MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumxp 19016
Description: Write a group sum over a cartesian product as a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumxp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumxp.z 0 = (0g𝐺)
gsumxp.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumxp.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumxp.r (𝜑𝐶𝑊)
gsumxp.f (𝜑𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
gsumxp.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumxp (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘, 0   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsumxp
StepHypRef Expression
1 gsumxp.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumxp.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsumxp.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsumxp.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
5 gsumxp.r . . . 4 (𝜑𝐶𝑊)
64, 5xpexd 7463 . . 3 (𝜑 → (𝐴 × 𝐶) ∈ V)
7 relxp 5572 . . . 4 Rel (𝐴 × 𝐶)
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → Rel (𝐴 × 𝐶))
9 dmxpss 6026 . . . 4 dom (𝐴 × 𝐶) ⊆ 𝐴
109a1i 11 . . 3 (𝜑 → dom (𝐴 × 𝐶) ⊆ 𝐴)
11 gsumxp.f . . 3 (𝜑𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
12 gsumxp.w . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
131, 2, 3, 6, 8, 4, 10, 11, 12gsum2d 19012 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
14 df-ima 5567 . . . . . . 7 ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) = ran ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗})
15 df-res 5566 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ((𝐴 × 𝐶) ∩ ({𝑗} × V))
16 inxp 5702 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 × 𝐶) ∩ ({𝑗} × V)) = ((𝐴 ∩ {𝑗}) × (𝐶 ∩ V))
1715, 16eqtri 2849 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ((𝐴 ∩ {𝑗}) × (𝐶 ∩ V))
18 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
1918snssd 4741 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝐴) → {𝑗} ⊆ 𝐴)
20 sseqin2 4196 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑗} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ {𝑗}) = {𝑗})
2119, 20sylib 219 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑗}) = {𝑗})
22 inv1 4352 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∩ V) = 𝐶
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐶 ∩ V) = 𝐶)
2421, 23xpeq12d 5585 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝐴 ∩ {𝑗}) × (𝐶 ∩ V)) = ({𝑗} × 𝐶))
2517, 24syl5eq 2873 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ({𝑗} × 𝐶))
2625rneqd 5807 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → ran ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ran ({𝑗} × 𝐶))
27 vex 3503 . . . . . . . . . 10 𝑗 ∈ V
2827snnz 4710 . . . . . . . . 9 {𝑗} ≠ ∅
29 rnxp 6025 . . . . . . . . 9 ({𝑗} ≠ ∅ → ran ({𝑗} × 𝐶) = 𝐶)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran ({𝑗} × 𝐶) = 𝐶
3126, 30syl6eq 2877 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → ran ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = 𝐶)
3214, 31syl5eq 2873 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) = 𝐶)
3332mpteq1d 5152 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) = (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘)))
3433oveq2d 7164 . . . 4 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))
3534mpteq2dva 5158 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) = (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
3635oveq2d 7164 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
3713, 36eqtrd 2861 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  Vcvv 3500  cin 3939  wss 3940  c0 4295  {csn 4564   class class class wbr 5063  cmpt 5143   × cxp 5552  dom cdm 5554  ran crn 5555  cres 5556  cima 5557  Rel wrel 5559  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148   finSupp cfsupp 8822  Basecbs 16473  0gc0g 16703   Σg cgsu 16704  CMndccmn 18826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-hash 13681  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828
This theorem is referenced by:  tsmsxplem1  22679  tsmsxplem2  22680  fedgmullem1  30914  fedgmullem2  30915
  Copyright terms: Public domain W3C validator