Theorem mat1dimbas 22375

Description: A matrix with dimension 1 is an ordered pair with an ordered pair (of the one and only pair of indices) as first component. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimbas	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (Base‘𝐴))

Proof of Theorem mat1dimbas

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risset 3204	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑟 = 𝑋)
2		eqcom 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝑟 ↔ 𝑟 = 𝑋)
3	2	rexbii 3076	. . . . 5 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑋 = 𝑟 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑟 = 𝑋)
4	1, 3	sylbb2 238	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑋 = 𝑟)
5	4	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑋 = 𝑟)
6		mat1dim.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
7		opex 5411	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
8	6, 7	eqeltri 2824	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 ∈ V
9		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		opthg 5424	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩ ↔ (𝑂 = 𝑂 ∧ 𝑋 = 𝑟)))
11	8, 9, 10	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩ ↔ (𝑂 = 𝑂 ∧ 𝑋 = 𝑟)))
12		opex 5411	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝑂, 𝑋⟩ ∈ V
13		sneqbg 4797	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑂, 𝑋⟩ ∈ V → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩} ↔ ⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩} ↔ ⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩)
15		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = 𝑂
16	15	biantrur 530	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑟 ↔ (𝑂 = 𝑂 ∧ 𝑋 = 𝑟))
17	11, 14, 16	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩} ↔ 𝑋 = 𝑟))
18	17	rexbidv 3153	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑟 ∈ 𝐵 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩} ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑋 = 𝑟))
19	5, 18	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩})
20		mat1dim.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
21		mat1dim.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
22	20, 21, 6	mat1dimelbas 22374	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
23	22	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
24	19, 23	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (Base‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3438  {csn 4579  ⟨cop 4585  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  Ringcrg 20136   Mat cmat 22310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-prds 17369  df-pws 17371  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-dsmm 21657  df-frlm 21672  df-mat 22311

This theorem is referenced by:  mat1dimscm  22378  mat1rhmcl  22384