Theorem grplsm0l 32257

Description: Sumset with the identity singleton is the original set. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplsm0l.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplsm0l.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
grplsm0l.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplsm0l	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ({ 0 } ⊕ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem grplsm0l

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grplsm0l.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grplsm0l.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18792	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
4	3	snssd 4774	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ⊆ 𝐵)
5		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6		grplsm0l.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
7	1, 5, 6	lsmelvalx 19436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ { 0 } ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
8	7	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ { 0 } ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
9	8	an32s 650	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ { 0 } ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
10	4, 9	mpidan 687	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
11	10	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
12		simpl1 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ Grp)
13		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
14	13	sselda 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝐵)
15	1, 5, 2	grplid 18794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) = 𝑎)
16	12, 14, 15	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) = 𝑎)
17	16	eqeq2d 2742	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = 𝑎))
18		equcom 2021	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑎 ↔ 𝑎 = 𝑥)
19	17, 18	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑎 = 𝑥))
20	19	rexbidva 3169	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 = 𝑥))
21	2	fvexi 6861	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
22		oveq1 7369	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = 0 → (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎))
23	22	eqeq2d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = 0 → (𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎)))
24	23	rexbidv 3171	. . . . 5 ⊢ (𝑜 = 0 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎)))
25	21, 24	rexsn 4648	. . . 4 ⊢ (∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 0 (+g‘𝐺)𝑎))
26		risset 3219	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 = 𝑥)
27	20, 25, 26	3bitr4g 313	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
28	11, 27	bitrd 278	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ ({ 0 } ⊕ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
29	28	eqrdv 2729	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ({ 0 } ⊕ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3913  ∅c0 4287  {csn 4591  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17094  +_gcplusg 17147  0_gc0g 17335  Grpcgrp 18762  LSSumclsm 19430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-0g 17337  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-grp 18765  df-lsm 19432

This theorem is referenced by: (None)