Theorem fiphp3d 43764

Description: Infinite pigeonhole principle for partitioning an infinite set between finitely many buckets. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiphp3d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ ℕ)
fiphp3d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fiphp3d.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fiphp3d	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐷

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem fiphp3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ominf 9233	. . . . 5 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
2		iunrab 5010	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦}
3		fiphp3d.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
4		risset 3237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 = 𝐷)
5		eqcom 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝐷 ↔ 𝐷 = 𝑦)
6	5	rexbii 3109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 = 𝐷 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦)
7	4, 6	bitri 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦)
8	3, 7	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦)
9	8	ralrimiva 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦)
10		rabid2 3444	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦)
11	9, 10	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦})
12	2, 11	eqtr4id 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} = 𝐴)
13	12	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
14		fiphp3d.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ ℕ)
15		nnenom 14092	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ω
16		entr 9011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → 𝐴 ≈ ω)
17	14, 15, 16	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ ω)
18		enfi 9180	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ ω → (𝐴 ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
19	17, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
20	13, 19	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
21	1, 20	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
22		fiphp3d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
23		iunfi 9310	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
24	22, 23	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
25	21, 24	mtand 828	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
26		rexnal 3114	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
27	25, 26	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
28	17, 15	jctir 530	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω))
29		ssrab2 4027	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴
30	29	jctl 533	. . . . 5 ⊢ (¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ ¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin))
31		ctbnfien 43763	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω) ∧ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ ¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
32	28, 30, 31	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
33	32	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ))
34	33	reximdv 3177	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ))
35	27, 34	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3898  ∪ ciun 4950   class class class wbr 5102  ωcom 7860   ≈ cen 8948  Fincfn 8951  ℕcn 12305

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936

This theorem is used by:  pellexlem5  43778