Theorem grplsm0l 32435

Description: Sumset with the identity singleton is the original set. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplsm0l.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplsm0l.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
grplsm0l.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplsm0l	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ({ 0 } ⊕ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem grplsm0l

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grplsm0l.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grplsm0l.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18827	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
4	3	snssd 4806	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ⊆ 𝐵)
5		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6		grplsm0l.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
7	1, 5, 6	lsmelvalx 19474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ { 0 } ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
8	7	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ { 0 } ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
9	8	an32s 650	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ { 0 } ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
10	4, 9	mpidan 687	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
11	10	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
12		simpl1 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ Grp)
13		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
14	13	sselda 3979	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝐵)
15	1, 5, 2	grplid 18829	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) = 𝑎)
16	12, 14, 15	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) = 𝑎)
17	16	eqeq2d 2743	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = 𝑎))
18		equcom 2021	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑎 ↔ 𝑎 = 𝑥)
19	17, 18	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑎 = 𝑥))
20	19	rexbidva 3176	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 = 𝑥))
21	2	fvexi 6893	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
22		oveq1 7401	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = 0 → (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎))
23	22	eqeq2d 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = 0 → (𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎)))
24	23	rexbidv 3178	. . . . 5 ⊢ (𝑜 = 0 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎)))
25	21, 24	rexsn 4680	. . . 4 ⊢ (∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎))
26		risset 3230	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 = 𝑥)
27	20, 25, 26	3bitr4g 313	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
28	11, 27	bitrd 278	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
29	28	eqrdv 2730	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ({ 0 } ⊕ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3945  ∅c0 4319  {csn 4623  ‘cfv 6533  (class class class)co 7394  Basecbs 17128  +_gcplusg 17181  0_gc0g 17369  Grpcgrp 18796  LSSumclsm 19468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5568  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-0g 17371  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-grp 18799  df-lsm 19470

This theorem is referenced by: (None)