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Theorem dcubic 24878
Description: Solutions to the depressed cubic, a special case of cubic 24881. (The definitions of 𝑀, 𝑁, 𝐺, 𝑇 here differ from mcubic 24879 by scale factors of -9, 54, 54 and -27 respectively, to simplify the algebra and presentation.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dcubic.c (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
dcubic.d (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
dcubic.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
dcubic.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
dcubic.3 (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺𝑁))
dcubic.g (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
dcubic.2 (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
dcubic.m (𝜑𝑀 = (𝑃 / 3))
dcubic.n (𝜑𝑁 = (𝑄 / 2))
dcubic.0 (𝜑𝑇 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
dcubic (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑟   𝑃,𝑟   𝜑,𝑟   𝑄,𝑟   𝑇,𝑟   𝑋,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem dcubic
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dcubic.0 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ≠ 0)
21adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) → 𝑇 ≠ 0)
3 dcubic.t . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
43adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) → 𝑇 ∈ ℂ)
5 3z 11662 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℤ
6 expne0i 13104 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ≠ 0 ∧ 3 ∈ ℤ) → (𝑇↑3) ≠ 0)
75, 6mp3an3 1574 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ≠ 0) → (𝑇↑3) ≠ 0)
87ex 401 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℂ → (𝑇 ≠ 0 → (𝑇↑3) ≠ 0))
94, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) → (𝑇 ≠ 0 → (𝑇↑3) ≠ 0))
10 dcubic.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺𝑁))
1110ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (𝑇↑3) = (𝐺𝑁))
12 dcubic.g . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
1312ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → 𝐺 ∈ ℂ)
14 dcubic.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
1514ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
16 dcubic.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 = (𝑄 / 2))
1716ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → 𝑁 = (𝑄 / 2))
18 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → 𝑋 = 0)
1918oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (𝑃 · 𝑋) = (𝑃 · 0))
20 dcubic.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
2120ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
2221mul01d 10493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (𝑃 · 0) = 0)
2319, 22eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (𝑃 · 𝑋) = 0)
2423oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄) = (0 + 𝑄))
2518oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (𝑋↑3) = (0↑3))
26 3nn 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 ∈ ℕ
27 0exp 13107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (3 ∈ ℕ → (0↑3) = 0)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0↑3) = 0
2925, 28syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (𝑋↑3) = 0)
3029oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = (0 + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)))
31 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)
32 0cnd 10290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → 0 ∈ ℂ)
3323, 32eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (𝑃 · 𝑋) ∈ ℂ)
34 dcubic.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
3534ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → 𝑄 ∈ ℂ)
3633, 35addcld 10317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄) ∈ ℂ)
3736addid2d 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (0 + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄))
3830, 31, 373eqtr3rd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄) = 0)
3935addid2d 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (0 + 𝑄) = 𝑄)
4024, 38, 393eqtr3rd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → 𝑄 = 0)
4140oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (𝑄 / 2) = (0 / 2))
42 2cn 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℂ
43 2ne0 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≠ 0
4442, 43div0i 11017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 / 2) = 0
4541, 44syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (𝑄 / 2) = 0)
4617, 45eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → 𝑁 = 0)
4746sq0id 13169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (𝑁↑2) = 0)
48 dcubic.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑀 = (𝑃 / 3))
49 3cn 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 ∈ ℂ
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
51 3ne0 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 ≠ 0
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 3 ≠ 0)
5320, 50, 52divcld 11059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑃 / 3) ∈ ℂ)
5448, 53eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
5554ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
56 4cn 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 ∈ ℂ
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → 4 ∈ ℂ)
58 4ne0 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 ≠ 0
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → 4 ≠ 0)
6018sq0id 13169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (𝑋↑2) = 0)
6160oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → ((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)) = (0 + (4 · 𝑀)))
62 dcubic.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
6362sqcld 13218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
64 mulcl 10277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((4 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (4 · 𝑀) ∈ ℂ)
6556, 54, 64sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (4 · 𝑀) ∈ ℂ)
6663, 65addcld 10317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)) ∈ ℂ)
6766ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → ((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)) ∈ ℂ)
68 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)
6967, 68sqr00d 14479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → ((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)) = 0)
7065ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (4 · 𝑀) ∈ ℂ)
7170addid2d 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (0 + (4 · 𝑀)) = (4 · 𝑀))
7261, 69, 713eqtr3rd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (4 · 𝑀) = 0)
7356mul01i 10484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 · 0) = 0
7472, 73syl6eqr 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (4 · 𝑀) = (4 · 0))
7555, 32, 57, 59, 74mulcanad 10920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → 𝑀 = 0)
7675oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (𝑀↑3) = (0↑3))
7776, 28syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (𝑀↑3) = 0)
7847, 77oveq12d 6864 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) = (0 + 0))
79 00id 10469 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 0) = 0
8078, 79syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) = 0)
8115, 80eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (𝐺↑2) = 0)
8213, 81sqeq0d 13219 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → 𝐺 = 0)
8382, 46oveq12d 6864 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (𝐺𝑁) = (0 − 0))
84 0m0e0 11403 . . . . . . . . . . 11 (0 − 0) = 0
8583, 84syl6eq 2815 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (𝐺𝑁) = 0)
8611, 85eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → (𝑇↑3) = 0)
8786ex 401 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) → ((𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0) → (𝑇↑3) = 0))
8887necon3ad 2950 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) → ((𝑇↑3) ≠ 0 → ¬ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)))
899, 88syld 47 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) → (𝑇 ≠ 0 → ¬ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)))
902, 89mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) → ¬ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0))
91 oveq12 6855 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) = 0 ∧ ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) = 0) → (((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) + ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2)) = (0 + 0))
9291, 79syl6eq 2815 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) = 0 ∧ ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) = 0) → (((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) + ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2)) = 0)
93 oveq12 6855 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) = 0 ∧ ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) = 0) → (((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) − ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2)) = (0 − 0))
9493, 84syl6eq 2815 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) = 0 ∧ ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) = 0) → (((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) − ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2)) = 0)
9592, 94jca 507 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) = 0 ∧ ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) = 0) → ((((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) + ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2)) = 0 ∧ (((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) − ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2)) = 0))
9666sqrtcld 14475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) ∈ ℂ)
97 halfaddsub 11515 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) ∈ ℂ) → ((((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) + ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2)) = 𝑋 ∧ (((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) − ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2)) = (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))))
9862, 96, 97syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) + ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2)) = 𝑋 ∧ (((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) − ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2)) = (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))))
9998simpld 488 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) + ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2)) = 𝑋)
10099eqeq1d 2767 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) + ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2)) = 0 ↔ 𝑋 = 0))
10198simprd 489 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) − ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2)) = (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))))
102101eqeq1d 2767 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) − ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2)) = 0 ↔ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0))
103100, 102anbi12d 624 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) + ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2)) = 0 ∧ (((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) − ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2)) = 0) ↔ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)))
10495, 103syl5ib 235 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) = 0 ∧ ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) = 0) → (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)))
105104con3d 149 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0) → ¬ (((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) = 0 ∧ ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) = 0)))
106 eldifi 3896 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑢 ∈ ℂ)
107106adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑢 ∈ ℂ)
10854adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑀 ∈ ℂ)
109 eldifsni 4478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑢 ≠ 0)
110109adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑢 ≠ 0)
111108, 107, 110divcld 11059 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑀 / 𝑢) ∈ ℂ)
11262adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑋 ∈ ℂ)
113107, 111, 112subaddd 10668 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑢 − (𝑀 / 𝑢)) = 𝑋 ↔ ((𝑀 / 𝑢) + 𝑋) = 𝑢))
114 eqcom 2772 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)) ↔ (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)) = 𝑋)
115 eqcom 2772 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = ((𝑀 / 𝑢) + 𝑋) ↔ ((𝑀 / 𝑢) + 𝑋) = 𝑢)
116113, 114, 1153bitr4g 305 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)) ↔ 𝑢 = ((𝑀 / 𝑢) + 𝑋)))
117107sqcld 13218 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑢↑2) ∈ ℂ)
118112, 107mulcld 10318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑋 · 𝑢) ∈ ℂ)
119118, 108addcld 10317 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑋 · 𝑢) + 𝑀) ∈ ℂ)
120117, 119subeq0ad 10660 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑢↑2) − ((𝑋 · 𝑢) + 𝑀)) = 0 ↔ (𝑢↑2) = ((𝑋 · 𝑢) + 𝑀)))
121107sqvald 13217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑢↑2) = (𝑢 · 𝑢))
122111, 112, 107adddird 10323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑀 / 𝑢) + 𝑋) · 𝑢) = (((𝑀 / 𝑢) · 𝑢) + (𝑋 · 𝑢)))
123108, 107, 110divcan1d 11060 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑀 / 𝑢) · 𝑢) = 𝑀)
124123oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑀 / 𝑢) · 𝑢) + (𝑋 · 𝑢)) = (𝑀 + (𝑋 · 𝑢)))
125108, 118addcomd 10496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑀 + (𝑋 · 𝑢)) = ((𝑋 · 𝑢) + 𝑀))
126122, 124, 1253eqtrrd 2804 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑋 · 𝑢) + 𝑀) = (((𝑀 / 𝑢) + 𝑋) · 𝑢))
127121, 126eqeq12d 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑢↑2) = ((𝑋 · 𝑢) + 𝑀) ↔ (𝑢 · 𝑢) = (((𝑀 / 𝑢) + 𝑋) · 𝑢)))
128111, 112addcld 10317 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑀 / 𝑢) + 𝑋) ∈ ℂ)
129107, 128, 107, 110mulcan2d 10919 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑢 · 𝑢) = (((𝑀 / 𝑢) + 𝑋) · 𝑢) ↔ 𝑢 = ((𝑀 / 𝑢) + 𝑋)))
130120, 127, 1293bitrd 296 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑢↑2) − ((𝑋 · 𝑢) + 𝑀)) = 0 ↔ 𝑢 = ((𝑀 / 𝑢) + 𝑋)))
131 1cnd 10292 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 1 ∈ ℂ)
132 ax-1ne0 10262 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ≠ 0
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 1 ≠ 0)
13462negcld 10637 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -𝑋 ∈ ℂ)
135134adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -𝑋 ∈ ℂ)
13654negcld 10637 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -𝑀 ∈ ℂ)
137136adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -𝑀 ∈ ℂ)
138 sqneg 13135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ ℂ → (-𝑋↑2) = (𝑋↑2))
139112, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑋↑2) = (𝑋↑2))
140137mulid2d 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (1 · -𝑀) = -𝑀)
141140oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (4 · (1 · -𝑀)) = (4 · -𝑀))
142 mulneg2 10725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((4 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (4 · -𝑀) = -(4 · 𝑀))
14356, 108, 142sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (4 · -𝑀) = -(4 · 𝑀))
144141, 143eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (4 · (1 · -𝑀)) = -(4 · 𝑀))
145139, 144oveq12d 6864 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((-𝑋↑2) − (4 · (1 · -𝑀))) = ((𝑋↑2) − -(4 · 𝑀)))
14663adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
14765adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (4 · 𝑀) ∈ ℂ)
148146, 147subnegd 10657 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑋↑2) − -(4 · 𝑀)) = ((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))
149145, 148eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)) = ((-𝑋↑2) − (4 · (1 · -𝑀))))
150131, 133, 135, 137, 107, 149quad 24872 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((1 · (𝑢↑2)) + ((-𝑋 · 𝑢) + -𝑀)) = 0 ↔ (𝑢 = ((--𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / (2 · 1)) ∨ 𝑢 = ((--𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / (2 · 1)))))
151117mulid2d 10316 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (1 · (𝑢↑2)) = (𝑢↑2))
152112, 107mulneg1d 10741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑋 · 𝑢) = -(𝑋 · 𝑢))
153152oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((-𝑋 · 𝑢) + -𝑀) = (-(𝑋 · 𝑢) + -𝑀))
154118, 108negdid 10663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -((𝑋 · 𝑢) + 𝑀) = (-(𝑋 · 𝑢) + -𝑀))
155153, 154eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((-𝑋 · 𝑢) + -𝑀) = -((𝑋 · 𝑢) + 𝑀))
156151, 155oveq12d 6864 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((1 · (𝑢↑2)) + ((-𝑋 · 𝑢) + -𝑀)) = ((𝑢↑2) + -((𝑋 · 𝑢) + 𝑀)))
157117, 119negsubd 10656 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑢↑2) + -((𝑋 · 𝑢) + 𝑀)) = ((𝑢↑2) − ((𝑋 · 𝑢) + 𝑀)))
158156, 157eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((1 · (𝑢↑2)) + ((-𝑋 · 𝑢) + -𝑀)) = ((𝑢↑2) − ((𝑋 · 𝑢) + 𝑀)))
159158eqeq1d 2767 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((1 · (𝑢↑2)) + ((-𝑋 · 𝑢) + -𝑀)) = 0 ↔ ((𝑢↑2) − ((𝑋 · 𝑢) + 𝑀)) = 0))
160112negnegd 10641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → --𝑋 = 𝑋)
161160oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (--𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) = (𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))))
162 2t1e2 11445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 1) = 2
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (2 · 1) = 2)
164161, 163oveq12d 6864 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((--𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / (2 · 1)) = ((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2))
165164eqeq2d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑢 = ((--𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / (2 · 1)) ↔ 𝑢 = ((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2)))
166160oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (--𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) = (𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))))
167166, 163oveq12d 6864 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((--𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / (2 · 1)) = ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2))
168167eqeq2d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑢 = ((--𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / (2 · 1)) ↔ 𝑢 = ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2)))
169165, 168orbi12d 942 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑢 = ((--𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / (2 · 1)) ∨ 𝑢 = ((--𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / (2 · 1))) ↔ (𝑢 = ((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ∨ 𝑢 = ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2))))
170150, 159, 1693bitr3d 300 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑢↑2) − ((𝑋 · 𝑢) + 𝑀)) = 0 ↔ (𝑢 = ((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ∨ 𝑢 = ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2))))
171116, 130, 1703bitr2d 298 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)) ↔ (𝑢 = ((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ∨ 𝑢 = ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2))))
172171rexbidva 3196 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)) ↔ ∃𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})(𝑢 = ((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ∨ 𝑢 = ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2))))
173 r19.43 3240 . . . . . . . . 9 (∃𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})(𝑢 = ((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ∨ 𝑢 = ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2)) ↔ (∃𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})𝑢 = ((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ∨ ∃𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})𝑢 = ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2)))
174172, 173syl6bb 278 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)) ↔ (∃𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})𝑢 = ((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ∨ ∃𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})𝑢 = ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2))))
175 risset 3209 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ∃𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})𝑢 = ((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2))
17662, 96addcld 10317 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) ∈ ℂ)
177176halfcld 11527 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ∈ ℂ)
178 eldifsn 4474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ≠ 0))
179178baib 531 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ∈ ℂ → (((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ≠ 0))
180177, 179syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ≠ 0))
181175, 180syl5bbr 276 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∃𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})𝑢 = ((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ↔ ((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ≠ 0))
182 risset 3209 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ∃𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})𝑢 = ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2))
18362, 96subcld 10650 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) ∈ ℂ)
184183halfcld 11527 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ∈ ℂ)
185 eldifsn 4474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ≠ 0))
186185baib 531 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ∈ ℂ → (((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ≠ 0))
187184, 186syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ≠ 0))
188182, 187syl5bbr 276 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∃𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})𝑢 = ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ↔ ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ≠ 0))
189181, 188orbi12d 942 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((∃𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})𝑢 = ((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ∨ ∃𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})𝑢 = ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2)) ↔ (((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ≠ 0 ∨ ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ≠ 0)))
190 neorian 3031 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ≠ 0 ∨ ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ≠ 0) ↔ ¬ (((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) = 0 ∧ ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) = 0))
191189, 190syl6bb 278 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((∃𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})𝑢 = ((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) ∨ ∃𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})𝑢 = ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2)) ↔ ¬ (((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) = 0 ∧ ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) = 0)))
192174, 191bitrd 270 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)) ↔ ¬ (((𝑋 + (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) = 0 ∧ ((𝑋 − (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀)))) / 2) = 0)))
