MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dcubic Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dcubic 26796
Description: Solutions to the depressed cubic, a special case of cubic 26799. (The definitions of ๐‘€, ๐‘, ๐บ, ๐‘‡ here differ from mcubic 26797 by scale factors of -9, 54, 54 and -27 respectively, to simplify the algebra and presentation.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dcubic.c (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
dcubic.d (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
dcubic.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
dcubic.t (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
dcubic.3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ†‘3) = (๐บ โˆ’ ๐‘))
dcubic.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
dcubic.2 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ†‘2) = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)))
dcubic.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = (๐‘ƒ / 3))
dcubic.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘„ / 2))
dcubic.0 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
Assertion
Ref Expression
dcubic (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0 โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))))
Distinct variable groups:   ๐‘€,๐‘Ÿ   ๐‘ƒ,๐‘Ÿ   ๐œ‘,๐‘Ÿ   ๐‘„,๐‘Ÿ   ๐‘‡,๐‘Ÿ   ๐‘‹,๐‘Ÿ
Allowed substitution hints:   ๐บ(๐‘Ÿ)   ๐‘(๐‘Ÿ)
Proof of Theorem dcubic
Dummy variable ๐‘ข is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dcubic.0 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
21adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
3 dcubic.t . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
43adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
5 3z 12631 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„ค
6 expne0i 14097 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โ‰  0 โˆง 3 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘‡โ†‘3) โ‰  0)
75, 6mp3an3 1446 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โ‰  0) โ†’ (๐‘‡โ†‘3) โ‰  0)
87ex 411 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‡ โ‰  0 โ†’ (๐‘‡โ†‘3) โ‰  0))
94, 8syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โ†’ (๐‘‡ โ‰  0 โ†’ (๐‘‡โ†‘3) โ‰  0))
10 dcubic.3 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ†‘3) = (๐บ โˆ’ ๐‘))
1110ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (๐‘‡โ†‘3) = (๐บ โˆ’ ๐‘))
12 dcubic.g . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
1312ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
14 dcubic.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ†‘2) = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)))
1514ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (๐บโ†‘2) = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)))
16 dcubic.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘„ / 2))
1716ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ ๐‘ = (๐‘„ / 2))
18 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ ๐‘‹ = 0)
1918oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘‹) = (๐‘ƒ ยท 0))
20 dcubic.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
2120ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
2221mul01d 11449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (๐‘ƒ ยท 0) = 0)
2319, 22eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘‹) = 0)
2423oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„) = (0 + ๐‘„))
2518oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (๐‘‹โ†‘3) = (0โ†‘3))
26 3nn 12327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 โˆˆ โ„•
27 0exp 14100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (3 โˆˆ โ„• โ†’ (0โ†‘3) = 0)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0โ†‘3) = 0
2925, 28eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (๐‘‹โ†‘3) = 0)
3029oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = (0 + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)))
31 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0)
32 0cnd 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
3323, 32eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
34 dcubic.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
3534ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
3633, 35addcld 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
3736addlidd 11451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (0 + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„))
3830, 31, 373eqtr3rd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„) = 0)
3935addlidd 11451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (0 + ๐‘„) = ๐‘„)
4024, 38, 393eqtr3rd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ ๐‘„ = 0)
4140oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (๐‘„ / 2) = (0 / 2))
42 2cn 12323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 โˆˆ โ„‚
43 2ne0 12352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 โ‰  0
4442, 43div0i 11984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 / 2) = 0
4541, 44eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (๐‘„ / 2) = 0)
4617, 45eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ ๐‘ = 0)
4746sq0id 14195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (๐‘โ†‘2) = 0)
48 dcubic.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = (๐‘ƒ / 3))
49 3cn 12329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 โˆˆ โ„‚
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
51 3ne0 12354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 โ‰  0
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰  0)
5320, 50, 52divcld 12026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ / 3) โˆˆ โ„‚)
5448, 53eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
5554ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
56 4cn 12333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 โˆˆ โ„‚
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
58 4ne0 12356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 โ‰  0
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ 4 โ‰  0)
6018sq0id 14195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (๐‘‹โ†‘2) = 0)
6160oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)) = (0 + (4 ยท ๐‘€)))
62 dcubic.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
6362sqcld 14146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
64 mulcl 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((4 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
6556, 54, 64sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
6663, 65addcld 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
6766ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
68 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)
6967, 68sqr00d 15426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)) = 0)
7065ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (4 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
7170addlidd 11451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (0 + (4 ยท ๐‘€)) = (4 ยท ๐‘€))
7261, 69, 713eqtr3rd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (4 ยท ๐‘€) = 0)
7356mul01i 11440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 ยท 0) = 0
7472, 73eqtr4di 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (4 ยท ๐‘€) = (4 ยท 0))
7555, 32, 57, 59, 74mulcanad 11885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ ๐‘€ = 0)
7675oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (๐‘€โ†‘3) = (0โ†‘3))
7776, 28eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (๐‘€โ†‘3) = 0)
7847, 77oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ ((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)) = (0 + 0))
79 00id 11425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 0) = 0
8078, 79eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ ((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)) = 0)
8115, 80eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (๐บโ†‘2) = 0)
8213, 81sqeq0d 14147 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ ๐บ = 0)
8382, 46oveq12d 7442 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (๐บ โˆ’ ๐‘) = (0 โˆ’ 0))
84 0m0e0 12368 . . . . . . . . . . 11 (0 โˆ’ 0) = 0
8583, 84eqtrdi 2783 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (๐บ โˆ’ ๐‘) = 0)
8611, 85eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ (๐‘‡โ†‘3) = 0)
8786ex 411 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โ†’ ((๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0) โ†’ (๐‘‡โ†‘3) = 0))
8887necon3ad 2949 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โ†’ ((๐‘‡โ†‘3) โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)))
899, 88syld 47 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โ†’ (๐‘‡ โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)))
902, 89mpd 15 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โ†’ ยฌ (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0))
91 oveq12 7433 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) = 0 โˆง ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) = 0) โ†’ (((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) + ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2)) = (0 + 0))
9291, 79eqtrdi 2783 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) = 0 โˆง ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) = 0) โ†’ (((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) + ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2)) = 0)
93 oveq12 7433 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) = 0 โˆง ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) = 0) โ†’ (((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆ’ ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2)) = (0 โˆ’ 0))
9493, 84eqtrdi 2783 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) = 0 โˆง ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) = 0) โ†’ (((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆ’ ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2)) = 0)
9592, 94jca 510 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) = 0 โˆง ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) = 0) โ†’ ((((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) + ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2)) = 0 โˆง (((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆ’ ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2)) = 0))
9666sqrtcld 15422 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) โˆˆ โ„‚)
97 halfaddsub 12481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) + ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2)) = ๐‘‹ โˆง (((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆ’ ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2)) = (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))))
9862, 96, 97syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) + ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2)) = ๐‘‹ โˆง (((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆ’ ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2)) = (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))))
9998simpld 493 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) + ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2)) = ๐‘‹)
10099eqeq1d 2729 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) + ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2)) = 0 โ†” ๐‘‹ = 0))
10198simprd 494 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆ’ ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2)) = (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))))
102101eqeq1d 2729 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆ’ ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2)) = 0 โ†” (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0))
103100, 102anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) + ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2)) = 0 โˆง (((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆ’ ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2)) = 0) โ†” (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)))
10495, 103imbitrid 243 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) = 0 โˆง ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) = 0) โ†’ (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)))
105104con3d 152 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0) โ†’ ยฌ (((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) = 0 โˆง ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) = 0)))
106 eldifi 4125 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ๐‘ข โˆˆ โ„‚)
107106adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ๐‘ข โˆˆ โ„‚)
10854adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
109 eldifsni 4796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ๐‘ข โ‰  0)
110109adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ๐‘ข โ‰  0)
111108, 107, 110divcld 12026 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (๐‘€ / ๐‘ข) โˆˆ โ„‚)
11262adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
113107, 111, 112subaddd 11625 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ((๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)) = ๐‘‹ โ†” ((๐‘€ / ๐‘ข) + ๐‘‹) = ๐‘ข))
114 eqcom 2734 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)) โ†” (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)) = ๐‘‹)
115 eqcom 2734 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ข = ((๐‘€ / ๐‘ข) + ๐‘‹) โ†” ((๐‘€ / ๐‘ข) + ๐‘‹) = ๐‘ข)
116113, 114, 1153bitr4g 313 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)) โ†” ๐‘ข = ((๐‘€ / ๐‘ข) + ๐‘‹)))
117107sqcld 14146 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (๐‘ขโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
118112, 107mulcld 11270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘ข) โˆˆ โ„‚)
119118, 108addcld 11269 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘ข) + ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
120117, 119subeq0ad 11617 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (((๐‘ขโ†‘2) โˆ’ ((๐‘‹ ยท ๐‘ข) + ๐‘€)) = 0 โ†” (๐‘ขโ†‘2) = ((๐‘‹ ยท ๐‘ข) + ๐‘€)))
121107sqvald 14145 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (๐‘ขโ†‘2) = (๐‘ข ยท ๐‘ข))
122111, 112, 107adddird 11275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (((๐‘€ / ๐‘ข) + ๐‘‹) ยท ๐‘ข) = (((๐‘€ / ๐‘ข) ยท ๐‘ข) + (๐‘‹ ยท ๐‘ข)))
123108, 107, 110divcan1d 12027 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ((๐‘€ / ๐‘ข) ยท ๐‘ข) = ๐‘€)
124123oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (((๐‘€ / ๐‘ข) ยท ๐‘ข) + (๐‘‹ ยท ๐‘ข)) = (๐‘€ + (๐‘‹ ยท ๐‘ข)))
125108, 118addcomd 11452 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (๐‘€ + (๐‘‹ ยท ๐‘ข)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘ข) + ๐‘€))
126122, 124, 1253eqtrrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘ข) + ๐‘€) = (((๐‘€ / ๐‘ข) + ๐‘‹) ยท ๐‘ข))
127121, 126eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ((๐‘ขโ†‘2) = ((๐‘‹ ยท ๐‘ข) + ๐‘€) โ†” (๐‘ข ยท ๐‘ข) = (((๐‘€ / ๐‘ข) + ๐‘‹) ยท ๐‘ข)))
128111, 112addcld 11269 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ((๐‘€ / ๐‘ข) + ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
129107, 128, 107, 110mulcan2d 11884 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ((๐‘ข ยท ๐‘ข) = (((๐‘€ / ๐‘ข) + ๐‘‹) ยท ๐‘ข) โ†” ๐‘ข = ((๐‘€ / ๐‘ข) + ๐‘‹)))
130120, 127, 1293bitrd 304 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (((๐‘ขโ†‘2) โˆ’ ((๐‘‹ ยท ๐‘ข) + ๐‘€)) = 0 โ†” ๐‘ข = ((๐‘€ / ๐‘ข) + ๐‘‹)))
131 1cnd 11245 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
132 ax-1ne0 11213 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โ‰  0
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ 1 โ‰  0)
13462negcld 11594 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ -๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
135134adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ -๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
13654negcld 11594 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„‚)
137136adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„‚)
138 sqneg 14118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐‘‹โ†‘2) = (๐‘‹โ†‘2))
139112, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (-๐‘‹โ†‘2) = (๐‘‹โ†‘2))
140137mullidd 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (1 ยท -๐‘€) = -๐‘€)
141140oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (4 ยท (1 ยท -๐‘€)) = (4 ยท -๐‘€))
142 mulneg2 11687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((4 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท -๐‘€) = -(4 ยท ๐‘€))
14356, 108, 142sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (4 ยท -๐‘€) = -(4 ยท ๐‘€))
144141, 143eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (4 ยท (1 ยท -๐‘€)) = -(4 ยท ๐‘€))
145139, 144oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ((-๐‘‹โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (1 ยท -๐‘€))) = ((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ -(4 ยท ๐‘€)))
14663adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
14765adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (4 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
148146, 147subnegd 11614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ -(4 ยท ๐‘€)) = ((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))
149145, 148eqtr2d 2768 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)) = ((-๐‘‹โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (1 ยท -๐‘€))))
150131, 133, 135, 137, 107, 149quad 26790 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (((1 ยท (๐‘ขโ†‘2)) + ((-๐‘‹ ยท ๐‘ข) + -๐‘€)) = 0 โ†” (๐‘ข = ((--๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / (2 ยท 1)) โˆจ ๐‘ข = ((--๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / (2 ยท 1)))))
151117mullidd 11268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (1 ยท (๐‘ขโ†‘2)) = (๐‘ขโ†‘2))
152112, 107mulneg1d 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (-๐‘‹ ยท ๐‘ข) = -(๐‘‹ ยท ๐‘ข))
153152oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ((-๐‘‹ ยท ๐‘ข) + -๐‘€) = (-(๐‘‹ ยท ๐‘ข) + -๐‘€))
154118, 108negdid 11620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ -((๐‘‹ ยท ๐‘ข) + ๐‘€) = (-(๐‘‹ ยท ๐‘ข) + -๐‘€))
155153, 154eqtr4d 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ((-๐‘‹ ยท ๐‘ข) + -๐‘€) = -((๐‘‹ ยท ๐‘ข) + ๐‘€))
156151, 155oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ((1 ยท (๐‘ขโ†‘2)) + ((-๐‘‹ ยท ๐‘ข) + -๐‘€)) = ((๐‘ขโ†‘2) + -((๐‘‹ ยท ๐‘ข) + ๐‘€)))
157117, 119negsubd 11613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ((๐‘ขโ†‘2) + -((๐‘‹ ยท ๐‘ข) + ๐‘€)) = ((๐‘ขโ†‘2) โˆ’ ((๐‘‹ ยท ๐‘ข) + ๐‘€)))
158156, 157eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ((1 ยท (๐‘ขโ†‘2)) + ((-๐‘‹ ยท ๐‘ข) + -๐‘€)) = ((๐‘ขโ†‘2) โˆ’ ((๐‘‹ ยท ๐‘ข) + ๐‘€)))
159158eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (((1 ยท (๐‘ขโ†‘2)) + ((-๐‘‹ ยท ๐‘ข) + -๐‘€)) = 0 โ†” ((๐‘ขโ†‘2) โˆ’ ((๐‘‹ ยท ๐‘ข) + ๐‘€)) = 0))
160112negnegd 11598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ --๐‘‹ = ๐‘‹)
161160oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (--๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) = (๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))))
162 2t1e2 12411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ยท 1) = 2
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (2 ยท 1) = 2)
164161, 163oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ((--๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / (2 ยท 1)) = ((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2))
165164eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (๐‘ข = ((--๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / (2 ยท 1)) โ†” ๐‘ข = ((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2)))
166160oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (--๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) = (๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))))
167166, 163oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ((--๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / (2 ยท 1)) = ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2))
168167eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (๐‘ข = ((--๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / (2 ยท 1)) โ†” ๐‘ข = ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2)))
169165, 168orbi12d 916 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ((๐‘ข = ((--๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / (2 ยท 1)) โˆจ ๐‘ข = ((--๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / (2 ยท 1))) โ†” (๐‘ข = ((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆจ ๐‘ข = ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2))))
170150, 159, 1693bitr3d 308 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (((๐‘ขโ†‘2) โˆ’ ((๐‘‹ ยท ๐‘ข) + ๐‘€)) = 0 โ†” (๐‘ข = ((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆจ ๐‘ข = ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2))))
171116, 130, 1703bitr2d 306 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)) โ†” (๐‘ข = ((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆจ ๐‘ข = ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2))))
172171rexbidva 3172 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})(๐‘ข = ((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆจ ๐‘ข = ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2))))
173 r19.43 3118 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})(๐‘ข = ((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆจ ๐‘ข = ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2)) โ†” (โˆƒ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})๐‘ข = ((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆจ โˆƒ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})๐‘ข = ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2)))
174172, 173bitrdi 286 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)) โ†” (โˆƒ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})๐‘ข = ((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆจ โˆƒ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})๐‘ข = ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2))))
175 risset 3226 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†” โˆƒ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})๐‘ข = ((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2))
17662, 96addcld 11269 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) โˆˆ โ„‚)
177176halfcld 12493 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆˆ โ„‚)
178 eldifsn 4793 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†” (((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โ‰  0))
179178baib 534 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†” ((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โ‰  0))
180177, 179syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†” ((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โ‰  0))
181175, 180bitr3id 284 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})๐‘ข = ((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โ†” ((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โ‰  0))
182 risset 3226 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†” โˆƒ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})๐‘ข = ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2))
18362, 96subcld 11607 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) โˆˆ โ„‚)
184183halfcld 12493 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆˆ โ„‚)
185 eldifsn 4793 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†” (((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โ‰  0))
186185baib 534 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†” ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โ‰  0))
187184, 186syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†” ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โ‰  0))
188182, 187bitr3id 284 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})๐‘ข = ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โ†” ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โ‰  0))
189181, 188orbi12d 916 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})๐‘ข = ((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆจ โˆƒ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})๐‘ข = ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2)) โ†” (((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โ‰  0 โˆจ ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โ‰  0)))
190 neorian 3033 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โ‰  0 โˆจ ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โ‰  0) โ†” ยฌ (((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) = 0 โˆง ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) = 0))
191189, 190bitrdi 286 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})๐‘ข = ((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) โˆจ โˆƒ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})๐‘ข = ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2)) โ†” ยฌ (((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) = 0 โˆง ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) = 0)))
192174, 191bitrd 278 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)) โ†” ยฌ (((๐‘‹ + (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) = 0 โˆง ((๐‘‹ โˆ’ (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€)))) / 2) = 0)))
193105, 192sylibrd 258 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0) โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข))))
194193imp 405 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘‹ = 0 โˆง (โˆšโ€˜((๐‘‹โ†‘2) + (4 ยท ๐‘€))) = 0)) โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)))
19590, 194syldan 589 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)))
19620ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
19734ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)))) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
19862ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
1993ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
20010ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)))) โ†’ (๐‘‡โ†‘3) = (๐บ โˆ’ ๐‘))
20112ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)))) โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
20214ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)))) โ†’ (๐บโ†‘2) = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)))
20348ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)))) โ†’ ๐‘€ = (๐‘ƒ / 3))
20416ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)))) โ†’ ๐‘ = (๐‘„ / 2))
2051ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)))) โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
206106ad2antrl 726 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)))) โ†’ ๐‘ข โˆˆ โ„‚)
207109ad2antrl 726 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)))) โ†’ ๐‘ข โ‰  0)
208 simprr 771 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)))) โ†’ ๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)))
209 simplr 767 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)))) โ†’ ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0)
210196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209dcubic2 26794 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โˆง (๐‘ข โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘‹ = (๐‘ข โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ข)))) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)))))
211195, 210rexlimddv 3157 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)))))
212211ex 411 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0 โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))))
21320ad2antrr 724 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
21434ad2antrr 724 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
21562ad2antrr 724 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
216 simplr 767 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚)
2173ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
218216, 217mulcld 11270 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))) โ†’ (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
219 3nn0 12526 . . . . . . 7 3 โˆˆ โ„•0
220219a1i 11 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))) โ†’ 3 โˆˆ โ„•0)
221216, 217, 220mulexpd 14163 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))) โ†’ ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)โ†‘3) = ((๐‘Ÿโ†‘3) ยท (๐‘‡โ†‘3)))
222 simprl 769 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))) โ†’ (๐‘Ÿโ†‘3) = 1)
223222oveq1d 7439 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))) โ†’ ((๐‘Ÿโ†‘3) ยท (๐‘‡โ†‘3)) = (1 ยท (๐‘‡โ†‘3)))
224 expcl 14082 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‡โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
2253, 219, 224sylancl 584 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
226225mullidd 11268 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท (๐‘‡โ†‘3)) = (๐‘‡โ†‘3))
227226, 10eqtrd 2767 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท (๐‘‡โ†‘3)) = (๐บ โˆ’ ๐‘))
228227ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))) โ†’ (1 ยท (๐‘‡โ†‘3)) = (๐บ โˆ’ ๐‘))
229221, 223, 2283eqtrd 2771 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))) โ†’ ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)โ†‘3) = (๐บ โˆ’ ๐‘))
23012ad2antrr 724 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))) โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
23114ad2antrr 724 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))) โ†’ (๐บโ†‘2) = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)))
23248ad2antrr 724 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))) โ†’ ๐‘€ = (๐‘ƒ / 3))
23316ad2antrr 724 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))) โ†’ ๐‘ = (๐‘„ / 2))
234132a1i 11 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))) โ†’ 1 โ‰  0)
235222, 234eqnetrd 3004 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))) โ†’ (๐‘Ÿโ†‘3) โ‰  0)
236 oveq1 7431 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = 0 โ†’ (๐‘Ÿโ†‘3) = (0โ†‘3))
237236, 28eqtrdi 2783 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = 0 โ†’ (๐‘Ÿโ†‘3) = 0)
238237necon3i 2969 . . . . . 6 ((๐‘Ÿโ†‘3) โ‰  0 โ†’ ๐‘Ÿ โ‰  0)
239235, 238syl 17 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))) โ†’ ๐‘Ÿ โ‰  0)
2401ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))) โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
241216, 217, 239, 240mulne0d 11902 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))) โ†’ (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โ‰  0)
242 simprr 771 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))) โ†’ ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))
243213, 214, 215, 218, 229, 230, 231, 232, 233, 241, 242dcubic1 26795 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))) โ†’ ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0)
244243rexlimdva2 3153 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)))) โ†’ ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0))
245212, 244impbid 211 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0 โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2936  โˆƒwrex 3066   โˆ– cdif 3944  {csn 4630  โ€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  โ„‚cc 11142  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147   ยท cmul 11149   โˆ’ cmin 11480  -cneg 11481   / cdiv 11907  โ„•cn 12248  2c2 12303  3c3 12304  4c4 12305  โ„•0cn0 12508  โ„คcz 12594  โ†‘cexp 14064  โˆšcsqrt 15218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-dvds 16237
This theorem is referenced by:  mcubic  26797
  Copyright terms: Public domain W3C validator