Theorem fiphp3d 43247

Description: Infinite pigeonhole principle for partitioning an infinite set between finitely many buckets. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiphp3d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ ℕ)
fiphp3d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fiphp3d.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fiphp3d	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐷

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem fiphp3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ominf 9174	. . . . 5 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
2		iunrab 4996	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦}
3		fiphp3d.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
4		risset 3213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 = 𝐷)
5		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝐷 ↔ 𝐷 = 𝑦)
6	5	rexbii 3085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 = 𝐷 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦)
7	4, 6	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦)
8	3, 7	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦)
9	8	ralrimiva 3130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦)
10		rabid2 3423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦)
11	9, 10	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐷 = 𝑦})
12	2, 11	eqtr4id 2791	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} = 𝐴)
13	12	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
14		fiphp3d.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ ℕ)
15		nnenom 13942	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ω
16		entr 8953	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → 𝐴 ≈ ω)
17	14, 15, 16	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ ω)
18		enfi 9121	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ ω → (𝐴 ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
20	13, 19	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
21	1, 20	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
22		fiphp3d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
23		iunfi 9253	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
24	22, 23	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
25	21, 24	mtand 816	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
26		rexnal 3090	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
27	25, 26	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
28	17, 15	jctir 520	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω))
29		ssrab2 4021	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴
30	29	jctl 523	. . . . 5 ⊢ (¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ ¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin))
31		ctbnfien 43246	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω) ∧ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ ¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
32	28, 30, 31	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
33	32	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ))
34	33	reximdv 3153	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ))
35	27, 34	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390   ⊆ wss 3890  ∪ ciun 4934   class class class wbr 5086  ωcom 7817   ≈ cen 8890  Fincfn 8893  ℕcn 12174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789

This theorem is referenced by:  pellexlem5  43261