Theorem gsumxp 19179

Description: Write a group sum over a cartesian product as a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumxp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumxp.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumxp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumxp.r	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
gsumxp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
gsumxp.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumxp	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘, 0   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsumxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumxp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumxp.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumxp.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumxp.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsumxp.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
6	4, 5	xpexd 7479	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐶) ∈ V)
7		relxp 5547	. . . 4 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐶)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel (𝐴 × 𝐶))
9		dmxpss 6006	. . . 4 ⊢ dom (𝐴 × 𝐶) ⊆ 𝐴
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝐴 × 𝐶) ⊆ 𝐴)
11		gsumxp.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
12		gsumxp.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
13	1, 2, 3, 6, 8, 4, 10, 11, 12	gsum2d 19175	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
14		df-ima 5542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) = ran ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗})
15		df-res 5541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ((𝐴 × 𝐶) ∩ ({𝑗} × V))
16		inxp 5679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 × 𝐶) ∩ ({𝑗} × V)) = ((𝐴 ∩ {𝑗}) × (𝐶 ∩ V))
17	15, 16	eqtri 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ((𝐴 ∩ {𝑗}) × (𝐶 ∩ V))
18		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
19	18	snssd 4703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → {𝑗} ⊆ 𝐴)
20		sseqin2 4123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑗} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ {𝑗}) = {𝑗})
21	19, 20	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑗}) = {𝑗})
22		inv1 4294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∩ V) = 𝐶
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐶 ∩ V) = 𝐶)
24	21, 23	xpeq12d 5560	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∩ {𝑗}) × (𝐶 ∩ V)) = ({𝑗} × 𝐶))
25	17, 24	syl5eq 2806	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ({𝑗} × 𝐶))
26	25	rneqd 5785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ran ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ran ({𝑗} × 𝐶))
27		vex 3414	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑗 ∈ V
28	27	snnz 4673	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑗} ≠ ∅
29		rnxp 6005	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑗} ≠ ∅ → ran ({𝑗} × 𝐶) = 𝐶)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ran ({𝑗} × 𝐶) = 𝐶
31	26, 30	eqtrdi 2810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ran ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = 𝐶)
32	14, 31	syl5eq 2806	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) = 𝐶)
33	32	mpteq1d 5126	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘)))
34	33	oveq2d 7173	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))
35	34	mpteq2dva 5132	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
36	35	oveq2d 7173	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
37	13, 36	eqtrd 2794	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  Vcvv 3410   ∩ cin 3860   ⊆ wss 3861  ∅c0 4228  {csn 4526   class class class wbr 5037   ↦ cmpt 5117   × cxp 5527  dom cdm 5529  ran crn 5530   ↾ cres 5531   “ cima 5532  Rel wrel 5534  ⟶wf 6337  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157   finSupp cfsupp 8880  Basecbs 16556  0_gc0g 16786   Σ_g cgsu 16787  CMndccmn 18988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-iin 4890  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-se 5489  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-of 7412  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-supp 7843  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-er 8306  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-fsupp 8881  df-oi 9021  df-card 9415  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-nn 11689  df-2 11751  df-n0 11949  df-z 12035  df-uz 12297  df-fz 12954  df-fzo 13097  df-seq 13433  df-hash 13755  df-ndx 16559  df-slot 16560  df-base 16562  df-sets 16563  df-ress 16564  df-plusg 16651  df-0g 16788  df-gsum 16789  df-mre 16930  df-mrc 16931  df-acs 16933  df-mgm 17933  df-sgrp 17982  df-mnd 17993  df-submnd 18038  df-mulg 18307  df-cntz 18529  df-cmn 18990

This theorem is referenced by:  tsmsxplem1  22868  tsmsxplem2  22869  fedgmullem1  31245  fedgmullem2  31246