MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimelbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1dimelbas 21368
Description: A matrix with dimension 1 is an ordered pair with an ordered pair (of the one and only pair of indices) as first component. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
Assertion
Ref Expression
mat1dimelbas ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝐸,𝑟   𝑀,𝑟   𝑅,𝑟   𝑉,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝑂(𝑟)

Proof of Theorem mat1dimelbas
StepHypRef Expression
1 snfi 8721 . . . 4 {𝐸} ∈ Fin
2 simpl 486 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
3 mat1dim.a . . . . . . 7 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
4 mat1dim.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
53, 4matbas2 21318 . . . . . 6 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐵m ({𝐸} × {𝐸})) = (Base‘𝐴))
65eqcomd 2743 . . . . 5 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝐴) = (𝐵m ({𝐸} × {𝐸})))
76eleq2d 2823 . . . 4 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝐵m ({𝐸} × {𝐸}))))
81, 2, 7sylancr 590 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝐵m ({𝐸} × {𝐸}))))
94fvexi 6731 . . . 4 𝐵 ∈ V
10 snex 5324 . . . . . 6 {𝐸} ∈ V
1110, 10pm3.2i 474 . . . . 5 ({𝐸} ∈ V ∧ {𝐸} ∈ V)
12 xpexg 7535 . . . . 5 (({𝐸} ∈ V ∧ {𝐸} ∈ V) → ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V)
1311, 12mp1i 13 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V)
14 elmapg 8521 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V) → (𝑀 ∈ (𝐵m ({𝐸} × {𝐸})) ↔ 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
159, 13, 14sylancr 590 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀 ∈ (𝐵m ({𝐸} × {𝐸})) ↔ 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
168, 15bitrd 282 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
17 xpsng 6954 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑉𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
1817anidms 570 . . . . . . 7 (𝐸𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
1918adantl 485 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
2019feq2d 6531 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵𝑀:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
21 opex 5348 . . . . . . 7 𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
2221fsn2 6951 . . . . . 6 (𝑀:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵 ↔ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩}))
23 risset 3186 . . . . . . . . . 10 ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑟𝐵 𝑟 = (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩))
24 eqcom 2744 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
2524rexbii 3170 . . . . . . . . . 10 (∃𝑟𝐵 𝑟 = (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ↔ ∃𝑟𝐵 (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
2623, 25sylbb 222 . . . . . . . . 9 ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 → ∃𝑟𝐵 (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
2726ad2antrl 728 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩})) → ∃𝑟𝐵 (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
28 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
29 opex 5348 . . . . . . . . . . . . . 14 ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ ∈ V
30 sneqbg 4754 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ ∈ V → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩))
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩)
32 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐸, 𝐸⟩ = ⟨𝐸, 𝐸
33 vex 3412 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑟 ∈ V
3421, 33opth2 5364 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩ ↔ (⟨𝐸, 𝐸⟩ = ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∧ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
3532, 34mpbiran 709 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩ ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
3631, 35bitri 278 . . . . . . . . . . . 12 ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
3728, 36bitrdi 290 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
3837adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩}) → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
3938adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩})) → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
4039rexbidv 3216 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩})) → (∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ ∃𝑟𝐵 (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
4127, 40mpbird 260 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩})) → ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩})
4241ex 416 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩}) → ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
4322, 42syl5bi 245 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵 → ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
4420, 43sylbid 243 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 → ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
45 f1o2sn 6957 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝑉𝑟𝐵) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})–1-1-onto→{𝑟})
46 f1of 6661 . . . . . . . . 9 ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})–1-1-onto→{𝑟} → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶{𝑟})
4745, 46syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑉𝑟𝐵) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶{𝑟})
4847adantll 714 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑟𝐵) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶{𝑟})
49 snssi 4721 . . . . . . . 8 (𝑟𝐵 → {𝑟} ⊆ 𝐵)
5049adantl 485 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑟𝐵) → {𝑟} ⊆ 𝐵)
5148, 50fssd 6563 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑟𝐵) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵)
52 feq1 6526 . . . . . 6 (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
5351, 52syl5ibrcom 250 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑟𝐵) → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} → 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
5453rexlimdva 3203 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} → 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
5544, 54impbid 215 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
56 mat1dim.o . . . . . . . . 9 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
5756eqcomi 2746 . . . . . . . 8 𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
5857opeq1i 4787 . . . . . . 7 ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩ = ⟨𝑂, 𝑟
5958sneqi 4552 . . . . . 6 {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩}
6059eqeq2i 2750 . . . . 5 (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩})
6160a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
6261rexbidv 3216 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
6355, 62bitrd 282 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
6416, 63bitrd 282 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wrex 3062  Vcvv 3408  wss 3866  {csn 4541  cop 4547   × cxp 5549  wf 6376  1-1-ontowf1o 6379  cfv 6380  (class class class)co 7213  m cmap 8508  Fincfn 8626  Basecbs 16760  Ringcrg 19562   Mat cmat 21304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-ot 4550  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-hom 16826  df-cco 16827  df-0g 16946  df-prds 16952  df-pws 16954  df-sra 20209  df-rgmod 20210  df-dsmm 20694  df-frlm 20709  df-mat 21305
This theorem is referenced by:  mat1dimbas  21369  mat1dimcrng  21374  mat1scmat  21436
  Copyright terms: Public domain W3C validator