Theorem mat1dimelbas 22389

Description: A matrix with dimension 1 is an ordered pair with an ordered pair (of the one and only pair of indices) as first component. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimelbas	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝐸,𝑟   𝑀,𝑟   𝑅,𝑟   𝑉,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝑂(𝑟)

Proof of Theorem mat1dimelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 8974	. . . 4 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
2		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
3		mat1dim.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
4		mat1dim.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	3, 4	matbas2 22339	. . . . . 6 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) = (Base‘𝐴))
6	5	eqcomd 2739	. . . . 5 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝐴) = (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})))
7	6	eleq2d 2819	. . . 4 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸}))))
8	1, 2, 7	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸}))))
9	4	fvexi 6844	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
10		snex 5378	. . . . . 6 ⊢ {𝐸} ∈ V
11	10, 10	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ({𝐸} ∈ V ∧ {𝐸} ∈ V)
12		xpexg 7691	. . . . 5 ⊢ (({𝐸} ∈ V ∧ {𝐸} ∈ V) → ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V)
13	11, 12	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V)
14		elmapg 8771	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V) → (𝑀 ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) ↔ 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
15	9, 13, 14	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) ↔ 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
16	8, 15	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
17		xpsng 7080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
18	17	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
19	18	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
20	19	feq2d 6642	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ 𝑀:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
21		opex 5409	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
22	21	fsn2 7077	. . . . . 6 ⊢ (𝑀:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵 ↔ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩}))
23		risset 3208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑟 = (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩))
24		eqcom 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
25	24	rexbii 3080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑟 = (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
26	23, 25	sylbb 219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
27	26	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩})) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
28		eqeq1 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
29		opex 5409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ ∈ V
30		sneqbg 4796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ ∈ V → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩))
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩)
32		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ = ⟨𝐸, 𝐸⟩
33		vex 3441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑟 ∈ V
34	21, 33	opth2 5425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩ ↔ (⟨𝐸, 𝐸⟩ = ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∧ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
35	32, 34	mpbiran 709	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩ ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
36	31, 35	bitri 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
37	28, 36	bitrdi 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩}) → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
39	38	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩})) → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
40	39	rexbidv 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩})) → (∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
41	27, 40	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩})) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩})
42	41	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩}) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
43	22, 42	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵 → ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
44	20, 43	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 → ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
45		f1o2sn 7083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})–1-1-onto→{𝑟})
46		f1of 6770	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})–1-1-onto→{𝑟} → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶{𝑟})
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶{𝑟})
48	47	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶{𝑟})
49		snssi 4761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐵 → {𝑟} ⊆ 𝐵)
50	49	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → {𝑟} ⊆ 𝐵)
51	48, 50	fssd 6675	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵)
52		feq1 6636	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
53	51, 52	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} → 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
54	53	rexlimdva 3134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} → 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
55	44, 54	impbid 212	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
56		mat1dim.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
57	56	eqcomi 2742	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
58	57	opeq1i 4829	. . . . . . 7 ⊢ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩
59	58	sneqi 4588	. . . . . 6 ⊢ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩}
60	59	eqeq2i 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩})
61	60	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
62	61	rexbidv 3157	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
63	55, 62	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
64	16, 63	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3057  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  {csn 4577  ⟨cop 4583   × cxp 5619  ⟶wf 6484  –1-1-onto→wf1o 6487  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354   ↑_m cmap 8758  Fincfn 8877  Basecbs 17124  Ringcrg 20155   Mat cmat 22325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-supp 8099  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-map 8760  df-ixp 8830  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-fsupp 9255  df-sup 9335  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-fz 13412  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-ip 17183  df-tset 17184  df-ple 17185  df-ds 17187  df-hom 17189  df-cco 17190  df-0g 17349  df-prds 17355  df-pws 17357  df-sra 21111  df-rgmod 21112  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-mat 22326

This theorem is referenced by:  mat1dimbas  22390  mat1dimcrng  22395  mat1scmat  22457