Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fiphp3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiphp3d 40133
 Description: Infinite pigeonhole principle for partitioning an infinite set between finitely many buckets. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fiphp3d.a (𝜑𝐴 ≈ ℕ)
fiphp3d.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
fiphp3d.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
Assertion
Ref Expression
fiphp3d (𝜑 → ∃𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐷
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem fiphp3d
StepHypRef Expression
1 ominf 8768 . . . . 5 ¬ ω ∈ Fin
2 iunrab 4941 . . . . . . . 8 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦}
3 fiphp3d.c . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
4 risset 3191 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝐵 ↔ ∃𝑦𝐵 𝑦 = 𝐷)
5 eqcom 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐷𝐷 = 𝑦)
65rexbii 3175 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑦𝐵 𝑦 = 𝐷 ↔ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
74, 6bitri 278 . . . . . . . . . . 11 (𝐷𝐵 ↔ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
83, 7sylib 221 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
98ralrimiva 3113 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
10 rabid2 3299 . . . . . . . . 9 (𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦} ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
119, 10sylibr 237 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦})
122, 11eqtr4id 2812 . . . . . . 7 (𝜑 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} = 𝐴)
1312eleq1d 2836 . . . . . 6 (𝜑 → ( 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
14 fiphp3d.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≈ ℕ)
15 nnenom 13397 . . . . . . . 8 ℕ ≈ ω
16 entr 8579 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → 𝐴 ≈ ω)
1714, 15, 16sylancl 589 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≈ ω)
18 enfi 8772 . . . . . . 7 (𝐴 ≈ ω → (𝐴 ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
2013, 19bitrd 282 . . . . 5 (𝜑 → ( 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
211, 20mtbiri 330 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
22 fiphp3d.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
23 iunfi 8845 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
2422, 23sylan 583 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
2521, 24mtand 815 . . 3 (𝜑 → ¬ ∀𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
26 rexnal 3165 . . 3 (∃𝑦𝐵 ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ ¬ ∀𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
2725, 26sylibr 237 . 2 (𝜑 → ∃𝑦𝐵 ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
2817, 15jctir 524 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω))
29 ssrab2 3984 . . . . . 6 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴
3029jctl 527 . . . . 5 (¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → ({𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin))
31 ctbnfien 40132 . . . . 5 (((𝐴 ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω) ∧ ({𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)) → {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
3228, 30, 31syl2an 598 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
3332ex 416 . . 3 (𝜑 → (¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ))
3433reximdv 3197 . 2 (𝜑 → (∃𝑦𝐵 ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → ∃𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ))
3527, 34mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  {crab 3074   ⊆ wss 3858  ∪ ciun 4883   class class class wbr 5032  ωcom 7579   ≈ cen 8524  Fincfn 8527  ℕcn 11674 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283 This theorem is referenced by:  pellexlem5  40147
 Copyright terms: Public domain W3C validator