Theorem gsumxp 19917

Description: Write a group sum over a cartesian product as a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumxp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumxp.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumxp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumxp.r	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
gsumxp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
gsumxp.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumxp	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘, 0   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsumxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumxp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumxp.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumxp.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumxp.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsumxp.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
6	4, 5	xpexd 7706	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐶) ∈ V)
7		relxp 5650	. . . 4 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐶)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel (𝐴 × 𝐶))
9		dmxpss 6137	. . . 4 ⊢ dom (𝐴 × 𝐶) ⊆ 𝐴
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝐴 × 𝐶) ⊆ 𝐴)
11		gsumxp.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
12		gsumxp.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
13	1, 2, 3, 6, 8, 4, 10, 11, 12	gsum2d 19913	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
14		df-ima 5645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) = ran ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗})
15		df-res 5644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ((𝐴 × 𝐶) ∩ ({𝑗} × V))
16		inxp 5788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 × 𝐶) ∩ ({𝑗} × V)) = ((𝐴 ∩ {𝑗}) × (𝐶 ∩ V))
17	15, 16	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ((𝐴 ∩ {𝑗}) × (𝐶 ∩ V))
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
19	18	snssd 4767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → {𝑗} ⊆ 𝐴)
20		sseqin2 4177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑗} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ {𝑗}) = {𝑗})
21	19, 20	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑗}) = {𝑗})
22		inv1 4352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∩ V) = 𝐶
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐶 ∩ V) = 𝐶)
24	21, 23	xpeq12d 5663	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∩ {𝑗}) × (𝐶 ∩ V)) = ({𝑗} × 𝐶))
25	17, 24	eqtrid 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ({𝑗} × 𝐶))
26	25	rneqd 5895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ran ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ran ({𝑗} × 𝐶))
27		vex 3446	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑗 ∈ V
28	27	snnz 4735	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑗} ≠ ∅
29		rnxp 6136	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑗} ≠ ∅ → ran ({𝑗} × 𝐶) = 𝐶)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ran ({𝑗} × 𝐶) = 𝐶
31	26, 30	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ran ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = 𝐶)
32	14, 31	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) = 𝐶)
33	32	mpteq1d 5190	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘)))
34	33	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))
35	34	mpteq2dva 5193	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
36	35	oveq2d 7384	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
37	13, 36	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  {csn 4582   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  dom cdm 5632  ran crn 5633   ↾ cres 5634   “ cima 5635  Rel wrel 5637  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   finSupp cfsupp 9276  Basecbs 17148  0_gc0g 17371   Σ_g cgsu 17372  CMndccmn 19721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723

This theorem is referenced by:  tsmsxplem1  24109  tsmsxplem2  24110  fedgmullem1  33806  fedgmullem2  33807  evlselv  42939