Theorem fiphp3d 41233

Description: Infinite pigeonhole principle for partitioning an infinite set between finitely many buckets. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiphp3d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ ℕ)
fiphp3d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fiphp3d.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fiphp3d	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐷

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem fiphp3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ominf 9224	. . . . 5 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
2		iunrab 5032	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦}
3		fiphp3d.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
4		risset 3229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 = 𝐷)
5		eqcom 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝐷 ↔ 𝐷 = 𝑦)
6	5	rexbii 3093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 = 𝐷 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦)
7	4, 6	bitri 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦)
8	3, 7	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦)
9	8	ralrimiva 3145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦)
10		rabid2 3450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦)
11	9, 10	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦})
12	2, 11	eqtr4id 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} = 𝐴)
13	12	eleq1d 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
14		fiphp3d.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ ℕ)
15		nnenom 13910	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ω
16		entr 8968	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → 𝐴 ≈ ω)
17	14, 15, 16	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ ω)
18		enfi 9156	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ ω → (𝐴 ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
20	13, 19	bitrd 278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
21	1, 20	mtbiri 326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
22		fiphp3d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
23		iunfi 9306	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
24	22, 23	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
25	21, 24	mtand 814	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
26		rexnal 3099	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
27	25, 26	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
28	17, 15	jctir 521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω))
29		ssrab2 4057	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴
30	29	jctl 524	. . . . 5 ⊢ (¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ ¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin))
31		ctbnfien 41232	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω) ∧ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ ¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
32	28, 30, 31	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
33	32	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ))
34	33	reximdv 3169	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ))
35	27, 34	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  {crab 3418   ⊆ wss 3928  ∪ ciun 4974   class class class wbr 5125  ωcom 7822   ≈ cen 8902  Fincfn 8905  ℕcn 12177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788

This theorem is referenced by:  pellexlem5  41247