MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  incexc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incexc2 15723
Description: The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexc2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))((-1↑(𝑛 − 1)) · Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} (♯‘ 𝑠)))
Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑠,𝐴

Proof of Theorem incexc2
StepHypRef Expression
1 incexc 15722 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
2 hashcl 14256 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
32ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
43nn0zd 12525 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
5 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
6 elpwi 4567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ 𝒫 𝐴𝑘𝐴)
7 ssdomg 8940 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Fin → (𝑘𝐴𝑘𝐴))
87imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘𝐴)
95, 6, 8syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑘𝐴)
10 hashdomi 14280 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → (♯‘𝑘) ≤ (♯‘𝐴))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → (♯‘𝑘) ≤ (♯‘𝐴))
12 fznn 13509 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → ((♯‘𝑘) ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ ((♯‘𝑘) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑘) ≤ (♯‘𝐴))))
1312rbaibd 541 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑘) ≤ (♯‘𝐴)) → ((♯‘𝑘) ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ (♯‘𝑘) ∈ ℕ))
144, 11, 13syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → ((♯‘𝑘) ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ (♯‘𝑘) ∈ ℕ))
15 ssfi 9117 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ Fin)
165, 6, 15syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑘 ∈ Fin)
17 hashnncl 14266 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ Fin → ((♯‘𝑘) ∈ ℕ ↔ 𝑘 ≠ ∅))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → ((♯‘𝑘) ∈ ℕ ↔ 𝑘 ≠ ∅))
1914, 18bitr2d 279 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑘 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑘) ∈ (1...(♯‘𝐴))))
20 df-ne 2944 . . . . . . . 8 (𝑘 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑘 = ∅)
21 risset 3221 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑘) ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ ∃𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))𝑛 = (♯‘𝑘))
2219, 20, 213bitr3g 312 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → (¬ 𝑘 = ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))𝑛 = (♯‘𝑘)))
23 velsn 4602 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {∅} ↔ 𝑘 = ∅)
2423notbii 319 . . . . . . 7 𝑘 ∈ {∅} ↔ ¬ 𝑘 = ∅)
25 eqcom 2743 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑘) = 𝑛𝑛 = (♯‘𝑘))
2625rexbii 3097 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))(♯‘𝑘) = 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))𝑛 = (♯‘𝑘))
2722, 24, 263bitr4g 313 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → (¬ 𝑘 ∈ {∅} ↔ ∃𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))(♯‘𝑘) = 𝑛))
2827rabbidva 3414 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ¬ 𝑘 ∈ {∅}} = {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))(♯‘𝑘) = 𝑛})
29 dfdif2 3919 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) = {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ¬ 𝑘 ∈ {∅}}
30 iunrab 5012 . . . . 5 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)){𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} = {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))(♯‘𝑘) = 𝑛}
3128, 29, 303eqtr4g 2801 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) = 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)){𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛})
3231sumeq1d 15586 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = Σ𝑠 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)){𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
331, 32eqtrd 2776 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ𝑠 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)){𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
34 fzfid 13878 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (1...(♯‘𝐴)) ∈ Fin)
35 simpll 765 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝐴 ∈ Fin)
36 pwfi 9122 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
3735, 36sylib 217 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
38 ssrab2 4037 . . . 4 {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ⊆ 𝒫 𝐴
39 ssfi 9117 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ⊆ 𝒫 𝐴) → {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ∈ Fin)
4037, 38, 39sylancl 586 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ∈ Fin)
41 fveqeq2 6851 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑠 → ((♯‘𝑘) = 𝑛 ↔ (♯‘𝑠) = 𝑛))
4241elrab 3645 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑠) = 𝑛))
4342simprbi 497 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} → (♯‘𝑠) = 𝑛)
4443adantl 482 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → (♯‘𝑠) = 𝑛)
4544ralrimiva 3143 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ∀𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} (♯‘𝑠) = 𝑛)
4645ralrimiva 3143 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ∀𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))∀𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} (♯‘𝑠) = 𝑛)
47 invdisj 5089 . . . 4 (∀𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))∀𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} (♯‘𝑠) = 𝑛Disj 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)){𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛})
4846, 47syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Disj 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)){𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛})
4944oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → ((♯‘𝑠) − 1) = (𝑛 − 1))
5049oveq2d 7373 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → (-1↑((♯‘𝑠) − 1)) = (-1↑(𝑛 − 1)))
5150oveq1d 7372 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
52 1cnd 11150 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 1 ∈ ℂ)
5352negcld 11499 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → -1 ∈ ℂ)
54 elfznn 13470 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
5554adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
56 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
5853, 57expcld 14051 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
5958adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
60 unifi 9285 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
6160ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → 𝐴 ∈ Fin)
6255adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑛 ∈ ℕ)
6344, 62eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ)
6435adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → 𝐴 ∈ Fin)
65 elrabi 3639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴)
6665adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴)
67 elpwi 4567 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐴𝑠𝐴)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑠𝐴)
6964, 68ssfid 9211 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑠 ∈ Fin)
70 hashnncl 14266 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) ∈ ℕ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → ((♯‘𝑠) ∈ ℕ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
7263, 71mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑠 ≠ ∅)
73 intssuni 4931 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ≠ ∅ → 𝑠 𝑠)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑠 𝑠)
7568unissd 4875 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑠 𝐴)
7674, 75sstrd 3954 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑠 𝐴)
7761, 76ssfid 9211 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑠 ∈ Fin)
78 hashcl 14256 . . . . . . . 8 ( 𝑠 ∈ Fin → (♯‘ 𝑠) ∈ ℕ0)
7977, 78syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → (♯‘ 𝑠) ∈ ℕ0)
8079nn0cnd 12475 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → (♯‘ 𝑠) ∈ ℂ)
8159, 80mulcld 11175 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · (♯‘ 𝑠)) ∈ ℂ)
8251, 81eqeltrd 2838 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛}) → ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) ∈ ℂ)
8382anasss 467 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛})) → ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) ∈ ℂ)
8434, 40, 48, 83fsumiun 15706 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)){𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = Σ𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
8551sumeq2dv 15588 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑(𝑛 − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
8640, 58, 80fsummulc2 15669 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} (♯‘ 𝑠)) = Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑(𝑛 − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
8785, 86eqtr4d 2779 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} (♯‘ 𝑠)))
8887sumeq2dv 15588 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = Σ𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))((-1↑(𝑛 − 1)) · Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} (♯‘ 𝑠)))
8933, 84, 883eqtrd 2780 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))((-1↑(𝑛 − 1)) · Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑘) = 𝑛} (♯‘ 𝑠)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  cdif 3907  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4586   cuni 4865   cint 4907   ciun 4954  Disj wdisj 5070   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cdom 8881  Fincfn 8883  cc 11049  1c1 11052   · cmul 11056  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  ...cfz 13424  cexp 13967  chash 14230  Σcsu 15570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator