MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimelbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1dimelbas 21843
Description: A matrix with dimension 1 is an ordered pair with an ordered pair (of the one and only pair of indices) as first component. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
Assertion
Ref Expression
mat1dimelbas ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝐸,𝑟   𝑀,𝑟   𝑅,𝑟   𝑉,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝑂(𝑟)

Proof of Theorem mat1dimelbas
StepHypRef Expression
1 snfi 8994 . . . 4 {𝐸} ∈ Fin
2 simpl 484 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
3 mat1dim.a . . . . . . 7 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
4 mat1dim.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
53, 4matbas2 21793 . . . . . 6 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐵m ({𝐸} × {𝐸})) = (Base‘𝐴))
65eqcomd 2739 . . . . 5 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝐴) = (𝐵m ({𝐸} × {𝐸})))
76eleq2d 2820 . . . 4 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝐵m ({𝐸} × {𝐸}))))
81, 2, 7sylancr 588 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝐵m ({𝐸} × {𝐸}))))
94fvexi 6860 . . . 4 𝐵 ∈ V
10 snex 5392 . . . . . 6 {𝐸} ∈ V
1110, 10pm3.2i 472 . . . . 5 ({𝐸} ∈ V ∧ {𝐸} ∈ V)
12 xpexg 7688 . . . . 5 (({𝐸} ∈ V ∧ {𝐸} ∈ V) → ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V)
1311, 12mp1i 13 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V)
14 elmapg 8784 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V) → (𝑀 ∈ (𝐵m ({𝐸} × {𝐸})) ↔ 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
159, 13, 14sylancr 588 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀 ∈ (𝐵m ({𝐸} × {𝐸})) ↔ 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
168, 15bitrd 279 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
17 xpsng 7089 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑉𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
1817anidms 568 . . . . . . 7 (𝐸𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
1918adantl 483 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
2019feq2d 6658 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵𝑀:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
21 opex 5425 . . . . . . 7 𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
2221fsn2 7086 . . . . . 6 (𝑀:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵 ↔ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩}))
23 risset 3220 . . . . . . . . . 10 ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑟𝐵 𝑟 = (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩))
24 eqcom 2740 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
2524rexbii 3094 . . . . . . . . . 10 (∃𝑟𝐵 𝑟 = (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ↔ ∃𝑟𝐵 (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
2623, 25sylbb 218 . . . . . . . . 9 ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 → ∃𝑟𝐵 (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
2726ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩})) → ∃𝑟𝐵 (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
28 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
29 opex 5425 . . . . . . . . . . . . . 14 ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ ∈ V
30 sneqbg 4805 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ ∈ V → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩))
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩)
32 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐸, 𝐸⟩ = ⟨𝐸, 𝐸
33 vex 3451 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑟 ∈ V
3421, 33opth2 5441 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩ ↔ (⟨𝐸, 𝐸⟩ = ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∧ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
3532, 34mpbiran 708 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩ ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
3631, 35bitri 275 . . . . . . . . . . . 12 ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
3728, 36bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
3837adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩}) → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
3938adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩})) → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
4039rexbidv 3172 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩})) → (∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ ∃𝑟𝐵 (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
4127, 40mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩})) → ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩})
4241ex 414 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩}) → ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
4322, 42biimtrid 241 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵 → ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
4420, 43sylbid 239 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 → ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
45 f1o2sn 7092 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝑉𝑟𝐵) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})–1-1-onto→{𝑟})
46 f1of 6788 . . . . . . . . 9 ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})–1-1-onto→{𝑟} → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶{𝑟})
4745, 46syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑉𝑟𝐵) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶{𝑟})
4847adantll 713 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑟𝐵) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶{𝑟})
49 snssi 4772 . . . . . . . 8 (𝑟𝐵 → {𝑟} ⊆ 𝐵)
5049adantl 483 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑟𝐵) → {𝑟} ⊆ 𝐵)
5148, 50fssd 6690 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑟𝐵) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵)
52 feq1 6653 . . . . . 6 (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
5351, 52syl5ibrcom 247 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑟𝐵) → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} → 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
5453rexlimdva 3149 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} → 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
5544, 54impbid 211 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
56 mat1dim.o . . . . . . . . 9 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
5756eqcomi 2742 . . . . . . . 8 𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
5857opeq1i 4837 . . . . . . 7 ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩ = ⟨𝑂, 𝑟
5958sneqi 4601 . . . . . 6 {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩}
6059eqeq2i 2746 . . . . 5 (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩})
6160a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
6261rexbidv 3172 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
6355, 62bitrd 279 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
6416, 63bitrd 279 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑟𝐵 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3070  Vcvv 3447  wss 3914  {csn 4590  cop 4596   × cxp 5635  wf 6496  1-1-ontowf1o 6499  cfv 6500  (class class class)co 7361  m cmap 8771  Fincfn 8889  Basecbs 17091  Ringcrg 19972   Mat cmat 21777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-prds 17337  df-pws 17339  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-mat 21778
This theorem is referenced by:  mat1dimbas  21844  mat1dimcrng  21849  mat1scmat  21911
  Copyright terms: Public domain W3C validator