Theorem fusgrn0degnn0 29537

Description: In a nonempty, finite graph there is a vertex having a nonnegative integer as degree. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Sep-2018.) (Revised by AV, 1-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
fusgrn0degnn0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fusgrn0degnn0	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣   𝑣,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem fusgrn0degnn0

Dummy variables 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4376	. . 3 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑘 ∈ 𝑉)
2		fusgrn0degnn0.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	vtxdgfusgr 29536	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∀𝑢 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0)
4		fveq2 6922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘))
5	4	eleq1d 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0 ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0))
6	5	rspcv 3631	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑉 → (∀𝑢 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0))
7		risset 3239	. . . . . . . 8 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘))
8		fveqeq2 6931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑘 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛 ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) = 𝑛))
9		eqcom 2747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) = 𝑛 ↔ 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘))
10	8, 9	bitrdi 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑘 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛 ↔ 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘)))
11	10	rexbidv 3185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑘 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘)))
12	11	rspcev 3635	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘)) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛)
13	12	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) → (𝑘 ∈ 𝑉 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
14	7, 13	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ 𝑉 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
15	14	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑉 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
16	6, 15	syld 47	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑉 → (∀𝑢 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
17	3, 16	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
18	17	exlimiv 1929	. . 3 ⊢ (∃𝑘 𝑘 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
19	1, 18	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
20	19	impcom 407	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  ∅c0 4352  ‘cfv 6575  ℕ₀cn0 12555  Vtxcvtx 29033  FinUSGraphcfusgr 29353  VtxDegcvtxdg 29503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-2o 8525  df-oadd 8528  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-dju 9972  df-card 10010  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-n0 12556  df-xnn0 12628  df-z 12642  df-uz 12906  df-xadd 13178  df-fz 13570  df-hash 14382  df-vtx 29035  df-iedg 29036  df-edg 29085  df-uhgr 29095  df-upgr 29119  df-umgr 29120  df-uspgr 29187  df-usgr 29188  df-fusgr 29354  df-vtxdg 29504

This theorem is referenced by:  friendshipgt3  30432