Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fiphp3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiphp3d 38064
Description: Infinite pigeonhole principle for partitioning an infinite set between finitely many buckets. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fiphp3d.a (𝜑𝐴 ≈ ℕ)
fiphp3d.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
fiphp3d.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
Assertion
Ref Expression
fiphp3d (𝜑 → ∃𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐷
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem fiphp3d
StepHypRef Expression
1 ominf 8381 . . . . 5 ¬ ω ∈ Fin
2 fiphp3d.c . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
3 risset 3209 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝐵 ↔ ∃𝑦𝐵 𝑦 = 𝐷)
4 eqcom 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐷𝐷 = 𝑦)
54rexbii 3188 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑦𝐵 𝑦 = 𝐷 ↔ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
63, 5bitri 266 . . . . . . . . . . 11 (𝐷𝐵 ↔ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
72, 6sylib 209 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
87ralrimiva 3113 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
9 rabid2 3266 . . . . . . . . 9 (𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦} ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
108, 9sylibr 225 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦})
11 iunrab 4725 . . . . . . . 8 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦}
1210, 11syl6reqr 2818 . . . . . . 7 (𝜑 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} = 𝐴)
1312eleq1d 2829 . . . . . 6 (𝜑 → ( 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
14 fiphp3d.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≈ ℕ)
15 nnenom 12990 . . . . . . . 8 ℕ ≈ ω
16 entr 8214 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → 𝐴 ≈ ω)
1714, 15, 16sylancl 580 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≈ ω)
18 enfi 8385 . . . . . . 7 (𝐴 ≈ ω → (𝐴 ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
2013, 19bitrd 270 . . . . 5 (𝜑 → ( 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
211, 20mtbiri 318 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
22 fiphp3d.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
23 iunfi 8463 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
2422, 23sylan 575 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
2521, 24mtand 850 . . 3 (𝜑 → ¬ ∀𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
26 rexnal 3141 . . 3 (∃𝑦𝐵 ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ ¬ ∀𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
2725, 26sylibr 225 . 2 (𝜑 → ∃𝑦𝐵 ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
2817, 15jctir 516 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω))
29 ssrab2 3849 . . . . . 6 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴
3029jctl 519 . . . . 5 (¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → ({𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin))
31 ctbnfien 38063 . . . . 5 (((𝐴 ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω) ∧ ({𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)) → {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
3228, 30, 31syl2an 589 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
3332ex 401 . . 3 (𝜑 → (¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ))
3433reximdv 3162 . 2 (𝜑 → (∃𝑦𝐵 ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → ∃𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ))
3527, 34mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  wss 3734   ciun 4678   class class class wbr 4811  ωcom 7265  cen 8159  Fincfn 8162  cn 11276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-nn 11277  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890
This theorem is referenced by:  pellexlem5  38078
  Copyright terms: Public domain W3C validator