Theorem gsumxp 19942

Description: Write a group sum over a cartesian product as a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumxp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumxp.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumxp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumxp.r	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
gsumxp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
gsumxp.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumxp	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘, 0   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsumxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumxp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumxp.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumxp.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumxp.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsumxp.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
6	4, 5	xpexd 7698	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐶) ∈ V)
7		relxp 5642	. . . 4 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐶)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel (𝐴 × 𝐶))
9		dmxpss 6129	. . . 4 ⊢ dom (𝐴 × 𝐶) ⊆ 𝐴
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝐴 × 𝐶) ⊆ 𝐴)
11		gsumxp.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
12		gsumxp.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
13	1, 2, 3, 6, 8, 4, 10, 11, 12	gsum2d 19938	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
14		df-ima 5637	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) = ran ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗})
15		df-res 5636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ((𝐴 × 𝐶) ∩ ({𝑗} × V))
16		inxp 5780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 × 𝐶) ∩ ({𝑗} × V)) = ((𝐴 ∩ {𝑗}) × (𝐶 ∩ V))
17	15, 16	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ((𝐴 ∩ {𝑗}) × (𝐶 ∩ V))
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
19	18	snssd 4753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → {𝑗} ⊆ 𝐴)
20		sseqin2 4164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑗} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ {𝑗}) = {𝑗})
21	19, 20	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑗}) = {𝑗})
22		inv1 4339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∩ V) = 𝐶
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐶 ∩ V) = 𝐶)
24	21, 23	xpeq12d 5655	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∩ {𝑗}) × (𝐶 ∩ V)) = ({𝑗} × 𝐶))
25	17, 24	eqtrid 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ({𝑗} × 𝐶))
26	25	rneqd 5887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ran ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ran ({𝑗} × 𝐶))
27		vex 3434	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑗 ∈ V
28	27	snnz 4721	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑗} ≠ ∅
29		rnxp 6128	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑗} ≠ ∅ → ran ({𝑗} × 𝐶) = 𝐶)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ran ({𝑗} × 𝐶) = 𝐶
31	26, 30	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ran ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = 𝐶)
32	14, 31	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) = 𝐶)
33	32	mpteq1d 5176	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘)))
34	33	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))
35	34	mpteq2dva 5179	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
36	35	oveq2d 7376	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
37	13, 36	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   × cxp 5622  dom cdm 5624  ran crn 5625   ↾ cres 5626   “ cima 5627  Rel wrel 5629  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   finSupp cfsupp 9267  Basecbs 17170  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  CMndccmn 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748

This theorem is referenced by:  tsmsxplem1  24128  tsmsxplem2  24129  fedgmullem1  33789  fedgmullem2  33790  evlselv  43034