MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fusgrn0degnn0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fusgrn0degnn0 29020
Description: In a nonempty, finite graph there is a vertex having a nonnegative integer as degree. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Sep-2018.) (Revised by AV, 1-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
fusgrn0degnn0.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
fusgrn0degnn0 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘› ∈ β„•0 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝑛)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣   𝑣,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑛)
Proof of Theorem fusgrn0degnn0
Dummy variables π‘˜ 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4347 . . 3 (𝑉 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘˜ π‘˜ ∈ 𝑉)
2 fusgrn0degnn0.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
32vtxdgfusgr 29019 . . . . 5 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) ∈ β„•0)
4 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑒 = π‘˜ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘˜))
54eleq1d 2817 . . . . . . 7 (𝑒 = π‘˜ β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) ∈ β„•0 ↔ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘˜) ∈ β„•0))
65rspcv 3609 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) ∈ β„•0 β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘˜) ∈ β„•0))
7 risset 3229 . . . . . . . 8 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘˜) ∈ β„•0 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑛 = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘˜))
8 fveqeq2 6901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = π‘˜ β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝑛 ↔ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘˜) = 𝑛))
9 eqcom 2738 . . . . . . . . . . . 12 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘˜) = 𝑛 ↔ 𝑛 = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘˜))
108, 9bitrdi 286 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = π‘˜ β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝑛 ↔ 𝑛 = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘˜)))
1110rexbidv 3177 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = π‘˜ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝑛 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑛 = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘˜)))
1211rspcev 3613 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ 𝑉 ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑛 = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘› ∈ β„•0 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝑛)
1312expcom 413 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑛 = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘˜) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘› ∈ β„•0 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝑛))
147, 13sylbi 216 . . . . . . 7 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘˜) ∈ β„•0 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘› ∈ β„•0 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝑛))
1514com12 32 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝑉 β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘˜) ∈ β„•0 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘› ∈ β„•0 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝑛))
166, 15syld 47 . . . . 5 (π‘˜ ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) ∈ β„•0 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘› ∈ β„•0 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝑛))
173, 16syl5 34 . . . 4 (π‘˜ ∈ 𝑉 β†’ (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘› ∈ β„•0 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝑛))
1817exlimiv 1932 . . 3 (βˆƒπ‘˜ π‘˜ ∈ 𝑉 β†’ (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘› ∈ β„•0 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝑛))
191, 18sylbi 216 . 2 (𝑉 β‰  βˆ… β†’ (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘› ∈ β„•0 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝑛))
2019impcom 407 1 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘› ∈ β„•0 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝑛)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  βˆ…c0 4323  β€˜cfv 6544  β„•0cn0 12477  Vtxcvtx 28520  FinUSGraphcfusgr 28837  VtxDegcvtxdg 28986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-xadd 13098  df-fz 13490  df-hash 14296  df-vtx 28522  df-iedg 28523  df-edg 28572  df-uhgr 28582  df-upgr 28606  df-umgr 28607  df-uspgr 28674  df-usgr 28675  df-fusgr 28838  df-vtxdg 28987
This theorem is referenced by:  friendshipgt3  29915
  Copyright terms: Public domain W3C validator