MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1dimbas 20555
Description: A matrix with dimension 1 is an ordered pair with an ordered pair (of the one and only pair of indices) as first component. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
Assertion
Ref Expression
mat1dimbas ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑋𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (Base‘𝐴))

Proof of Theorem mat1dimbas
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 risset 3209 . . . . 5 (𝑋𝐵 ↔ ∃𝑟𝐵 𝑟 = 𝑋)
2 eqcom 2772 . . . . . 6 (𝑋 = 𝑟𝑟 = 𝑋)
32rexbii 3188 . . . . 5 (∃𝑟𝐵 𝑋 = 𝑟 ↔ ∃𝑟𝐵 𝑟 = 𝑋)
41, 3sylbb2 229 . . . 4 (𝑋𝐵 → ∃𝑟𝐵 𝑋 = 𝑟)
543ad2ant3 1165 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑋𝐵) → ∃𝑟𝐵 𝑋 = 𝑟)
6 mat1dim.o . . . . . . 7 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
7 opex 5088 . . . . . . 7 𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
86, 7eqeltri 2840 . . . . . 6 𝑂 ∈ V
9 simp3 1168 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
10 opthg 5101 . . . . . 6 ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → (⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩ ↔ (𝑂 = 𝑂𝑋 = 𝑟)))
118, 9, 10sylancr 581 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑋𝐵) → (⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩ ↔ (𝑂 = 𝑂𝑋 = 𝑟)))
12 opex 5088 . . . . . 6 𝑂, 𝑋⟩ ∈ V
13 sneqbg 4526 . . . . . 6 (⟨𝑂, 𝑋⟩ ∈ V → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩} ↔ ⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩))
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5 ({⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩} ↔ ⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩)
15 eqid 2765 . . . . . 6 𝑂 = 𝑂
1615biantrur 526 . . . . 5 (𝑋 = 𝑟 ↔ (𝑂 = 𝑂𝑋 = 𝑟))
1711, 14, 163bitr4g 305 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑋𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩} ↔ 𝑋 = 𝑟))
1817rexbidv 3199 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑋𝐵) → (∃𝑟𝐵 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩} ↔ ∃𝑟𝐵 𝑋 = 𝑟))
195, 18mpbird 248 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑋𝐵) → ∃𝑟𝐵 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩})
20 mat1dim.a . . . 4 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
21 mat1dim.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2220, 21, 6mat1dimelbas 20554 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑟𝐵 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
23223adant3 1162 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑋𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑟𝐵 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
2419, 23mpbird 248 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑋𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (Base‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056  Vcvv 3350  {csn 4334  cop 4340  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16130  Ringcrg 18814   Mat cmat 20489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-ot 4343  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-sup 8555  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-fz 12534  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-hom 16238  df-cco 16239  df-0g 16368  df-prds 16374  df-pws 16376  df-sra 19446  df-rgmod 19447  df-dsmm 20352  df-frlm 20367  df-mat 20490
This theorem is referenced by:  mat1dimscm  20558  mat1rhmcl  20564
  Copyright terms: Public domain W3C validator