MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  incexc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incexc2 15871
Description: The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexc2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))((-1↑(𝑛 − 1)) · Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} (♯‘ 𝑠)))
Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑠,𝐴

Proof of Theorem incexc2
StepHypRef Expression
1 incexc 15870 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
2 hashcl 14392 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
32ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
43nn0zd 12637 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
5 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
6 elpwi 4612 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ 𝒫 𝐴𝑘𝐴)
7 ssdomg 9039 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Fin → (𝑘𝐴𝑘𝐴))
87imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘𝐴)
95, 6, 8syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑘𝐴)
10 hashdomi 14416 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → (♯‘𝑘) ≤ (♯‘𝐴))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → (♯‘𝑘) ≤ (♯‘𝐴))
12 fznn 13629 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → ((♯‘𝑘) ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ ((♯‘𝑘) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑘) ≤ (♯‘𝐴))))
1312rbaibd 540 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑘) ≤ (♯‘𝐴)) → ((♯‘𝑘) ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ (♯‘𝑘) ∈ ℕ))
144, 11, 13syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → ((♯‘𝑘) ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ (♯‘𝑘) ∈ ℕ))
15 ssfi 9212 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ Fin)
165, 6, 15syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑘 ∈ Fin)
17 hashnncl 14402 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ Fin → ((♯‘𝑘) ∈ ℕ ↔ 𝑘 ≠ ∅))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → ((♯‘𝑘) ∈ ℕ ↔ 𝑘 ≠ ∅))
1914, 18bitr2d 280 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑘 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑘) ∈ (1...(♯‘𝐴))))
20 df-ne 2939 . . . . . . . 8 (𝑘 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑘 = ∅)
21 risset 3231 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑘) ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ ∃𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))𝑛 = (♯‘𝑘))
2219, 20, 213bitr3g 313 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → (¬ 𝑘 = ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))𝑛 = (♯‘𝑘)))
23 velsn 4647 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {∅} ↔ 𝑘 = ∅)
2423notbii 320 . . . . . . 7 𝑘 ∈ {∅} ↔ ¬ 𝑘 = ∅)
25 eqcom 2742 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑘) = 𝑛𝑛 = (♯‘𝑘))
2625rexbii 3092 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))(♯‘𝑘) = 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))𝑛 = (♯‘𝑘))
2722, 24, 263bitr4g 314 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → (¬ 𝑘 ∈ {∅} ↔ ∃𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))(♯‘𝑘) = 𝑛))
2827rabbidva 3440 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ¬ 𝑘 ∈ {∅}} = {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))(♯‘𝑘) = 𝑛})
29 dfdif2 3972 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) = {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ¬ 𝑘 ∈ {∅}}
30 iunrab 5057 . . . . 5 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)){𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} = {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))(♯‘𝑘) = 𝑛}
3128, 29, 303eqtr4g 2800 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) = 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)){𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛})
3231sumeq1d 15733 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = Σ𝑠 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)){𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
331, 32eqtrd 2775 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ𝑠 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)){𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
34 fzfid 14011 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (1...(♯‘𝐴)) ∈ Fin)
35 simpll 767 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝐴 ∈ Fin)
36 pwfi 9355 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
3735, 36sylib 218 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
38 ssrab2 4090 . . . 4 {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ⊆ 𝒫 𝐴
39 ssfi 9212 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ⊆ 𝒫 𝐴) → {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ∈ Fin)
4037, 38, 39sylancl 586 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ∈ Fin)
41 fveqeq2 6916 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑠 → ((♯‘𝑘) = 𝑛 ↔ (♯‘𝑠) = 𝑛))
4241elrab 3695 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑠) = 𝑛))
4342simprbi 496 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} → (♯‘𝑠) = 𝑛)
4443adantl 481 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → (♯‘𝑠) = 𝑛)
4544ralrimiva 3144 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ∀𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} (♯‘𝑠) = 𝑛)
4645ralrimiva 3144 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ∀𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))∀𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} (♯‘𝑠) = 𝑛)
47 invdisj 5134 . . . 4 (∀𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))∀𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} (♯‘𝑠) = 𝑛Disj 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)){𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛})
4846, 47syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Disj 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)){𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛})
4944oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → ((♯‘𝑠) − 1) = (𝑛 − 1))
5049oveq2d 7447 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → (-1↑((♯‘𝑠) − 1)) = (-1↑(𝑛 − 1)))
5150oveq1d 7446 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
52 1cnd 11254 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 1 ∈ ℂ)
5352negcld 11605 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → -1 ∈ ℂ)
54 elfznn 13590 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
5554adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
56 nnm1nn0 12565 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
5853, 57expcld 14183 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
5958adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
60 unifi 9382 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
6160ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → 𝐴 ∈ Fin)
6255adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑛 ∈ ℕ)
6344, 62eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ)
6435adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → 𝐴 ∈ Fin)
65 elrabi 3690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴)
6665adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴)
67 elpwi 4612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐴𝑠𝐴)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑠𝐴)
6964, 68ssfid 9299 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑠 ∈ Fin)
70 hashnncl 14402 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) ∈ ℕ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → ((♯‘𝑠) ∈ ℕ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
7263, 71mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑠 ≠ ∅)
73 intssuni 4975 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ≠ ∅ → 𝑠 𝑠)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑠 𝑠)
7568unissd 4922 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑠 𝐴)
7674, 75sstrd 4006 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑠 𝐴)
7761, 76ssfid 9299 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑠 ∈ Fin)
78 hashcl 14392 . . . . . . . 8 ( 𝑠 ∈ Fin → (♯‘ 𝑠) ∈ ℕ0)
7977, 78syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → (♯‘ 𝑠) ∈ ℕ0)
8079nn0cnd 12587 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → (♯‘ 𝑠) ∈ ℂ)
8159, 80mulcld 11279 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · (♯‘ 𝑠)) ∈ ℂ)
8251, 81eqeltrd 2839 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) ∈ ℂ)
8382anasss 466 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛})) → ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) ∈ ℂ)
8434, 40, 48, 83fsumiun 15854 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)){𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = Σ𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
8551sumeq2dv 15735 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑(𝑛 − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
8640, 58, 80fsummulc2 15817 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} (♯‘ 𝑠)) = Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑(𝑛 − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
8785, 86eqtr4d 2778 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} (♯‘ 𝑠)))
8887sumeq2dv 15735 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = Σ𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))((-1↑(𝑛 − 1)) · Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} (♯‘ 𝑠)))
8933, 84, 883eqtrd 2779 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))((-1↑(𝑛 − 1)) · Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} (♯‘ 𝑠)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  cdif 3960  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   cuni 4912   cint 4951   ciun 4996  Disj wdisj 5115   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cdom 8982  Fincfn 8984  cc 11151  1c1 11154   · cmul 11158  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  ...cfz 13544  cexp 14099  chash 14366  Σcsu 15719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator