Theorem grplsm0l 32513

Description: Sumset with the identity singleton is the original set. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplsm0l.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplsm0l.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
grplsm0l.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplsm0l	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ({ 0 } ⊕ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem grplsm0l

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grplsm0l.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grplsm0l.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18850	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
4	3	snssd 4813	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ⊆ 𝐵)
5		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6		grplsm0l.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
7	1, 5, 6	lsmelvalx 19508	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ { 0 } ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
8	7	3expa 1119	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ { 0 } ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
9	8	an32s 651	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ { 0 } ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
10	4, 9	mpidan 688	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
11	10	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
12		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ Grp)
13		simp2 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
14	13	sselda 3983	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝐵)
15	1, 5, 2	grplid 18852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) = 𝑎)
16	12, 14, 15	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) = 𝑎)
17	16	eqeq2d 2744	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = 𝑎))
18		equcom 2022	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑎 ↔ 𝑎 = 𝑥)
19	17, 18	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑎 = 𝑥))
20	19	rexbidva 3177	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 = 𝑥))
21	2	fvexi 6906	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
22		oveq1 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = 0 → (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎))
23	22	eqeq2d 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = 0 → (𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎)))
24	23	rexbidv 3179	. . . . 5 ⊢ (𝑜 = 0 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎)))
25	21, 24	rexsn 4687	. . . 4 ⊢ (∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎))
26		risset 3231	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 = 𝑥)
27	20, 25, 26	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
28	11, 27	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
29	28	eqrdv 2731	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ({ 0 } ⊕ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  {csn 4629  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  0_gc0g 17385  Grpcgrp 18819  LSSumclsm 19502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-lsm 19504

This theorem is referenced by: (None)