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Theorem xkoccn 22993
Description: The "constant function" function which maps π‘₯ ∈ π‘Œ to the constant function 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ π‘₯ is a continuous function from 𝑋 into the space of continuous functions from π‘Œ to 𝑋. This can also be understood as the currying of the first projection function. (The currying of the second projection function is π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝑧), which we already know is continuous because it is a constant function.) (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkoccn ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) ∈ (𝑆 Cn (𝑆 ↑ko 𝑅)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ

Proof of Theorem xkoccn
Dummy variables 𝑓 π‘˜ 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnconst2 22657 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ (𝑅 Cn 𝑆))
213expa 1119 . . 3 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ (𝑅 Cn 𝑆))
32fmpttd 7067 . 2 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})):π‘ŒβŸΆ(𝑅 Cn 𝑆))
4 eqid 2733 . . . . . 6 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
5 eqid 2733 . . . . . 6 {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp} = {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}
6 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
74, 5, 6xkobval 22960 . . . . 5 ran (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = {𝑦 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ π‘…βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 ((𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ∧ 𝑦 = {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})}
87eqabi 2878 . . . 4 (𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ π‘…βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 ((𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ∧ 𝑦 = {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))
92ad5ant15 758 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ = βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ (𝑅 Cn 𝑆))
10 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ = βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘˜ = βˆ…)
1110imaeq2d 6017 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ = βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜) = ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ βˆ…))
12 ima0 6033 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ βˆ…) = βˆ…
13 0ss 4360 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ… βŠ† 𝑣
1412, 13eqsstri 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ βˆ…) βŠ† 𝑣
1511, 14eqsstrdi 4002 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ = βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣)
16 imaeq1 6012 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑋 Γ— {π‘₯}) β†’ (𝑓 β€œ π‘˜) = ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜))
1716sseq1d 3979 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝑋 Γ— {π‘₯}) β†’ ((𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣 ↔ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣))
1817elrab 3649 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} ↔ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∧ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣))
199, 15, 18sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ = βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
2019ralrimiva 3140 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
21 rabid2 3438 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ = {π‘₯ ∈ π‘Œ ∣ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
2220, 21sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ π‘Œ = {π‘₯ ∈ π‘Œ ∣ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}})
23 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
24 toponmax 22298 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
2625adantr 482 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
2722, 26eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ {π‘₯ ∈ π‘Œ ∣ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}} ∈ 𝑆)
28 ifnefalse 4502 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ β‰  βˆ… β†’ if(π‘˜ = βˆ…, π‘Œ, 𝑣) = 𝑣)
2928ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ if(π‘˜ = βˆ…, π‘Œ, 𝑣) = 𝑣)
3029eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = βˆ…, π‘Œ, 𝑣) ↔ π‘₯ ∈ 𝑣))
31 vex 3451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π‘₯ ∈ V
3231snss 4750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝑣 ↔ {π‘₯} βŠ† 𝑣)
3330, 32bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = βˆ…, π‘Œ, 𝑣) ↔ {π‘₯} βŠ† 𝑣))
34 df-ima 5650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜) = ran ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β†Ύ π‘˜)
35 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅)
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅)
3736elpwid 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘˜ βŠ† βˆͺ 𝑅)
38 toponuni 22286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑅)
3938ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑅)
4037, 39sseqtrrd 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘˜ βŠ† 𝑋)
41 xpssres 5978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ βŠ† 𝑋 β†’ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β†Ύ π‘˜) = (π‘˜ Γ— {π‘₯}))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β†Ύ π‘˜) = (π‘˜ Γ— {π‘₯}))
4342rneqd 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ran ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β†Ύ π‘˜) = ran (π‘˜ Γ— {π‘₯}))
4434, 43eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜) = ran (π‘˜ Γ— {π‘₯}))
45 rnxp 6126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ β‰  βˆ… β†’ ran (π‘˜ Γ— {π‘₯}) = {π‘₯})
4645ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ran (π‘˜ Γ— {π‘₯}) = {π‘₯})
4744, 46eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜) = {π‘₯})
4847sseq1d 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣 ↔ {π‘₯} βŠ† 𝑣))
492ad5ant15 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ (𝑅 Cn 𝑆))
5049biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣 ↔ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∧ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣)))
5133, 48, 503bitr2d 307 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = βˆ…, π‘Œ, 𝑣) ↔ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∧ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣)))
5230, 51bitr3d 281 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑣 ↔ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∧ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣)))
5352, 18bitr4di 289 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑣 ↔ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))
5453rabbi2dva 4181 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) β†’ (π‘Œ ∩ 𝑣) = {π‘₯ ∈ π‘Œ ∣ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}})
55 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ 𝑣 ∈ 𝑆)
56 toponss 22299 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) β†’ 𝑣 βŠ† π‘Œ)
5723, 55, 56syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ 𝑣 βŠ† π‘Œ)
5857adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) β†’ 𝑣 βŠ† π‘Œ)
59 sseqin2 4179 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 βŠ† π‘Œ ↔ (π‘Œ ∩ 𝑣) = 𝑣)
6058, 59sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) β†’ (π‘Œ ∩ 𝑣) = 𝑣)
6154, 60eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) β†’ {π‘₯ ∈ π‘Œ ∣ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}} = 𝑣)
6255adantr 482 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) β†’ 𝑣 ∈ 𝑆)
6361, 62eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) β†’ {π‘₯ ∈ π‘Œ ∣ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}} ∈ 𝑆)
6427, 63pm2.61dane 3029 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ {π‘₯ ∈ π‘Œ ∣ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}} ∈ 𝑆)
65 imaeq2 6013 . . . . . . . . 9 (𝑦 = {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) β€œ 𝑦) = (β—‘(π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) β€œ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))
66 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯}))
6766mptpreima 6194 . . . . . . . . 9 (β—‘(π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) β€œ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = {π‘₯ ∈ π‘Œ ∣ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}}
6865, 67eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (𝑦 = {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) β€œ 𝑦) = {π‘₯ ∈ π‘Œ ∣ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}})
6968eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑦 = {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) β€œ 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ {π‘₯ ∈ π‘Œ ∣ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}} ∈ 𝑆))
7064, 69syl5ibrcom 247 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ (𝑦 = {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) β€œ 𝑦) ∈ 𝑆))
7170expimpd 455 . . . . 5 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) β†’ (((𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ∧ 𝑦 = {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) β€œ 𝑦) ∈ 𝑆))
7271rexlimdvva 3202 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ π‘…βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 ((𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ∧ 𝑦 = {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) β€œ 𝑦) ∈ 𝑆))
738, 72biimtrid 241 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) β€œ 𝑦) ∈ 𝑆))
7473ralrimiv 3139 . 2 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})(β—‘(π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) β€œ 𝑦) ∈ 𝑆)
75 simpr 486 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
76 ovex 7394 . . . . . 6 (𝑅 Cn 𝑆) ∈ V
7776pwex 5339 . . . . 5 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆) ∈ V
784, 5, 6xkotf 22959 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}):({𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp} Γ— 𝑆)βŸΆπ’« (𝑅 Cn 𝑆)
79 frn 6679 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}):({𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp} Γ— 𝑆)βŸΆπ’« (𝑅 Cn 𝑆) β†’ ran (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆))
8078, 79ax-mp 5 . . . . 5 ran (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆)
8177, 80ssexi 5283 . . . 4 ran (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) ∈ V
8281a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ ran (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) ∈ V)
83 topontop 22285 . . . 4 (𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑅 ∈ Top)
84 topontop 22285 . . . 4 (𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ 𝑆 ∈ Top)
854, 5, 6xkoval 22961 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) = (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))))
8683, 84, 85syl2an 597 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) = (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))))
87 eqid 2733 . . . . 5 (𝑆 ↑ko 𝑅) = (𝑆 ↑ko 𝑅)
8887xkotopon 22974 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ (TopOnβ€˜(𝑅 Cn 𝑆)))
8983, 84, 88syl2an 597 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ (TopOnβ€˜(𝑅 Cn 𝑆)))
9075, 82, 86, 89subbascn 22628 . 2 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) ∈ (𝑆 Cn (𝑆 ↑ko 𝑅)) ↔ ((π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})):π‘ŒβŸΆ(𝑅 Cn 𝑆) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ran (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})(β—‘(π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) β€œ 𝑦) ∈ 𝑆)))
913, 74, 90mpbir2and 712 1 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) ∈ (𝑆 Cn (𝑆 ↑ko 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  ifcif 4490  π’« cpw 4564  {csn 4590  βˆͺ cuni 4869   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639   β€œ cima 5640  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  ficfi 9354   β†Ύt crest 17310  topGenctg 17327  Topctop 22265  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598  Compccmp 22760   ↑ko cxko 22935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-fin 8893  df-fi 9355  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-cmp 22761  df-xko 22937
This theorem is referenced by:  cnmptkc  23053  xkofvcn  23058
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