Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grplsm0l Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grplsm0l 32558
Description: Sumset with the identity singleton is the original set. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
grplsm0l.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplsm0l.p = (LSSum‘𝐺)
grplsm0l.0 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grplsm0l ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → ({ 0 } 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem grplsm0l
Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grplsm0l.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 grplsm0l.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
31, 2grpidcl 18852 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 0𝐵)
43snssd 4812 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ⊆ 𝐵)
5 eqid 2732 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
6 grplsm0l.p . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝐺)
71, 5, 6lsmelvalx 19510 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ { 0 } ⊆ 𝐵𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎)))
873expa 1118 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ { 0 } ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎)))
98an32s 650 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵) ∧ { 0 } ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎)))
104, 9mpidan 687 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎)))
11103adant3 1132 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ ({ 0 } 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎)))
12 simpl1 1191 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐺 ∈ Grp)
13 simp2 1137 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐵)
1413sselda 3982 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎𝐵)
151, 5, 2grplid 18854 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵) → ( 0 (+g𝐺)𝑎) = 𝑎)
1612, 14, 15syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝐴) → ( 0 (+g𝐺)𝑎) = 𝑎)
1716eqeq2d 2743 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑥 = ( 0 (+g𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = 𝑎))
18 equcom 2021 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑎𝑎 = 𝑥)
1917, 18bitrdi 286 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑥 = ( 0 (+g𝐺)𝑎) ↔ 𝑎 = 𝑥))
2019rexbidva 3176 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑎𝐴 𝑥 = ( 0 (+g𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑎 = 𝑥))
212fvexi 6905 . . . . 5 0 ∈ V
22 oveq1 7418 . . . . . . 7 (𝑜 = 0 → (𝑜(+g𝐺)𝑎) = ( 0 (+g𝐺)𝑎))
2322eqeq2d 2743 . . . . . 6 (𝑜 = 0 → (𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = ( 0 (+g𝐺)𝑎)))
2423rexbidv 3178 . . . . 5 (𝑜 = 0 → (∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑥 = ( 0 (+g𝐺)𝑎)))
2521, 24rexsn 4686 . . . 4 (∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑥 = ( 0 (+g𝐺)𝑎))
26 risset 3230 . . . 4 (𝑥𝐴 ↔ ∃𝑎𝐴 𝑎 = 𝑥)
2720, 25, 263bitr4g 313 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎) ↔ 𝑥𝐴))
2811, 27bitrd 278 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ ({ 0 } 𝐴) ↔ 𝑥𝐴))
2928eqrdv 2730 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → ({ 0 } 𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wrex 3070  wss 3948  c0 4322  {csn 4628  cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  0gc0g 17387  Grpcgrp 18821  LSSumclsm 19504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-lsm 19506
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator