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Theorem xkoccn 23122
Description: The "constant function" function which maps π‘₯ ∈ π‘Œ to the constant function 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ π‘₯ is a continuous function from 𝑋 into the space of continuous functions from π‘Œ to 𝑋. This can also be understood as the currying of the first projection function. (The currying of the second projection function is π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝑧), which we already know is continuous because it is a constant function.) (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkoccn ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) ∈ (𝑆 Cn (𝑆 ↑ko 𝑅)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ

Proof of Theorem xkoccn
Dummy variables 𝑓 π‘˜ 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnconst2 22786 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ (𝑅 Cn 𝑆))
213expa 1118 . . 3 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ (𝑅 Cn 𝑆))
32fmpttd 7114 . 2 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})):π‘ŒβŸΆ(𝑅 Cn 𝑆))
4 eqid 2732 . . . . . 6 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
5 eqid 2732 . . . . . 6 {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp} = {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}
6 eqid 2732 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
74, 5, 6xkobval 23089 . . . . 5 ran (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = {𝑦 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ π‘…βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 ((𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ∧ 𝑦 = {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})}
87eqabri 2877 . . . 4 (𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ π‘…βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 ((𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ∧ 𝑦 = {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))
92ad5ant15 757 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ = βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ (𝑅 Cn 𝑆))
10 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ = βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘˜ = βˆ…)
1110imaeq2d 6059 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ = βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜) = ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ βˆ…))
12 ima0 6076 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ βˆ…) = βˆ…
13 0ss 4396 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ… βŠ† 𝑣
1412, 13eqsstri 4016 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ βˆ…) βŠ† 𝑣
1511, 14eqsstrdi 4036 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ = βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣)
16 imaeq1 6054 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑋 Γ— {π‘₯}) β†’ (𝑓 β€œ π‘˜) = ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜))
1716sseq1d 4013 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝑋 Γ— {π‘₯}) β†’ ((𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣 ↔ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣))
1817elrab 3683 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} ↔ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∧ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣))
199, 15, 18sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ = βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
2019ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
21 rabid2 3464 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ = {π‘₯ ∈ π‘Œ ∣ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
2220, 21sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ π‘Œ = {π‘₯ ∈ π‘Œ ∣ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}})
23 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
24 toponmax 22427 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
2625adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
2722, 26eqeltrrd 2834 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ {π‘₯ ∈ π‘Œ ∣ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}} ∈ 𝑆)
28 ifnefalse 4540 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ β‰  βˆ… β†’ if(π‘˜ = βˆ…, π‘Œ, 𝑣) = 𝑣)
2928ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ if(π‘˜ = βˆ…, π‘Œ, 𝑣) = 𝑣)
3029eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = βˆ…, π‘Œ, 𝑣) ↔ π‘₯ ∈ 𝑣))
31 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π‘₯ ∈ V
3231snss 4789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝑣 ↔ {π‘₯} βŠ† 𝑣)
3330, 32bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = βˆ…, π‘Œ, 𝑣) ↔ {π‘₯} βŠ† 𝑣))
34 df-ima 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜) = ran ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β†Ύ π‘˜)
35 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅)
3635ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅)
3736elpwid 4611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘˜ βŠ† βˆͺ 𝑅)
38 toponuni 22415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑅)
3938ad5antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑅)
4037, 39sseqtrrd 4023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘˜ βŠ† 𝑋)
41 xpssres 6018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ βŠ† 𝑋 β†’ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β†Ύ π‘˜) = (π‘˜ Γ— {π‘₯}))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β†Ύ π‘˜) = (π‘˜ Γ— {π‘₯}))
4342rneqd 5937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ran ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β†Ύ π‘˜) = ran (π‘˜ Γ— {π‘₯}))
4434, 43eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜) = ran (π‘˜ Γ— {π‘₯}))
45 rnxp 6169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ β‰  βˆ… β†’ ran (π‘˜ Γ— {π‘₯}) = {π‘₯})
4645ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ran (π‘˜ Γ— {π‘₯}) = {π‘₯})
4744, 46eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜) = {π‘₯})
4847sseq1d 4013 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣 ↔ {π‘₯} βŠ† 𝑣))
492ad5ant15 757 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ (𝑅 Cn 𝑆))
5049biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣 ↔ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∧ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣)))
5133, 48, 503bitr2d 306 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = βˆ…, π‘Œ, 𝑣) ↔ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∧ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣)))
5230, 51bitr3d 280 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑣 ↔ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∧ ((𝑋 Γ— {π‘₯}) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣)))
5352, 18bitr4di 288 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑣 ↔ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))
5453rabbi2dva 4217 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) β†’ (π‘Œ ∩ 𝑣) = {π‘₯ ∈ π‘Œ ∣ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}})
55 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ 𝑣 ∈ 𝑆)
56 toponss 22428 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) β†’ 𝑣 βŠ† π‘Œ)
5723, 55, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ 𝑣 βŠ† π‘Œ)
5857adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) β†’ 𝑣 βŠ† π‘Œ)
59 sseqin2 4215 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 βŠ† π‘Œ ↔ (π‘Œ ∩ 𝑣) = 𝑣)
6058, 59sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) β†’ (π‘Œ ∩ 𝑣) = 𝑣)
6154, 60eqtr3d 2774 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) β†’ {π‘₯ ∈ π‘Œ ∣ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}} = 𝑣)
6255adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) β†’ 𝑣 ∈ 𝑆)
6361, 62eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘˜ β‰  βˆ…) β†’ {π‘₯ ∈ π‘Œ ∣ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}} ∈ 𝑆)
6427, 63pm2.61dane 3029 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ {π‘₯ ∈ π‘Œ ∣ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}} ∈ 𝑆)
65 imaeq2 6055 . . . . . . . . 9 (𝑦 = {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) β€œ 𝑦) = (β—‘(π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) β€œ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))
66 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯}))
6766mptpreima 6237 . . . . . . . . 9 (β—‘(π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) β€œ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = {π‘₯ ∈ π‘Œ ∣ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}}
6865, 67eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (𝑦 = {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) β€œ 𝑦) = {π‘₯ ∈ π‘Œ ∣ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}})
6968eleq1d 2818 . . . . . . 7 (𝑦 = {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) β€œ 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ {π‘₯ ∈ π‘Œ ∣ (𝑋 Γ— {π‘₯}) ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}} ∈ 𝑆))
7064, 69syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ (𝑦 = {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) β€œ 𝑦) ∈ 𝑆))
7170expimpd 454 . . . . 5 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) β†’ (((𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ∧ 𝑦 = {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) β€œ 𝑦) ∈ 𝑆))
7271rexlimdvva 3211 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ π‘…βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 ((𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ∧ 𝑦 = {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) β€œ 𝑦) ∈ 𝑆))
738, 72biimtrid 241 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) β€œ 𝑦) ∈ 𝑆))
7473ralrimiv 3145 . 2 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})(β—‘(π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) β€œ 𝑦) ∈ 𝑆)
75 simpr 485 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
76 ovex 7441 . . . . . 6 (𝑅 Cn 𝑆) ∈ V
7776pwex 5378 . . . . 5 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆) ∈ V
784, 5, 6xkotf 23088 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}):({𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp} Γ— 𝑆)βŸΆπ’« (𝑅 Cn 𝑆)
79 frn 6724 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}):({𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp} Γ— 𝑆)βŸΆπ’« (𝑅 Cn 𝑆) β†’ ran (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆))
8078, 79ax-mp 5 . . . . 5 ran (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆)
8177, 80ssexi 5322 . . . 4 ran (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) ∈ V
8281a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ ran (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) ∈ V)
83 topontop 22414 . . . 4 (𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑅 ∈ Top)
84 topontop 22414 . . . 4 (𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ 𝑆 ∈ Top)
854, 5, 6xkoval 23090 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) = (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))))
8683, 84, 85syl2an 596 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) = (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))))
87 eqid 2732 . . . . 5 (𝑆 ↑ko 𝑅) = (𝑆 ↑ko 𝑅)
8887xkotopon 23103 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ (TopOnβ€˜(𝑅 Cn 𝑆)))
8983, 84, 88syl2an 596 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ (TopOnβ€˜(𝑅 Cn 𝑆)))
9075, 82, 86, 89subbascn 22757 . 2 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) ∈ (𝑆 Cn (𝑆 ↑ko 𝑅)) ↔ ((π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})):π‘ŒβŸΆ(𝑅 Cn 𝑆) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ran (π‘˜ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑧) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})(β—‘(π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) β€œ 𝑦) ∈ 𝑆)))
913, 74, 90mpbir2and 711 1 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (𝑋 Γ— {π‘₯})) ∈ (𝑆 Cn (𝑆 ↑ko 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  ficfi 9404   β†Ύt crest 17365  topGenctg 17382  Topctop 22394  TopOnctopon 22411   Cn ccn 22727  Compccmp 22889   ↑ko cxko 23064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-fin 8942  df-fi 9405  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-cmp 22890  df-xko 23066
This theorem is referenced by:  cnmptkc  23182  xkofvcn  23187
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