Theorem grplsm0l 33493

Description: Sumset with the identity singleton is the original set. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplsm0l.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplsm0l.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
grplsm0l.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplsm0l	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ({ 0 } ⊕ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem grplsm0l

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grplsm0l.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grplsm0l.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18939	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
4	3	snssd 4725	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ⊆ 𝐵)
5		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6		grplsm0l.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
7	1, 5, 6	lsmelvalx 19613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ { 0 } ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
8	7	3expa 1124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ { 0 } ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
9	8	an32s 658	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ { 0 } ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
10	4, 9	mpidan 695	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
11	10	3adant3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
12		simpl1 1198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ Grp)
13		simp2 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
14	13	sselda 3922	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝐵)
15	1, 5, 2	grplid 18941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) = 𝑎)
16	12, 14, 15	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) = 𝑎)
17	16	eqeq2d 2751	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = 𝑎))
18		equcom 2025	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑎 ↔ 𝑎 = 𝑥)
19	17, 18	bitrdi 288	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑎 = 𝑥))
20	19	rexbidva 3162	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 = 𝑥))
21	2	fvexi 6848	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
22		oveq1 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = 0 → (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎))
23	22	eqeq2d 2751	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = 0 → (𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎)))
24	23	rexbidv 3164	. . . . 5 ⊢ (𝑜 = 0 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎)))
25	21, 24	rexsn 4621	. . . 4 ⊢ (∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎))
26		risset 3215	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 = 𝑥)
27	20, 25, 26	3bitr4g 315	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
28	11, 27	bitrd 280	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
29	28	eqrdv 2738	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ({ 0 } ⊕ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  {csn 4562  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  0_gc0g 17400  Grpcgrp 18907  LSSumclsm 19607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-lsm 19609

This theorem is referenced by: (None)