MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumxp 19994
Description: Write a group sum over a cartesian product as a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumxp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumxp.z 0 = (0g𝐺)
gsumxp.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumxp.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumxp.r (𝜑𝐶𝑊)
gsumxp.f (𝜑𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
gsumxp.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumxp (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘, 0   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsumxp
StepHypRef Expression
1 gsumxp.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumxp.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsumxp.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsumxp.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
5 gsumxp.r . . . 4 (𝜑𝐶𝑊)
64, 5xpexd 7771 . . 3 (𝜑 → (𝐴 × 𝐶) ∈ V)
7 relxp 5703 . . . 4 Rel (𝐴 × 𝐶)
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → Rel (𝐴 × 𝐶))
9 dmxpss 6191 . . . 4 dom (𝐴 × 𝐶) ⊆ 𝐴
109a1i 11 . . 3 (𝜑 → dom (𝐴 × 𝐶) ⊆ 𝐴)
11 gsumxp.f . . 3 (𝜑𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
12 gsumxp.w . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
131, 2, 3, 6, 8, 4, 10, 11, 12gsum2d 19990 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
14 df-ima 5698 . . . . . . 7 ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) = ran ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗})
15 df-res 5697 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ((𝐴 × 𝐶) ∩ ({𝑗} × V))
16 inxp 5842 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 × 𝐶) ∩ ({𝑗} × V)) = ((𝐴 ∩ {𝑗}) × (𝐶 ∩ V))
1715, 16eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ((𝐴 ∩ {𝑗}) × (𝐶 ∩ V))
18 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
1918snssd 4809 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝐴) → {𝑗} ⊆ 𝐴)
20 sseqin2 4223 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑗} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ {𝑗}) = {𝑗})
2119, 20sylib 218 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑗}) = {𝑗})
22 inv1 4398 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∩ V) = 𝐶
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐶 ∩ V) = 𝐶)
2421, 23xpeq12d 5716 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝐴 ∩ {𝑗}) × (𝐶 ∩ V)) = ({𝑗} × 𝐶))
2517, 24eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ({𝑗} × 𝐶))
2625rneqd 5949 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → ran ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ran ({𝑗} × 𝐶))
27 vex 3484 . . . . . . . . . 10 𝑗 ∈ V
2827snnz 4776 . . . . . . . . 9 {𝑗} ≠ ∅
29 rnxp 6190 . . . . . . . . 9 ({𝑗} ≠ ∅ → ran ({𝑗} × 𝐶) = 𝐶)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran ({𝑗} × 𝐶) = 𝐶
3126, 30eqtrdi 2793 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → ran ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = 𝐶)
3214, 31eqtrid 2789 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) = 𝐶)
3332mpteq1d 5237 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) = (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘)))
3433oveq2d 7447 . . . 4 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))
3534mpteq2dva 5242 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) = (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
3635oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
3713, 36eqtrd 2777 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  cima 5688  Rel wrel 5690  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431   finSupp cfsupp 9401  Basecbs 17247  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  CMndccmn 19798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800
This theorem is referenced by:  tsmsxplem1  24161  tsmsxplem2  24162  fedgmullem1  33680  fedgmullem2  33681  evlselv  42597
  Copyright terms: Public domain W3C validator