MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnextf 23417
Description: Extension by continuity. The extension by continuity is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1 𝐶 = 𝐽
cnextf.2 𝐵 = 𝐾
cnextf.3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
cnextf.4 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
cnextf.5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
cnextf.a (𝜑𝐴𝐶)
cnextf.6 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
cnextf.7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
cnextf (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹):𝐶𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥

Proof of Theorem cnextf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnextf.3 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Top)
2 cnextf.4 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
3 cnextf.5 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
4 cnextf.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐶)
5 cnextf.1 . . . . 5 𝐶 = 𝐽
6 cnextf.2 . . . . 5 𝐵 = 𝐾
75, 6cnextfun 23415 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴𝐵𝐴𝐶)) → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
81, 2, 3, 4, 7syl22anc 837 . . 3 (𝜑 → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
9 dfdm3 5843 . . . 4 dom ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)}
10 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝜑)
11 cnextf.6 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
1211eleq2d 2823 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ 𝑥𝐶))
1312biimpar 478 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
14 cnextf.7 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
15 n0 4306 . . . . . . . 8 (((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
1614, 15sylib 217 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → ∃𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
17 haustop 22682 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Top)
182, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ Top)
195, 6cnextfval 23413 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴𝐵𝐴𝐶)) → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
201, 18, 3, 4, 19syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
2120eleq2d 2823 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
22 opeliunxp 5699 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
2321, 22bitrdi 286 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↔ (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
2423exbidv 1924 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
25 19.42v 1957 . . . . . . . . 9 (∃𝑦(𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
2624, 25bitrdi 286 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↔ (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
2726biimpar 478 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))) → ∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
2810, 13, 16, 27syl12anc 835 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → ∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
2926simprbda 499 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
3012adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ 𝑥𝐶))
3129, 30mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)) → 𝑥𝐶)
3228, 31impbida 799 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↔ ∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)))
3332abbi2dv 2871 . . . 4 (𝜑𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)})
349, 33eqtr4id 2795 . . 3 (𝜑 → dom ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = 𝐶)
35 df-fn 6499 . . 3 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) Fn 𝐶 ↔ (Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ∧ dom ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = 𝐶))
368, 34, 35sylanbrc 583 . 2 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) Fn 𝐶)
3720rneqd 5893 . . 3 (𝜑 → ran ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = ran 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
38 rniun 6100 . . . 4 ran 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) = 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)ran ({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
39 vex 3449 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
4039snnz 4737 . . . . . . . 8 {𝑥} ≠ ∅
41 rnxp 6122 . . . . . . . 8 ({𝑥} ≠ ∅ → ran ({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . 7 ran ({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)
4312biimpa 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → 𝑥𝐶)
446toptopon 22266 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
4518, 44sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
4645adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
475toptopon 22266 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
481, 47sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
4948adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
504adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐴𝐶)
51 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
52 trnei 23243 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶) ∧ 𝐴𝐶𝑥𝐶) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
5352biimpa 477 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶) ∧ 𝐴𝐶𝑥𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
5449, 50, 51, 13, 53syl31anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
553adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐹:𝐴𝐵)
56 flfelbas 23345 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) → 𝑦𝐵)
5756ex 413 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) → 𝑦𝐵))
5857ssrdv 3950 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ⊆ 𝐵)
5946, 54, 55, 58syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ⊆ 𝐵)
6043, 59syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ⊆ 𝐵)
6142, 60eqsstrid 3992 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → ran ({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ⊆ 𝐵)
6261ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)ran ({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ⊆ 𝐵)
63 iunss 5005 . . . . 5 ( 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)ran ({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)ran ({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ⊆ 𝐵)
6462, 63sylibr 233 . . . 4 (𝜑 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)ran ({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ⊆ 𝐵)
6538, 64eqsstrid 3992 . . 3 (𝜑 → ran 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ⊆ 𝐵)
6637, 65eqsstrd 3982 . 2 (𝜑 → ran ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ⊆ 𝐵)
67 df-f 6500 . 2 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹):𝐶𝐵 ↔ (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) Fn 𝐶 ∧ ran ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ⊆ 𝐵))
6836, 66, 67sylanbrc 583 1 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹):𝐶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  {cab 2713  wne 2943  wral 3064  wss 3910  c0 4282  {csn 4586  cop 4592   cuni 4865   ciun 4954   × cxp 5631  dom cdm 5633  ran crn 5634  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  t crest 17302  Topctop 22242  TopOnctopon 22259  clsccl 22369  neicnei 22448  Hauscha 22659  Filcfil 23196   fLimf cflf 23286  CnExtccnext 23410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-map 8767  df-pm 8768  df-rest 17304  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-top 22243  df-topon 22260  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-haus 22666  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-cnext 23411
This theorem is referenced by:  cnextcn  23418  cnextfres1  23419
  Copyright terms: Public domain W3C validator