Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grplsm0l Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grplsm0l 33431
Description: Sumset with the identity singleton is the original set. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
grplsm0l.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplsm0l.p = (LSSum‘𝐺)
grplsm0l.0 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grplsm0l ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → ({ 0 } 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem grplsm0l
Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grplsm0l.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 grplsm0l.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
31, 2grpidcl 18983 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 0𝐵)
43snssd 4809 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ⊆ 𝐵)
5 eqid 2737 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
6 grplsm0l.p . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝐺)
71, 5, 6lsmelvalx 19658 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ { 0 } ⊆ 𝐵𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎)))
873expa 1119 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ { 0 } ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎)))
98an32s 652 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵) ∧ { 0 } ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎)))
104, 9mpidan 689 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎)))
11103adant3 1133 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ ({ 0 } 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎)))
12 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐺 ∈ Grp)
13 simp2 1138 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐵)
1413sselda 3983 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎𝐵)
151, 5, 2grplid 18985 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵) → ( 0 (+g𝐺)𝑎) = 𝑎)
1612, 14, 15syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝐴) → ( 0 (+g𝐺)𝑎) = 𝑎)
1716eqeq2d 2748 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑥 = ( 0 (+g𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = 𝑎))
18 equcom 2017 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑎𝑎 = 𝑥)
1917, 18bitrdi 287 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑥 = ( 0 (+g𝐺)𝑎) ↔ 𝑎 = 𝑥))
2019rexbidva 3177 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑎𝐴 𝑥 = ( 0 (+g𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑎 = 𝑥))
212fvexi 6920 . . . . 5 0 ∈ V
22 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑜 = 0 → (𝑜(+g𝐺)𝑎) = ( 0 (+g𝐺)𝑎))
2322eqeq2d 2748 . . . . . 6 (𝑜 = 0 → (𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = ( 0 (+g𝐺)𝑎)))
2423rexbidv 3179 . . . . 5 (𝑜 = 0 → (∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑥 = ( 0 (+g𝐺)𝑎)))
2521, 24rexsn 4682 . . . 4 (∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑥 = ( 0 (+g𝐺)𝑎))
26 risset 3233 . . . 4 (𝑥𝐴 ↔ ∃𝑎𝐴 𝑎 = 𝑥)
2720, 25, 263bitr4g 314 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎) ↔ 𝑥𝐴))
2811, 27bitrd 279 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ ({ 0 } 𝐴) ↔ 𝑥𝐴))
2928eqrdv 2735 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → ({ 0 } 𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  wss 3951  c0 4333  {csn 4626  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  LSSumclsm 19652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-lsm 19654
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator