Theorem rereccl 11902

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rereccl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rrecex 11138	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
2		eqcom 2768	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝐴) ↔ (1 / 𝐴) = 𝑥)
3		1cnd 11168	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
4		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11203	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
6		simpll 776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11203	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		simplr 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
9		divmul 11841	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((1 / 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1))
10	3, 5, 7, 8, 9	syl112anc 1392	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1))
11	2, 10	bitrid 285	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 = (1 / 𝐴) ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1))
12	11	rexbidva 3183	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑥 ∈ ℝ 𝑥 = (1 / 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
13	1, 12	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑥 = (1 / 𝐴))
14		risset 3236	. 2 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑥 = (1 / 𝐴))
15	13, 14	sylibr 236	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085  (class class class)co 7390  ℂcc 11064  ℝcr 11065  0cc0 11066  1c1 11067   · cmul 11071   / cdiv 11837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838

This theorem is referenced by:  redivcl  11903  rerecclzi  11948  rereccld  12011  ltdiv2  12071  ltrec1  12072  lerec2  12073  lediv2  12075  lediv12a  12078  recreclt  12084  recnz  12641  reexpclz  14088  rediv  15148  imdiv  15155  resqrex  15267  resubdrg  21647  axcontlem2  29122  leopmul  32293  nmopleid  32298  cdj1i  32592  lediv2aALT  35987