Theorem grplsm0l 33840

Description: Sumset with the identity singleton is the original set. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplsm0l.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplsm0l.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
grplsm0l.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplsm0l	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ({ 0 } ⊕ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem grplsm0l

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grplsm0l.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grplsm0l.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 19095	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
4	3	snssd 4750	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ⊆ 𝐵)
5		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6		grplsm0l.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
7	1, 5, 6	lsmelvalx 19773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ { 0 } ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
8	7	3expa 1136	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ { 0 } ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
9	8	an32s 665	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ { 0 } ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
10	4, 9	mpidan 702	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
11	10	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
12		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ Grp)
13		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
14	13	sselda 3934	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝐵)
15	1, 5, 2	grplid 19097	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) = 𝑎)
16	12, 14, 15	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) = 𝑎)
17	16	eqeq2d 2773	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = 𝑎))
18		equcom 2051	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑎 ↔ 𝑎 = 𝑥)
19	17, 18	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑎 = 𝑥))
20	19	rexbidva 3186	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 = 𝑥))
21	2	fvexi 6896	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
22		oveq1 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = 0 → (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎))
23	22	eqeq2d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = 0 → (𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎)))
24	23	rexbidv 3188	. . . . 5 ⊢ (𝑜 = 0 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎)))
25	21, 24	rexsn 4646	. . . 4 ⊢ (∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎))
26		risset 3239	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 = 𝑥)
27	20, 25, 26	3bitr4g 317	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
28	11, 27	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
29	28	eqrdv 2760	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ({ 0 } ⊕ 𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  0_gc0g 17530  Grpcgrp 19063  LSSumclsm 19767

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-lsm 19769

This theorem is used by: (None)