MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fusgrn0degnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fusgrn0degnn0 29189
Description: In a nonempty, finite graph there is a vertex having a nonnegative integer as degree. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Sep-2018.) (Revised by AV, 1-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
fusgrn0degnn0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
fusgrn0degnn0 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣   𝑣,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem fusgrn0degnn0
Dummy variables 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4346 . . 3 (𝑉 ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑘𝑉)
2 fusgrn0degnn0.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
32vtxdgfusgr 29188 . . . . 5 (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∀𝑢𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0)
4 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑘 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘))
54eleq1d 2817 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑘 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0 ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0))
65rspcv 3608 . . . . . 6 (𝑘𝑉 → (∀𝑢𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0))
7 risset 3229 . . . . . . . 8 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘))
8 fveqeq2 6900 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑘 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛 ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) = 𝑛))
9 eqcom 2738 . . . . . . . . . . . 12 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) = 𝑛𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘))
108, 9bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑘 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘)))
1110rexbidv 3177 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑘 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘)))
1211rspcev 3612 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘)) → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛)
1312expcom 413 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) → (𝑘𝑉 → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
147, 13sylbi 216 . . . . . . 7 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0 → (𝑘𝑉 → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
1514com12 32 . . . . . 6 (𝑘𝑉 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0 → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
166, 15syld 47 . . . . 5 (𝑘𝑉 → (∀𝑢𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0 → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
173, 16syl5 34 . . . 4 (𝑘𝑉 → (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
1817exlimiv 1932 . . 3 (∃𝑘 𝑘𝑉 → (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
191, 18sylbi 216 . 2 (𝑉 ≠ ∅ → (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
2019impcom 407 1 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wex 1780  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  c0 4322  cfv 6543  0cn0 12479  Vtxcvtx 28689  FinUSGraphcfusgr 29006  VtxDegcvtxdg 29155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-oadd 8476  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12830  df-xadd 13100  df-fz 13492  df-hash 14298  df-vtx 28691  df-iedg 28692  df-edg 28741  df-uhgr 28751  df-upgr 28775  df-umgr 28776  df-uspgr 28843  df-usgr 28844  df-fusgr 29007  df-vtxdg 29156
This theorem is referenced by:  friendshipgt3  30084
  Copyright terms: Public domain W3C validator