Theorem fiphp3d 42831

Description: Infinite pigeonhole principle for partitioning an infinite set between finitely many buckets. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiphp3d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ ℕ)
fiphp3d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fiphp3d.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fiphp3d	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐷

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem fiphp3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ominf 9143	. . . . 5 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
2		iunrab 4999	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦}
3		fiphp3d.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
4		risset 3205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 = 𝐷)
5		eqcom 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝐷 ↔ 𝐷 = 𝑦)
6	5	rexbii 3077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 = 𝐷 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦)
7	4, 6	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦)
8	3, 7	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦)
9	8	ralrimiva 3122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦)
10		rabid2 3426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦)
11	9, 10	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦})
12	2, 11	eqtr4id 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} = 𝐴)
13	12	eleq1d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
14		fiphp3d.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ ℕ)
15		nnenom 13879	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ω
16		entr 8923	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → 𝐴 ≈ ω)
17	14, 15, 16	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ ω)
18		enfi 9091	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ ω → (𝐴 ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
20	13, 19	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
21	1, 20	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
22		fiphp3d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
23		iunfi 9222	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
24	22, 23	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
25	21, 24	mtand 815	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
26		rexnal 3082	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
27	25, 26	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
28	17, 15	jctir 520	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω))
29		ssrab2 4028	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴
30	29	jctl 523	. . . . 5 ⊢ (¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ ¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin))
31		ctbnfien 42830	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω) ∧ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ ¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
32	28, 30, 31	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
33	32	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ))
34	33	reximdv 3145	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ))
35	27, 34	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  {crab 3393   ⊆ wss 3900  ∪ ciun 4939   class class class wbr 5089  ωcom 7791   ≈ cen 8861  Fincfn 8864  ℕcn 12117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725

This theorem is referenced by:  pellexlem5  42845