Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grplsm0l Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grplsm0l 33411
Description: Sumset with the identity singleton is the original set. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
grplsm0l.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplsm0l.p = (LSSum‘𝐺)
grplsm0l.0 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grplsm0l ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → ({ 0 } 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem grplsm0l
Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grplsm0l.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 grplsm0l.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
31, 2grpidcl 18996 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 0𝐵)
43snssd 4814 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ⊆ 𝐵)
5 eqid 2735 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
6 grplsm0l.p . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝐺)
71, 5, 6lsmelvalx 19673 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ { 0 } ⊆ 𝐵𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎)))
873expa 1117 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ { 0 } ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎)))
98an32s 652 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵) ∧ { 0 } ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎)))
104, 9mpidan 689 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ ({ 0 } 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎)))
11103adant3 1131 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ ({ 0 } 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎)))
12 simpl1 1190 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐺 ∈ Grp)
13 simp2 1136 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐵)
1413sselda 3995 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎𝐵)
151, 5, 2grplid 18998 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵) → ( 0 (+g𝐺)𝑎) = 𝑎)
1612, 14, 15syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝐴) → ( 0 (+g𝐺)𝑎) = 𝑎)
1716eqeq2d 2746 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑥 = ( 0 (+g𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = 𝑎))
18 equcom 2015 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑎𝑎 = 𝑥)
1917, 18bitrdi 287 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑥 = ( 0 (+g𝐺)𝑎) ↔ 𝑎 = 𝑥))
2019rexbidva 3175 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑎𝐴 𝑥 = ( 0 (+g𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑎 = 𝑥))
212fvexi 6921 . . . . 5 0 ∈ V
22 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑜 = 0 → (𝑜(+g𝐺)𝑎) = ( 0 (+g𝐺)𝑎))
2322eqeq2d 2746 . . . . . 6 (𝑜 = 0 → (𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = ( 0 (+g𝐺)𝑎)))
2423rexbidv 3177 . . . . 5 (𝑜 = 0 → (∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑥 = ( 0 (+g𝐺)𝑎)))
2521, 24rexsn 4687 . . . 4 (∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑥 = ( 0 (+g𝐺)𝑎))
26 risset 3231 . . . 4 (𝑥𝐴 ↔ ∃𝑎𝐴 𝑎 = 𝑥)
2720, 25, 263bitr4g 314 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑜 ∈ { 0 }∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎) ↔ 𝑥𝐴))
2811, 27bitrd 279 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ ({ 0 } 𝐴) ↔ 𝑥𝐴))
2928eqrdv 2733 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → ({ 0 } 𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  wss 3963  c0 4339  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  LSSumclsm 19667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-lsm 19669
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator