MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwlem8 16180
Description: Lemma for vdw 16186. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem8.r (𝜑𝑅 ∈ Fin)
vdwlem8.k (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
vdwlem8.w (𝜑𝑊 ∈ ℕ)
vdwlem8.f (𝜑𝐹:(1...(2 · 𝑊))⟶𝑅)
vdwlem8.c 𝐶 ∈ V
vdwlem8.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
vdwlem8.d (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
vdwlem8.s (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (𝐺 “ {𝐶}))
vdwlem8.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 𝑊)))
Assertion
Ref Expression
vdwlem8 (𝜑 → ⟨1, 𝐾⟩ PolyAP 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶   𝑥,𝐾   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem vdwlem8
Dummy variables 𝑎 𝑑 𝑖 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwlem8.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
21nncnd 11457 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 vdwlem8.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
43nncnd 11457 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
52, 4addcomd 10642 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐴))
65oveq2d 6992 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 − (𝐴 + 𝐷)) = (𝑊 − (𝐷 + 𝐴)))
7 vdwlem8.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ ℕ)
87nncnd 11457 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ ℂ)
98, 4, 2subsub4d 10829 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑊𝐷) − 𝐴) = (𝑊 − (𝐷 + 𝐴)))
106, 9eqtr4d 2817 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 − (𝐴 + 𝐷)) = ((𝑊𝐷) − 𝐴))
1110oveq2d 6992 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + (𝑊 − (𝐴 + 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐴) + ((𝑊𝐷) − 𝐴)))
128, 4subcld 10798 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝐷) ∈ ℂ)
132, 2, 12ppncand 10838 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + ((𝑊𝐷) − 𝐴)) = (𝐴 + (𝑊𝐷)))
1411, 13eqtrd 2814 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + (𝑊 − (𝐴 + 𝐷))) = (𝐴 + (𝑊𝐷)))
151, 1nnaddcld 11492 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℕ)
16 vdwlem8.s . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (𝐺 “ {𝐶}))
17 cnvimass 5789 . . . . . . . . 9 (𝐺 “ {𝐶}) ⊆ dom 𝐺
18 fvex 6512 . . . . . . . . . 10 (𝐹‘(𝑥 + 𝑊)) ∈ V
19 vdwlem8.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 𝑊)))
2018, 19dmmpti 6322 . . . . . . . . 9 dom 𝐺 = (1...𝑊)
2117, 20sseqtri 3893 . . . . . . . 8 (𝐺 “ {𝐶}) ⊆ (1...𝑊)
2216, 21syl6ss 3870 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (1...𝑊))
23 ssun2 4038 . . . . . . . . 9 ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷) ⊆ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
24 vdwlem8.k . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
25 uz2m1nn 12137 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
271, 3nnaddcld 11492 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ)
28 vdwapid1 16167 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
2926, 27, 3, 28syl3anc 1351 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
3023, 29sseldi 3856 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
31 eluz2nn 12098 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
3224, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
3332nncnd 11457 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
34 ax-1cn 10393 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
35 npcan 10696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
3633, 34, 35sylancl 577 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
3736fveq2d 6503 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (AP‘((𝐾 − 1) + 1)) = (AP‘𝐾))
3837oveqd 6993 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
3926nnnn0d 11767 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
40 vdwapun 16166 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 − 1) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
4139, 1, 3, 40syl3anc 1351 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
4238, 41eqtr3d 2816 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
4330, 42eleqtrrd 2869 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
4422, 43sseldd 3859 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ (1...𝑊))
45 elfzuz3 12721 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐷) ∈ (1...𝑊) → 𝑊 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 𝐷)))
46 uznn0sub 12091 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 𝐷)) → (𝑊 − (𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
4744, 45, 463syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 − (𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
48 nnnn0addcl 11739 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑊 − (𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐴) + (𝑊 − (𝐴 + 𝐷))) ∈ ℕ)
4915, 47, 48syl2anc 576 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + (𝑊 − (𝐴 + 𝐷))) ∈ ℕ)
5014, 49eqeltrrd 2867 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + (𝑊𝐷)) ∈ ℕ)
51 1nn 11452 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
