexlimdva 3246 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
69 elfpw 8675 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦𝐴𝑦 ∈ Fin))
7069simplbi 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
7170adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦𝐴)
7271ssrind 4134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦𝑊) ⊆ (𝐴𝑊))
73 elinel2 4096 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
7473adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
75 inss1 4127 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑊) ⊆ 𝑦
76 ssfi 8587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑦) → (𝑦𝑊) ∈ Fin)
7774, 75, 76sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦𝑊) ∈ Fin)
78 elfpw 8675 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ↔ ((𝑦𝑊) ⊆ (𝐴𝑊) ∧ (𝑦𝑊) ∈ Fin))
7972, 77, 78sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin))
8070ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → 𝑦𝐴)
81 elfpw 8675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ↔ (𝑏 ⊆ (𝐴𝑊) ∧ 𝑏 ∈ Fin))
8281simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ⊆ (𝐴𝑊))
8382adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → 𝑏 ⊆ (𝐴𝑊))
8483, 1syl6ss 3903 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → 𝑏𝐴)
8580, 84unssd 4085 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → (𝑦𝑏) ⊆ 𝐴)
86 elinel2 4096 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ∈ Fin)
87 unfi 8634 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) → (𝑦𝑏) ∈ Fin)
8874, 86, 87syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → (𝑦𝑏) ∈ Fin)
89 elfpw 8675 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝑦𝑏) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦𝑏) ∈ Fin))
9085, 88, 89sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → (𝑦𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
91 ssun1 4071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 ⊆ (𝑦𝑏)
92 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑦𝑏) → 𝑧 = (𝑦𝑏))
9391, 92sseqtrrid 3943 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦𝑏) → 𝑦𝑧)
94 pm5.5 363 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝑧 → ((𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦𝑏) → ((𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))
96 reseq2 5732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑦𝑏) → (𝐹𝑧) = (𝐹 ↾ (𝑦𝑏)))
9796oveq2d 7035 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦𝑏) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))))
9897eleq1d 2866 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦𝑏) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) ∈ 𝑢))
9995, 98bitrd 280 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦𝑏) → ((𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) ∈ 𝑢))
10099rspcv 3553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) ∈ 𝑢))
10190, 100syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) ∈ 𝑢))
10242ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → 𝐺 ∈ CMnd)
10388adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝑦𝑏) ∈ Fin)
10444ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → 𝐹:𝐴𝐵)
10585adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝑦𝑏) ⊆ 𝐴)
106104, 105fssresd 6416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 ↾ (𝑦𝑏)):(𝑦𝑏)⟶𝐵)
10749, 51jctir 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
108107ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
109 ressuppss 7703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
11154ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊)
112110, 111sstrd 3901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) supp 0 ) ⊆ 𝑊)
11351a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → 0 ∈ V)
114106, 103, 113fdmfifsupp 8692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) finSupp 0 )
11540, 41, 102, 103, 106, 112, 114gsumres 18754 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) ↾ 𝑊)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))))
116 resres 5750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) ↾ 𝑊) = (𝐹 ↾ ((𝑦𝑏) ∩ 𝑊))
117 indir 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦𝑏) ∩ 𝑊) = ((𝑦𝑊) ∪ (𝑏𝑊))
11883, 35syl6ss 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → 𝑏𝑊)
119118adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → 𝑏𝑊)
120 df-ss 3876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏𝑊 ↔ (𝑏𝑊) = 𝑏)
121119, 120sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝑏𝑊) = 𝑏)
122121uneq2d 4062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝑦𝑊) ∪ (𝑏𝑊)) = ((𝑦𝑊) ∪ 𝑏))
123 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)
124 ssequn1 4079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦𝑊) ⊆ 𝑏 ↔ ((𝑦𝑊) ∪ 𝑏) = 𝑏)
125123, 124sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝑦𝑊) ∪ 𝑏) = 𝑏)
126122, 125eqtrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝑦𝑊) ∪ (𝑏𝑊)) = 𝑏)
127117, 126syl5eq 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝑦𝑏) ∩ 𝑊) = 𝑏)
128127reseq2d 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐹 ↾ ((𝑦𝑏) ∩ 𝑊)) = (𝐹𝑏))
129116, 128syl5eq 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) ↾ 𝑊) = (𝐹𝑏))
130119resabs1d 5768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏) = (𝐹𝑏))
131129, 130eqtr4d 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) ↾ 𝑊) = ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏))
132131oveq2d 7035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦𝑏)) ↾ 𝑊)) = (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)))
133115, 132eqtr3d 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) = (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)))
134133eleq1d 2866 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))
135134biimpd 230 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) ∈ 𝑢 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))
136135expr 457 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → ((𝑦𝑊) ⊆ 𝑏 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) ∈ 𝑢 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
137136com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦𝑏))) ∈ 𝑢 → ((𝑦𝑊) ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
138101, 137syld 47 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → ((𝑦𝑊) ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
139138ralrimdva 3155 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → ∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)((𝑦𝑊) ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
140 sseq1 3915 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑦𝑊) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑦𝑊) ⊆ 𝑏))
141140rspceaimv 3565 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝑊) ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) ∧ ∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)((𝑦𝑊) ⊆ 𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))
14279, 139, 141syl6an 680 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
143142rexlimdva 3246 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
14468, 143impbid 213 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
145144imbi2d 342 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))))
146145ralbidv 3163 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))))
147146anbi2d 628 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))))
148 eqid 2794 . . . 4 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
149 eqid 2794 . . . 4 (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin) = (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)
150 tsmsres.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
151 inex1g 5117 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝐴𝑊) ∈ V)
15247, 151syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑊) ∈ V)
153 fssres 6415 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ (𝐴𝑊) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴𝑊)):(𝐴𝑊)⟶𝐵)
15444, 1, 153sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴𝑊)):(𝐴𝑊)⟶𝐵)
155 resres 5750 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ↾ 𝑊) = (𝐹 ↾ (𝐴𝑊))
156 ffn 6385 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
157 fnresdm 6339 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
15844, 156, 1573syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
159158reseq1d 5736 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ↾ 𝑊) = (𝐹𝑊))
160155, 159syl5eqr 2844 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴𝑊)) = (𝐹𝑊))
161160feq1d 6370 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴𝑊)):(𝐴𝑊)⟶𝐵 ↔ (𝐹𝑊):(𝐴𝑊)⟶𝐵))
162154, 161mpbid 233 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑊):(𝐴𝑊)⟶𝐵)
16340, 148, 149, 42, 150, 152, 162eltsms 22424 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝑊)) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 (𝐴𝑊) ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝑊) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))))
164 eqid 2794 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
16540, 148, 164, 42, 150, 47, 44eltsms 22424 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))))
166147, 163, 1653bitr4d 312 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)))
167166eqrdv 2792 1 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝑊)) = (𝐺 tsums 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2080  wral 3104  wrex 3105  Vcvv 3436  cun 3859  cin 3860  wss 3861  𝒫 cpw 4455  cres 5448   Fn wfn 6223  wf 6224  cfv 6228  (class class class)co 7019   supp csupp 7684  Fincfn 8360  Basecbs 16312  TopOpenctopn 16524  0gc0g 16542   Σg cgsu 16543  CMndccmn 18633  TopSpctps 21224   tsums ctsu 22417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-se 5406  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-isom 6237  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-supp 7685  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-oadd 7960  df-er 8142  df-map 8261  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-fsupp 8683  df-oi 8823  df-card 9217  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-hash 13541  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-ntr 21312  df-nei 21390  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232  df-tsms 22418
This theorem is referenced by:  tsmssplit  22443  esumss  30940
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