Theorem mat1dimbas 22397

Description: A matrix with dimension 1 is an ordered pair with an ordered pair (of the one and only pair of indices) as first component. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimbas	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (Base‘𝐴))

Proof of Theorem mat1dimbas

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risset 3215	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑟 = 𝑋)
2		eqcom 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝑟 ↔ 𝑟 = 𝑋)
3	2	rexbii 3082	. . . . 5 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑋 = 𝑟 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑟 = 𝑋)
4	1, 3	sylbb2 238	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑋 = 𝑟)
5	4	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑋 = 𝑟)
6		mat1dim.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
7		opex 5437	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
8	6, 7	eqeltri 2829	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 ∈ V
9		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		opthg 5450	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩ ↔ (𝑂 = 𝑂 ∧ 𝑋 = 𝑟)))
11	8, 9, 10	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩ ↔ (𝑂 = 𝑂 ∧ 𝑋 = 𝑟)))
12		opex 5437	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝑂, 𝑋⟩ ∈ V
13		sneqbg 4817	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑂, 𝑋⟩ ∈ V → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩} ↔ ⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩} ↔ ⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩)
15		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = 𝑂
16	15	biantrur 530	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑟 ↔ (𝑂 = 𝑂 ∧ 𝑋 = 𝑟))
17	11, 14, 16	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩} ↔ 𝑋 = 𝑟))
18	17	rexbidv 3162	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑟 ∈ 𝐵 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩} ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑋 = 𝑟))
19	5, 18	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩})
20		mat1dim.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
21		mat1dim.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
22	20, 21, 6	mat1dimelbas 22396	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
23	22	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
24	19, 23	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (Base‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059  Vcvv 3457  {csn 4599  ⟨cop 4605  ‘cfv 6528  (class class class)co 7400  Basecbs 17215  Ringcrg 20180   Mat cmat 22332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-ot 4608  df-uni 4882  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-supp 8155  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8475  df-er 8714  df-map 8837  df-ixp 8907  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-fin 8958  df-fsupp 9369  df-sup 9449  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12234  df-2 12296  df-3 12297  df-4 12298  df-5 12299  df-6 12300  df-7 12301  df-8 12302  df-9 12303  df-n0 12495  df-z 12582  df-dec 12702  df-uz 12846  df-fz 13515  df-struct 17153  df-sets 17170  df-slot 17188  df-ndx 17200  df-base 17216  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-hom 17282  df-cco 17283  df-0g 17442  df-prds 17448  df-pws 17450  df-sra 21118  df-rgmod 21119  df-dsmm 21679  df-frlm 21694  df-mat 22333

This theorem is referenced by:  mat1dimscm  22400  mat1rhmcl  22406