52 f1osng 6484 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {⟨1, 𝐷⟩}:{1}–1-1-onto→{𝐷})
5351, 3, 52sylancr 578 . . . . . . 7 (𝜑 → {⟨1, 𝐷⟩}:{1}–1-1-onto→{𝐷})
54 f1of 6444 . . . . . . 7 ({⟨1, 𝐷⟩}:{1}–1-1-onto→{𝐷} → {⟨1, 𝐷⟩}:{1}⟶{𝐷})
5553, 54syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → {⟨1, 𝐷⟩}:{1}⟶{𝐷})
563snssd 4616 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐷} ⊆ ℕ)
5755, 56fssd 6358 . . . . 5 (𝜑 → {⟨1, 𝐷⟩}:{1}⟶ℕ)
58 1z 11825 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
59 fzsn 12765 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
6058, 59ax-mp 5 . . . . . 6 (1...1) = {1}
6160feq2i 6336 . . . . 5 ({⟨1, 𝐷⟩}:(1...1)⟶ℕ ↔ {⟨1, 𝐷⟩}:{1}⟶ℕ)
6257, 61sylibr 226 . . . 4 (𝜑 → {⟨1, 𝐷⟩}:(1...1)⟶ℕ)
63 nnex 11446 . . . . 5 ℕ ∈ V
64 ovex 7008 . . . . 5 (1...1) ∈ V
6563, 64elmap 8235 . . . 4 ({⟨1, 𝐷⟩} ∈ (ℕ ↑𝑚 (1...1)) ↔ {⟨1, 𝐷⟩}:(1...1)⟶ℕ)
6662, 65sylibr 226 . . 3 (𝜑 → {⟨1, 𝐷⟩} ∈ (ℕ ↑𝑚 (1...1)))
671, 7nnaddcld 11492 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 + 𝑊) ∈ ℕ)
6867adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐴 + 𝑊) ∈ ℕ)
69 elfznn0 12816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
703nnnn0d 11767 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
71 nn0mulcl 11745 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑚 · 𝐷) ∈ ℕ0)
7269, 70, 71syl2anr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑚 · 𝐷) ∈ ℕ0)
73 nnnn0addcl 11739 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑚 · 𝐷) ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ ℕ)
7468, 72, 73syl2anc 576 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ ℕ)
75 nnuz 12095 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
7674, 75syl6eleq 2876 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (ℤ‘1))
7716adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (𝐺 “ {𝐶}))
78 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))
79 oveq1 6983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝐷) = (𝑚 · 𝐷))
8079oveq2d 6992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)))
8180rspceeqv 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)))
8278, 81mpan2 678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)))
8332nnnn0d 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
84 vdwapval 16165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))))
8583, 1, 3, 84syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))))
8685biimpar 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) → (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
8782, 86sylan2 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
8877, 87sseldd 3859 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (𝐺 “ {𝐶}))
8918, 19fnmpti 6321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 Fn (1...𝑊)
90 fniniseg 6655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 Fn (1...𝑊) → ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (𝐺 “ {𝐶}) ↔ ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐺‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) = 𝐶)))
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (𝐺 “ {𝐶}) ↔ ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐺‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) = 𝐶))
9288, 91sylib 210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐺‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) = 𝐶))
9392simpld 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...𝑊))
94 elfzuz3 12721 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...𝑊) → 𝑊 ∈ (ℤ‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
95 eluzelz 12068 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ (ℤ‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) → 𝑊 ∈ ℤ)
96 eluzadd 12087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ (ℤ‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) ∧ 𝑊 ∈ ℤ) → (𝑊 + 𝑊) ∈ (ℤ‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)))
9795, 96mpdan 674 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ (ℤ‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) → (𝑊 + 𝑊) ∈ (ℤ‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)))
9893, 94, 973syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑊 + 𝑊) ∈ (ℤ‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)))
9982timesd 11690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · 𝑊) = (𝑊 + 𝑊))
10099adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (2 · 𝑊) = (𝑊 + 𝑊))
1012adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
1028adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑊 ∈ ℂ)
10372nn0cnd 11769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑚 · 𝐷) ∈ ℂ)
104101, 102, 103add32d 10667 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) = ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊))
105104fveq2d 6503 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (ℤ‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))) = (ℤ‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)))
10698, 100, 1053eltr4d 2881 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (2 · 𝑊) ∈ (ℤ‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))))
