MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  incexc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incexc2 15784
Description: The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexc2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
Distinct variable group:   ๐‘˜,๐‘›,๐‘ ,๐ด

Proof of Theorem incexc2
StepHypRef Expression
1 incexc 15783 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) = ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
2 hashcl 14316 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
32ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
43nn0zd 12584 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
5 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
6 elpwi 4610 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โ†’ ๐‘˜ โŠ† ๐ด)
7 ssdomg 8996 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (๐‘˜ โŠ† ๐ด โ†’ ๐‘˜ โ‰ผ ๐ด))
87imp 408 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐‘˜ โŠ† ๐ด) โ†’ ๐‘˜ โ‰ผ ๐ด)
95, 6, 8syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ ๐‘˜ โ‰ผ ๐ด)
10 hashdomi 14340 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โ‰ผ ๐ด โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด))
12 fznn 13569 . . . . . . . . . . 11 ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„• โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘˜) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด))))
1312rbaibd 542 . . . . . . . . . 10 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘˜) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†” (โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•))
144, 11, 13syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†” (โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•))
15 ssfi 9173 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐‘˜ โŠ† ๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ Fin)
165, 6, 15syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ Fin)
17 hashnncl 14326 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘˜ โ‰  โˆ…))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘˜ โ‰  โˆ…))
1914, 18bitr2d 280 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (๐‘˜ โ‰  โˆ… โ†” (โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))))
20 df-ne 2942 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โ‰  โˆ… โ†” ยฌ ๐‘˜ = โˆ…)
21 risset 3231 . . . . . . . 8 ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))๐‘› = (โ™ฏโ€˜๐‘˜))
2219, 20, 213bitr3g 313 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = โˆ… โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))๐‘› = (โ™ฏโ€˜๐‘˜)))
23 velsn 4645 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ {โˆ…} โ†” ๐‘˜ = โˆ…)
2423notbii 320 . . . . . . 7 (ยฌ ๐‘˜ โˆˆ {โˆ…} โ†” ยฌ ๐‘˜ = โˆ…)
25 eqcom 2740 . . . . . . . 8 ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘› โ†” ๐‘› = (โ™ฏโ€˜๐‘˜))
2625rexbii 3095 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))(โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘› โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))๐‘› = (โ™ฏโ€˜๐‘˜))
2722, 24, 263bitr4g 314 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ โˆˆ {โˆ…} โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))(โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›))
2827rabbidva 3440 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ {โˆ…}} = {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))(โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›})
29 dfdif2 3958 . . . . 5 (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…}) = {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ {โˆ…}}
30 iunrab 5056 . . . . 5 โˆช ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)){๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} = {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))(โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}
3128, 29, 303eqtr4g 2798 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…}) = โˆช ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)){๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›})
3231sumeq1d 15647 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = ฮฃ๐‘  โˆˆ โˆช ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)){๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
331, 32eqtrd 2773 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) = ฮฃ๐‘  โˆˆ โˆช ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)){๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
34 fzfid 13938 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin)
35 simpll 766 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
36 pwfi 9178 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ ๐ด โˆˆ Fin)
3735, 36sylib 217 . . . 4 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ๐’ซ ๐ด โˆˆ Fin)
38 ssrab2 4078 . . . 4 {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} โŠ† ๐’ซ ๐ด
39 ssfi 9173 . . . 4 ((๐’ซ ๐ด โˆˆ Fin โˆง {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} โŠ† ๐’ซ ๐ด) โ†’ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} โˆˆ Fin)
4037, 38, 39sylancl 587 . . 3 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} โˆˆ Fin)
41 fveqeq2 6901 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘  โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘› โ†” (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = ๐‘›))
4241elrab 3684 . . . . . . . 8 (๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} โ†” (๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = ๐‘›))
4342simprbi 498 . . . . . . 7 (๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = ๐‘›)
4443adantl 483 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = ๐‘›)
4544ralrimiva 3147 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ โˆ€๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = ๐‘›)
4645ralrimiva 3147 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โˆ€๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = ๐‘›)
47 invdisj 5133 . . . 4 (โˆ€๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โˆ€๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = ๐‘› โ†’ Disj ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)){๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›})
4846, 47syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ Disj ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)){๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›})
4944oveq1d 7424 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1) = (๐‘› โˆ’ 1))
5049oveq2d 7425 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ (-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) = (-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)))
5150oveq1d 7424 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = ((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
52 1cnd 11209 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5352negcld 11558 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
54 elfznn 13530 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
5554adantl 483 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
56 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
5853, 57expcld 14111 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ (-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
5958adantr 482 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ (-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
60 unifi 9341 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ โˆช ๐ด โˆˆ Fin)
6160ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ โˆช ๐ด โˆˆ Fin)
6255adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
6344, 62eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆˆ โ„•)
6435adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
65 elrabi 3678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด)
6665adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด)
67 elpwi 4610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด โ†’ ๐‘  โŠ† ๐ด)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ๐‘  โŠ† ๐ด)
6964, 68ssfid 9267 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ๐‘  โˆˆ Fin)
70 hashnncl 14326 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘  โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘  โ‰  โˆ…))
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘  โ‰  โˆ…))
7263, 71mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ๐‘  โ‰  โˆ…)
73 intssuni 4975 . . . . . . . . . . 11 (๐‘  โ‰  โˆ… โ†’ โˆฉ ๐‘  โŠ† โˆช ๐‘ )
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ โˆฉ ๐‘  โŠ† โˆช ๐‘ )
7568unissd 4919 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ โˆช ๐‘  โŠ† โˆช ๐ด)
7674, 75sstrd 3993 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ โˆฉ ๐‘  โŠ† โˆช ๐ด)
7761, 76ssfid 9267 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ โˆฉ ๐‘  โˆˆ Fin)
78 hashcl 14316 . . . . . . . 8 (โˆฉ ๐‘  โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ ) โˆˆ โ„•0)
7977, 78syl 17 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ ) โˆˆ โ„•0)
8079nn0cnd 12534 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ ) โˆˆ โ„‚)
8159, 80mulcld 11234 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) โˆˆ โ„‚)
8251, 81eqeltrd 2834 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) โˆˆ โ„‚)
8382anasss 468 . . 3 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›})) โ†’ ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) โˆˆ โ„‚)
8434, 40, 48, 83fsumiun 15767 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ โˆช ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)){๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
8551sumeq2dv 15649 . . . 4 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
8640, 58, 80fsummulc2 15730 . . . 4 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
8785, 86eqtr4d 2776 . . 3 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = ((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
8887sumeq2dv 15649 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
8933, 84, 883eqtrd 2777 1 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071  {crab 3433   โˆ– cdif 3946   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323  ๐’ซ cpw 4603  {csn 4629  โˆช cuni 4909  โˆฉ cint 4951  โˆช ciun 4998  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โ‰ผ cdom 8937  Fincfn 8939  โ„‚cc 11108  1c1 11111   ยท cmul 11115   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  ...cfz 13484  โ†‘cexp 14027  โ™ฏchash 14290  ฮฃcsu 15632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator