Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fiphp3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiphp3d 42807
Description: Infinite pigeonhole principle for partitioning an infinite set between finitely many buckets. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fiphp3d.a (𝜑𝐴 ≈ ℕ)
fiphp3d.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
fiphp3d.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
Assertion
Ref Expression
fiphp3d (𝜑 → ∃𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐷
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem fiphp3d
StepHypRef Expression
1 ominf 9292 . . . . 5 ¬ ω ∈ Fin
2 iunrab 5057 . . . . . . . 8 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦}
3 fiphp3d.c . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
4 risset 3231 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝐵 ↔ ∃𝑦𝐵 𝑦 = 𝐷)
5 eqcom 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐷𝐷 = 𝑦)
65rexbii 3092 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑦𝐵 𝑦 = 𝐷 ↔ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
74, 6bitri 275 . . . . . . . . . . 11 (𝐷𝐵 ↔ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
83, 7sylib 218 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
98ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
10 rabid2 3468 . . . . . . . . 9 (𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦} ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
119, 10sylibr 234 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦})
122, 11eqtr4id 2794 . . . . . . 7 (𝜑 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} = 𝐴)
1312eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝜑 → ( 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
14 fiphp3d.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≈ ℕ)
15 nnenom 14018 . . . . . . . 8 ℕ ≈ ω
16 entr 9045 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → 𝐴 ≈ ω)
1714, 15, 16sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≈ ω)
18 enfi 9225 . . . . . . 7 (𝐴 ≈ ω → (𝐴 ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
2013, 19bitrd 279 . . . . 5 (𝜑 → ( 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
211, 20mtbiri 327 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
22 fiphp3d.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
23 iunfi 9381 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
2422, 23sylan 580 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
2521, 24mtand 816 . . 3 (𝜑 → ¬ ∀𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
26 rexnal 3098 . . 3 (∃𝑦𝐵 ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ ¬ ∀𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
2725, 26sylibr 234 . 2 (𝜑 → ∃𝑦𝐵 ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
2817, 15jctir 520 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω))
29 ssrab2 4090 . . . . . 6 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴
3029jctl 523 . . . . 5 (¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → ({𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin))
31 ctbnfien 42806 . . . . 5 (((𝐴 ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω) ∧ ({𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)) → {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
3228, 30, 31syl2an 596 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
3332ex 412 . . 3 (𝜑 → (¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ))
3433reximdv 3168 . 2 (𝜑 → (∃𝑦𝐵 ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → ∃𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ))
3527, 34mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  wss 3963   ciun 4996   class class class wbr 5148  ωcom 7887  cen 8981  Fincfn 8984  cn 12264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877
This theorem is referenced by:  pellexlem5  42821
  Copyright terms: Public domain W3C validator