Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fiphp3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiphp3d 42830
Description: Infinite pigeonhole principle for partitioning an infinite set between finitely many buckets. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fiphp3d.a (𝜑𝐴 ≈ ℕ)
fiphp3d.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
fiphp3d.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
Assertion
Ref Expression
fiphp3d (𝜑 → ∃𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐷
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem fiphp3d
StepHypRef Expression
1 ominf 9294 . . . . 5 ¬ ω ∈ Fin
2 iunrab 5052 . . . . . . . 8 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦}
3 fiphp3d.c . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
4 risset 3233 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝐵 ↔ ∃𝑦𝐵 𝑦 = 𝐷)
5 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐷𝐷 = 𝑦)
65rexbii 3094 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑦𝐵 𝑦 = 𝐷 ↔ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
74, 6bitri 275 . . . . . . . . . . 11 (𝐷𝐵 ↔ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
83, 7sylib 218 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
98ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
10 rabid2 3470 . . . . . . . . 9 (𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦} ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
119, 10sylibr 234 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦})
122, 11eqtr4id 2796 . . . . . . 7 (𝜑 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} = 𝐴)
1312eleq1d 2826 . . . . . 6 (𝜑 → ( 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
14 fiphp3d.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≈ ℕ)
15 nnenom 14021 . . . . . . . 8 ℕ ≈ ω
16 entr 9046 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → 𝐴 ≈ ω)
1714, 15, 16sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≈ ω)
18 enfi 9227 . . . . . . 7 (𝐴 ≈ ω → (𝐴 ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
2013, 19bitrd 279 . . . . 5 (𝜑 → ( 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
211, 20mtbiri 327 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
22 fiphp3d.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
23 iunfi 9383 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
2422, 23sylan 580 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
2521, 24mtand 816 . . 3 (𝜑 → ¬ ∀𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
26 rexnal 3100 . . 3 (∃𝑦𝐵 ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ ¬ ∀𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
2725, 26sylibr 234 . 2 (𝜑 → ∃𝑦𝐵 ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
2817, 15jctir 520 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω))
29 ssrab2 4080 . . . . . 6 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴
3029jctl 523 . . . . 5 (¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → ({𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin))
31 ctbnfien 42829 . . . . 5 (((𝐴 ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω) ∧ ({𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)) → {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
3228, 30, 31syl2an 596 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
3332ex 412 . . 3 (𝜑 → (¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ))
3433reximdv 3170 . 2 (𝜑 → (∃𝑦𝐵 ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → ∃𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ))
3527, 34mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  wss 3951   ciun 4991   class class class wbr 5143  ωcom 7887  cen 8982  Fincfn 8985  cn 12266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879
This theorem is referenced by:  pellexlem5  42844
  Copyright terms: Public domain W3C validator