193105, 192sylibrd 250 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0) → ∃𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢))))
194193imp 395 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ (√‘((𝑋↑2) + (4 · 𝑀))) = 0)) → ∃𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)))
19590, 194syldan 585 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) → ∃𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)))
19620ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)))) → 𝑃 ∈ ℂ)
19734ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)))) → 𝑄 ∈ ℂ)
19862ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)))) → 𝑋 ∈ ℂ)
1993ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
20010ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)))) → (𝑇↑3) = (𝐺𝑁))
20112ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)))) → 𝐺 ∈ ℂ)
20214ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)))) → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
20348ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)))) → 𝑀 = (𝑃 / 3))
20416ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)))) → 𝑁 = (𝑄 / 2))
2051ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)))) → 𝑇 ≠ 0)
206106ad2antrl 719 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)))) → 𝑢 ∈ ℂ)
207109ad2antrl 719 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)))) → 𝑢 ≠ 0)
208 simprr 789 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)))) → 𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)))
209 simplr 785 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)))) → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)
210196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209dcubic2 24876 . . . 4 (((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) ∧ (𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑋 = (𝑢 − (𝑀 / 𝑢)))) → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
211195, 210rexlimddv 3182 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0) → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
212211ex 401 . 2 (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))))
21320ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))) → 𝑃 ∈ ℂ)
21434ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))) → 𝑄 ∈ ℂ)
21562ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))) → 𝑋 ∈ ℂ)
216 simplr 785 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))) → 𝑟 ∈ ℂ)
2173ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))) → 𝑇 ∈ ℂ)
218216, 217mulcld 10318 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))) → (𝑟 · 𝑇) ∈ ℂ)
219 3nn0 11562 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
220219a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))) → 3 ∈ ℕ0)
221216, 217, 220mulexpd 13235 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))) → ((𝑟 · 𝑇)↑3) = ((𝑟↑3) · (𝑇↑3)))
222 simprl 787 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))) → (𝑟↑3) = 1)
223222oveq1d 6861 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))) → ((𝑟↑3) · (𝑇↑3)) = (1 · (𝑇↑3)))
224 expcl 13090 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑇↑3) ∈ ℂ)
2253, 219, 224sylancl 580 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇↑3) ∈ ℂ)
226225mulid2d 10316 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (𝑇↑3)) = (𝑇↑3))
227226, 10eqtrd 2799 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · (𝑇↑3)) = (𝐺𝑁))
228227ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))) → (1 · (𝑇↑3)) = (𝐺𝑁))
229221, 223, 2283eqtrd 2803 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))) → ((𝑟 · 𝑇)↑3) = (𝐺𝑁))
23012ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))) → 𝐺 ∈ ℂ)
23114ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))) → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
23248ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))) → 𝑀 = (𝑃 / 3))
23316ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))) → 𝑁 = (𝑄 / 2))
234132a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))) → 1 ≠ 0)
235222, 234eqnetrd 3004 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))) → (𝑟↑3) ≠ 0)
236 oveq1 6853 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 0 → (𝑟↑3) = (0↑3))
237236, 28syl6eq 2815 . . . . . . . 8 (𝑟 = 0 → (𝑟↑3) = 0)
238237necon3i 2969 . . . . . . 7 ((𝑟↑3) ≠ 0 → 𝑟 ≠ 0)
239235, 238syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))) → 𝑟 ≠ 0)
2401ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))) → 𝑇 ≠ 0)
241216, 217, 239, 240mulne0d 10937 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))) → (𝑟 · 𝑇) ≠ 0)
242 simprr 789 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))) → 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))
243213, 214, 215, 218, 229, 230, 231, 232, 233, 241, 242dcubic1 24877 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))) → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)
244243ex 401 . . 3 ((𝜑𝑟 ∈ ℂ) → (((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))) → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0))
245244rexlimdva 3178 . 2 (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))) → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0))
246212, 245impbid 203 1 (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056  cdif 3731  {csn 4336  cfv 6070  (class class class)co 6846  cc 10191  0cc0 10193  1c1 10194   + caddc 10196   · cmul 10198  cmin 10524  -cneg 10525   / cdiv 10942  cn 11278  2c2 11331  3c3 11332  4c4 11333  0cn0 11542  cz 11628  cexp 13072  csqrt 14272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-sup 8559  df-inf 8560  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-rp 12034  df-fz 12539  df-seq 13014  df-exp 13073  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-dvds 15280
This theorem is referenced by:  mcubic  24879
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