MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  incexc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incexc2 15788
Description: The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexc2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
Distinct variable group:   ๐‘˜,๐‘›,๐‘ ,๐ด

Proof of Theorem incexc2
StepHypRef Expression
1 incexc 15787 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) = ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
2 hashcl 14320 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
32ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
43nn0zd 12588 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
5 simpl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
6 elpwi 4608 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โ†’ ๐‘˜ โŠ† ๐ด)
7 ssdomg 8998 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (๐‘˜ โŠ† ๐ด โ†’ ๐‘˜ โ‰ผ ๐ด))
87imp 405 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐‘˜ โŠ† ๐ด) โ†’ ๐‘˜ โ‰ผ ๐ด)
95, 6, 8syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ ๐‘˜ โ‰ผ ๐ด)
10 hashdomi 14344 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โ‰ผ ๐ด โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด))
12 fznn 13573 . . . . . . . . . . 11 ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„• โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘˜) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด))))
1312rbaibd 539 . . . . . . . . . 10 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘˜) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†” (โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•))
144, 11, 13syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†” (โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•))
15 ssfi 9175 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐‘˜ โŠ† ๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ Fin)
165, 6, 15syl2an 594 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ Fin)
17 hashnncl 14330 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘˜ โ‰  โˆ…))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘˜ โ‰  โˆ…))
1914, 18bitr2d 279 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (๐‘˜ โ‰  โˆ… โ†” (โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))))
20 df-ne 2939 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โ‰  โˆ… โ†” ยฌ ๐‘˜ = โˆ…)
21 risset 3228 . . . . . . . 8 ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))๐‘› = (โ™ฏโ€˜๐‘˜))
2219, 20, 213bitr3g 312 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = โˆ… โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))๐‘› = (โ™ฏโ€˜๐‘˜)))
23 velsn 4643 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ {โˆ…} โ†” ๐‘˜ = โˆ…)
2423notbii 319 . . . . . . 7 (ยฌ ๐‘˜ โˆˆ {โˆ…} โ†” ยฌ ๐‘˜ = โˆ…)
25 eqcom 2737 . . . . . . . 8 ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘› โ†” ๐‘› = (โ™ฏโ€˜๐‘˜))
2625rexbii 3092 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))(โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘› โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))๐‘› = (โ™ฏโ€˜๐‘˜))
2722, 24, 263bitr4g 313 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ โˆˆ {โˆ…} โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))(โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›))
2827rabbidva 3437 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ {โˆ…}} = {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))(โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›})
29 dfdif2 3956 . . . . 5 (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…}) = {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ {โˆ…}}
30 iunrab 5054 . . . . 5 โˆช ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)){๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} = {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))(โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}
3128, 29, 303eqtr4g 2795 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…}) = โˆช ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)){๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›})
3231sumeq1d 15651 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = ฮฃ๐‘  โˆˆ โˆช ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)){๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
331, 32eqtrd 2770 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) = ฮฃ๐‘  โˆˆ โˆช ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)){๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
34 fzfid 13942 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin)
35 simpll 763 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
36 pwfi 9180 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ ๐ด โˆˆ Fin)
3735, 36sylib 217 . . . 4 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ๐’ซ ๐ด โˆˆ Fin)
38 ssrab2 4076 . . . 4 {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} โŠ† ๐’ซ ๐ด
39 ssfi 9175 . . . 4 ((๐’ซ ๐ด โˆˆ Fin โˆง {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} โŠ† ๐’ซ ๐ด) โ†’ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} โˆˆ Fin)
4037, 38, 39sylancl 584 . . 3 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} โˆˆ Fin)
41 fveqeq2 6899 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘  โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘› โ†” (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = ๐‘›))
4241elrab 3682 . . . . . . . 8 (๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} โ†” (๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = ๐‘›))
4342simprbi 495 . . . . . . 7 (๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = ๐‘›)
4443adantl 480 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = ๐‘›)
4544ralrimiva 3144 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ โˆ€๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = ๐‘›)
4645ralrimiva 3144 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โˆ€๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = ๐‘›)
47 invdisj 5131 . . . 4 (โˆ€๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โˆ€๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = ๐‘› โ†’ Disj ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)){๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›})
4846, 47syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ Disj ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)){๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›})
4944oveq1d 7426 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1) = (๐‘› โˆ’ 1))
5049oveq2d 7427 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ (-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) = (-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)))
5150oveq1d 7426 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = ((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
52 1cnd 11213 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5352negcld 11562 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
54 elfznn 13534 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
5554adantl 480 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
56 nnm1nn0 12517 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
5853, 57expcld 14115 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ (-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
5958adantr 479 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ (-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
60 unifi 9343 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ โˆช ๐ด โˆˆ Fin)
6160ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ โˆช ๐ด โˆˆ Fin)
6255adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
6344, 62eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆˆ โ„•)
6435adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
65 elrabi 3676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด)
6665adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด)
67 elpwi 4608 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด โ†’ ๐‘  โŠ† ๐ด)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ๐‘  โŠ† ๐ด)
6964, 68ssfid 9269 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ๐‘  โˆˆ Fin)
70 hashnncl 14330 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘  โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘  โ‰  โˆ…))
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘  โ‰  โˆ…))
7263, 71mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ๐‘  โ‰  โˆ…)
73 intssuni 4973 . . . . . . . . . . 11 (๐‘  โ‰  โˆ… โ†’ โˆฉ ๐‘  โŠ† โˆช ๐‘ )
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ โˆฉ ๐‘  โŠ† โˆช ๐‘ )
7568unissd 4917 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ โˆช ๐‘  โŠ† โˆช ๐ด)
7674, 75sstrd 3991 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ โˆฉ ๐‘  โŠ† โˆช ๐ด)
7761, 76ssfid 9269 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ โˆฉ ๐‘  โˆˆ Fin)
78 hashcl 14320 . . . . . . . 8 (โˆฉ ๐‘  โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ ) โˆˆ โ„•0)
7977, 78syl 17 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ ) โˆˆ โ„•0)
8079nn0cnd 12538 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ ) โˆˆ โ„‚)
8159, 80mulcld 11238 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) โˆˆ โ„‚)
8251, 81eqeltrd 2831 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) โˆˆ โ„‚)
8382anasss 465 . . 3 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›})) โ†’ ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) โˆˆ โ„‚)
8434, 40, 48, 83fsumiun 15771 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ โˆช ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)){๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
8551sumeq2dv 15653 . . . 4 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
8640, 58, 80fsummulc2 15734 . . . 4 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
8785, 86eqtr4d 2773 . . 3 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = ((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
8887sumeq2dv 15653 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
8933, 84, 883eqtrd 2774 1 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆ€wral 3059  โˆƒwrex 3068  {crab 3430   โˆ– cdif 3944   โŠ† wss 3947  โˆ…c0 4321  ๐’ซ cpw 4601  {csn 4627  โˆช cuni 4907  โˆฉ cint 4949  โˆช ciun 4996  Disj wdisj 5112   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   โ‰ผ cdom 8939  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  1c1 11113   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  ...cfz 13488  โ†‘cexp 14031  โ™ฏchash 14294  ฮฃcsu 15636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator