Theorem mat1dimbas 22831

Description: A matrix with dimension 1 is an ordered pair with an ordered pair (of the one and only pair of indices) as first component. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimbas	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (Base‘𝐴))

Proof of Theorem mat1dimbas

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risset 3241	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑟 = 𝑋)
2		eqcom 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝑟 ↔ 𝑟 = 𝑋)
3	2	rexbii 3113	. . . . 5 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑋 = 𝑟 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑟 = 𝑋)
4	1, 3	sylbb2 241	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑋 = 𝑟)
5	4	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑋 = 𝑟)
6		mat1dim.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
7		opex 5437	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
8	6, 7	eqeltri 2860	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 ∈ V
9		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		opthg 5451	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩ ↔ (𝑂 = 𝑂 ∧ 𝑋 = 𝑟)))
11	8, 9, 10	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩ ↔ (𝑂 = 𝑂 ∧ 𝑋 = 𝑟)))
12		opex 5437	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝑂, 𝑋⟩ ∈ V
13		sneqbg 4801	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑂, 𝑋⟩ ∈ V → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩} ↔ ⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩} ↔ ⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩)
15		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = 𝑂
16	15	biantrur 540	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑟 ↔ (𝑂 = 𝑂 ∧ 𝑋 = 𝑟))
17	11, 14, 16	3bitr4g 317	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩} ↔ 𝑋 = 𝑟))
18	17	rexbidv 3190	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑟 ∈ 𝐵 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩} ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑋 = 𝑟))
19	5, 18	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩})
20		mat1dim.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
21		mat1dim.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
22	20, 21, 6	mat1dimelbas 22830	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
23	22	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
24	19, 23	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (Base‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  Vcvv 3454  {csn 4588  ⟨cop 4838  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  Basecbs 17428  Ringcrg 20501   Mat cmat 22766

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8213  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-map 8885  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fsupp 9390  df-sup 9469  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-fz 13678  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-hom 17493  df-cco 17494  df-0g 17653  df-prds 17659  df-pws 17661  df-sra 21490  df-rgmod 21491  df-dsmm 22082  df-frlm 22097  df-mat 22767

This theorem is used by:  mat1dimscm  22834  mat1rhmcl  22840