Theorem mat1dimbas 22367

Description: A matrix with dimension 1 is an ordered pair with an ordered pair (of the one and only pair of indices) as first component. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimbas	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (Base‘𝐴))

Proof of Theorem mat1dimbas

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risset 3225	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑟 = 𝑋)
2		eqcom 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝑟 ↔ 𝑟 = 𝑋)
3	2	rexbii 3089	. . . . 5 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑋 = 𝑟 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑟 = 𝑋)
4	1, 3	sylbb2 237	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑋 = 𝑟)
5	4	3ad2ant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑋 = 𝑟)
6		mat1dim.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
7		opex 5460	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
8	6, 7	eqeltri 2824	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 ∈ V
9		simp3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		opthg 5473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩ ↔ (𝑂 = 𝑂 ∧ 𝑋 = 𝑟)))
11	8, 9, 10	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩ ↔ (𝑂 = 𝑂 ∧ 𝑋 = 𝑟)))
12		opex 5460	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝑂, 𝑋⟩ ∈ V
13		sneqbg 4840	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑂, 𝑋⟩ ∈ V → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩} ↔ ⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩} ↔ ⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩)
15		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = 𝑂
16	15	biantrur 530	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑟 ↔ (𝑂 = 𝑂 ∧ 𝑋 = 𝑟))
17	11, 14, 16	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩} ↔ 𝑋 = 𝑟))
18	17	rexbidv 3173	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑟 ∈ 𝐵 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩} ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑋 = 𝑟))
19	5, 18	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩})
20		mat1dim.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
21		mat1dim.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
22	20, 21, 6	mat1dimelbas 22366	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
23	22	3adant3 1130	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
24	19, 23	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (Base‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3065  Vcvv 3469  {csn 4624  ⟨cop 4630  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  Ringcrg 20166   Mat cmat 22300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-sup 9459  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17416  df-prds 17422  df-pws 17424  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-dsmm 21659  df-frlm 21674  df-mat 22301

This theorem is referenced by:  mat1dimscm  22370  mat1rhmcl  22376