MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nndiv 12257
Description: Two ways to express "๐ด divides ๐ต " for positive integers. (Contributed by NM, 3-Feb-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nndiv ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐ด ยท ๐‘ฅ) = ๐ต โ†” (๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„•))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem nndiv
StepHypRef Expression
1 risset 3222 . 2 ((๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„• โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• ๐‘ฅ = (๐ต / ๐ด))
2 eqcom 2731 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐ต / ๐ด) โ†” (๐ต / ๐ด) = ๐‘ฅ)
3 nncn 12219 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
43ad2antlr 724 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5 nncn 12219 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
65ad2antrr 723 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 nncn 12219 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
87adantl 481 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
9 nnne0 12245 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โ‰  0)
109ad2antrr 723 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โ‰  0)
114, 6, 8, 10divmuld 12011 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ต / ๐ด) = ๐‘ฅ โ†” (๐ด ยท ๐‘ฅ) = ๐ต))
122, 11bitrid 283 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ = (๐ต / ๐ด) โ†” (๐ด ยท ๐‘ฅ) = ๐ต))
1312rexbidva 3168 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• ๐‘ฅ = (๐ต / ๐ด) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐ด ยท ๐‘ฅ) = ๐ต))
141, 13bitr2id 284 1 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐ด ยท ๐‘ฅ) = ๐ต โ†” (๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  โˆƒwrex 3062  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  0cc0 11107   ยท cmul 11112   / cdiv 11870  โ„•cn 12211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212
This theorem is referenced by:  nndivides  16210
  Copyright terms: Public domain W3C validator