Theorem fusgrn0degnn0 29587

Description: In a nonempty, finite graph there is a vertex having a nonnegative integer as degree. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Sep-2018.) (Revised by AV, 1-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
fusgrn0degnn0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fusgrn0degnn0	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣   𝑣,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem fusgrn0degnn0

Dummy variables 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4282	. . 3 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑘 ∈ 𝑉)
2		fusgrn0degnn0.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	vtxdgfusgr 29586	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∀𝑢 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0)
4		fveq2 6828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘))
5	4	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0 ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0))
6	5	rspcv 3556	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑉 → (∀𝑢 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0))
7		risset 3214	. . . . . . . 8 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘))
8		fveqeq2 6837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑘 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛 ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) = 𝑛))
9		eqcom 2746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) = 𝑛 ↔ 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘))
10	8, 9	bitrdi 288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑘 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛 ↔ 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘)))
11	10	rexbidv 3163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑘 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘)))
12	11	rspcev 3560	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘)) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛)
13	12	expcom 414	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) → (𝑘 ∈ 𝑉 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
14	7, 13	sylbi 218	. . . . . . 7 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ 𝑉 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
15	14	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑉 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
16	6, 15	syld 47	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑉 → (∀𝑢 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
17	3, 16	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
18	17	exlimiv 1937	. . 3 ⊢ (∃𝑘 𝑘 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
19	1, 18	sylbi 218	. 2 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
20	19	impcom 408	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  ∅c0 4262  ‘cfv 6486  ℕ₀cn0 12429  Vtxcvtx 29084  FinUSGraphcfusgr 29404  VtxDegcvtxdg 29553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-n0 12430  df-xnn0 12503  df-z 12517  df-uz 12781  df-xadd 13056  df-fz 13454  df-hash 14285  df-vtx 29086  df-iedg 29087  df-edg 29136  df-uhgr 29146  df-upgr 29170  df-umgr 29171  df-uspgr 29238  df-usgr 29239  df-fusgr 29405  df-vtxdg 29554

This theorem is referenced by:  friendshipgt3  30487