Theorem rereccl 11985

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rereccl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rrecex 11227	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
2		eqcom 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝐴) ↔ (1 / 𝐴) = 𝑥)
3		1cnd 11256	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
4		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11289	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
6		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11289	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
9		divmul 11925	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((1 / 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1))
10	3, 5, 7, 8, 9	syl112anc 1376	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1))
11	2, 10	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 = (1 / 𝐴) ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1))
12	11	rexbidva 3177	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑥 ∈ ℝ 𝑥 = (1 / 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
13	1, 12	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑥 = (1 / 𝐴))
14		risset 3233	. 2 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑥 = (1 / 𝐴))
15	13, 14	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   / cdiv 11920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921

This theorem is referenced by:  redivcl  11986  rerecclzi  12031  rereccld  12094  ltdiv2  12154  ltrec1  12155  lerec2  12156  lediv2  12158  lediv12a  12161  recreclt  12167  recnz  12693  reexpclz  14123  rediv  15170  imdiv  15177  resqrex  15289  resubdrg  21626  axcontlem2  28980  leopmul  32153  nmopleid  32158  cdj1i  32452  lediv2aALT  35682