Theorem mat1dimelbas 22609

Description: A matrix with dimension 1 is an ordered pair with an ordered pair (of the one and only pair of indices) as first component. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimelbas	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝐸,𝑟   𝑀,𝑟   𝑅,𝑟   𝑉,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝑂(𝑟)

Proof of Theorem mat1dimelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 9041	. . . 4 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
2		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
3		mat1dim.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
4		mat1dim.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	3, 4	matbas2 22559	. . . . . 6 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) = (Base‘𝐴))
6	5	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝐴) = (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})))
7	6	eleq2d 2849	. . . 4 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸}))))
8	1, 2, 7	sylancr 598	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸}))))
9	4	fvexi 6897	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
10		snex 5412	. . . . . 6 ⊢ {𝐸} ∈ V
11	10, 10	pm3.2i 475	. . . . 5 ⊢ ({𝐸} ∈ V ∧ {𝐸} ∈ V)
12		xpexg 7750	. . . . 5 ⊢ (({𝐸} ∈ V ∧ {𝐸} ∈ V) → ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V)
13	11, 12	mp1i 14	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V)
14		elmapg 8837	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V) → (𝑀 ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) ↔ 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
15	9, 13, 14	sylancr 598	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) ↔ 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
16	8, 15	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
17		xpsng 7137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
18	17	anidms 576	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
19	18	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
20	19	feq2d 6691	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ 𝑀:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
21		opex 5447	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
22	21	fsn2 7134	. . . . . 6 ⊢ (𝑀:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵 ↔ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩}))
23		risset 3240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑟 = (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩))
24		eqcom 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
25	24	rexbii 3112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑟 = (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
26	23, 25	sylbb 222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
27	26	ad2antrl 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩})) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
28		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
29		opex 5447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ ∈ V
30		sneqbg 4809	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ ∈ V → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩))
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩)
32		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ = ⟨𝐸, 𝐸⟩
33		vex 3459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑟 ∈ V
34	21, 33	opth2 5464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩ ↔ (⟨𝐸, 𝐸⟩ = ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∧ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
35	32, 34	mpbiran 721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩ ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
36	31, 35	bitri 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
37	28, 36	bitrdi 290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
38	37	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩}) → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
39	38	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩})) → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
40	39	rexbidv 3189	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩})) → (∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
41	27, 40	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩})) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩})
42	41	ex 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩}) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
43	22, 42	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵 → ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
44	20, 43	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 → ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
45		f1o2sn 7140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})–1-1-onto→{𝑟})
46		f1of 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})–1-1-onto→{𝑟} → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶{𝑟})
47	45, 46	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶{𝑟})
48	47	adantll 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶{𝑟})
49		snssi 4752	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐵 → {𝑟} ⊆ 𝐵)
50	49	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → {𝑟} ⊆ 𝐵)
51	48, 50	fssd 6725	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵)
52		feq1 6685	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
53	51, 52	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} → 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
54	53	rexlimdva 3166	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} → 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
55	44, 54	impbid 215	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
56		mat1dim.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
57	56	eqcomi 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
58	57	opeq1i 4842	. . . . . . 7 ⊢ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩
59	58	sneqi 4601	. . . . . 6 ⊢ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩}
60	59	eqeq2i 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩})
61	60	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
62	61	rexbidv 3189	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
63	55, 62	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
64	16, 63	bitrd 282	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ⊆ wss 3906  {csn 4590  ⟨cop 4596   × cxp 5661  ⟶wf 6534  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8825  Fincfn 8944  Basecbs 17270  Ringcrg 20316   Mat cmat 22545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-sup 9403  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17495  df-prds 17501  df-pws 17503  df-sra 21275  df-rgmod 21276  df-dsmm 21863  df-frlm 21878  df-mat 22546

This theorem is referenced by:  mat1dimbas  22610  mat1dimcrng  22615  mat1scmat  22677