107 elfzuzb 12718 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...(2 · 𝑊)) ↔ (((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (ℤ‘1) ∧ (2 · 𝑊) ∈ (ℤ‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)))))
10876, 106, 107sylanbrc 575 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...(2 · 𝑊)))
109104fveq2d 6503 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐹‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))) = (𝐹‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)))
110 fvoveq1 6999 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑊)) = (𝐹‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)))
111 fvex 6512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)) ∈ V
112110, 19, 111fvmpt 6595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...𝑊) → (𝐺‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) = (𝐹‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)))
11393, 112syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐺‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) = (𝐹‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)))
11492simprd 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐺‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) = 𝐶)
115109, 113, 1143eqtr2d 2820 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐹‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))) = 𝐶)
116108, 115jca 504 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...(2 · 𝑊)) ∧ (𝐹‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))) = 𝐶))
117 eleq1 2853 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) → (𝑥 ∈ (1...(2 · 𝑊)) ↔ ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...(2 · 𝑊))))
118 fveqeq2 6508 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) → ((𝐹𝑥) = 𝐶 ↔ (𝐹‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))) = 𝐶))
119117, 118anbi12d 621 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) → ((𝑥 ∈ (1...(2 · 𝑊)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝐶) ↔ (((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...(2 · 𝑊)) ∧ (𝐹‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))) = 𝐶)))
120116, 119syl5ibrcom 239 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑥 = ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) → (𝑥 ∈ (1...(2 · 𝑊)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝐶)))
121120rexlimdva 3229 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) → (𝑥 ∈ (1...(2 · 𝑊)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝐶)))
122 vdwapval 16165 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + 𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑊)(AP‘𝐾)𝐷) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))))
12383, 67, 3, 122syl3anc 1351 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑊)(AP‘𝐾)𝐷) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))))
124 vdwlem8.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(1...(2 · 𝑊))⟶𝑅)
125 ffn 6344 . . . . . . . 8 (𝐹:(1...(2 · 𝑊))⟶𝑅𝐹 Fn (1...(2 · 𝑊)))
126 fniniseg 6655 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn (1...(2 · 𝑊)) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐶}) ↔ (𝑥 ∈ (1...(2 · 𝑊)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝐶)))
127124, 125, 1263syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐶}) ↔ (𝑥 ∈ (1...(2 · 𝑊)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝐶)))
128121, 123, 1273imtr4d 286 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑊)(AP‘𝐾)𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐶})))
129128ssrdv 3864 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑊)(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (𝐹 “ {𝐶}))
130 fvsng 6765 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ({⟨1, 𝐷⟩}‘1) = 𝐷)
13151, 3, 130sylancr 578 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({⟨1, 𝐷⟩}‘1) = 𝐷)
132131oveq2d 6992 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) = ((𝐴 + (𝑊𝐷)) + 𝐷))
1332, 12, 4addassd 10462 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑊𝐷)) + 𝐷) = (𝐴 + ((𝑊𝐷) + 𝐷)))
1348, 4npcand 10802 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑊𝐷) + 𝐷) = 𝑊)
135134oveq2d 6992 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + ((𝑊𝐷) + 𝐷)) = (𝐴 + 𝑊))
136132, 133, 1353eqtrd 2818 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) = (𝐴 + 𝑊))
137136, 131oveq12d 6994 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))(AP‘𝐾)({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) = ((𝐴 + 𝑊)(AP‘𝐾)𝐷))
138136fveq2d 6503 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))) = (𝐹‘(𝐴 + 𝑊)))
139 vdwapid1 16167 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
14032, 1, 3, 139syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
14116, 140sseldd 3859 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ (𝐺 “ {𝐶}))
142 fniniseg 6655 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 Fn (1...𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐺 “ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐺𝐴) = 𝐶)))
14389, 142ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝐺 “ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐺𝐴) = 𝐶))
144141, 143sylib 210 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐺𝐴) = 𝐶))
145144simpld 487 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (1...𝑊))
146 fvoveq1 6999 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑊)) = (𝐹‘(𝐴 + 𝑊)))
147 fvex 6512 . . . . . . . . . 10 (𝐹‘(𝐴 + 𝑊)) ∈ V
148146, 19, 147fvmpt 6595 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (1...𝑊) → (𝐺𝐴) = (𝐹‘(𝐴 + 𝑊)))
149145, 148syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝐴) = (𝐹‘(𝐴 + 𝑊)))
150144simprd 488 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝐴) = 𝐶)
151138, 149, 1503eqtr2d 2820 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))) = 𝐶)
152151sneqd 4453 . . . . . 6 (𝜑 → {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))} = {𝐶})
153152imaeq2d 5770 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))}) = (𝐹 “ {𝐶}))
154129, 137, 1533sstr4d 3904 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))(AP‘𝐾)({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))}))
155154ralrimivw 3133 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...1)(((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))(AP‘𝐾)({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))}))
156151mpteq2dv 5023 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))) = (𝑖 ∈ (1...1) ↦ 𝐶))
157 fconstmpt 5464 . . . . . . . 8 ((1...1) × {𝐶}) = (𝑖 ∈ (1...1) ↦ 𝐶)
158156, 157syl6eqr 2832 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))) = ((1...1) × {𝐶}))
159158rneqd 5651 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))) = ran ((1...1) × {𝐶}))
160 elfz3 12733 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ (1...1))
161 ne0i 4186 . . . . . . . 8 (1 ∈ (1...1) → (1...1) ≠ ∅)
16258, 160, 161mp2b 10 . . . . . . 7 (1...1) ≠ ∅
163 rnxp 5867 . . . . . . 7 ((1...1) ≠ ∅ → ran ((1...1) × {𝐶}) = {𝐶})
164162, 163ax-mp 5 . . . . . 6 ran ((1...1) × {𝐶}) = {𝐶}
165159, 164syl6eq 2830 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))) = {𝐶})
166165fveq2d 6503 . . . 4 (𝜑 → (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))))) = (♯‘{𝐶}))
167 vdwlem8.c . . . . 5 𝐶 ∈ V
168 hashsng 13544 . . . . 5 (𝐶 ∈ V → (♯‘{𝐶}) = 1)
169167, 168ax-mp 5 . . . 4 (♯‘{𝐶}) = 1
170166, 169syl6eq 2830 . . 3 (𝜑 → (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))))) = 1)
171 oveq1 6983 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → (𝑎 + (𝑑𝑖)) = ((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))
172171oveq1d 6991 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → ((𝑎 + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) = (((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)))
173 fvoveq1 6999 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖))) = (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))))
174173sneqd 4453 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → {(𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))} = {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))})
175174imaeq2d 5770 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → (𝐹 “ {(𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))}) = (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))}))
176172, 175sseq12d 3890 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → (((𝑎 + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))}) ↔ (((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))})))
177176ralbidv 3147 . . . . 5 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (1...1)((𝑎 + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))}) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...1)(((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))})))
178173mpteq2dv 5023 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))) = (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))))
179178rneqd 5651 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))) = ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))))
180179fveqeq2d 6507 . . . . 5 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → ((♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖))))) = 1 ↔ (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))))) = 1))
181177, 180anbi12d 621 . . . 4 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → ((∀𝑖 ∈ (1...1)((𝑎 + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))}) ∧ (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖))))) = 1) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...1)(((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))}) ∧ (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))))) = 1)))
182 fveq1 6498 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} → (𝑑𝑖) = ({⟨1, 𝐷⟩}‘𝑖))
183 elfz1eq 12734 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...1) → 𝑖 = 1)
184183fveq2d 6503 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝐷⟩}‘𝑖) = ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))
185182, 184sylan9eq 2834 . . . . . . . . 9 ((𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...1)) → (𝑑𝑖) = ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))
186185oveq2d 6992 . . . . . . . 8 ((𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...1)) → ((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)) = ((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))
187186, 185oveq12d 6994 . . . . . . 7 ((𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...1)) → (((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) = (((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))(AP‘𝐾)({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))
188186fveq2d 6503 . . . . . . . . 9 ((𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...1)) → (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))) = (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))))
189188sneqd 4453 . . . . . . . 8 ((𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...1)) → {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))} = {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))})
190189imaeq2d 5770 . . . . . . 7 ((𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...1)) → (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))}) = (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))}))
191187, 190sseq12d 3890 . . . . . 6 ((𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...1)) → ((((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))}) ↔ (((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))(AP‘𝐾)({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))})))
192191ralbidva 3146 . . . . 5 (𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} → (∀𝑖 ∈ (1...1)(((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))}) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...1)(((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))(AP‘𝐾)({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))})))
193188mpteq2dva 5022 . . . . . . 7 (𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} → (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))) = (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))))
194193rneqd 5651 . . . . . 6 (𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} → ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))) = ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))))
195194fveqeq2d 6507 . . . . 5 (𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} → ((♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))))) = 1 ↔ (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))))) = 1))
196192, 195anbi12d 621 . . . 4 (𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} → ((∀𝑖 ∈ (1...1)(((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))}) ∧ (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))))) = 1) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...1)(((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))(AP‘𝐾)({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))}) ∧ (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))))) = 1)))
197181, 196rspc2ev 3550 . . 3 (((𝐴 + (𝑊𝐷)) ∈ ℕ ∧ {⟨1, 𝐷⟩} ∈ (ℕ ↑𝑚 (1...1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...1)(((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))(AP‘𝐾)({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))}) ∧ (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))))) = 1)) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ (ℕ ↑𝑚 (1...1))(∀𝑖 ∈ (1...1)((𝑎 + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))}) ∧ (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖))))) = 1))
19850, 66, 155, 170, 197syl112anc 1354 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ (ℕ ↑𝑚 (1...1))(∀𝑖 ∈ (1...1)((𝑎 + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))}) ∧ (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖))))) = 1))
199 ovex 7008 . . 3 (1...(2 · 𝑊)) ∈ V
20051a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
201 eqid 2778 . . 3 (1...1) = (1...1)
202199, 83, 124, 200, 201vdwpc 16172 . 2 (𝜑 → (⟨1, 𝐾⟩ PolyAP 𝐹 ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ (ℕ ↑𝑚 (1...1))(∀𝑖 ∈ (1...1)((𝑎 + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))}) ∧ (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖))))) = 1)))
203198, 202mpbird 249 1 (𝜑 → ⟨1, 𝐾⟩ PolyAP 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  wral 3088  wrex 3089  Vcvv 3415  cun 3827  wss 3829  c0 4178  {csn 4441  cop 4447   class class class wbr 4929  cmpt 5008   × cxp 5405  ccnv 5406  dom cdm 5407  ran crn 5408  cima 5410   Fn wfn 6183  wf 6184  1-1-ontowf1o 6187  cfv 6188  (class class class)co 6976  𝑚 cmap 8206  Fincfn 8306  cc 10333  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340  cmin 10670  cn 11439  2c2 11495  0cn0 11707  cz 11793  cuz 12058  ...cfz 12708  chash 13505  APcvdwa 16157   PolyAP cvdwp 16159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-hash 13506  df-vdwap 16160  df-vdwpc 16162
This theorem is referenced by:  vdwlem10  16182
  Copyright terms: Public domain W3C validator