Theorem fusgrn0degnn0 29790

Description: In a nonempty, finite graph there is a vertex having a nonnegative integer as degree. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Sep-2018.) (Revised by AV, 1-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
fusgrn0degnn0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fusgrn0degnn0	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣   𝑣,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem fusgrn0degnn0

Dummy variables 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4315	. . 3 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑘 ∈ 𝑉)
2		fusgrn0degnn0.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	vtxdgfusgr 29789	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∀𝑢 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0)
4		fveq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘))
5	4	eleq1d 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0 ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0))
6	5	rspcv 3586	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑉 → (∀𝑢 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0))
7		risset 3246	. . . . . . . 8 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘))
8		fveqeq2 6891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑘 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛 ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) = 𝑛))
9		eqcom 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) = 𝑛 ↔ 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘))
10	8, 9	bitrdi 290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑘 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛 ↔ 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘)))
11	10	rexbidv 3195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑘 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘)))
12	11	rspcev 3590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘)) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛)
13	12	expcom 418	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) → (𝑘 ∈ 𝑉 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
14	7, 13	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ 𝑉 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
15	14	com12 33	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑉 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
16	6, 15	syld 48	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑉 → (∀𝑢 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
17	3, 16	syl5 35	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
18	17	exlimiv 1957	. . 3 ⊢ (∃𝑘 𝑘 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
19	1, 18	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
20	19	impcom 412	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  ∅c0 4294  ‘cfv 6537  ℕ₀cn0 12504  Vtxcvtx 29287  FinUSGraphcfusgr 29607  VtxDegcvtxdg 29756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12863  df-xadd 13138  df-fz 13536  df-hash 14367  df-vtx 29289  df-iedg 29290  df-edg 29339  df-uhgr 29349  df-upgr 29373  df-umgr 29374  df-uspgr 29441  df-usgr 29442  df-fusgr 29608  df-vtxdg 29757

This theorem is referenced by:  friendshipgt3  30690