MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  incexc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incexc2 15730
Description: The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexc2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
Distinct variable group:   ๐‘˜,๐‘›,๐‘ ,๐ด

Proof of Theorem incexc2
StepHypRef Expression
1 incexc 15729 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) = ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
2 hashcl 14263 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
32ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
43nn0zd 12532 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
5 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
6 elpwi 4572 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โ†’ ๐‘˜ โŠ† ๐ด)
7 ssdomg 8947 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (๐‘˜ โŠ† ๐ด โ†’ ๐‘˜ โ‰ผ ๐ด))
87imp 408 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐‘˜ โŠ† ๐ด) โ†’ ๐‘˜ โ‰ผ ๐ด)
95, 6, 8syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ ๐‘˜ โ‰ผ ๐ด)
10 hashdomi 14287 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โ‰ผ ๐ด โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด))
12 fznn 13516 . . . . . . . . . . 11 ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„• โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘˜) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด))))
1312rbaibd 542 . . . . . . . . . 10 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘˜) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†” (โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•))
144, 11, 13syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†” (โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•))
15 ssfi 9124 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐‘˜ โŠ† ๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ Fin)
165, 6, 15syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ Fin)
17 hashnncl 14273 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘˜ โ‰  โˆ…))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘˜ โ‰  โˆ…))
1914, 18bitr2d 280 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (๐‘˜ โ‰  โˆ… โ†” (โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))))
20 df-ne 2945 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โ‰  โˆ… โ†” ยฌ ๐‘˜ = โˆ…)
21 risset 3224 . . . . . . . 8 ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))๐‘› = (โ™ฏโ€˜๐‘˜))
2219, 20, 213bitr3g 313 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = โˆ… โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))๐‘› = (โ™ฏโ€˜๐‘˜)))
23 velsn 4607 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ {โˆ…} โ†” ๐‘˜ = โˆ…)
2423notbii 320 . . . . . . 7 (ยฌ ๐‘˜ โˆˆ {โˆ…} โ†” ยฌ ๐‘˜ = โˆ…)
25 eqcom 2744 . . . . . . . 8 ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘› โ†” ๐‘› = (โ™ฏโ€˜๐‘˜))
2625rexbii 3098 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))(โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘› โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))๐‘› = (โ™ฏโ€˜๐‘˜))
2722, 24, 263bitr4g 314 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ โˆˆ {โˆ…} โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))(โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›))
2827rabbidva 3417 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ {โˆ…}} = {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))(โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›})
29 dfdif2 3924 . . . . 5 (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…}) = {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ {โˆ…}}
30 iunrab 5017 . . . . 5 โˆช ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)){๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} = {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))(โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}
3128, 29, 303eqtr4g 2802 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…}) = โˆช ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)){๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›})
3231sumeq1d 15593 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = ฮฃ๐‘  โˆˆ โˆช ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)){๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
331, 32eqtrd 2777 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) = ฮฃ๐‘  โˆˆ โˆช ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)){๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
34 fzfid 13885 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin)
35 simpll 766 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
36 pwfi 9129 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ ๐ด โˆˆ Fin)
3735, 36sylib 217 . . . 4 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ๐’ซ ๐ด โˆˆ Fin)
38 ssrab2 4042 . . . 4 {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} โŠ† ๐’ซ ๐ด
39 ssfi 9124 . . . 4 ((๐’ซ ๐ด โˆˆ Fin โˆง {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} โŠ† ๐’ซ ๐ด) โ†’ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} โˆˆ Fin)
4037, 38, 39sylancl 587 . . 3 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} โˆˆ Fin)
41 fveqeq2 6856 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘  โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘› โ†” (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = ๐‘›))
4241elrab 3650 . . . . . . . 8 (๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} โ†” (๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = ๐‘›))
4342simprbi 498 . . . . . . 7 (๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = ๐‘›)
4443adantl 483 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = ๐‘›)
4544ralrimiva 3144 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ โˆ€๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = ๐‘›)
4645ralrimiva 3144 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โˆ€๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = ๐‘›)
47 invdisj 5094 . . . 4 (โˆ€๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โˆ€๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = ๐‘› โ†’ Disj ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)){๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›})
4846, 47syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ Disj ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)){๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›})
4944oveq1d 7377 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1) = (๐‘› โˆ’ 1))
5049oveq2d 7378 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ (-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) = (-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)))
5150oveq1d 7377 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = ((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
52 1cnd 11157 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5352negcld 11506 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
54 elfznn 13477 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
5554adantl 483 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
56 nnm1nn0 12461 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
5853, 57expcld 14058 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ (-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
5958adantr 482 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ (-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
60 unifi 9292 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ โˆช ๐ด โˆˆ Fin)
6160ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ โˆช ๐ด โˆˆ Fin)
6255adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
6344, 62eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆˆ โ„•)
6435adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
65 elrabi 3644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด)
6665adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด)
67 elpwi 4572 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด โ†’ ๐‘  โŠ† ๐ด)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ๐‘  โŠ† ๐ด)
6964, 68ssfid 9218 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ๐‘  โˆˆ Fin)
70 hashnncl 14273 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘  โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘  โ‰  โˆ…))
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘  โ‰  โˆ…))
7263, 71mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ๐‘  โ‰  โˆ…)
73 intssuni 4936 . . . . . . . . . . 11 (๐‘  โ‰  โˆ… โ†’ โˆฉ ๐‘  โŠ† โˆช ๐‘ )
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ โˆฉ ๐‘  โŠ† โˆช ๐‘ )
7568unissd 4880 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ โˆช ๐‘  โŠ† โˆช ๐ด)
7674, 75sstrd 3959 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ โˆฉ ๐‘  โŠ† โˆช ๐ด)
7761, 76ssfid 9218 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ โˆฉ ๐‘  โˆˆ Fin)
78 hashcl 14263 . . . . . . . 8 (โˆฉ ๐‘  โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ ) โˆˆ โ„•0)
7977, 78syl 17 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ ) โˆˆ โ„•0)
8079nn0cnd 12482 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ ) โˆˆ โ„‚)
8159, 80mulcld 11182 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) โˆˆ โ„‚)
8251, 81eqeltrd 2838 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›}) โ†’ ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) โˆˆ โ„‚)
8382anasss 468 . . 3 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›})) โ†’ ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) โˆˆ โ„‚)
8434, 40, 48, 83fsumiun 15713 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ โˆช ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)){๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
8551sumeq2dv 15595 . . . 4 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
8640, 58, 80fsummulc2 15676 . . . 4 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
8785, 86eqtr4d 2780 . . 3 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = ((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
8887sumeq2dv 15595 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
8933, 84, 883eqtrd 2781 1 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆ€wral 3065  โˆƒwrex 3074  {crab 3410   โˆ– cdif 3912   โŠ† wss 3915  โˆ…c0 4287  ๐’ซ cpw 4565  {csn 4591  โˆช cuni 4870  โˆฉ cint 4912  โˆช ciun 4959  Disj wdisj 5075   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   โ‰ผ cdom 8888  Fincfn 8890  โ„‚cc 11056  1c1 11059   ยท cmul 11063   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  โ„•cn 12160  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  ...cfz 13431  โ†‘cexp 13974  โ™ฏchash 14237  ฮฃcsu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator