Theorem nndiv 12245

Description: Two ways to express "𝐴 divides 𝐵 " for positive integers. (Contributed by NM, 3-Feb-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nndiv	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 · 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nndiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risset 3227	. 2 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴))
2		eqcom 2759	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐵 / 𝐴) ↔ (𝐵 / 𝐴) = 𝑥)
3		nncn 12204	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	ad2antlr 735	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		nncn 12204	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	ad2antrr 734	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		nncn 12204	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	adantl 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9		nnne0 12233	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
10	9	ad2antrr 734	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
11	4, 6, 8, 10	divmuld 11975	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐵 / 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 · 𝑥) = 𝐵))
12	2, 11	bitrid 285	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 = (𝐵 / 𝐴) ↔ (𝐴 · 𝑥) = 𝐵))
13	12	rexbidva 3174	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ ℕ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 · 𝑥) = 𝐵))
14	1, 13	bitr2id 286	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 · 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947  ∃wrex 3076  (class class class)co 7381  ℂcc 11057  0cc0 11059   · cmul 11064   / cdiv 11830  ℕcn 12196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197

This theorem is referenced by:  nndivides  16268