MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimelbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1dimelbas 20508
Description: A matrix with dimension 1 is an ordered pair with an ordered pair (of the one and only pair of indices) as first component. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
Assertion
Ref Expression
mat1dimelbas ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝐸,𝑟   𝑀,𝑟   𝑅,𝑟   𝑉,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝑂(𝑟)

Proof of Theorem mat1dimelbas
StepHypRef Expression
1 snfi 8286 . . . 4 {𝐸} ∈ Fin
2 simpl 470 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
3 mat1dim.a . . . . . . 7 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
4 mat1dim.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
53, 4matbas2 20457 . . . . . 6 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐵𝑚 ({𝐸} × {𝐸})) = (Base‘𝐴))
65eqcomd 2823 . . . . 5 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝐴) = (𝐵𝑚 ({𝐸} × {𝐸})))
76eleq2d 2882 . . . 4 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝐵𝑚 ({𝐸} × {𝐸}))))
81, 2, 7sylancr 577 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝐵𝑚 ({𝐸} × {𝐸}))))
94fvexi 6431 . . . 4 𝐵 ∈ V
10 snex 5111 . . . . . 6 {𝐸} ∈ V
1110, 10pm3.2i 458 . . . . 5 ({𝐸} ∈ V ∧ {𝐸} ∈ V)
12 xpexg 7199 . . . . 5 (({𝐸} ∈ V ∧ {𝐸} ∈ V) → ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V)
1311, 12mp1i 13 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V)
14 elmapg 8114 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V) → (𝑀 ∈ (𝐵𝑚 ({𝐸} × {𝐸})) ↔ 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
159, 13, 14sylancr 577 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀 ∈ (𝐵𝑚 ({𝐸} × {𝐸})) ↔ 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
168, 15bitrd 270 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
17 xpsng 6638 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑉𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
1817anidms 558 . . . . . . 7 (𝐸𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
1918adantl 469 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
2019feq2d 6251 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵𝑀:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
21 opex 5135 . . . . . . 7 𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
2221fsn2 6635 . . . . . 6 (𝑀:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵 ↔ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩}))
23 risset 3261 . . . . . . . . . 10 ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑟𝐵 𝑟 = (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩))
24 eqcom 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
2524rexbii 3240 . . . . . . . . . 10 (∃𝑟𝐵 𝑟 = (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ↔ ∃𝑟𝐵 (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
2623, 25sylbb 210 . . . . . . . . 9 ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 → ∃𝑟𝐵 (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
2726ad2antrl 710 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩})) → ∃𝑟𝐵 (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
28 eqeq1 2821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
29 opex 5135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ ∈ V
30 sneqbg 4573 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ ∈ V → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩))
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩)
32 eqid 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐸, 𝐸⟩ = ⟨𝐸, 𝐸
33 vex 3405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑟 ∈ V
3421, 33opth2 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩ ↔ (⟨𝐸, 𝐸⟩ = ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∧ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
3532, 34mpbiran 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩ ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
3631, 35bitri 266 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
3828, 37bitrd 270 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
3938adantl 469 . . . . . . . . . 10 (((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩}) → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
4039adantl 469 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩})) → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
4140rexbidv 3251 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩})) → (∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ ∃𝑟𝐵 (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
4227, 41mpbird 248 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩})) → ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩})
4342ex 399 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩}) → ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
4422, 43syl5bi 233 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵 → ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
4520, 44sylbid 231 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 → ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
46 f1o2sn 6640 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝑉𝑟𝐵) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})–1-1-onto→{𝑟})
47 f1of 6362 . . . . . . . . 9 ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})–1-1-onto→{𝑟} → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶{𝑟})
4846, 47syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑉𝑟𝐵) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶{𝑟})
4948adantll 696 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑟𝐵) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶{𝑟})
50 snssi 4540 . . . . . . . 8 (𝑟𝐵 → {𝑟} ⊆ 𝐵)
5150adantl 469 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑟𝐵) → {𝑟} ⊆ 𝐵)
5249, 51fssd 6279 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑟𝐵) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵)
53 feq1 6246 . . . . . 6 (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
5452, 53syl5ibrcom 238 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑟𝐵) → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} → 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
5554rexlimdva 3230 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} → 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
5645, 55impbid 203 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
57 mat1dim.o . . . . . . . . 9 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
5857eqcomi 2826 . . . . . . . 8 𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
5958opeq1i 4609 . . . . . . 7 ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩ = ⟨𝑂, 𝑟
6059sneqi 4392 . . . . . 6 {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩}
6160eqeq2i 2829 . . . . 5 (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩})
6261a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
6362rexbidv 3251 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
6456, 63bitrd 270 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
6516, 64bitrd 270 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  wrex 3108  Vcvv 3402  wss 3780  {csn 4381  cop 4387   × cxp 5322  wf 6106  1-1-ontowf1o 6109  cfv 6110  (class class class)co 6883  𝑚 cmap 8101  Fincfn 8201  Basecbs 16087  Ringcrg 18768   Mat cmat 20443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188  ax-cnex 10286  ax-resscn 10287  ax-1cn 10288  ax-icn 10289  ax-addcl 10290  ax-addrcl 10291  ax-mulcl 10292  ax-mulrcl 10293  ax-mulcom 10294  ax-addass 10295  ax-mulass 10296  ax-distr 10297  ax-i2m1 10298  ax-1ne0 10299  ax-1rid 10300  ax-rnegex 10301  ax-rrecex 10302  ax-cnre 10303  ax-pre-lttri 10304  ax-pre-lttrn 10305  ax-pre-ltadd 10306  ax-pre-mulgt0 10307
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-ot 4390  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5906  df-ord 5952  df-on 5953  df-lim 5954  df-suc 5955  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-riota 6844  df-ov 6886  df-oprab 6887  df-mpt2 6888  df-om 7305  df-1st 7407  df-2nd 7408  df-supp 7539  df-wrecs 7651  df-recs 7713  df-rdg 7751  df-1o 7805  df-oadd 7809  df-er 7988  df-map 8103  df-ixp 8155  df-en 8202  df-dom 8203  df-sdom 8204  df-fin 8205  df-fsupp 8524  df-sup 8596  df-pnf 10370  df-mnf 10371  df-xr 10372  df-ltxr 10373  df-le 10374  df-sub 10562  df-neg 10563  df-nn 11315  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11579  df-z 11663  df-dec 11779  df-uz 11924  df-fz 12569  df-struct 16089  df-ndx 16090  df-slot 16091  df-base 16093  df-sets 16094  df-ress 16095  df-plusg 16185  df-mulr 16186  df-sca 16188  df-vsca 16189  df-ip 16190  df-tset 16191  df-ple 16192  df-ds 16194  df-hom 16196  df-cco 16197  df-0g 16326  df-prds 16332  df-pws 16334  df-sra 19400  df-rgmod 19401  df-dsmm 20306  df-frlm 20321  df-mat 20444
This theorem is referenced by:  mat1dimbas  20509  mat1dimcrng  20514  mat1scmat  20576
  Copyright terms: Public domain W3C validator